26.4 第3课时抛物线形问题-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

第二十六章二次函数 第3课时 抛物线形问题 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.教材变式题如图所示为一个横断面为抛物线形的桥拱，当水位在1时，水面宽为4m,拱顶（桥拱 的最高点)离水面2m.当水面宽为3m时，水位上升了 () A.0.675m B.0.875m C.0.975m D.1.125m D F B (第1题) (第2题) 2.境生活实际校运会期间，某学校在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线形（如 图).数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离AB=8m,再用两根长度为2的标杆 CE,DF垂直于地面且让标杆端点C,D在拱门上，再测量出两标杆间的距离EF=6m,则此拱 门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为 m. 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 3.如图，在相距2米的两棵树上拴了一根绳子做成一个简易秋千，拴绳子的地方都高出地面 2.6米，绳子自然下垂近似呈抛物线形，当身高1.1米的小朋友距较近的那棵树0.5米时，头部 刚好接触到绳子，则绳子的最低点与地面的距离为 米 跳台A 跳 6米 台支柱 1.1 米 I m C水面 -2米 池边 (第3题) (第4题) 4.舒境体育此赛在2025年第十五届全运会10米跳台比赛中，某运动员从起跳到入水的运动轨 迹可以近似看作是抛物线的一部分.如图，跳台宽度为3，水池边与跳台支柱之间的宽度为 1m.该运动员的起跳点A距离水面10m,运动过程中的最高点B距离水面11.25m,此时与点 A的水平距离为0.5.根据上述信息，可估计入水点C与池边的水平距离为 m. 5.[2025武汉中考]某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动. 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度y(m)与距发球点的水平距离x(m)的部分对应值如下表 (不考虑空气阻力). x/m 0 2 3 5 6 … y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 41 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛 球飞行路线是抛物线y=ax2+bx十1.1的一部分. 【建立模型】(1)求y与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）： (2)羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到2.8？请说明理由. (3)保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其对应的函数解析式变为 y=ax2+kx+1.1,发球点与球网的水平距离是5m.若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度 超过2.1m,且球的落地点与球网的水平距离小于6m.求k的取值范围. y/m 发球点 0 x/m (第5题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 6.中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分.九年级(1)班同学在 进行历史和数学跨学科项目式学习时，进行了方案探究和任务性学习： 【设计方案求倾斜状态下碗里水面的宽度】 问题 图①是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图②是其截面图，瓷碗高度GF=9cm,碗口宽CD= 情境 12cm,CDMN,腕体DEC呈抛物线形（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度GE=8cm. 如图②，以碗底AB的中点F为原点O,以MN为x轴，AB的中垂线FG为y轴，建立平面直角坐 任务 标系，求碗体DEC对应的函数解析式. 任务二 如图②，把碗中的水喝掉一部分后，发现水面下降了2cm至线段PQ处，求此时水面宽度PQ. 如图③，把瓷腕绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面CH与碗口的夹角（∠DCH)为45时 任务三 停止倾斜，求此时腕里水面的宽度CH, y/cm M(0)F Nx/cm @ ③ (第6题) 42 >“答案与解析”见P23三：小辉的说法不对.理由：设菜地的面积为S平方米，则 S=x(48-3x)=-3x2+48x=-3(x-8)2+192 :一3<0，抛物线的对称轴为直线x=8.在取值范围 内，y随x的增大而减小.∴当x=9时，S取得最大值，最 大值为189..189<192，∴.小辉的说法不对. 第2课时最大利润问题 1.B销售量=原销量十多经销的销量，故销售量可以表 示为500+17×500=(-500z+7000)件，故A正 确，不符合题意.销售额可以表示为x(一5000x十70000) 元，故B错误，符合题意.所获利润可以表示为(x一10)· (-5000x+70000)=-5000x2+120000x-700000= [一5000(x一12)2十20000]元，故C正确，不符合题意.所 获利润可以表示为[-5000(x-一12)2+20000]元，则当批 发价为12元/件时，所获利润有最大值20000元，故D正 确，不符合题意！ 2.121当10x20时，设y=kx+b.把(10,20)，(20， 10k+b=20, k=一1， 10)代入，得 。解得 ∴.每天的销售量 20k+b=10, {b=30. y(个)与销售价格x(元/个)的函数解析式为y=一x十30. 设该食品零售店每天销售这款冷饮的利润为w元，则 (x-8)y=(x-8)(-x+30)=-x2+38x-240= 一(x一19)2+121..1<0，∴.当x=19时，有最大值 为121. 3.(1)由题意，设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪 念品的成本为y元.∴ 2r十3y=15,=25·:每 {4x+y=135. (y=35. 个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为 35元.(2)由题意，每套的成本为25+35=60（元），售价 为a元，.每套的利润为(a-60)元.当售价为72元 时，销量为80套，每降价1元销量相应增加10套，∴.销量 为80+10(72一a)=(800一10a)套.∴.W=(a一60)(800 10a)=-10a2+1400a-48000=-10(a-70)2+1000. 一10<0,65≤a≤72且a为整数，∴.当a=70时，每天 的利润最大 4.1264设每份A种快餐降价a元，则每天卖出(40十 2a)份，每份B种快餐涨价b元，则每天卖出(80一2b)份， 总利润为W元.由题意可得，40+2a+80一2b=40+80,解 得a=b,∴.W=(12一a)(40+2a)+(8+a)(80一2a)= -4a2+48a+1120=-4(a-6)2+1264.-4<0, ∴.当a=6时，W取得最大值1264，即两种快餐一天的总 利润最多为1264元. 5.0<a<6设每天缴纳摊位管理费用后的利润为y元. 根据题意，得y=(110一t一40一a)(20十4t),整理，得y= -4t2+4(65-a)t+1400-20a.-4<0,当1≤t≤30(t 为正整数时y随：的谐大而增大5>2”解 得a<6.又a>0,∴.a的取值范围是0<a<6. 6.(1)设y1=.函数y1=kx的图象过点(1,2)，∴k= 2.∴利润y1关于投资量x的函数解析式为y1=2x(x≥ 0).该抛物线的顶点是原点，∴.设y2=ax2.:函数 1 y2=ax2的图象过点(2,2)，2=a·2,解得a=2 利润y关于投资量x的函数解析式为y=2x(x之 0).(2):投人种植花卉m万元(0≤m≤8)，∴.投人种 植树木8-m)万元如=28-m)十号m=号m 1 1 21+16=7(m-2)2+14.，≥0,0≤m8,.当m日 2时，的最小值是14，当m=8时，e的最大值是32. ∴.他能获取的最小利润是14万元，最大利润是32万元. (3)根据题意，当w=22时，(m一2)2+14=2，解得 m=-2(舍去)或m=6,∴.6≤m≤8. 7.(1)设一次函数解析式为y=kx十b.根据题意，得 (40k+b=300, k=一10， 解得 ∴.y与x的函数解析式为 45k+b=250, b=700, y=一10x+700.(2)由表中数据知，每件商品进价为 40X30-3000=30(元)w=(x-30)y=(x-30)· 300 (-10x+700)=一10x2+1000x-21000=-10(x- 50)2十4000.一10<0，∴.当x=50时，最大，最大值 为4000.∴.当该商品的售价是50元/件时，月销售利润最 大，最大利润为4000元.(3)根据题意，得心=(x一30一 m)(-10x+700)=-10x2+(1000+10m)x-21000-700m, 对轴为直线x一-0+号m:一10< 1 0心当x≤50+2m时，w随x的增大而增大.”当x≤ 52时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增 大.且x为整数50+号m>5152.m>a.0< 1 2 m6,.∴.m的取值范围是3<m6. 第3课时抛物线形问题 1.B建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线对应的 函数解析式为y=a.x2十c.由题意，得c=2,点A(2,0),将 3 点A的坐标代人解析式，得0=4u十2，解得a=一号，故地 物线对应的函数解析式为y=一2x2+2当水面宽为 3m,即x-1.5时，则y=-2×1.5+2=0.875,即水位 上升了0.875m ▣/i (第1题) 2号 如图，以AB的中点O为原点，以直线AB为x轴， 以过点O且与直线AB垂直的直线为y轴建立平面直角 坐标系.AB=8m,DF=2m,EF=6m,∴.A(-4,0), B(4,0),D(3,2).设经过A,B,D三点的抛物线对应的函 数解析式为y=a(x+4)(x一4)(a≠0)，.2=a(3+4)· (3一.a=一子经过A,B,D三点的抛物线对拉 的函数解析式为y=一 7(x+4)(x-4).当x=0时，y= 一号×0+40×0-4)一号，即拱门的高度为号m y/m D E F B x/m (第2题) 3.0.6如图，以地面水平线为x轴，左边树所在直线为 y轴建立平面直角坐标系.由题意，可得A(0,2.6),B(2, 2.6),C(0.5,1.1).设函数解析式为y=ax2十bx十c,把 A,B,C三点分别代人，解得a=2,b=-4,c=2.6.∴.y= 2x2-4x+2.6=2(x-1)2+0.6.2>0,∴.当x=1时， y最小=0.6.∴.绳子的最低点与地面的距离为0.6米. y ,6米 2米 (第3题) 4.4如图，以水面所在的直线为x轴，以跳台支柱所在的 直线为y轴建立平面直角坐标系.由题意，得A(3,10), B(3.5,11.25).设抛物线对应的函数解析式为y=a(x 3.5)2+11.25,则10=0.25a+11.25,解得a=-5,∴.y= -5(x-3.5)2+11.25.当y=0时，-5(x-3.5)2+11.25= 0,解得x=2(舍去)或x=5,∴.C(5,0).∴.0C=5m ∴.入水点C与池边的水平距离为5-1=4(m). 个 跳台A 跳 支 1m C水面 x 池边 (第4题)》 5.(1)把(2,2.3)，(3,2.6)代入y=ax2+bx+1.1,得 4a+2b+1.1=2.3, a=-0.1, 解得 9a+3b+1.1=2.6, y=-0.1x2+ b=0.8, 0.8x十1.1=-0.1(x-4)2+2.7.(2)不能.理由： -0.1<0,∴.当x=4时，y有最大值，最大值为2.7 2.8>2.7,∴.羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不 能达到2.8m.(3):保持羽毛球飞行路线对应的抛物 线的形状不变，∴.a=一0.1.∴.解析式为y=一0.1x2十 kx+1.1.当x=5时，y=-0.1×52+5k+1.1>2.1,解得 >0.7.:球的落地点与球网的水平距离小于6m,∴.当 x=11时，y=-0.1×11+11k+1.1<0,解得k<1.∴.k 的取值范围是0.7<k<1. 6.任务-：CD=12cm,GF=9cm,∴.D(-6,9),C(6, 9).EG=8cm,∴.EF=1cm.∴.E(0,1).设抛物线对应 的函数解析式为y=ax2十1.由题意，得36a十1=9，解得a= 号腕体DC对应的团数解析式为y-名2+1 2 (一6≤x≤6).任务二：由题意，得此时液面的纵坐标为9一 2=7.当y=7时，号x2十1=7，解得x=33,= 一33，则液面宽度为63cm任务三：如图，以AB所 在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐 标系，记y轴交HC于点S,交AB于点P,交CD于点O. CD∥AB,OP=8+1=9(cm),∴.CD⊥y轴.又 :∠0CS=45°，∴.∠OSC=45°=∠OCS.∴.OS=OC= 6cm.∴.PS=3cm.∴.S(0,3).设直线CH对应的函数解 6k+b=9, k=1, 析式为y=kx十b,则 ∴.y=x十3. b=3, 解得 b=3, 3 y=x+3, x=- 2 x=6, 联立 解得 -号+1 或《 .点H的坐标 3 y=9, y-2 为().：cH=6-(刀+() cm). D y/cm H/S B -N x/cm (第6题) 专题特训六二次函数与线段长、 角度、图形面积的综合 /9a+3b=3, 1.(1)①A(3,3)为二次函数图象的顶点，∴. b =3, 2a a=- 解得 3”:二次函数解析式为y=-}2十2z b=2 ②正比例函数y=kx的图象经过点A(3,3),.3k= 3..k=1.∴.正比例函数的解析式为y=x.设OD= 40≤≤3.则cD=,PD=号+2=PD- cD=-3+2-4=-32+=-6-2}+ :当=号时，线段PC的长取得最大值子.(2)：二 次函数y=a.z2十bx的图象经过点A(3,3),.9a+3b= 3,即6=1-3a.令ax2+bx=0,解得x1=0,2=- a 二次函数的图象与x轴的一个交点为B(m,0),m>4, m=-么>4.：a<0b>-4a.1-3a>-4a,解 a 得a>一1..a的取值范围是一1<a<0. 2.(1):A(-1,0),B(3,0)在二次函数y=-x2+bx十c 的图象上，设该二次函数为y=一（x一x,)(x一x2), .y=-(x+1)(x-3)..y=-x2+2x+3.(2)①把 x=0代入y=-x2+2x十3，得y=3,∴.C(0,3).延长DC 与x轴相交于点M.B(3,0),C(0,3),∴.OB=OC=3. :∠COB=90°，∴.∠CBO=45°.∠DCB=90°= ∠BCM,∴.∠CMB=90°-∠CB0=90°-45°=45. ∴.∠MO=180°-∠COM-∠CMB=180°-90°-45°= 45°..OM=OC=3,.M(一3,0)..易得直线CM对应 的函数解析式为y=x+3.D是直线CM与二次函数图 y=x+3, x=0, 象的交点，∴联立 。解得 或 y=-x2+2x+3 y=3 =1:D1,40.②：y=-x2+2x+3=- y=4. 1)+4,∴.D(1,4)是抛物线的顶点.如图，过点D作二次 函数图象的对称轴，过点O作OH∥EF,交二次函数图象 的对称轴于点H,连接HE,设DH交x轴于点G.:'OH∥ EF,∴.∠CBO=∠BOH=45°.易知DH⊥x轴，OG= xD=1,∴.OH=√2OG=√2=EF.∴.四边形OFEH是平行 四边形..OF=EH.OG=GH=1,.H(1,一1). .DE+EH≥DH,.当DE+EH=DH时，DE+EH 最小.D(1,4),H(1,-1),∴.DH=5.此时D,E,H三 点共线且DH⊥x轴，∴.点F的坐标为(0,3)与，点C重合， 满足EF在线段BC上.∴.DE十OF的最小值为5. (第2题) 3(1)由题意，把B(9,0),C(0,-3)代人y= 3x2+6x+ c,得3X9+96+c=0. 1 8 6= 3’.抛物线对应的 c=一3， c=一3. 函数解析式为y=号2-号-3.(2)如图①，当点P 在BC下方时，∠PCB=∠OBC,.PC∥OB..点P 与点C关于抛物线的对称轴对称.，·抛物线的对称轴为直 线x=- 3 =4,.点P的坐标为(8，一3.如图②，当 1 2X 点P在BC上方时，设直线PC交x轴于点H.∠PCB= ∠OBC,.CH=BH..CH=BH.设H(m,0),.(0- m)2十(-3-0)2=(9-m)2,解得m=4.∴.H(4,0).设直 线PC对应的函数解析式为y=k1x+b, 3 (4k1+b,=0, k=4':直线PC对应的函数解 b1=一3， 61=一3.