精品解析：湖南长沙市珺琟高级中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

珺琟高级中学2026-2027学年上学期高一第一次月考试卷 数学 时量：120分钟 分值：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解为（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ② 4. 已知集合，且，则（ ） A. B. 或 C. D. 5. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 6. ，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中假命题有（ ） A. “至少有一个，使成立”是存在量词命题 B. 与为同一函数 C. 的最小值为3 D. 集合与集合表示同一集合 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 若实数m，，满足，以下选项中正确的有（ ） A. mn的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若集合只有2个子集，则a的取值集合是__________. 13. 牛栏山一中高一年级某班有学生人，其中音乐爱好者人，体育爱好者人，还有人既不爱好体育也不爱好音乐，则这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有______人． 14. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）已知全集，集合，，求：和： （2）设全集，，，求､. 16. 设命题方程有两个不相等的实数根；命题：对所有的，不等式恒成立. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题一真一假，求实数m的取值范围. 17. 某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. （1）求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； （2）当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 18. 已知关于的不等式. （1）若，求不等式的解集. （2）若，解这个关于的不等式. （3）恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知有限实数集，若，则称A为“和积平衡集”. （1）分别判断集合、集合是否为“和积平衡集”； （2）已知集合M为“和积平衡集”，且，请用列举法表示集合M（不需要说明理由）； （3）已知实数，若集合为“和积平衡集”，是否存在实数z满足，并且使得为“和积平衡集”？若存在，求出所有满足条件的实数，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珺琟高级中学2026-2027学年上学期高一第一次月考试卷 数学 时量：120分钟 分值：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的知识来求得正确答案. 【详解】依题意，. 故选：C 2. 不等式的解为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】直接求解一元二次不等式即可. 【详解】，解得或， 故不等式解集为. 故选：A 3. 设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ② 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的定义逐项判断即可. 【详解】由题意知，函数的定义域为，值域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以①不正确； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系，所以②正确； 对于③中，集合的每个元素在集合N中都有唯一函数值对应，所以③正确； 对于④中，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确. 故选：C. 4. 已知集合，且，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 5. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】“”的否定是: 6. ，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知， ，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，，，则， 若，则，解得； 若且，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 7. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次不等式解集的性质求出，再由分式不等式的解法求出解集即可； 【详解】由题意可得，即， 所以即，等价于， 解得， 所以不等式的解集为， 故选：D. 8. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，代入得，再由均值不等式求解即可. 【详解】由，，可得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中假命题有（ ） A. “至少有一个，使成立”是存在量词命题 B. 与为同一函数 C. 的最小值为3 D. 集合与集合表示同一集合 【答案】BCD 【解析】 【详解】A：“至少有一个”是存在量词，因此该命题是存在量词命题，真命题； B：两者对应关系不同，所以不是同一函数，假命题； C：， 当时，且时取等号，此时， 当时，且时取等号，此时， 因此函数在整个定义域内没有最小值，假命题； D：是抛物线上的点集，而是函数的值域，即数集，两者不是同一集合，假命题. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【详解】A：由和，得，则，故正确； B：反例：，则，此时不成立； C：因为，所以，则，故正确； D：若，则，故错误. 11. 若实数m，，满足，以下选项中正确的有（ ） A. mn的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式解决条件的最值问题求解和为定值或乘积为定值. 【详解】解：对于A，由m，，得，又， 所以，解得，当且仅当， 即，时等号成立， 所以mn最大值为，选项A正确； 对于B，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，选项B错误； 对于C，由，得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，又m，， 所以，选项C错误； 对于D，由m，，，得， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，选项D正确． 故选：AD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若集合只有2个子集，则a的取值集合是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由子集个数判断集合只有一个元素，分和讨论即可求解. 【详解】因为集合只有两个子集，所以集合只有一个元素， 当时，方程的解为，符合题意； 当时，，解得，所以实数取值集合为. 故答案为： 13. 牛栏山一中高一年级某班有学生人，其中音乐爱好者人，体育爱好者人，还有人既不爱好体育也不爱好音乐，则这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有______人． 【答案】 【解析】 【分析】运用集合间关系即可得出结果. 【详解】 由题意作出Venn图，从而求解人数， 设这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有人， 则可得，，解得，， 即这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有人， 故答案为：. 14. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】设不等式的解集为集合，不等式的解集为集合，根据题意可得，根据一元二次不等式的解法分别求出集合，从而可得出答案. 【详解】解：由，得或，即不等式的解集为或， 由，得， 若，则不等式的解为，此时不等式的解集为为， 若，则不等式的解集为或， 若，不等式的解集为或， 若“”是“”的必要不充分条件， 则， 则当时，不满足条件． 当时则满足，即，得， 当时，则满足，得，得， 综上实数的取值范围. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）已知全集，集合，，求：和： （2）设全集，，，求､. 【答案】（1），. （2），. 【解析】 【分析】（1）根据交集、补集的知识求得正确答案. （2）解不等式求得集合，进而求得正确答案. 【详解】（1）依题意，全集，集合，， 所以，； （2），， 所以，. 16. 设命题方程有两个不相等的实数根；命题：对所有的，不等式恒成立. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题一真一假，求实数m的取值范围. 【答案】（1）或 （2）或或 【解析】 【分析】（1）根据命题为真命题，由求解； （2）先由命题为真命题求得的范围，再根据命题一真一假求解. 【小问1详解】 解：若命题为真命题，则， 解得或， 所以实数的取值范围为或. 【小问2详解】 若命题为真命题，则当时，恒成立. 当时，取得最小值0， 则，即，解得 当真假时，，得或， 当假真时，得且， 解得. 综上，实数的取值范围为或或. 17. 某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. （1）求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； （2）当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】（1）， （2）当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【解析】 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【小问1详解】 由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； 【小问2详解】 由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 18. 已知关于的不等式. （1）若，求不等式的解集. （2）若，解这个关于的不等式. （3）恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 不等式解集为 . （2） 当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 . （3） 实数 的取值范围是 . 【解析】 【分析】(1)把代入不等式，因式分解，利用二次函数性质求解集； (2)将不等式因式分解，由，比较两根与的大小，分类写出解集； (3)整理恒成立不等式，分离参数，转化为在区间上恒成立，构造函数，用导数求最大值，得到范围. 【小问1详解】 当时，原不等式为， 整理得，因式分解， 方程的根为， 二次函数开口向上， 故不等式解集为. 【小问2详解】 原不等式因式分解得， 因为，不等式两边同除以，不等号方向改变，得， 方程的两根为，， ①当时，，不等式解集为； ②当时，不等式化为，解集为， ③当时，，不等式解集为. 【小问3详解】 整理， ，恒成立， ，分离参数， 令， 令，由，得，则， 代入分母： 于是， 要使最大，分母要最小，即， 当且仅当，等式成立， 当时， ，满足区间要求， 即， 要使恒成立，则， 故实数的取值范围是. 19. 已知有限实数集，若，则称A为“和积平衡集”. （1）分别判断集合、集合是否为“和积平衡集”； （2）已知集合M为“和积平衡集”，且，请用列举法表示集合M（不需要说明理由）； （3）已知实数，若集合为“和积平衡集”，是否存在实数z满足，并且使得为“和积平衡集”？若存在，求出所有满足条件的实数，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）P不是“和积平衡集”，Q是“和积平衡集” （2） （3）不存在符合题意的实数z，理由如下： 若存在符合题意的实数z，则 ，即，解得或或， 当时，则，，不符合题意. 当时，， 由此可得是方程的实数解. 但此时，方程无实数解，所以不符合题意. 同理，当时，不符合题意 综上，不存在符合题意的实数. 【解析】 【分析】（1）由“和积平衡集”的定义分别计算出集合中的元素之和与积是否相等即可得出结论； （2）易知，可得； （3）利用集合中元素的互异性以及“和积平衡集”中元素的特征，构造方程组解方程可得不存在满足条件的实数. 【小问1详解】 ，集合P不是“和积平衡集” ， 集合Q是“和积平衡集” 【小问2详解】 根据“和积平衡集”的定义可知，， 所以符合题意的集合 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“和积平衡集”的定义，利用元素之和与积相等的性质构造方程求解判断即可得出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $