精品解析：江苏南通市第二初级中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

南通市第二初级中学2026-2027学年第一学期第一次限时作业九年级数学 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为5，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法判断 4. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数值 B. 随的增大而增大 C. 点在该函数的图象上 D. 图象在第一、三象限 5. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 函数解析式为 B. 蓄电池的电压是18V C. 当时， D. 当时， 6. 如图，过反比例函数上一点作轴于．若，则的值为（ ） A. 3 B. C. 12 D. 7. 如图，是的弦，半径于点D．若，则的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 8. 已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线的对称轴是直线，若，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6小题，11~12每小题3分，13~16每小题4分，共22分）． 11. 若点和点在反比例函数图象上，则与的大小关系是：__________（填“”、“”或“”）． 12. 已知点A（a，2）与点B（3，b）关于原点对称，则a+b的值等于_____． 13. 抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线的关系式为_______． 14. 如图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面，水面宽，水面下降，水面宽度变为 _________ m． 15. 如图，，，可以看做是由绕点顺时针旋转角度得到的，若点在上，则旋转角的大小是_________． 16. 二次函数的图象过点，，，其中，为常数，则的值为_______；的最大值为_______． 三、解答题：（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知是的反比例函数，并且当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）当时，求的值． 18. 如图，内接于，高经过圆心O．若，的半径为5，求的面积． 19. 在平面直角坐标系中，已知，将绕点按顺时针方向旋转后得到． （1）画出； （2）写出点对应点的坐标__________； （3）若点在以为圆心的圆上，则该圆的半径为__________． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点 ，与轴交于点，与轴交于点． （1）求的值； （2）观察函数图象，直接写出不等式的解集； （3）连接，求的面积． 21. “道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） （1）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 （2）请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 （3）在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 22. 某商店销售某种商品的进价为每件20元，这种商品在近30天中的日销售价与日销量的相关信息如表： 时间：第x（天）（1≤x≤30，x为整数） 日销售价（元/件） 36 日销售量（件） 设该商品的日销售利润为w元． （1）求出w与x的函数关系式； （2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 23. 如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段． （1）求点与的距离； （2）求四边形的面积． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与函数的图象交于点． （1）求，的值； （2）将线段绕点逆时针旋转到，连接，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在函数的图象上时，求点的坐标． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数且）． （1）若，求抛物线的顶点坐标； （2）已知和两点在抛物线上，且，当时，都有，求的取值范围． （3）已知二次函数，当时，的取值范围为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通市第二初级中学2026-2027学年第一学期第一次限时作业九年级数学 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，由二次函数顶点式的顶点坐标为，求解即可． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 故选：D． 3. 已知的半径为5，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】点在圆上，则d=r；点在圆外，d>r；点在圆内，d<r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）． 【详解】解：∵OP=6>5，故点P与⊙O的位置关系是点在圆外． 故答案为:C 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系,解题关键是掌握圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO>r；P在⊙O上， PO＝r；P在⊙O内，PO<r 4. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数值 B. 随的增大而增大 C. 点在该函数的图象上 D. 图象在第一、三象限 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案． 【详解】解：A、关于反比例函数，当时，函数值，故A正确； B、关于反比例函数，在或，y随x的增大而增大，故B错误； C、关于反比例函数，点不在该函数图象上，故C错误； D、关于反比例函数，图象在第二、四象限，故D错误； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键． 5. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 函数解析式为 B. 蓄电池的电压是18V C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】将将代入求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C． 【详解】解：设，将代入可得，故A错误； ∴蓄电池的电压是36V，故B错误； 当时，，该项正确； 当当时，，故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 6. 如图，过反比例函数上一点作轴于．若，则的值为（ ） A. 3 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，据此即可求解． 【详解】根据反比例函数k的几何意义可知，， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴，即． 故选：D． 7. 如图，是的弦，半径于点D．若，则的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 连接，设，利用垂径定理得到，再利用勾股定理计算出x即可． 【详解】解：连接， 设， ∵是的弦，半径于点D．， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 解得（舍去）， ∴． 故选：C． 8. 已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：由表格数据可得： ∵函数的对称轴为直线， 当时，；当时，； ∴的较小的根的范围为， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 9. 如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题是旋转的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．过点作于，再过点作边上的高，证明，可得，再用三角形面积公式求解即可． 【详解】如图所示，过点作于，再过点作边上的高， 在中，，，， ，， 由旋转的性质可得，， ， ， ， ， ． 故选：D 10. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线的对称轴是直线，若，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，由，可得，即知，故得，解题关键是根据已知求出b与a的关系． 【详解】∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：D． 二、填空题：（本大题共6小题，11~12每小题3分，13~16每小题4分，共22分）． 11. 若点和点在反比例函数图象上，则与的大小关系是：__________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，可以用直接代入法，进行比较，也可以利用函数增减性进行比较．根据反比例函数在第二象限内的图象随的增大而增大，即可求解． 【详解】解：，且， 函数的两个分支在第二、四象限内，且各象限内的随的增大而增大， 点和点，且， ， 故答案为：． 12. 已知点A（a，2）与点B（3，b）关于原点对称，则a+b的值等于_____． 【答案】-5 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】∵点A（a，2）与点B（3，b）关于原点对称， ∴a＝﹣3，b＝﹣2， 则a+b＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键． 13. 抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线的关系式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移． 按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线的关系式为：，即， 故答案为：． 14. 如图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面，水面宽，水面下降，水面宽度变为 _________ m． 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，求出抛物线解析式，再根据水面下降1m，可得，求得对应的，即可求解． 【详解】解：如图，建立直角坐标系， 则顶点，， 可设抛物线解析式为： 将代入可得：，解得 抛物线解析式为： 水面下降，即，代入抛物线解析式可得： 解得，即 水面宽变为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是建立直角坐标系，正确求得抛物线解析式． 15. 如图，，，可以看做是由绕点顺时针旋转角度得到的，若点在上，则旋转角的大小是_________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】由，，得出，由旋转的性质可得，进而求出的度数，即可得出旋转角的大小． 本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后的两个三角形是全等三角形及等腰三角形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵可以看做是由绕点顺时针旋转角度得到的， ∴， ∴， ∴， ∴旋转角的大小是， 故答案为：． 16. 二次函数的图象过点，，，其中，为常数，则的值为_______；的最大值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用点和点的纵坐标相同，得出对称轴为直线，从而求出；再代入点和点的坐标，表示出和关于的表达式，进而得到的表达式，根据求最大值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象过点，， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将，代入二次函数的解析式可得：，， ∴，， ∴， ∵，对称轴为直线， ∴当时，的值随着的增大而减小， ∴当时，的值最大为， 故答案为：，． 三、解答题：（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知是的反比例函数，并且当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入函数解析式，求出函数值即可. 【小问1详解】 解：设关于的反比例函数解析式为（）； ∵当时，， ∴， 解得 ； ∴关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：将代入， 得 . 18. 如图，内接于，高经过圆心O．若，的半径为5，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，弧与弦的关系，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．连接，勾股定理求得，继而得出，根据三角形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，且经过圆心O，， ∴， ∵的半径为． ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 19. 在平面直角坐标系中，已知，将绕点按顺时针方向旋转后得到． （1）画出； （2）写出点对应点的坐标__________； （3）若点在以为圆心的圆上，则该圆的半径为__________． 【答案】（1） 由题意可得，如图所示的， （2）； （3）5； 【解析】 【分析】本题考查图形的旋转及勾股定理； （1）根据旋转的性质找到，，连接，，即可得到答案； （2）根据旋转图形所在坐标系直接写出点的坐标即可得到答案； （3）根据勾股定理求解即可得到答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：连接如图所示， ， 点，， ， 故答案为：5． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点 ，与轴交于点，与轴交于点． （1）求的值； （2）观察函数图象，直接写出不等式的解集； （3）连接，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合题型，掌握待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据解析式求点坐标是解题的关键． （1）将代入中，即可求出m的值，再代入即可求得n的值； （2）观察函数图象，即可得出的解集； （3）采用待定系数法求得直线的解析式，再令，即可求出，根据即可求出的面积． 【小问1详解】 解：将代入中， 得： 解得： 将代入， 得： 解得：． 【小问2详解】 解：根据图象可得，的解集为：或． 【小问3详解】 解：将、代入 得： 解得： ∴直线的解析式为： 将代入得 ∴，即， 连接， ∴． 21. “道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） （1）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 （2）请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 （3）在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 【答案】（1） （2） （3）车辆的行驶速度应控制在不超过，即 【解析】 【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点即可； （2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值，判断为反比例函数，写出近似函数表达式并标注自变量取值范围即可； （3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的控制范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度的乘积近似等于，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：； 【小问3详解】 解：由题意，要求视野角度不小于度，即，代入函数表达式得： ， 因为行车速度，不等式两边同时乘，不等号方向不变： ， 解得， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过，即． 22. 某商店销售某种商品的进价为每件20元，这种商品在近30天中的日销售价与日销量的相关信息如表： 时间：第x（天）（1≤x≤30，x为整数） 日销售价（元/件） 36 日销售量（件） 设该商品的日销售利润为w元． （1）求出w与x的函数关系式； （2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 【答案】（1） （2）该商品在第22天的日销售利润最大，最大日销售利润是1216元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，列出函数表达式是解题的关键． （1）分和两种情况利用“利润=每件的利润×销售量”列出函数关系式； （2）根据（1）解析式，由函数的性质分别求出的函数最大值和的函数最大值，比较得出结果． 【小问1详解】 当时， ， 当时， ， ∴w与x的函数关系式， 故答案为：； 【小问2详解】 当时， ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为1216； 当时，， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∵， ∴该商品在第22天的日销售利润最大，最大日销售利润是1216元． 23. 如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段． （1）求点与的距离； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据旋转的性质推出为等边三角形，即可得出结果； （2）先证明，再证明为直角三角形，过点作，勾股定理求出的长，分割法求出四边形的面积即可. 【小问1详解】 解：连接， ∵旋转， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，即点与的距离为4； 【小问2详解】 解：∵等边， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴的面积为， 过点作，则， ∴， ∴的面积为， ∵四边形的面积为的面积与的面积之和， ∴四边形的面积为. 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与函数的图象交于点． （1）求，的值； （2）将线段绕点逆时针旋转到，连接，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在函数的图象上时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用反比例函数解析式求出的值得到点的坐标，将点的坐标代入一次函数解析式中，求出的值； （2）先求出点A、B的坐标，过点D作轴于点F，证明，由此求出点D的坐标，由平移知，可求出直线的解析式，再求出直线与反比例函数的图象交点即可得点E的坐标． 【小问1详解】 解：将点代入中，得， 解得， ∴， 将代入中，得； 【小问2详解】 解：由（1）知， 令得；令得， ∴，， ∴，， 如图，过点D作轴于点F， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵直线的解析式为，平移后， ∴设直线解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线解析式为， 令， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数且）． （1）若，求抛物线的顶点坐标； （2）已知和两点在抛物线上，且，当时，都有，求的取值范围． （3）已知二次函数，当时，的取值范围为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求解析式； （1）先求出二次函数的解析式为，再配方求顶点坐标即可； （2）由可得，得到抛物线的解析式为，对称轴为，当根据时， 和都在右侧， 当时， 在对称轴左侧，在对称轴右侧，最后利用增减性求解即可； （3）设过和，且，则方程有解，得到，当时，当时，的取值范围为，得到，，对称轴为直线，整理得， 代入得解不等式即可； 当时，开口向下，当时，的取值范围为或，与矛盾，不合题意． 【小问1详解】 解：若，，则二次函数的解析式为， 配方得：， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为，与轴交点为，， 当时，开口向上，时随的增大而增大， ∵，在抛物线上， ∴， ∴和都在右侧， ∵当时，都有， ∴， 解得， 此时； 当时，开口向下，时随的增大而减小， ∴， ∴在对称轴左侧，在对称轴右侧， ∵关于对称轴的对称点为， ∵当时，都有， ∴， 解得， 此时； 综上所述，或； 【小问3详解】 解：设过和，且， ∴方程有解， ∴， 当时，开口向上， ∴当时，的取值范围为， ∵当时，的取值范围为， ∴，， 即过和， ∴对称轴为直线， 整理得， 把代入得，解得或； 此时； 当时，开口向下， ∴当时，的取值范围为或， ∵当时，的取值范围为， ∴不合题意， 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $