精品解析：浙江省余姚中学2026-2027学年高二上学期10月质量检测数学试题

余姚中学2026学年第一学期10月质量检测高二数学试卷 说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分． 考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线l的方向向量是 则直线l的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 若向量，，不共面，则下列选项中的三个向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 已知在平面内，，是两个定点，是一个动点，则“为定值”是“点的轨迹是以，为焦点的椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 5. 已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 6. 已知点满足，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 4 7. 设双曲线的左右焦点为，过的直线与双曲线右支交两点，设中点为，若，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，画在纸面上的抛物线过焦点F的弦长为9，则沿x轴将纸面折成平面角为60度的二面角后，空间中线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间中三点，，，则（ ） A. B. 与同向的单位向量是 C. 是平面的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 10. 如图，，是双曲线：与椭圆：（，）的公共焦点，点是，在第一象限的公共点，则（ ） A. B. 的内切圆与轴相切于点 C. 若，则的离心率为 D. 若，则椭圆方程为 11. 已知曲线：，则（ ） A. 曲线上任一点到原点的距离的最小值为 B. 曲线恰有八条对称轴 C. 过点的任意一条直线与曲线的公共点个数均为偶数 D. 曲线所围成的封闭图形的面积满足 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，经过点且方向向量为（）的直线方程为，已知空间中一条直线方程为，则点到直线的距离为__________． 13. 若圆与圆（）的公共弦的长为，则______. 14. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，以、两点为切点作抛物线的切线，两条切线交于点．当时，直线的方程为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量是空间中不共面的三个向量，. （1）若，求的值； （2）若四点共面，求的值. 16. 已知中，，，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）设所在直线与轨迹的另一个交点为，当的面积最大且点在第一象限时，求的值. 17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点． （1）求的周长； （2）设点在椭圆上，记与的面积分别为，，若，求点的坐标； （3）设点与点关于原点对称，点在椭圆上运动，若直线的斜率，求直线的斜率的取值范围． 18. 如图，在三棱柱中，平面，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点H，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 19. 已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，虚轴长为6. （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与的右支交于两点，若直线与交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）若直线与交于点，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 余姚中学2026学年第一学期10月质量检测高二数学试卷 说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分． 考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线l的方向向量是 则直线l的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率与倾斜角，方向向量的关系求解 【详解】由直线l的方向向量是得直线的斜率为， 设直线的倾斜角是， 故选：C. 2. 若向量，，不共面，则下列选项中的三个向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量共面定理即可判断得出结论. 【详解】对于A，，因此三个向量共面； 对于B，，因此三个向量共面； 对于C，若，，共面，则存在实数， 使得，故， 这与题干向量，，不共面矛盾， 故，，不共面； 对于D，，因此三个向量共面. 3. 已知在平面内，，是两个定点，是一个动点，则“为定值”是“点的轨迹是以，为焦点的椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】必要性：点的轨迹是以，为焦点的椭圆，则为定值，且，故必要性成立. 充分性：当为定值，且时，点的轨迹是线段； 当为定值，且时，无轨迹； 当为定值，且时，点的轨迹是以，为焦点的椭圆. 所以“为定值”推不出“点的轨迹一定是椭圆”，故充分性不成立. 综上，“为定值”是“点的轨迹是以，为焦点的椭圆”的必要不充分条件. 4. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果. 详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以, 因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 5. 已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程得出不等式计算即可. 【详解】设点关于直线对称的点，则，解得. 因为在外，所以，可得 且表示圆可得，即得 综上可得. 故选：C. 6. 已知点满足，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立， 故选：C. 7. 设双曲线的左右焦点为，过的直线与双曲线右支交两点，设中点为，若，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得 是等腰直角三角形，运用双曲线定义可得，，在 中，利用余弦定理即可解得离心率. 【详解】解：根据题意可知，过的直线斜率存在， 中点为， 又 又 在 中，由余弦定理 整理得：且 ，所以 是等腰直角三角形. 设，则， 在 中，由勾股定理得： 由双曲线定义可知： 由双曲线定义可知： 且 整理得： 在 中，，， 由余弦定理可得： 代入计算得： 离心率e＝ 故选：A. 8. 如图，画在纸面上的抛物线过焦点F的弦长为9，则沿x轴将纸面折成平面角为60度的二面角后，空间中线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程得到韦达定理，结合焦半径公式可得，进而根据线面垂直，以及二面角的定义得，根据锐角三角函数计算长度，可得，利用两点距离公式即可求解. 【详解】，设直线为，， 联立与可得， 则，则， 故，解得， 故，解得， 故， 如图，建立空间直角坐标系，过作平面于，过作于，连接， 由于轴，且轴，，故轴平面， 平面，故轴，则 由于在直角坐标系中， 故， 因此在直角三角形中，， 因此在空间直角坐标系中，， 故， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间中三点，，，则（ ） A. B. 与同向的单位向量是 C. 是平面的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的模及单位向量的定义判断AB选项的正误；根据法向量定义判断C选项正误；根据投影向量的概念判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，，，故A选项正确； 对于B选项，，与同向的单位向量是，故B选项错误； 对于C选项，，由于与共面且不共线， ，， 所以是平面的一个法向量，故C选项正确； 对于D选项，，， 在上的投影向量的模为，故D选项正确. 10. 如图，，是双曲线：与椭圆：（，）的公共焦点，点是，在第一象限的公共点，则（ ） A. B. 的内切圆与轴相切于点 C. 若，则的离心率为 D. 若，则椭圆方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据双曲线求得焦点坐标及焦距，根据椭圆的标准方程判断即可；对于B，根据切线长定理及双曲线、椭圆的定义求解即可；对于C，根据椭圆的定义求出，进而求离心率即可；对于D，根据双曲线、椭圆的定义及完全平方公式求解即可. 【详解】对于A，双曲线：，，所以，则. 故焦点，.则，A错误. 对于B，设的内切圆切轴于点，切于点，切于点. 则，，， 由双曲线定义得， （*）， 又，，代入（*）解得，故切点为，B正确. 对于C，若，则. 双曲线：，所以. 椭圆：，则，所以. 故椭圆的离心率为，C错误. 对于D，若，则. 又，则， 所以，则， 即，则，， 故椭圆方程为，D正确. 11. 已知曲线：，则（ ） A. 曲线上任一点到原点的距离的最小值为 B. 曲线恰有八条对称轴 C. 过点的任意一条直线与曲线的公共点个数均为偶数 D. 曲线所围成的封闭图形的面积满足 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先由条件确定曲线为或，画出曲线的图象，结合双曲线的对称性和性质，直线与双曲线的交点个数问题，判断选项. 【详解】由曲线可知，或， 即或或或， 如图，分别画出曲线的图象， 这4个双曲线都关于轴，轴，和对称， 如图，还有过两个曲线交点且过原点的直线也是对称轴，所以曲线有8条对称轴，故B正确； 根据对称性可知，双曲线的顶点到原点的距离最小， 不妨研究落在轴正半轴的顶点到原点的距离，时，，即， 此时顶点到原点的距离为，所以曲线上任一点到原点的距离的最小值为，故A正确； 如图，当过点的直线与的左支相切时，此时有5个交点，分别是与有2个交点， 与有2个交点，还有1个切点，共5个交点，为奇数，故C错误； 如图，根据对称性，以原点为圆心以为半径的圆在封闭图形的内部，此时圆的面积为， 设与在第一象限的交点为，， 如图，连接与的交点，得到正八边形， 正八边形的面积为，封闭图形在正八边形的内部， 所以，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，经过点且方向向量为（）的直线方程为，已知空间中一条直线方程为，则点到直线的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件先确定直线的方向向量，进而根据向量模的坐标公式和勾股定理求出结果即可. 【详解】因为直线的方程为，所以直线经过点，且为一个方向向量， 又点的坐标为，所以， 故点到直线l的距离为． 13. 若圆与圆（）的公共弦的长为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】将两圆的方程作差可得两圆的相交弦的直线方程，再求出圆心到相交弦所在直线的距离，根据弦心距三角形可建立方程，可求得的值. 【详解】已知两个圆的方程分别为与， 将两个圆作差可得相交弦的直线方程为， 所以可得：圆心到直线的距离， 由此可得：，又，解得：. 故答案为： 14. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，以、两点为切点作抛物线的切线，两条切线交于点．当时，直线的方程为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】设的方程为，，，利用切线方程联立即可求出，根据弦长公式求、，再根据，将代入即可求出结果. 【详解】抛物线的焦点的坐标为， 若直线的斜率为，则直线与抛物线有且只有一个交点，与条件矛盾， 所以可设的方程为，、， 联立，化简可得， 方程的判别式，故， 设抛物线在点处的切线方程为， 联立，化简可得， 由已知方程的判别式， 所以，即，所以， 抛物线在点处的切线方程为， 同理可得，抛物线在点处的切线方程为， 联立，即点. 根据弦长公式可得， 同理可得：， 所以， 又因为，所以解得，所以， 当时，，此时，直线的方程为， 当时，，此时，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量是空间中不共面的三个向量，. （1）若，求的值； （2）若四点共面，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的运算得到以及，再根据与的关系列得方程组，即可求得结果； （2）根据四点共面得到，可用和表示出和，即可求出结果. 【小问1详解】 由题可得： ， ， 因为，所以， 即解得 所以的值分别为； 【小问2详解】 因为四点共面，所以存在，使得， 即， 于是有 所以， 即的值为. 16. 已知中，，，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）设所在直线与轨迹的另一个交点为，当的面积最大且点在第一象限时，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据条件得，化简即可求解； （2）根据条件得，进而求出直线的方程，再利用弦长公式，即可求解. 【小问1详解】 设，由，得， 整理得到，又点不能在轴上， 所以点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 由题意可得，当到x轴距离最大时，即纵坐标最大时满足题意， 此时，所以， 所在直线方程为，即， 又圆心到直线的距离，半径， 可得. 17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点． （1）求的周长； （2）设点在椭圆上，记与的面积分别为，，若，求点的坐标； （3）设点与点关于原点对称，点在椭圆上运动，若直线的斜率，求直线的斜率的取值范围． 【答案】（1）6 （2）或 （3）​ 【解析】 【分析】（1）利用椭圆定义，将两条焦半径之和转化为长轴长． （2）两三角形同底，将面积比转化为点到直线的距离比，再联立直线与椭圆方程求点的坐标． （3）利用关于原点对称的两点坐标及椭圆方程作差，求出两条直线斜率的乘积，再由已知斜率范围求所求范围． 【小问1详解】 由椭圆方程得，，，由椭圆定义得，因此的周长为． 【小问2详解】 因为点在椭圆上且在第一象限内，，又，，所以，从而直线的方程为． 设，因为与以为公共底边，且，所以点到直线的距离等于点到直线距离的3倍，即，得或． 由得，其判别式，故无实数解； 由得，解得或，代入，对应得或． 因此点的坐标为或． 【小问3详解】 由（2）中直线的方程与椭圆方程联立，得，两根为和，故． 设，，则，且． 由存在知，若，则由椭圆方程得，此时或，均不在内，故，直线的斜率存在． 将两点满足的椭圆方程相减，得，所以． 由及，得，且两端点分别在和时取得． 18. 如图，在三棱柱中，平面，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点H，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明如下： 由题意知在三棱柱中，平面，平面， 则，，又，建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，， 得，所以． （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）根据，，，建立空间直角坐标系，由证明； （2）求得平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为θ，由求解； （3）假设存在满足题意的点，设，求得平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，由求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，，，，． ∴，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 设直线与平面所成的角为θ， 则， ∴与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由（1）（2）知：，，，， 假设存在满足题意的点，设， 则， 得，解得， 即，所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令解得： 所以 又∵平面的一个法向量为 ∴． 整理得，由，得． 即当点H为的中点时，平面与平面所成角的余弦值为， 此时，即． 19. 已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，虚轴长为6. （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与的右支交于两点，若直线与交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）若直线与交于点，求的值. 【答案】（1） （2） （i） 证明:设直线方程为:，设， 联立方程，消去得:， ， ， 是双曲线上的点， ， 直线，同理直线， 联立方程得 ， 解得，故点在定直线上. （ii） 【解析】 【分析】（1）由直接求出双曲线方程即可； （2）（i）设直线方程和设，直曲联立表示出韦达定理，利用点在双曲线上代入化简表示出直线方程，联立两方程化简即可；（ii）设，利用点在直线上表示出和点在直线上表示出，再利用数量积的坐标表示结合韦达定理化简即可； 【小问1详解】 设双曲线的标准方程为， 依题意有， 所以双曲线方程为. 【小问2详解】 (i)略 (ii)由双曲线对称性可知，点也在直线上， 设，点在直线上，所以， 点在直线上，所以， 所以 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第二问第一小问的关键在于直曲联立，借助韦达定理化简两直线方程；本题第二问的第二小问的关键在于坐标表示出向量的数量积并结合韦达定理化简； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $