5.1 认识二元一次方程组 课时作业 2026-2027学年北师大版数学 八年级上册

**基本信息** 聚焦二元一次方程（组）概念及解的检验，通过“概念梳理-基础应用-情境建模”三阶分层设计，强化抽象能力与模型意识，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|二元一次方程（组）定义、解的概念及易错点|对比辨析含未知数项次数、分母位置等易错点，培养数学眼光| |基础训练（选择填空）|概念判断、解的检验、简单表达式转换|直接考查核心概念，如方程（组）判定、解的代入验证，强化推理意识| |基础训练（解答）|综合应用（天平情境）、正整数解列举、实际问题建模|结合天平平衡等具象情境列方程组，通过正整数解列举发展数学思维，体现模型意识|

北师大版数学八年级上册 第五章　二元一次方程组 1　认识二元一次方程组　·　课时作业（含答案与解析） 班级：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿＿＿ 【作业说明】本作业依据北师大版数学八年级上册第五章第 1 节「认识二元一次方程组」编写，全部内容不超出本节的教学要求。 说明：本节只研究概念——什么是二元一次方程、什么是二元一次方程组、什么是它们的解，以及怎样检验一对数值是不是方程（组）的解。解方程组的方法（代入消元法、加减消元法）将在第 2 节学习，本作业不涉及；本作业中出现的「求解」只用代入检验或列举的办法完成。 一、知识梳理 1．二元一次方程　含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程。 它的一般形式是 （其中 ，）。例如 、 都是二元一次方程。 2．二元一次方程组　共含有两个未知数的两个一次方程所组成的方程组，叫做二元一次方程组。 例如下图中的两架天平，可以列出方程组 。 两架天平所表示的数量关系 3．二元一次方程的解　适合一个二元一次方程的一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解，记作 的形式。 一个二元一次方程有无数个解，如果再加上「取正整数」这样的限制，解的个数往往就是有限的了。 4．二元一次方程组的解　二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 5．检验的方法　把这一对数值分别代入每一个方程： （1）只使其中一个方程成立　→　它只是某个方程的解，不是方程组的解； （2）使两个方程都成立　→　它才是方程组的解。 6．用含一个未知数的式子表示另一个未知数　例如由 可得 ；由 可得 。这是下一节学习消元法的基础。 【易错警示】 ① 含 的方程不是二元一次方程，因为 这一项的次数是 ，如 。 ② 未知数出现在分母上的方程不是二元一次方程，如 。 ③ 二元一次方程组中的每个方程不一定都含有两个未知数，只要整个方程组中共有两个未知数、各方程都是一次方程即可，如 仍是二元一次方程组。 ④ 方程组的解必须同时满足两个方程，只满足其中一个的不是方程组的解。 ⑤ 方程 中要求 且 ，否则就少了一个未知数。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1． 下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2． 下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3． 下列各组数中，是二元一次方程 的解的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4． 若 是方程组 的解，则 、 的值分别是（　　） A．，　　B．，　　C．，　　D．， 5． 方程 的正整数解共有（　　） A． 组　　B． 组　　C． 组　　D．无数组 （二）填空题（每小题 4 分，共 20 分） 6． 由方程 可得，用含 的式子表示 ：＿＿＿＿＿＿。 7． 若方程 是二元一次方程，则 ＿＿＿＿，＿＿＿＿。 8． 已知 是方程 的一个解，则 ＿＿＿＿。 9． 写出二元一次方程 的一个解：＿＿＿＿＿＿＿＿（答案不唯一）。 10． 若 是方程组 的解，则 ＿＿＿＿，＿＿＿＿。 （三）解答题（共 60 分） 11．（12 分）在下列各式中，哪些是二元一次方程？哪些是二元一次方程组？不是的请说明理由。 （1）；　　（2）；　　（3）； （4）；　　（5）；　　（6）。 12．（14 分）如图，两架天平都保持平衡。已知每个小球的质量为 克，每个方块的质量为 克。 第 12 题图 （1）根据两架天平所表示的相等关系，列出一个二元一次方程组； （2）检验 是不是这个方程组的解； （3）检验 是不是这个方程组中第二个方程的解，它是方程组的解吗？ 13．（16 分）已知二元一次方程 。 （1）用含 的式子表示 ； （2）用含 的式子表示 ； （3）当 时，求 的值； （4）写出这个方程的所有正整数解。 14．（18 分）根据下列情境列出二元一次方程组（不必求解）。 （1）如图 1，一个长方形的周长是 ，长为 ，宽为 ，且长比宽多 ； 图 1 （2）如图 2，某次演出的成人票每张 元，儿童票每张 元。 张成人票与 张儿童票共需 元， 张成人票比 张儿童票贵 元； 图 2 （3）检验 是不是（2）中所列方程组的解。 参考答案与解析 一、选择题 1．C　【解析】A 中含有 、、 三个未知数；B 中 这一项的次数是 ；D 中未知数 在分母上。只有 C 含两个未知数且各项次数都是 。 2．B　【解析】A 中共有 、、 三个未知数；C 中 的次数是 ；D 中 在分母上。B 中共有两个未知数，两个方程又都是一次方程，所以它是二元一次方程组。 易错点： 虽然只含一个未知数，但它是一次方程，不影响整个方程组是二元一次方程组。 3．B　【解析】逐一代入 计算： A：； B：，成立； C：；　D：。 4．A　【解析】把 ， 代入第一个方程：，即 ，解得 ； 代入第二个方程：，即 ，解得 。 5．B　【解析】由 得 。要使 、 都是正整数，需 ，即 ， 所以 可以取 、、、，对应 、、、，共 组。 二、填空题 6． 【解析】由 得 ，两边同除以 ，得 。 7． ；　 【解析】二元一次方程要求未知数的次数都是 ，所以 ，，解得 ，。 8． 【解析】把 ， 代入得 ，解得 。 9． （答案不唯一，如 、 等均可） 10． ；　 【解析】把 ， 分别代入：，。 三、解答题 11．（12 分） 是二元一次方程的：（1）。它含有 、 两个未知数，各项的次数都是 。 是二元一次方程组的：（3）（4）。它们都只含两个未知数，且各方程都是一次方程。 不是的及理由： （2） 中 这一项的次数是 ，不是二元一次方程； （5） 中未知数 在分母上，它不是整式方程，所以不是二元一次方程； （6） 中共有 、、 三个未知数，不是二元一次方程组。 【方法总结】判断二元一次方程「三看」：一看未知数的个数是不是 ；二看各项的次数是不是都为 ；三看是不是整式方程（未知数不能在分母里、不能在根号里）。 12．（14 分） （1）由左边的天平得 ；由右边的天平得 。 所以所列方程组为 。 （2）把 ， 代入： 第一个方程左边 ，右边 ，左边 右边，成立； 第二个方程左边 ，右边 ，成立。 两个方程都成立，所以 是这个方程组的解。 （3）把 ， 代入第二个方程：左边 右边，成立，所以它是第二个方程的解。 但代入第一个方程：左边 ，右边 ，左边 右边，不成立。 所以它不是这个方程组的解。 【方法总结】检验方程组的解必须「两个方程都过关」，只满足其中一个方程的数值只能叫某个方程的解。 13．（16 分） （1）由 得 。 （2）由 得 ，两边同除以 ，得 。 （3）当 时，。 （4）由 ，要使 、 都是正整数，需 ，即 ， 所以 可以取 、、，对应 、、。 所有正整数解为 、、，共 组。 【方法总结】求正整数解的通用办法：先用一个未知数表示另一个，再由「都是正整数」定出自变量的取值范围，最后逐一列举。 14．（18 分） （1）长方形的周长等于相邻两边和的 倍，得 ，即 ； 又长比宽多 ，得 。 所以方程组为 。 （2）由「 张成人票与 张儿童票共 元」得 ； 由「 张成人票比 张儿童票贵 元」得 。 所以方程组为 。 （3）把 ， 代入： 第一个方程左边 右边，成立； 第二个方程左边 右边，成立。 所以 是（2）中方程组的解，即成人票每张 元，儿童票每张 元。 【学后反思】本节的关键词只有两个：一个是「二元一次」——两个未知数、次数都是一次、还必须是整式方程；另一个是「公共解」——方程组的解要同时让两个方程成立。列方程组时，有几个相等关系就列几个方程，两个未知数就要找两个相等关系。 学科网（北京）股份有限公司 $