河南省驻马店市名校2026-2027学年第一学期高三测评考试（一）数学试题

**基本信息** 以现实情境为载体，融合文化传承（如斗拱模型）与科技前沿（如热释光测年、塔式光热电站），通过分层设问考查数学抽象、逻辑推理与数学建模等核心素养，适配高三开学基础能力诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算（第1题）、函数模型（第2题）、立体几何体积（第3题）|热释光测年（第2题）关联考古科技，斗拱模型（第3题）渗透传统文化| |多选题|3/18|分层抽样（第9题）、函数极值（第10题）、新定义运算（第11题）|第11题以“平衡组”新定义考查逻辑推理，体现创新思维| |填空题|3/15|二项式定理（12题）、函数性质（13题）、解三角形（14题）|第13题抽象函数性质判断，强化数学抽象能力| |解答题|5/77|概率分布列（15题）、立体几何证明与体积（16题）、圆锥曲线综合（17-18题）、导数应用（19题）|15题抽奖情境融合概率计算与期望，19题导数证明体现数学思维严谨性，贴合高考命题趋势|

教研室供题2026-2027学年度第一学期测评（一) 数学参考答案 说明：选择题和填空题为名校教师原创题，解答题为优质试题改编 选择题58分 1 2 3 4 5 A B B c c 6 > 8 9 10 D B C BD ABC 11、ABD 填空题 12-16 13 -1或-5 14题75°/5Π/12 解答题 15、13分 (1)设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A,B,C. 则r0行片点 p(8)=A15 44-256 --2分 三等奖的情况有：“A,A,B,C”;“A,B,B,C”;“A,B,C,C”三种情况.-4分 c=行片0-片片+片片0品 6分 (2)设摸球的次数为5，则的可能取值为1、2、3、4.-7分 n-京--。m--行 ,-10分 P(5=4=1-P5=1)-P5=2）-P5=3)-2-11分 64 故取球次数5的分布列为 2 3 1 3 9 27 4 64 E5=x1+ 3 ×249 3427 4=175 --13分 41664 6464 16、15分 (I)证明：在平行四边形ABCD中，因为AB=AC,∠BCD=135°， 所以AB⊥AC. 由E,F分别为BC,AD的中点，得EFIAB, 所以EF⊥AC …1分 因为侧面PAB⊥底面ABCD,且∠BAP=90°， 所以PA⊥底面ABCD …2分 又因为EFC底面ABCD, 所以PA⊥EF. …3分 又因为PA∩AC=A,PAC平面PAC,ACC平面PAC, 所以EF⊥平面PAC. …5分 (Ⅱ)证明：因为M为PD的中点，F分别为AD的中点， 所以MF∥PA, 又因为MFC平面PAB,PAC平面PAB, 所以MF∥平面PAB. …7分 同理，得EF∥平面PAB. 又因为M∩EF=F,MFc平面MEF,EFc平面MF, 所以平面MEFI∥平面PAB. …9分 又因为MEc平面MEF, B E C 所以MEI∥平面PAB. …10分 (Ⅲ)解：在△PAD中，过M作MNIIPA交AD于点N(图略)， 由瑞宁舞子 又因为PA=6, 所以MN=4, …12分 因为PA⊥底面ABCD, 所以MN⊥底面ABCD, 所以四棱锥M-CDP的体积}×Ss×W-}656×4=24.…15分 Γ32 17、15分 P(xo v= y'= (I)设点 2p,由=2pw0>0)得，2p,求导卫，2分 _i-2=0 x0=10-2p 因为直线PQ的斜率为1，所以P且 解得p=2W2, 所以抛物线C的方程为=4W2y.一4分 y-至-x-) (Ⅱ)因为点P处的切线方程为： 2p p ,即2ox-2py-x6=0 =1 根据切线又与圆相切，得d=r,即V4x日+4p,化简得行=4+4p,一6分 2xx-2py-x=0 由4p=行-4行>0，得l>2,由方程组x+y=1 0(2,45) ，解得’2p 所以 网ik补到E斗- 2p ,-9分 你o台绿阳的画离是x+p艾 4 ---11分 8-ed部c-习，-本，一e分 所以 16p S_6-2)=G-2）-6-2-5-4+4+3≥25+3 所以， 8p22(x-4x)2x6-4)2x6-4 ,-13分 x0-4_4 当且仅当2写-4时取“=”号，即行=4+25，此时，p=2+2万，-14分 S 所以S的最小值为3+2V2.--15分 18、17分 y (I)设椭圆方程为云+石-1a>b>0), 则a2解得a=2W2. b=V2, 所以椭圆方程为+上 =1. …5分 82 ()由题意M(2,),设直线1的方程为y=2x+1. 1 1 y=-x+m 2 的 得x2+2x+2m2-4=0, x+=1, 82 设直线MA,MB的斜率分别为k,k, 段4，则%子6=上 -8分 x2-2 由x2+2x+2m2-4=0, 可得x+x2=-21,x3=2m°-4， ----10分 k+元=当+1-0-0s-2)+0,-10s-2 x-2x2-2 (x1-2)(x2-2) (2x+m-10x,-2）+(2x+m-1Xx-2) (x-2)(x2-2) =￥+(m-2)s+x)-4(m-1) (x1-2)(x3-2) =2m-4+0m-2)(-2m-40m-1)） (x1-2)(x-2) 2m2-4-2m2+4m-4m+4 (x1-2)x2-2) =0.---16分 即k+k,=0. 故直线MA,MB与x轴始终围成一个等腰三角形.…17分 19、17分 )当a=1时f)=ex,则了)=+1. …1分 令f'(x)=0,得x=0. 当x<0时，f'(x)<0;当x>0时，f'(x)>0.…2分 .函数f(x)在区间(-∞，0)上单调递减，在区间(0，+o)上单调递增。 ∴.当x=0时，函数f(x)取得最小值，其值为f(0)=1.3分 (2)解：若x≥0时，f(-x)+n(x+1)≥1，即e+ax+ln(x+1)-1≥0.(*) 令g(x)=e+ax+n(x+1)-1, 则g(x)=e+1 +a. x+1 ①若a≥-2，由(I)知ex+x≥1，即ex≥1-x,故e"≥1+x. 六g=e+ta2xha2-a=2-a≥0 x+1 …4分 ∴.函数g(x)在区间[0，+w)上单调递增 ∴g(x)≥g(0)=0. ∴()式成立 …6分 ②若a<-2,令p(x)=e'+1 x+1 +a, 则(x)=e-1=x+1e-1≥0. (x+1)2(x+1) ∴函数p(x)在区间[0，+∞)上单调递增. 由于p(0)=2+a<0,o(-a=e++a≥1-a+, +a=1+1 >0」 '1-a 1-a "1-a …8分 故x∈(0，-a),使得p(x)=0. …9 则当0<x<x时，p(x)<p(x)=0,即g(x)<0. .函数g(x)在区间(0，x)上单调递减。 -11分 g(x)<g(0)=0,即(*)式不恒成立.…12分 综上所述，实数☑的取值范围是[-2，+0).…13分 (3)证明：由（Ⅱ）知，当a=-2时，g(x)=e-2x+ln(x+1)-1在[0，+∞)上单调递增. 则8付月goj.即e-1+h3+1小-10.…14分 3 .n>2-√e. …16分 2 >e26,即e26<3 3 …17分 数学参考答案 说明：选择题和填空题为名校教师原创题，解答题为优质试题改编 选择题 58分 1 2 3 4 5 A B B C C 6 7 8 9 10 D B C BD ABC 11、ABD 填空题 12 -16 13 -1或-5 14题 75°/ 5Π/12 解答题 15、13分 （1）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C． 则 ------2分 三等奖的情况有：“A，A，B，C”；“ A，B，B，C”；“ A，B，C，C”三种情况．-4分 -6分 （2）设摸球的次数为，则1、2、3、4. –7分 ， ，，--10分 --11分 故取球次数的分布列为 1 2 3 4 ---13分 16、15分 （Ⅰ）证明：在平行四边形中，因为，， 所以. 由分别为的中点，得， 所以. ………………1分 因为侧面底面，且， 所以底面. ………………2分 又因为底面， 所以. ………………3分 又因为，平面，平面， 所以平面. ………………5分 （Ⅱ）证明：因为为的中点，分别为的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. ………………7分F C A D P M B E 同理，得平面. 又因为，平面，平面， 所以平面平面. ………………9分 又因为平面， 所以平面. ………………10分 （Ⅲ）解：在中，过作交于点（图略）， 由，得， 又因为， 所以， ……………… 12分 因为底面， 所以底面， 所以四棱锥的体积. …… 15分 17、15分 （Ⅰ）设点，由得，，求导， ……2分 因为直线PQ的斜率为1，所以且，解得， 所以抛物线C1 的方程为．--4分 （Ⅱ）因为点P处的切线方程为：，即， 根据切线又与圆相切，得，即，化简得，--6分 由，得，由方程组，解得， 所以，--9分 点到切线PQ的距离是，-------11分 所以，，---12分 所以，---13分 当且仅当时取“＝”号，即，此时，，--14分 所以的最小值为．---15分 18、17分 （Ⅰ）设椭圆方程为， 则解得． 所以椭圆方程为． ……………………5分 （Ⅱ）由题意，设直线的方程为． 由 得， 设直线，的斜率分别为， 设，则，．----------8分 由， 可得，， -----------10分 ．----------16分 即． 故直线，与轴始终围成一个等腰三角形．………………17分 19、17分 （1）当时，,则. …………………1分 令，得. 当时, ; 当时, . …………………………2分 ∴函数在区间上单调递减,在区间上单调递增. ∴当时,函数取得最小值,其值为. ……………………3分 （2）解:若时,,即.(*) 令, 则. ① 若,由(Ⅰ)知,即,故. ∴. …………………………………………4分 ∴函数在区间上单调递增. ∴. ∴(*)式成立. …………………………………………6分 ②若,令, 则. ∴函数在区间上单调递增. 由于,. …………………………………………8分 故,使得. …………………………………………9 则当时,,即. ∴函数在区间上单调递减.---------------------------11分 ∴ ,即(*)式不恒成立. ………………………………………12分 综上所述,实数的取值范围是. ………………………………………13分 （3）证明:由(Ⅱ)知,当时, 在上单调递增. 则,即.…………………………………14分 ∴. …………………………………………16分 ∴,即. …………………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 使用日期：2026年8月5日 2026-2027学年度第一学期考试（一） 高三数学试题 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题上。 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 第I卷 选择题 一、单选题（共40分） 1、某市工信局对辖区内 100 家专精特新中小企业开展 "数字化转型" 专项调 研，统计结果显示：完成生产端数字化改造的企业有 68 家，完成管理端数字化改造的企业有 52 家，两类改造均未完成的企业有 9 家。则两类改造均完成的企业数量为 A. 29 B. 31 C. 39 D. 41 2、热释光测年法是古陶瓷年代鉴定的核心技术之一，其原理基于陶瓷中石英矿物的辐射剂量随时间的衰减规律。若某古陶瓷样品的辐射剂量y与距今时间t（单位：年）满足函数关系为烧制完成时的初始剂量）。记距今 1000 年时剂量为，距今 2000 年时为，距今 3000 年时为，则下列判断正确的是 3、斗拱是中国传统木构建筑的核心榫卯构件，某宋代斗拱的简化模型可看作由一个正四棱柱与一个正四棱锥上下拼接而成（拼接面完全重合）。已知正四棱柱的底面边长为 2、高为 1，正四棱锥的底面边长与棱柱一致，高为 1.5，则该模型的体积为 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 宋代斗拱 4、某县采用分层抽样的方法，对下辖甲、乙、丙三个乡镇的乡村电商直播商户进行营收调研。已知三个乡镇的直播商户数量之比为(4:5:6)，若从乙乡镇抽取了 15 户商户，则本次调研抽取的样本总容量为 A. 35 B. 40 C. 45 D. 50 5、塔式光热电站的定日镜反射面为旋转抛物面，其轴截面是一条开口向上的抛物线。若该抛物面的顶点到焦点的距离为 2 米，以顶点为原点、对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则对应抛物线标准方程中p的值为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6、已知双曲线，左右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于Q、右支于R，点P在双曲线右支上，。若（M为垂足），双曲线离心率，则 A. B. C.1 D. 7、天气分为晴天、阴天两种状态，次日天气只由当日天气决定。若今日晴天，次日晴天概 率 70%，阴天概率 30%；若今日阴天，次日晴天概率 50%，阴天概率 50%。已知今 天是晴天，则两天后为阴天的概率为 A. 34% B. 36% C. 38% D. 40% 8、已知函数，若存在两个不等正数 ，满足，则下列关系式正 确的是 A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9、某运动队由足球运动员12人，篮球运动员18人，乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为的样本，若采用比例分配的分层随机抽样的方法，且不用删除个体，则样本量的取值可能是 A．26 B．6 C．20 D． 18 10、已知函数 ，定义域 ，下列说法正确的是 A. 在 处取得极小值 B. 函数最小值为 C. 函数最大值为 3 D. 在区间单调递减 11、对于有序数组 ，称运算 满足如下规则： ① ； ② 若 k 为正整数，； 我们称有序数组 为平衡组，当且仅当均为非负整数，且。 下列说法正确的是 A. 若 都是平衡组，则 一定是平衡组 B. 若 T 是平衡组，k 为正整数，则 一定是平衡组 C.是平衡组 D. 存在两个平衡组，使得 第II卷 非选择题 三、填空题（15分） 12、若ax2+的展开式中常数是，则实数a=______。 13、若函数对任意的实数且则m= 14、三角形ABC中，，D为边BC上任一点（D不与B.C重合），且,则= 四、解答题（77分） 15、（13分）某商场进行抽奖促销活动,抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有 “A”“B”“C”“D”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次。 规定：若取出“D”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“A”“B”“C”“D”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“A”“B”“C”“D”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“A”“B”“C”三个字的球为三等奖．x k b 1 （I）求分别获得一、二、三等奖的概率； （II）设摸球次数为，求 的分布列和数学期望． F C A D P M B E 16、（15分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，,, 分别为的中点，点在线段上. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若为的中点，求证：平面； （Ⅲ）当时，求四棱锥的体积. 17、（15分）如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1： x y O F P Q 的焦点，且抛物线C1上点P处的切线与圆C2：相切于点Q． （Ⅰ）当直线PQ的方程为时，求抛物线C1的方程； （Ⅱ）当正数变化时，记S1 ，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求的最小值． 18、（17分）已知椭圆的中心在原点，离心率，短轴的一个端点为，点为直线与该椭圆在第一象限内的交点，平行于的直线交椭圆于两点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求证：直线，与轴始终围成一个等腰三角形． 19、（17分）已知函数R. （I）当时，求函数的最小值； （II）若时,,求实数的取值范围； （III）求证： 学科网（北京）股份有限公司 $