第1-3章阶段巩固卷-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

第1-3章阶段巩固卷-2026-2027学年数学八年级上册北师大版 一、单选题 1．下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点一定在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．下列各组数，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．在中， ，则（　　） A． B． C． D． 5．已知点和关于轴对称，则的值为（     ） A． B． C． D．无法确定 6．已知、、是三角形的三边长，若满足，则这个三角形的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 7．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，则树高为（     ） A．米 B．米 C．4米 D．米 8．下列运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 9．已知，那么（     ） A． B．1 C．2 D． 10．在平面直角坐标系中，对于点，把点叫作点的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．的平方根是_______；的立方根是_______；的倒数是________． 12．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称，则的值为___________． 13．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是，，，若与全等（点P与点C不重合），则点P的坐标为__________． 14．在中，，斜边上的高为，则两直角边的和与斜边与高的和的大小关系是_________（填“”、“”、“”）． 15．如图，两个较小正方形的面积分别为9，16，则字母A所代表的正方形的面积为_______． 16．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： ，， 已知，，则_______，_______． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．如图所示的一块草地．已知，，，，且，求这块草地的面积． 19．已知的算术平方根是2，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 20．中，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动时间为秒． (1)如图：1，在点运动的过程中，以为折痕折叠，求出点恰好落在边上处时的值． (2)如图2，在点运动的过程中，请直接写出当为等腰三角形时，点运动的时间t是_____秒． 21．在平面直角坐标系中，已知点，点． (1)若点满足轴，且，求点的坐标； (2)若点在轴正半轴上，且，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使的值最小？若存在，请直接写出点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由． 22．阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，徐老师出了一道题“已知，求的值”．聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以， 所以，所以， 所以，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ． ； (2)比较大小： （填，，，或中的一种）； (3)计算：； (4)若，求的值． 23．如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，为轴正半轴上一点，连接，． (1)求点的坐标： (2)如图，为轴负半轴上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，用含的式子表示（不用写出的取值范围）； (3)如图，在（2）的条件下，为轴负半轴上左侧一点，连接，过作，连接，，，若，求的值． 24．综合与实践．如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【知识迁移】 (1)把两个全等的和如图②放置，其三边长分别为a，b，c，，显然，用a，b，c分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理； 【方法运用】 (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，则边上的高为　　； 【拓展延伸】 (3)如图④，在中，是边上的高，，，，设，请直接写出x的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第1-3章阶段巩固卷-2026-2027学年数学八年级上册北师大版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C C C D D A B A 1．D 【分析】无理数是无限不循环小数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是分数，是有理数，不是无理数； B、是整数，是有理数，不是无理数； C、是有限小数，是有理数，不是无理数； D、是无理数． 2．A 【详解】解：∵点，， ∴点一定在第一象限. 3．C 【分析】判断一组数是否为勾股数，需要同时满足三个数均为正整数且较小两数的平方和等于最大数的平方，依次对选项进行判断即可． 【详解】选项A：，，不满足三个数均为正整数，排除； 选项B：，，不满足三个数均为正整数，排除； 选项C：，，满足三个数均为正整数，且，满足勾股数的条件，故，，为一组勾股数； 选项D：，，满足三个数均为正整数，，，，由于，不满足较小两数的平方和等于最大数的平方，排除． 4．C 【分析】根据勾股定理，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，即可求解． 【详解】解：在中，，， ． 5．C 【分析】根据关于 x 轴对称的两点：横坐标相等，纵坐标互为相反数，得到，，进而求出式子的值. 【详解】解：点和关于x轴对称， ∴，， 解得，， ， . 6．D 【分析】根据非负数的性质求出三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∵、、是三角形的三边长，，即， ∴此三角形是直角三角形． 7．D 【分析】根据勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， 故树高为米. 8．A 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 9．B 【详解】解：∵，，， ∴，， 即，， 解得：，， ∴． 10．A 【分析】由题意可得，再找出规律求解即可． 【详解】解：点的坐标为 ∴， 观察发现，每6个点为一个循环． ， 点的坐标与点的坐标相同，为． 11． 【详解】解：，4的平方根是，即的平方根是； 的立方根是， 的倒数是，，即的倒数是． 12． 【详解】解：因为点与点关于y轴对称， 所以点与点横坐标互为相反数，纵坐标相同， 所以， 则． 13．或或 【分析】由全等三角形的判定在坐标系中画出与全等的三角形，写出点的坐标即可解决问题． 【详解】解：如图，以A、B、P为顶点的三角形与全等（点P与点C不重合），满足条件的点P有3个． 点P的坐标为或或． 14． 【分析】通过两式平方作差法比较大小，结合直角三角形的面积公式和勾股定理进行推导即可． 【详解】解：在中，，斜边上的高为，两直角边为， 由三角形的面积公式得，即， 又根据勾股定理，得， 两式平方作差，得． ， ， ． 均为正数， ，， ． 15．25 【分析】以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母A所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积之和． 【详解】解：字母A所代表的正方形的面积． 16． 【详解】解：观察各式可知，被开方数扩大（缩小）倍，立方根扩大（缩小）倍， ∵，， ∴，． 17．(1) (2) (3)3 (4)3 【分析】（1）先利用算术平方根化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的混合运算法则求解即可； （3）直接运用二次根式的混合运算法则求解即可； （4）先利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 18． 【分析】连接，首先利用勾股定理求出，然后证明，然后求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴这块草地的面积． 19．(1)，， (2) 【分析】（1）先估算的大小，求出它的整数部分c，再根据的算术平方根是2，的立方根是，列出关于a，b的方程，解方程求出a，b即可； （2）把（1）中所求的代入进行计算，从而求出它的平方根即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是4，即， ∵的算术平方根是2，的立方根是， ∴，， 解得：，； （2）解：由（1）可知：，，， ∴， ∴的平方根为． 20．(1) (2)或或 【分析】（1）根据折叠的性质、勾股定理求出的长，进而求出的值； （2）分三种情况讨论：当是底时、当是底时、当是底时，分别求出的长，然后求出的值． 【详解】（1）解：以为折痕折叠，点恰好落在边上处， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 设，则， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 解得：， （秒）． 答：在点运动的过程中，以为折痕折叠，点恰好落在边上处时的值为． （2） 解：当时，设，则， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 解得：， （秒）． 当时，， （秒）． 当时，， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， ， （秒）． 的值为或或． 21．(1)或 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据平行于轴上的点的纵坐标相同，以及两点间的距离公式进行求解即可； （2）过点作轴，作，，设，分割法求出三角形的面积，列出方程进行求解即可； （3）根据两点间的距离最短，得到当点在线段上时，的值最小，结合（2）中图象即可得出结果. 【详解】（1）解：∵点，点满足轴，且， ∴或， ∴或； （2）解：过点作轴，作，， 设， ∵点，点， ∴，，，，， ∴， 整理得， 若，则，解得； 若，则，解得，不合题意，故舍去； ∴； （3）略 22．(1)， (2) (3)2； (4)0. 【分析】（1）因为，所以的有理化因式是；把的分子、分母同时乘以，可得结果为； （2）把转化为，把转化为，因为，根据分子相同的两个分数，分母越大分数越小，可得：，从而可知； （3）分别进行分母有理化，可得，再进行计算； （4）首先把进行分母有理化，可得：，得出，再整体代入代数式计算求值即可． 【详解】（1）解：， 的有理化因式是； ； （2）解： ， ； ， ； （3）解： ； （4）解：， ∴， ∴ ． 23．(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，再结合三角形面积公式计算得出，即可得出结果； （2）表示出，再结合三角形面积公式计算即可得出结果； （3）在轴的负半轴上取一点，使得，连接，证明，得出，，再证明，得出，从而得解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为轴正半轴上一点， ∴； （2）解：∵为轴负半轴上一点，点的横坐标为， ∴，， ∵， ∴； （3）解：如图，在轴的负半轴上取一点，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴． 24．(1)解：， ； ； ， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）先表示出各个图形的面积，进而可得出，化简之后即可证明； （2）先运用勾股定理求出，再用两种求三角形面积的方法求解高即可； （3）根据勾股定理得，分别表示后，建立等式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得，； ， 边上的高为； （3）解：在中，， ， 在中，， ， ， ， ， 解得． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $