精品解析：河南驻马店市华师联盟2027届高三上学期10月质量检测数学试题

高三10月质量检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5m的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合， 又因为集合，所以． 2. 已知，，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合幂函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以当时，成立，反之当时，成立， 所以p是q的充要条件. 故选：C 3. 已知，则（ ） A. 6 B. 5 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，利用导数的运算法则，即可求得的值. 【详解】由函数， 即， 可得，所以． 4. 若一个扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 设扇形的半径为，则扇形的弧长为， 由题意得：，解得. 5. 已知函数，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，即， 所以． 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】原不等式等价于，解得：且或， 所以解集为： 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用辅助角公式把已知等式的左边化为同一角的正弦式，再用诱导公式把右端统一到同一个角上，整理后得出的角的关系，最后将所求式化为关于的二次齐次式求值，与所给四个选项对照确定答案. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 即，即， 所以，即，所以. 则. 8. 已知函数的定义域为，恒有，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件得出，令，则有都有，利用函数单调性的定义得出函数的单调性，然后将问题转化，结合函数单调性建立不等式组解出即可. 【详解】因为，恒有， 即，恒有， 令，则有都有， 因为当1时，，所以， 设，则， 因为，则，所以，所以， 所以函数在上单调递增， 因为，函数的定义域为， 所以，则不等式可转化为：，即， 因为在上单调递增，所以，解得或. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知角的始边为x轴非负半轴，终边上有一点，则 B. 函数的单调递增区间为 C. 若，，则 D. 已知函数为奇函数，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用三角函数的定义以及两角和的正切公式即可求解；对于B，利用复合函数的单调性即可求解；对于C，利用不等式的性质即可求解；对于D，利用奇函数的性质即可求解. 【详解】对A，因为角的终边上有一点，所以， 则，所以A正确； 对B，令，，因为单调递增， 所以的单调递增区间即为的单调递增区间，且保证， 所以函数的单调递增区间为：，所以B错误； 对C，因为，，所以，则有，所以C正确； 对D，是奇函数， ，，，得， ，，所以D错误． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是函数的一条对称轴 C. 在区间上单调递减 D. 将函数的图象向左平移个单位长度之后所得图象关于y轴对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】分别根据在上升曲线段中和在下降曲线段中可求参数的值，从而得到函数解析式，再逐项判断可得正确的选项. 【详解】由图可知， 的图象过点，代入解析式可得，，即， 而在上升曲线段中，结合得. 而在下降曲线段中，故， 故，而且， 故，故，故. A选项：，所以A错误； B选项：的对称轴是，，，所以B正确； C选项：，， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减，所以C正确； D选项：将函数的图象向左平移个单位长度之后得到的函数为： ，故为偶函数， 其图像关于y轴对称，所以D正确. 11. 已知函数，当且仅当时，，且函数的极大值为4，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 若关于的方程有三个不相等的实数根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用导函数正负得出函数单调性结合极值计算求解参数判断A，B，C，再结合函数图象应用单调性判断D. 【详解】对A，由题意可知，，且， 则， 令，则，当或时，；当时，； 所以函数的单调递增区间为：，单调递减区间为：； 当时，函数取极小值，且极小值为0； 当时，函数取极大值，且极大值为，又因为极大值为4，所以，解得，所以A正确； 对B，因为，所以，因为函数在上单调递增，所以，所以B错误； 对C，因为，则， 令，则， 所以在上单调递增，因为，所以，即，所以C正确； 对D，作出函数的大致图象，如图所示，其中. 由图可知，当时，关于的方程有三个不相等实根， 设，则. 由选项C可知，当时，，因为2，所以， 又因为，则，因为，且函数在上单调递增，所以，即， 因为1，所以； 下面证明.即证，因为，且在上单调递减，即证， 又因为，即证，即证， 令， 则，所以函数在上单调递增， 因为，所以，所以成立， 因为，所以. 综上，，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题，，则命题p的否定为_______________． 【答案】，． 【解析】 【详解】命题，，则命题p的否定为，． 13. 已知函数，若有且只有1个整数解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先把不等式变形为，转化为两个函数图像的位置关系，对参数分三类讨论，根据仅有一个整数解列出边界不等式，最后合并两段取值范围得到答案． 【详解】因为有且只有1个整数解， 则有且只有1个整数解， 因为当时，恒成立， 所以不符合题意； 当时，在同一坐标系中，作出函数与的图象如下图1所示， 则只能有且只有一个整数解1，即， 解得； 当时，在同一坐标系中，作出函数与的图象如下图2所示， 则只能有且只有一个整数解， 则有，即； 当时，由下图3可知，1有无穷多个整数解，不符合题意． 综上，实数的取值范围为：． 14. 已知，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】用基本不等式即可解 【详解】因为，所以，即， 则，所以， 即， 所以， 当且仅当，即时等号成立，又因为，即时等号成立，所以的最小值为20. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的最值及相应的值； （2）求函数的单调递增区间. 【答案】（1）当时，函数取最小值，且最小值为，当时，函数取最大值，且最大值为. （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦和余弦的二倍角公式，辅助角公式先化简函数，再结合已知条件以及正弦（型）函数的性质求解最值即可； （2）利用正弦（型）函数单调性求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 由 ， 由，则， 所以当，即时，函数取最小值，且最小值为； 当，即时，函数取最大值，且最大值为. 【小问2详解】 由， 即， 因为，所以函数的单调递增区间为. 16. 已知函数，其中. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）当时，单调递减区间为：，单调递增区间为：；当时，单调递减区间为：，单调递增区间为： 【解析】 【分析】（1）通过求导，确定切线斜率，即可求解； （2）求导，通过，分析导数符号，即可求解. 【小问1详解】 当时，， 所以，则， 所以函数在点处的切线方程为：，即； 【小问2详解】 函数的定义域为， ， 当时，因为，所以，令，得， 当时，；当时，， 所以函数的单调递减区间为：，单调递增区间为：； 当时，因为，所以，令，得， 当时，；当时，， 所以函数的单调递减区间为：，单调递增区间为：. 综上，当时，单调递减区间为：，单调递增区间为：； 当时，单调递减区间为：，单调递增区间为：. 17. 已知，且. （1）求的最小值； （2）求的最大值； （3）求的最小值. 【答案】（1）3 （2）0 （3）7 【解析】 【分析】（1）先根据条件，可以把替换成，统一变量，然后使用基本不等式，构造出和它的倒数形式，在满足基本不等式的前提下，求出这两项和的最小值，再减去配凑多出来的常数，最后验证等号成立条件，得到原式最小值； （2）先用完全平方变形，把用与表达，代入已知，将原式转化为只含的表达式，然后设，利用基本不等式确定的取值范围，把表达式看成关于的二次函数，再根据二次函数开口方向和对称轴，判断它在取值区间上的单调性，最后在区间左端点处取到最大值； （3）先利用把换成，代入分式后通分，统一为只含的分式，然后观察分母为，采取换元法，令，用表示，代入分式化简，再拆成对勾函数的形式，大于1，满足基本不等式条件，求出最小值，最后回代求出对应的，验证等号成立. 【小问1详解】 因为，所以，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3； 【小问2详解】 因为， 因为，所以， 令，因为，且，所以， 当且仅当时等号成立；则， 因为函数的对称轴为，且， 所以当时，函数取最大值，且最大值为0. 所以当且仅当时，的最大值为0； 【小问3详解】 因为，所以， 则， 令，则，且， 所以 当且仅当，即，即时等号成立. 所以的最小值为7. 18. 已知函数，若函数的图象关于直线对称. （1）求的值； （2）若集合，求集合； （3）若函数有且仅有两个零点，且时，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据得出，再根据分类讨论求出，再代入检验即可； （2）结合函数图象，分、两种情况，利用对称性和单调性可得； （3）将问题转化为方程在上有一根另一根小于2或有两个相等根均在，结合二次函数图象求解. 【小问1详解】 因为函数的图象关于直线对称，所以，即， 两边平方得：，整理得：， 所以，即， 再由，得，即. 当时，，解得； 当时，，无解. 所以. 当时，， 则， 所以符合题意. 【小问2详解】 因为，作出函数的大致图象如下图所示， 由图可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，， 当时，，所以，所以符合题意； 当时， 因为，所以，等价于， 因为，，所以，解得，所以. 综上所述，； 【小问3详解】 因为函数有两个不同零点，且， 即有两个不等根，且，， 令，则①，， 所以方程①在上有一根另一根小于2或有两个相等根均在. 令， 则有或， 解得或， 则实数的取值范围为：. 19. 已知函数. （1）讨论函数的零点个数； （2），对应关系使函数的零点与对应，记作：. （i）证明：是函数，并讨论该函数的单调性； （ii）证明：. 【答案】（1）当时，函数没有零点；当或时，有1个零点；当时，函数有2个零点 （2）（i）由（1）可知，当时，函数有且只有一个零点，所以是函数； 判断单调性. 函数的定义域为， 设，则，所以， 所以， 因为，所以，且. 令，则，所以在上单调递增， 且，所以，所以函数在上单调递增； （ii）先证明：， 即证：， 因为，所以，因为时，， 即证：， 令，且， 即证：，即证：，即证：， 令，则， 因为，令，解得，因为， 所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取最小值，且最小值为，所以，即成立，所以成立. 令，则有， 则. 【解析】 【分析】（1）求导，通过讨论，，确定单调性，即可求解； （2）（i）设，得到，再构造函数，通过求导确定单调性即可证明；（ii）通过先证明：，得到，再求和即可. 【小问1详解】 ， 函数的定义域为， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，；当时，， 所以函数有且只有1个零点； 当时，，所以此时函数没有零点； 当时，令，得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取最小值，且最小值为. 当，即时，函数恒成立，所以函数没有零点； 当，即时，此时函数有且只有1个零点； 当，即时，且当时，；当时，， 所以函数有2个零点. 综上，当时，函数没有零点； 当或时，有1个零点； 当时，函数有2个零点. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三10月质量检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5m的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则（ ） A. 6 B. 5 C. 8 D. 9 4. 若一个扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知函数，则（ ） A. B. 4 C. D. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，恒有，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知角的始边为x轴非负半轴，终边上有一点，则 B. 函数的单调递增区间为 C. 若，，则 D. 已知函数为奇函数，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是函数的一条对称轴 C. 在区间上单调递减 D. 将函数的图象向左平移个单位长度之后所得图象关于y轴对称 11. 已知函数，当且仅当时，，且函数的极大值为4，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 若关于的方程有三个不相等的实数根，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题，，则命题p的否定为_______________． 13. 已知函数，若有且只有1个整数解，则实数的取值范围是__________． 14. 已知，且，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的最值及相应的值； （2）求函数的单调递增区间. 16. 已知函数，其中. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间. 17. 已知，且. （1）求的最小值； （2）求的最大值； （3）求的最小值. 18. 已知函数，若函数的图象关于直线对称. （1）求的值； （2）若集合，求集合； （3）若函数有且仅有两个零点，且时，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）讨论函数的零点个数； （2），对应关系使函数的零点与对应，记作：. （i）证明：是函数，并讨论该函数的单调性； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $