专题05 二次函数的区间最值与参数综合（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版九年级上学期

专题05 二次函数的区间最值与参数综合 考点01 定区间动对称轴的最值问题 考点02 动区间定对称轴的最值问题 考点03 含参二次函数的恒成立与最值逆向求参 考点01 定区间动对称轴的最值问题 1．已知二次函数，当时，y有最小值7，最大值11，则的值为______． 【答案】9 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；先求二次函数的对称轴，再计算区间端点及顶点处的函数值，根据二次函数的开口方向分类讨论，利用最值列出方程求解即可． 【详解】解：由二次函数可知对称轴为直线， 当时，， 当时，， 当时，； 当时，开口向上，则最小值在处，即， ∵， ∴根据开口向上，离对称轴越近，其对应的函数值也就越小，可知：最大值在处，即， ∴，， 故； 当时，开口向下，则最大值在处，即， 根据开口向下，离对称轴越近，其对应的函数值也就越大可知：最小值在处，即， 解得，，故； 综上，； 故答案为9． 2．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线对称轴为直线，求顶点坐标； (2)已知，是抛物线上两点，当且时．都有，求m的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）由对称轴可得，可得，从而可得答案； （2）由二次函数图象开口向上，对称轴为直线，根据对于，且，都有，即的中点在右侧，结合离对称轴越近，函数值越小，再进一步求解即可； （3）①当时，即时，如图，可得当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：，②如图，当且时，时，当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：，③如图，当且时，即时，当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：，④如图，当时，即时，当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ， ， ∴顶点坐标为； （2）解：， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ∵点为函数图象上任意两点， 若对于，且，都有， 又，即的中点在右侧， ∵离对称轴越近，函数值越小， 即． （3）解：①当时，即时，如图， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， （舍去）． ②如图，当且时，时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， ，（舍去）． ③如图，当且时，即时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， ，（舍去）． ④如图，当时，即时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， （舍去）． 综上所述：或． 3．抛物线（是常数，）， ，若有最大值9，则的值为__________． 【答案】或2 【分析】根据题意可得，则对称轴为直线，当时，则当时，，当时，则当时，，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时， ∵当时，有最大值9， ∴当时，， ∴，即， ∴； 当时，则离对称轴越远，函数值越大， ∵，且当时，有最大值9， ∴当时，， ∴，即， ∴； 综上所述，的值为或2． 考点02 动区间定对称轴的最值问题 4．已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴是直线． (1)求此二次函数的表达式． (2)求二次函数的最大值． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据二次函数的对称轴可得的值，再将点代入可得的值，由此即可得； （2）将二次函数的解析式化成顶点式即可得； （3）先求出当时，；当时，；当时，，再结合二次函数的图象即可得． 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， 将点代入二次函数得：， 解得， ∴此二次函数的表达式为． （2）解：二次函数， ∵这个抛物线的开口向下，对称轴是直线， ∴当时，取得最大值，最大值为． （3）解：对于二次函数， 当时，；当时，， 由二次函数的对称性可知，当时，， 画出函数的大致图象如下： ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为，且， ∴结合函数图象可知，． 5．如图，已知点，抛物线的顶点为，与轴交于点，点在上，作直线与轴交于点． (1)若点在第三象限，且． ①求点的坐标； ②当时，求的最大值和最小值； (2)若为线段的中点，求的长； (3)当线段被只分为两部分，且两部分的比为时，直接写出的值． 【答案】(1)①；②， (2)1 (3)或 【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，进而写出点的坐标即可；②根据增减性求出最大值和最小值即可； （2）根据中点坐标公式求出点坐标，进而求出点，点坐标，求出直线的解析式，进而求出点坐标，进而求出的长； （3）分两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，则， ①将代入得 ， 解得（舍），． 的解析式为， ∴点的坐标为； ②由①可知，顶点的坐标为， 当时，，当时，， 当时，的最大值为，最小值为； （2）解：由题可知点P，N，A的横坐标分别为，，0， 为线段的中点， ， ， 的解析式为， ∴， 当时，，当时，， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴， ∴当， A， ； （3）解：∵， ∴， ∵线段被只分为两部分，且两部分的比为， ∴过点或； 当过点时，则， 解得（不合题意，舍去）； 当过点时，则， 解得（不合题意舍去），； 综上：的值为或． 6．已知，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（0，－1）和点B（1，a＋1），顶点为C． (1)求b、c的值； (2)若C的坐标为（1，0），当t－1≤x≤t＋2时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最大值－4，求t的值； (3)已知直线y＝与直线x＝－3，直线分别相交于M，N，若抛物线y＝ax2＋bx＋c与线段MN（包含M、N两点）有两个公共点，求a的取值范围． 【答案】(1)c＝－1，b＝2 (2)-3或4 (3)或 【分析】（1）把点A（0，－1）和点B（1，a+1）分别代入，求得b＝2，c＝－1； （2）根据抛物线的顶点坐标为C（1，0），得到，a=－1，a＜0，　抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，根据当t－1≤x≤t+2时，二次函数有最大值－4，得到=－4，求得x＝－1或x＝3，根据在对称轴x＝1左侧，y随x的增大而增大，得到当x＝t+2=－1时，y有最大值－4，解得t＝－3；根据在对称轴x＝1右侧，y随x的增大而减小，得到当x＝t－1=3时，y有最大值－4，解得t＝4； （3）由题意得：M（－3，－3），N（1，－1），当a＜0时，根据x＝1，y=a+2-1≤-1，得到a≤－2；根据当a＞0时， x＝－3，y=9a-6-1≥-3，得到a≥，联立直线与抛物线解析式，得，根据抛物线与线段MN（包含M、N两点）有两个公共点，得到，得到，综合得到 ． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点A（0，－1）和点B（1，a+1）， ∴，解得，， 故b＝2，c＝－1； （2）∵抛物线的顶点坐标为C（1，0）， ∴，∴a=－1，a＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴x＝1 ∵当t－1≤x≤t+2时，二次函数有最大值－4， ∴当y=－4时， =－4 ∴x＝－1或x＝3． ①∵在对称轴x＝1左侧，y随x的增大而增大， ∴当x＝t+2=－1时，y有最大值－4 解得t＝－3； ②∵在对称轴x＝1右侧，y随x的增大而减小， ∴当x＝t－1=3时，y有最大值－4， 解得t＝4， 综上所述：t＝－3或t＝4； （3）∵直线y＝与直线x＝－3，直线分别相交于M，N， ∴M（－3，－3），N（1，－1）， ①当a＜0时，x＝1，y=a+2-1≤-1， ∴a≤－2； ②当a＞0时， x＝－3，y=9a-6-1≥-3， ∴a≥， 将直线与抛物线联立得，， ∴， ∵抛物线与线段MN（包含M、N两点）有两个公共点， ∴，　 ∴， ∴． 综上，a的取值范围为或． 考点03 含参二次函数的恒成立与最值逆向求参 7．已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差； (3)已知点在该二次函数的图像上且位于轴的两侧，若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值与最小值之差为9． (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，求出函数解析式是解题的关键． （1）由题意先设顶点式，再代入，即可求解； （2）由题意得，由于开口向上，那么当时，有最小值1；由于横坐标为的点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离1，则当时，取得最大值，即可求解； （3）①若点在轴的左侧，点在轴的右侧，则，由于恒成立，所以，再分别解不等式和不等式组；②若点在轴的右侧，点在轴的左侧，则，由于恒成立，则，再分别解不等式和不等式组即可． 【详解】（1）解：因为对称轴为直线， 所以设， 因为图象经过点， 所以， 解得， 所以二次函数的表达式为； （2）解：因为点到轴的距离不大于2，所以， 因为该函数二次项系数为1大于0， 所以当时，有最小值1； 因为横坐标为的点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离1， 所以当时，取得最大值为， 因为， 所以的最大值与最小值之差为9； （3）解：二次函数图象的对称轴为直线， ①若点在轴的左侧，点在轴的右侧， 所以，解得：， 因为恒成立，所以，解得， 所以． ②若点在轴的右侧，点在轴的左侧， 所以，解得：， 因为恒成立，所以，解得， 所以， 综上所述，的取值范围是或． 8．已知二次函数（为常数）， (1)若，求该二次函数图象的对称轴； (2)若，该二次函数在时有最小值2，求的值； (3)将二次函数的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：．若时，恒成立，求m的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一次函数的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先求得解析式，再根据二次函数的性质即可解答； （2）先求得对称轴为．然后分和两种情况，分别运用二次函数的性质求解即可； （3）如图，令，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为和，． 观察图象，随着抛物线C的向右不断平移和的值不断增大，然后结合图象即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴（为常数）， ∴， ∴二次函数的对称轴是． （2）解：∵， ∴二次函数的对称轴是． 当时，函数有最小值．即，解得：（舍去）或； 当时，函数有最小值．即，解得：（舍去）或 综上，或． （3）解：如图，令，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为和，． 观察图象，随着抛物线C的向右不断平移和的值不断增大， 当时，恒成立，即时，m的最大值为． ∴，得（舍去）或3． ∴，得或． ∴m的最大值为． 9．已知二次函数． (1)将化成的形式：___________； (2)补全表格，则___________，___________； x … 0 m 2 n 4 … y … 0 k 0 … (3)若关于x的方程在的范围内有解，则t的取值范围是___________． 【答案】(1) (2)1，3， (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，画出函数图象，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． （1）利用配方法将函数解析式进行转换即可； （2）令，即可求得，，然后根据表格中数据描点、连线即可； （3）由题意可知要使得方程在的范围内有解，只需函数与有交点即可，由图可知，符合题意． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：令，，解得：，， ∴，； 则，在坐标系中描点、连线： 故答案为：1，3； （3）∵， ∴， 即：方程的解可看作函数与交点的横坐标， 要使得方程在的范围内有解，只需函数与有交点即可， 由图可得：当时，则，当时，则， 关于x的方程在的范围内有解，则t的取值范围， 故答案为：． 10．某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： (1)与的几组对应值如下表，其中__________． x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 m 0 1 0 … (2)如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补充完整． (3)结合函数图象：解决下列问题： ①当随的增大而减小时，写出的取值范围__________． ②若方程的所有解的和为，则的值为__________． ③不等式的解集为__________． 【答案】(1) (2) 描点、连线画出函数的图象如图， (3)①或；②2；③或． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，描点法画函数图象，利用图象解不等式，抛物线与直线的交点，正确的识别图象是解题的关键． （1）把代入即可求得； （2）描点、连线画出函数的图象即可； （3）①根据图像写出范围即可；②根据图像，结合表格可知有三个解，分别为，再求和即可；③先求出的根，结合图像写出不等式的解即可． 【详解】（1）把代入得，， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）①由图可知，当或时，随的增大而减小， 故答案为：或； ②根据图像，结合表格可知有三个解， 分别为， 所以所有解的和为， 故答案为：2； ③不等式， 当时， 当时，，即， 解得（舍）， 当当时，，即， 解得， ∴原不等式的解为或． 故答案为：或． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数的区间最值与参数综合 考点01 定区间动对称轴的最值问题 考点02 动区间定对称轴的最值问题 考点03 含参二次函数的恒成立与最值逆向求参 考点01 定区间动对称轴的最值问题 1．已知二次函数，当时，y有最小值7，最大值11，则的值为______． 2．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线对称轴为直线，求顶点坐标； (2)已知，是抛物线上两点，当且时．都有，求m的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求m的值． 3．抛物线（是常数，）， ，若有最大值9，则的值为__________． 考点02 动区间定对称轴的最值问题 4．已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴是直线． (1)求此二次函数的表达式． (2)求二次函数的最大值． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 5．如图，已知点，抛物线的顶点为，与轴交于点，点在上，作直线与轴交于点． (1)若点在第三象限，且． ①求点的坐标； ②当时，求的最大值和最小值； (2)若为线段的中点，求的长； (3)当线段被只分为两部分，且两部分的比为时，直接写出的值． 6．已知，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（0，－1）和点B（1，a＋1），顶点为C． (1)求b、c的值； (2)若C的坐标为（1，0），当t－1≤x≤t＋2时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最大值－4，求t的值； (3)已知直线y＝与直线x＝－3，直线分别相交于M，N，若抛物线y＝ax2＋bx＋c与线段MN（包含M、N两点）有两个公共点，求a的取值范围． 考点03 含参二次函数的恒成立与最值逆向求参 7．已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差； (3)已知点在该二次函数的图像上且位于轴的两侧，若恒成立，求的取值范围． 8．已知二次函数（为常数）， (1)若，求该二次函数图象的对称轴； (2)若，该二次函数在时有最小值2，求的值； (3)将二次函数的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：．若时，恒成立，求m的最大值． 9．已知二次函数． (1)将化成的形式：___________； (2)补全表格，则___________，___________； x … 0 m 2 n 4 … y … 0 k 0 … (3)若关于x的方程在的范围内有解，则t的取值范围是___________． 10．某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： (1)与的几组对应值如下表，其中__________． x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 m 0 1 0 … (2)如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补充完整． (3)结合函数图象：解决下列问题： ①当随的增大而减小时，写出的取值范围__________． ②若方程的所有解的和为，则的值为__________． ③不等式的解集为__________． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $