2026-2027学年人教版九年级数学上册第一次月考试卷

2026—2027 学年第一学期第一次学情调研 九年级数学试题 （人教版·2024 审定新教材 范围：第25章 一元二次方程 ＋ 第26章 二次函数） 满分 120 分 考试时间 120 分钟 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. x + 2y = 1 B. x² + 3x − 1 = 0 C. 2x + 3 = 0 D. 1/x + x² = 2 2. 把方程 3x(x − 1) = 5(x + 2) 化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，−8，−10 B. 3，−3，10 C. 3，8，−10 D. 3，−8，10 3. 方程 x² = 16 的解是（ ） A. x = 4 B. x = −4 C. x₁ = 4，x₂ = −4 D. x = ±8 4. 用配方法解方程 x² − 4x − 1 = 0，配方结果正确的是（ ） A. (x − 2)² = 5 B. (x − 2)² = 3 C. (x + 2)² = 5 D. (x − 4)² = 17 5. 一元二次方程 x² − 2x + 3 = 0 的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 6. 已知 x = 1 是关于 x 的方程 x² + mx − 3 = 0 的一个根，则 m 的值为（ ） A. 2 B. −2 C. 3 D. −3 7. 抛物线 y = −2x² + 3 的开口方向与顶点坐标分别是（ ） A. 开口向上，顶点(0，3) B. 开口向下，顶点(0，3) C. 开口向下，顶点(3，0) D. 开口向上，顶点(0，−3) 8. 抛物线 y = (x − 1)² + 2 的对称轴是（ ） A. 直线 x = 1 B. 直线 x = −1 C. 直线 x = 2 D. 直线 x = −2 9. 某厂一月份产值为 100 万元，三月份产值为 121 万元，设该厂产值的月平均增长率为 x，则所列方程正确的是（ ） A. 100(1 + x)² = 121 B. 100(1 + 2x) = 121 C. 100(1 − x)² = 121 D. 100 + 100(1+x) + 100(1+x)² = 121 10. 如图是二次函数 y = ax² + bx + c 的图象，下列结论正确的是（ ） A. a > 0 B. b < 0 C. c > 0 D. b² − 4ac < 0 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11. 方程 (x − 1)(x + 2) = 0 的两根是        12. 若关于 x 的方程 (m − 1)x^(m² + 1) + 2x − 3 = 0 是一元二次方程，则 m =        13. 方程 x² − 5x + 6 = 0 的两根之和为        14. 抛物线 y = 3(x + 1)² − 2 的顶点坐标是        15. 二次函数 y = x² − 2x − 3 中，当 y 随 x 的增大而减小时，x 的取值范围是        16. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 x² − 7x + 12 = 0 的两个根，则它的斜边长是        三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（6 分）解下列方程： （1）x² − 9 = 0； （2）x² − 5x = 0． 18.（8 分）解下列方程： （1）用配方法解方程 x² + 6x − 7 = 0； （2）用公式法解方程 2x² − 3x − 2 = 0． 19.（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x² − 4x + 2k = 0 有两个不相等的实数根。 （1）求 k 的取值范围；（4 分） （2）当 k 取最大整数时，求此时方程的根．（4 分） 20.（8 分）已知抛物线 y = x² − 4x + 3。 （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴；（4 分） （2）求该抛物线与 x 轴的交点坐标．（4 分） 21.（8 分）如图，抛物线 y = ax² 经过点 P(2，4)。 （1）求 a 的值；（2 分） （2）判断点 Q(−1，1) 是否在该抛物线上，并说明理由；（3 分） （3）当 −2 < x < 1 时，求 y 的取值范围．（3 分） 22.（8 分）某书店九月份销售图书 500 册，十一月份销售图书 720 册。 若每月销售量的平均增长率相同，求这个平均增长率。 23.（10 分）如图，在一块长 20 m、宽 14 m 的矩形空地上，中间修建一个矩形花圃， 花圃四周留出宽度都为 x m 的小路（阴影部分）。若花圃面积为 72 m²，求小路的宽 x。 24.（10 分）如图，已知二次函数的图象与 x 轴交于 A(−1，0)、B(3，0) 两点，与 y 轴交于点 C(0，−3)。 （1）求这个二次函数的解析式；（4 分） （2）写出它的顶点坐标和对称轴；（3 分） （3）当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？（3 分） 参考答案及评分标准 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1—5．B A C A C 6—10．A B A A C 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11．x₁ = 1，x₂ = −2 12．−1 13．5 14．(−1，−2) 15．x < 1 16．5 三、解答题（共 66 分） 17．（6 分，每小题 3 分） （1） x₁ = 3，x₂ = −3；（3 分） （2）x₁ = 0，x₂ = 5．（3 分） 18．（8 分，每小题 4 分） （1）移项得 x² + 6x = 7，配方得 (x + 3)² = 16， x + 3 = ±4，所以 x₁ = 1，x₂ = −7；（4 分） （2）a = 2，b = −3，c = −2，Δ = b² − 4ac = 9 + 16 = 25 > 0， x = (3 ± 5)/4，所以 x₁ = 2，x₂ = ．（4 分） 19．（8 分） （1）由题意 Δ = (−4)² − 4×1×2k = 16 − 8k > 0，（2 分） 解得 k < 2；（2 分） （2）k < 2 中的最大整数为 k = 1，此时方程为 x² − 4x + 2 = 0，（1 分） x = (4 ± )/2 = 2 ± ，即 x₁ = 2 + ，x₂ = 2 − ．（3 分） 20．（8 分） （1）y = x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1，（2 分） 所以顶点坐标为 (2，−1)，对称轴为直线 x = 2；（2 分） （2）令 y = 0，x² − 4x + 3 = 0，(x − 1)(x − 3) = 0， 所以抛物线与 x 轴的交点为 (1，0) 和 (3，0)．（4 分） 21．（8 分） （1）把 P(2，4) 代入 y = ax²，得 4 = a·2² = 4a，所以 a = 1；（2 分） （2）该抛物线为 y = x²，当 x = −1 时，y = (−1)² = 1，与 Q 的纵坐标相等， 所以点 Q(−1，1) 在该抛物线上；（3 分） （3）y = x² 开口向上，顶点为 (0，0)，在 −2 < x < 1 内， 当 x = 0 时 y 取最小值 0；当 x 趋近 −2 时 y 趋近 4（取不到），所以 0 ≤ y < 4．（3 分） 22．（8 分） 设平均每月的增长率为 x，由题意得 500(1 + x)² = 720，（3 分） (1 + x)² = 1.44，1 + x = 1.2（1 + x = −1.2 不合题意，舍去），（3 分） x = 0.2 = 20%．答：平均每月的增长率为 20%．（2 分） 23．（10 分） 由题意，花圃的长为 (20 − 2x) m，宽为 (14 − 2x) m，（2 分） 列方程 (20 − 2x)(14 − 2x) = 72，（3 分） 整理得 x² − 17x + 52 = 0，解得 x₁ = 4，x₂ = 13．（3 分） 当 x = 13 时，14 − 2x = −12 < 0，不合题意，舍去；所以 x = 4． 答：小路的宽为 4 m．（2 分） 24．（10 分） （1）设解析式为 y = a(x + 1)(x − 3)，把 C(0，−3) 代入，得 −3 = −3a， 所以 a = 1，y = (x + 1)(x − 3) = x² − 2x − 3；（4 分） （2）y = (x − 1)² − 4，顶点坐标为 (1，−4)，对称轴为直线 x = 1；（3 分） （3）a = 1 > 0，抛物线开口向上，在对称轴右侧 y 随 x 的增大而增大， 所以当 x > 1 时，y 随 x 的增大而增大．（3 分） 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $