精品解析：浙江省金华市曙光学校2026-2027学年第一学期第一次阶段考高二年级数学试题

曙光学校2026－2027学年第一学期第一次阶段考试 高二年级数学试题卷 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分共40分.） 1. 已知直线的斜率为,则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜率和倾斜角之间的关系即可得倾斜角. 【详解】解:因为斜率为-1,设直线倾斜角为,, 所以,即. 故选:D 2. 设向量则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线得，解出即可求解. 【详解】 故选：D. 3. 三棱锥中，，点是的重心，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的知识求得正确答案. 【详解】延长，交于，由于点是的重心，所以是的中点， 所以 . 故选：D 4. 空间四边形中，，，，点为中点，点为靠近的三等分点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的加减法规则,运算即可得出结果. 【详解】在四面体ABCD中，，，， 点为中点，点为靠近的三等分点，则 故选：D. 5. 设向量，，若，则正实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的夹角公式结合向量的数量积与模长公式进行计算即可. 【详解】因为，则有， ， 解得，由题得，故. 故选：B 6. 已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列各点在平面内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设平面内的一点为，由可得，进而可得满足的方程， 将选项代入检验即可得正确选项. 【详解】设平面内的一点为(不与点重合)，则， 因为是平面的一个法向量， 所以，所以， 即， 对于A：，故选项A不正确； 对于B：，故选项B正确； 对于C：，故选项C不正确； 对于D：，故选项D不正确， 故选：B. 7. 桁架桥指的是以桁架作为上部结构主要承重构件的桥梁．桁架桥一般由主桥架，上下水平纵向联结系，桥门架和中间横撑架以及桥面系组成．下面是某桁架桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成．其中，那么直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，建系标点，可得，利用空间向量求线线夹角. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 可得， 设直线与直线所成角为， 则， 故直线与直线所成角的余弦值为． 故选：D. 8. 在三棱锥中，与中点分别为，点G为中点．若D在上满足，E在上满足，平面交于点F，且，则λ的值为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，结合四点共面，即可得到结果. 【详解】 由题意得，， ∵，，，∴，，， ∴， ∵四点共面， ∴，解得. 二、多选题 9. 空间直角坐标系中，坐标原点到下列各点的距离不大于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间两点的距离公式计算可得. 【详解】因为，故A正确， ，故B正确， ，故D正确， ，故C错误． 故选：ABD 10. 下列各组向量中共面的有（　　） A. =（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5） B. =（1，2，-1），=（0，2，-4），=（0，-1，2） C. =（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，-1） D. =（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1） 【答案】ABC 【解析】 【分析】三个向量中如果两个向量共线或者其中一个向量可以用其他两个向量进行表示可以判定三个向量共面. 【详解】选项A中，设，则解得故存在实数使得，因此共面. 选项B中，选项C中.故B，C中三个向量也共面. 选项D中，设，则显然无解，故不共面. 故选：ABC. 11. 在长方体中，，底面是边长为3的正方形，，则下列选项正确的有（ ） A. ，三棱锥的体积是定值 B. 当时，存在唯一的使得平面 C. 当时，的周长取得最小值 D. 当直线与所成角的余弦值为时，的值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用锥体体积公式可判断A选项；由平面可得，设，结合勾股定理建立方程可求得，进而判断B；将四边形展开到一个平面上，连接，交于E点，分析易得E为的中点，进而分析求解即可；建立空间直角坐标系利用空间向量建立方程求解判断D. 【详解】对于A，由于平面，故E到平面的距离为定值3， 而的面积为，故三棱锥的体积为，为定值，A正确； 对于B，当时，，若平面， 而平面，故，设， 则，， 即，， 即，解得， 即当时，上存在两个不同的点E，使得平面， 由于，即存在不同的使得平面，B错误； 对于C，如图，将四边形展开到一个平面上，连接，交于E点， 由于，故为三角形的中位线，即E为的中点， 则，此时的值最小，即的周长取得最小值，C正确； 对于D，如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 由于，故，则， 故， 则， 解得（负值舍去），D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据A，B，D三点共线可得，即可得到关于的方程组，即可解出． 【详解】因为，， 则， 又，而A，B，D三点共线， 所以存在，使得， 即，所以，解得． 故答案为：． 13. 已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用斜率计算公式可得，，根据直线过点且与线段相交，数形结合即可求出直线的斜率的取值范围． 【详解】因为，，， 所以，． 直线过点且与线段相交，如下图所示： 或， 直线的斜率的取值范围是：． 故答案为：． 14. 已知中，，，，AB上有一点P，沿PC将折成一个直二面角，若此时，则二面角的正弦值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出，作于D，于点，于点，连，由面面垂直证明平面，再证平面，得，设，利用列方程求出.即得，如图建系，分别求得平面和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得二面角的正弦值. 【详解】 对折后，在中，，，， 由余弦定理， ，可得. 如图，作于D，在内，作于点， 在内，过作于点，连. 因平面平面，平面平面， 平面，故平面， 又平面，则，因平面，则平面， 因平面，故. 设，则，因 ，， 在中，，解得，则，. 以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则平面即平面，其法向量可取为， 因， 则， 故， 设平面的法向量为，则，故可取， 设二面角的平面角为，则， 故. 故答案为：. 四、解答题 15. 直线过点，且倾斜角为. （1）求直线的方程； （2）求直线与坐标轴所围成的三角形面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据倾斜角得到斜率，再由点斜式，即可得出结果； （2）分别求出直线与坐标轴的交点坐标，进而可求出三角形面积. 【详解】（1）∵倾斜角为，∴斜率， ∴直线的方程为：，即； （2）由（1）得，令，则，即与轴交点为； 令，则，以及与轴交点为； 所以直线与坐标轴所围成的三角形面积为. 16. 如图，在正方体中，化简向量表达式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，， 所以. 17. 如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，，点E在CC1上且． （1）求平面BED的一个法向量； （2）证明：A1C⊥平面BED． 【答案】（1） （2）证明：由（1）知平面BED的一个法向量为：， 又， 所以与平面BED的一个法向量共线， 即可证明：A1C⊥平面BED. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用法向量的性质即可求解； （2）只需证明与平面BED的法向量共线即可. 【小问1详解】 如图所示： 以为坐标原点，射线分别为轴的 正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系：； 依题知，，，， ，， 则有，，， 设平面BED的一个法向量为：， 则有，即， 令，解得：，， 故平面BED的一个法向量为：； 【小问2详解】 略 18. 如图，在正三棱柱中，为侧棱的中点． （1）求证：平面平面． （2）若，求平面与平面所成二面角的大小． 【答案】（1）证明：连接，交于点，再连接、、, 根据题意得，四边形是矩形，则M为的中点． 因为为侧棱的中点，所以, 在和中，两组直角边相等， 根据勾股定理得两条斜边相等，即，所以，同理可证． 因为与交于点M，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一、线面垂直的判定定理先证明E与中点的连线垂直于平面，再用面面垂直的判定定理证明即可； （2）先找出二面角两个平面的法向量，得出即是二面角的大小，从而求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，三个侧面均为正方形， 由，同（1）易证，且都在面内， 所以面，故是面的一个法向量， 由题设知：是面的一个法向量，且平面与平面所成二面角是锐角， 由图知：所成二面角的大小为 【点睛】 19. 如图，在多面体中，侧面为菱形，侧面为直角梯形，为的中点，点为线段上一动点，且． （1）若点为线段的中点，证明：平面； （2）若平面平面，且，问：线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 取中点，连接，， 因为分别为中点， 所以，， 因为四边形为菱形，为中点， 所以，， 所以，，则四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以∥平面. （2）存在，，理由如下： 取中点，连接， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面，平面， 所以，， 因为，四边形为菱形， 所以三角形为等边三角形， 因为为中点， 所以，， 所以两两垂直， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，，，，，， 设，则，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以， ， 所以， 所以线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 此时. 【解析】 【分析】（1）根据中位线和平行四边形的性质得到，然后根据线面平行的判定定理证明； （2）建系，然后利用空间向量的方法列方程，解方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曙光学校2026－2027学年第一学期第一次阶段考试 高二年级数学试题卷 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分共40分.） 1. 已知直线的斜率为,则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 设向量则（ ） A. B. C. D. 3. 三棱锥中，，点是的重心，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 空间四边形中，，，，点为中点，点为靠近的三等分点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 设向量，，若，则正实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列各点在平面内的是（ ） A. B. C. D. 7. 桁架桥指的是以桁架作为上部结构主要承重构件的桥梁．桁架桥一般由主桥架，上下水平纵向联结系，桥门架和中间横撑架以及桥面系组成．下面是某桁架桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成．其中，那么直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，与中点分别为，点G为中点．若D在上满足，E在上满足，平面交于点F，且，则λ的值为（     ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 空间直角坐标系中，坐标原点到下列各点的距离不大于的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列各组向量中共面的有（　　） A. =（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5） B. =（1，2，-1），=（0，2，-4），=（0，-1，2） C. =（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，-1） D. =（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1） 11. 在长方体中，，底面是边长为3的正方形，，则下列选项正确的有（ ） A. ，三棱锥的体积是定值 B. 当时，存在唯一的使得平面 C. 当时，的周长取得最小值 D. 当直线与所成角的余弦值为时，的值为 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则________． 13. 已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是____________ 14. 已知中，，，，AB上有一点P，沿PC将折成一个直二面角，若此时，则二面角的正弦值为_________． 四、解答题 15. 直线过点，且倾斜角为. （1）求直线的方程； （2）求直线与坐标轴所围成的三角形面积. 16. 如图，在正方体中，化简向量表达式： （1）； （2）． 17. 如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，，点E在CC1上且． （1）求平面BED的一个法向量； （2）证明：A1C⊥平面BED． 18. 如图，在正三棱柱中，为侧棱的中点． （1）求证：平面平面． （2）若，求平面与平面所成二面角的大小． 19. 如图，在多面体中，侧面为菱形，侧面为直角梯形，为的中点，点为线段上一动点，且． （1）若点为线段的中点，证明：平面； （2）若平面平面，且，问：线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $