江苏南通市海安市海安八校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九年级数学学习评估 202610 （卷面分值：150分 答卷时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．抛物线的顶点坐标是 （　 　） A．（1，2）　　 B．（1，－2）　　　 C．（－1，2）　　 D．（－1，－2） 2．已知点M (－3，4 )在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是 （ ） A．(3， 4) B．(－4，－3 ) C．(4，3 ) D．(3，－4) 3．设抛物线：向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线，则抛物线对应的函数解析式是 （ ） A． B． C． D． 4．把方程x2﹣4x﹣3＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值是 （　 　） A．2、1 B．2、7 C．﹣2、1 D．﹣2、7 5．若抛物线经过（0，2），（1，0），（﹣1，0）三点，则抛物线对应的函数解析式为 （ ） A． B． C． D． 6．若正比例函数y=mx（m≠0）y随x的增大而减小，则它和二次函数的图象大致是 （ ） A B C D 7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论： ①c＝2；②b2－4ac＞0；③2a＋b＝0； ④a＋b＋c＜0．其中正确的为 （ ） A．①②③ B．①②④ C．①② D．③④ 8．二次函数．当≤ l时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A．= l B．> l C．≥ l D．≤ l 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 （ ） A．2 B．4 C．8 D．16 10．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a是常数）上．以下四个结论： ①抛物线一定经过点（0，1）；. A C B （第9题图） D E ②抛物线的对称轴是直线x＝1； ③若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2； ④关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是 （　 　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 x y O 2 2 第7题图 第8题图 第13题图 二、填空题（本大题共6小题，第11-15题每题4分，第16题每小题3分，共26分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 已知关于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1＝0有两个相等的实数根，则b的值是_____ ． 12．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则b的值为_______ ． 13. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为_______________ ． 14. 若A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（4，y3）为二次函数的图象上的三点， 则 的大小关系是 （用 < 连接）. 15. 如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为2m，且到地面的距离为3m，则水流的落地点C到水枪底部B的距离为　 　 ． 16．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）． （1）若a＝﹣1，则函数y的最大值为 _____ ； （2）若当﹣1≤x≤4时，y的最大值为5，则a的值为 ____________________ ． 三、解答题（本大题共9大题，共94分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（10分）用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣2x+1＝25； （2） x（2x﹣5）＝4x﹣10 ． 18.（9分）已知y与x2成反比例，并且当x＝3时，y＝4． （1）写出y关于x的函数解析式； （2）当x＝1.5时，求y的值； （3）当y＝6时，求x的值． 19. （10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），其中两个变量x与y的部分对应值如表所示： x … ﹣4 ﹣3 ﹣1 m 1 … y … 0 ﹣4 ﹣6 ﹣4 0 … （1）则m＝_____ ； （2）求该二次函数的表达式； （3）当﹣3＜x＜1时，则y的取值范围是____________________ ． 20. （10分）如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），且点（2，5）在抛物线y＝ax2+bx+c上． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线与y轴的交点，点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC， 求点P点坐标； 21．（11分）综合与实践 主题：建立二次函数模型解决数字乘积问题． （1）数学活动：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），通过计算可得出其中积最大的算式是__________ ． 91×99，92×98，…，98×92，99×91． （2）阅读材料：对于以上问题从二次函数角度有如下解题思路． 设两个乘数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一个乘数个位上的数为（10﹣x），求出y与x的函数关系式，并求出上述算式中的最大算式； （3）问题解决：下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是9，后两位上的数组成的数的和等于100），猜想其中哪个算式的积最大，并用函数的观点说明理由； 901×999，902×998，…，998×902，999×901． 22．（10分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+4m﹣6（m为常数）． （1）求证：无论m取何值，函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若该函数图象的顶点的纵坐标为n，与x轴的交点分别为（x1，0），（x2，0）． ①n＝ _____________ ；（用含m的代数式表示） ②若0＜x1＜x2＜5，直接写出n的取值范围． 23.（10分）某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖7件（每件单价不能高于70元），每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每个月的销售利润为y元． （1）若上涨5元，每个月可卖出________ 件，则每个月的销售利润为_________ 元； （2）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 24.（12分）如图，A、B为一次函数y＝﹣x+5的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y＝x2+bx+c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA、PB． （1）求b、c的值； （2）求△PAB的面积的最大值； （3）结合图象直接写出当x2+bx+c＜﹣x+5时，自变量的取值范围． 25.（12分）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数． （1）当a＝1，c＝2时，请求出该函数的完美点； （2）已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，请求出该函数； （3）在（2）的条件下，当0≤x≤m时，函数的最小值为﹣3，最大值为1，求m的取值范围． 九年级数学学习评估答案202610 1、 选择 D、D、A、D、C A、A、C、B、B 2、 填空 11 . 2 12. 2 13. x1 = 6, x2 = - 2 14. 15. 2+2 16. (1) 4 ；(2) 1或． 3、 解答题 17. (1) x1＝6，x2＝﹣4； ………… (5分) (2)x1＝，x2＝2； …… ……(10分) 18.解：（1）∵y与x2成反比例，∴y＝． ∵当x＝3时，y＝4，∴4＝， 解得k＝36，∴y＝；…………(3分) （2）∵由（1）知y＝， ∴当x＝1.5时，y＝＝16；…………(6分) （3）∵由（1）知y＝， ∴当y＝6，即＝6，解得x＝±．…………(9分) 19.解：（1）0；…………(3分) （2）设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），由条件可得： ﹣4＝a×4×（﹣1）， 解得a＝1， ∴抛物线解析式为y＝（x+4）（x﹣1），即y＝x2+3x﹣4；…………(7分) （3）∵， ∴当时，y有最小值，最小值为， ∵当x＝﹣3时，y＝﹣4；x＝1，y＝0， ∴当﹣3＜x＜1时，则y的取值范围是． 故答案为：．…………(10分) 20.解：（1）∵对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），且点（2，5）在抛物线y＝ax2+bx+c上，将点的坐标分别代入，结合对称轴得： 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；…………(5分) （2）∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3， ∴抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3）， ∴OC＝3， 设P点坐标为（x，x2+2x﹣3）， ∵S△POC＝4S△BOC， ∴， ∴|x|＝4， 解得：x＝﹣4或4． 当x＝4时，得：x2+2x﹣3＝16+8﹣3＝21， 当x＝﹣4时，得：x2+2x﹣3＝16﹣8﹣3＝5． ∴点P的坐标（4，21）或（﹣4，5）；…………(10分) 21.解：（1）95×95；…………(3分) （2）由题意得：y＝（90+x）[90+（10﹣x）]＝（90+x）（100﹣x）＝﹣（x﹣5）2+9025（x＝1，2，3，⋯，8，9）， ∵﹣1＜0， ∴当x＝5时，y有最大值， ∴95×95的值最大；…………(7分) （3）950×950的积最大．理由： 由题意得：w＝（900+a）[900+（100﹣a）]＝（900+a）（1000﹣a）＝﹣（a﹣50）2+902500（a＝1，2，3，⋯，98，99）， ∵﹣1＜0， ∴当a＝50时，w有最大值， ∴950×950的积最大．…………(11分) 22.（1）证明：当y＝0时，x2﹣2mx+4m﹣6＝0， Δ＝（﹣2m）2﹣4（4m﹣6） ＝4m2﹣16m+24 ＝4（m﹣2）2+8， ∵4（m﹣2）2≥0， ∴4（m﹣2）2+8＞0， 即Δ＞0， ∴方程x2﹣2mx+4m﹣6＝0有两个不相等的实数解， ∴无论m取何值，函数的图象与x轴总有两个公共点；…………(4分) （2）解：①∵y＝x2﹣2mx+4m﹣6＝y＝x2﹣2mx+m2﹣m2+4m﹣6＝（x﹣m）2﹣m2+4m﹣6， ∴顶点的坐标为（m，﹣m2+4m﹣6）， ∴n＝﹣m2+4m﹣6； 故答案为：﹣m2+4m﹣6；…………(7分) ②∵0＜x1＜x2＜5， ∴x＝0，y＞0；x＝5时，y＞0， 即4m﹣6＞0且25﹣10m+4m﹣6＞0， 解＜m＜， ∵n＝﹣m2+4m﹣6＝﹣（m﹣2）2﹣2， ∴当m＝2时，n有最大值﹣2， 当m＝时，n＝﹣（m﹣2）2﹣2＝﹣， 当m＝时，n＝﹣（m﹣2）2﹣2＝﹣， ∴n的取值范围为﹣＜n≤﹣2．…………(10分) 23解：（1）∵每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖7件， 若上涨5元，则每个月可卖出：210﹣（5÷1）×7＝175（件）， 每个月的销售利润为：（55﹣35）×175＝3500（元）， 故答案为：175；3500；…………(2分) （2）由题意得：y＝（210﹣7x）（50+x﹣35）＝﹣7x2+105x+3150， ∵每件单价不能高于70元，且x为正整数， ∴50+x≤70， 解得：x≤20， ∴y＝﹣7x2+105x+3150（0＜x≤20且x为整数）；…………(6分) （3）二次函数y＝﹣7x2+105x+3150图象的对称轴为直线， ∵a＝﹣7＜0， ∴二次函数图象开口向下， 根据二次函数图象的对称性可知，当x＝7或x＝8时，二次函数取到最大值﹣7×72+105×7+3150＝3542， ∴当售价定为每件57或58元，每个月的利润最大，最大的月利润是3542元．…………(10分) 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/3 13:30:23；用户：13485152346；邮箱：13485152346；学号：25807289 24.解：（1）A、B为一次函数y＝﹣x+5的图象与二次函数y＝x2+bx+c图象的交点．点A在y轴上，点B的横坐标4， 当x＝0时，得：y＝﹣x+5＝5； 当x＝4时，得：y＝﹣x+5＝1， ∴A（0，5），B（4，1）， 将点A，点B的坐标分别代入二次函数y＝x2+bx+c得：， 解得；…………(4分) （2）由（1）可得：y＝x2﹣5x+5， 设P（m，m2﹣5m+5）， 作PE∥OA交AB于E，如图， 则E（m，﹣m+5），则PE＝4m﹣m2， ∴S△PAB＝S△AEP+S△BEP＝（4m﹣m2）（4﹣0）＝﹣2（m﹣2）2+8， 当m＝2时，最大值为8；…………(8分) （3）∵A（0，5），B（4，1）为一次函数y＝﹣x+5的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的公共点， ∴当x2+bx+c＜﹣x+5时，自变量的取值范围为0＜x＜4．…………(12分) 25.解：（1）当a＝1，c＝2时，y＝x2+4x+2， 令y＝x，则 x2+3x+2＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2， ∴该函数的完美点为P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，﹣2）；…………(4分) （2）令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由题意可得，图象上有且只有一个完美点，∴Δ＝9﹣4ac＝0，则4ac＝9． 又方程根为x＝﹣＝﹣＝， ∴a＝﹣1，c＝﹣， 该二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣；…………(8分) （3）∵y＝﹣x2+4x﹣﹣＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1， ∴该二次函数图象如图所示，顶点坐标为（2，1）， 与y轴交点为（0，﹣3），根据对称规律，点（4，﹣3）也是该二次函数图象上的点．在x＝2左侧，y随x的增大而增大；在x＝2右侧，y随x的增大而减小； ∵当0≤x≤m 时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1， ∴2≤m≤4．…………(12分) 3 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $