2026～2027学年人教版九年级上学期10月月考数学试卷

2026～2027学年度九年级10月月考数学试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（　　） A. ， B. 2，3 C. ， D. ，3 2. 已知二次函数下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为：直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 函数的最小值是 D. 顶点坐标为 3. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 4 方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有且只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 一元二次方程x2＋2x＋m＝0有两个不相等的实数根，则（　　） A. m＞3 B. m＝3 C. m＜3 D. m≤3 6. 2025年国庆节期间，重庆市游客数量再创新高，第一天游客数量为300万人，第三天游客数量为610万人．设平均增长率为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点、、都在函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 9. 二次函数在的范围内有最小值，则c的值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 10. 如图1，在矩形中，，动点以的速度自A点出发沿折线方向运动至D点停止，动点以的速度自A点出发运动至D点停止，若点同时出发，运动时间为秒，记的面积为，且s与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 二、填空题（共6小题，每小题3分．共18分） 11. 关于x的方程x2a﹣1+x＝5是一元二次方程，则a的值为 ___． 12. 函数的图象上，若随的增大而减小，则此时的取值范围为________ 13. 已知下列二次函数：①；②；③．其中开口最大的是________（填序号） 14. 若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为______． 15. 如图是南宋数学家杨辉研究的垛积问题中“圭垛”的示意图，将这个“圭垛”继续堆积下去，即第行有束，如果从上往下数前行的束数的和是，那么的值是________． 16. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，有以下结论：①；②；③（为任意实数）；④若方程的两根为，，且，则；⑤，其中说法正确的有________． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 19. 如图，二次函数图像的顶点坐标为，与轴的一个交点坐标为，根据图像回答下列问题： （1）与轴的另一个交点坐标的坐标为________； （2）这个二次函数的解析式是________； （3）不等式的解集为________； （4）若时，则的取值范围为________． 20. 关于的方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 21. 如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（左右）． （1）求此抛物线的解析式： （2）为抛物线第一象限内的点，求当面积最大时点坐标． 22. 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系． （1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ （3）在（2）的限定条件下，直接写出该公司的最大年利润． 23. 如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星求出点的坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点的左边），交轴负半轴于点 （1）直接写出、、三点的坐标 （2）如图2，若抛物线上有一点，，求点的坐标 （3）若点E在该抛物线上，点F为x轴上一点，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出E点坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度九年级10月月考数学试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（　　） A. ， B. 2，3 C. ， D. ，3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，先把一元二次方程化为一般式，根据．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．据此求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程整理得， ∴二次项系数和常数项分别为2，3． 故选：B． 2. 已知二次函数下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为：直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 函数的最小值是 D. 顶点坐标为 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式解析式的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． 利用二次函数的顶点式解析式的图像和性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：由得，， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故选项A和D错误，不符合题意； ∵， ∴顶点坐标为最高点，顶点纵坐标为最大值，最大值为， 故选项C错误，不符合题意； 当时，随的增大而减小， 故选项B正确，符合题意； 故选：B． 3. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 故选：D． 4 方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有且只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】通过计算判别式的值来判断方程的根的情况即可． 【详解】解：∵方程， ∴，，， ∴， ∴ 方程没有实数根． 5. 一元二次方程x2＋2x＋m＝0有两个不相等的实数根，则（　　） A. m＞3 B. m＝3 C. m＜3 D. m≤3 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式＞0进行计算解答即可. 【详解】∵一元二次方程x2＋2x＋m＝0有两个不相等的实数根，∴＝（2）2－4m＞0，解得m＜3.故选C. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的情况与的关系，熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系是解题的关键. 6. 2025年国庆节期间，重庆市游客数量再创新高，第一天游客数量为300万人，第三天游客数量为610万人．设平均增长率为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键．设每天的平均增长率为x，根据“第一天游客数量为300万人，第三天游客数量为610万人”，可得出方程． 【详解】解：设每天的平均增长率为x，那么依题意得， 故选：D． 7. 已知点、、都在函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接将三个点的横坐标代入二次函数解析式，求出对应的的值，再比较大小． 【详解】解：点、、都在函数的图象上， 把代入解析式： ． 把代入解析式： ． 把代入解析式： ． ， ． 8. 欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】B 【解析】 【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长，即可发现结论． 【详解】用求根公式求得： ∵ ∴ ∴ AD的长就是方程的正根． 故选：B． 9. 二次函数在的范围内有最小值，则c的值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的轴对称性，是解题的关键．根据抛物线的开口向下，对称轴是：直线，则抛物线上离对称轴越远的点的纵坐标越小，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴是：直线， ∴在的范围内，当时，y取最小值， 即：， 解得：， 故选：D． 10. 如图1，在矩形中，，动点以的速度自A点出发沿折线方向运动至D点停止，动点以的速度自A点出发运动至D点停止，若点同时出发，运动时间为秒，记的面积为，且s与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，当点P在上运动时，，则，根据图2可得，当时，，求出，得出动点以的速度自A点出发沿折线方向运动至D点停止，且当时，点Q到达点D，当点P在上运动时，．当点P在上运动时，．将点代入即可求出． 【详解】解：当点P在上运动时，， 则， 根据图2可得，当时，，解得：， 即动点以的速度自A点出发沿折线方向运动至D点停止，且当时，点Q到达点D， 当点P在上运动时，． 当点P在上运动时，． 将点代入可得，解得：， 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分．共18分） 11. 关于x的方程x2a﹣1+x＝5是一元二次方程，则a的值为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到2a-1=2，由此求得a的值． 【详解】解：依题意得：2a-1=2． 解得a=． 故答案是：． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）． 12. 函数的图象上，若随的增大而减小，则此时的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而减小． 13. 已知下列二次函数：①；②；③．其中开口最大的是________（填序号） 【答案】② 【解析】 【分析】根据越小，开口越大求解即可． 【详解】解：，故开口最大． 14. 若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据原方程的两个根互为相反数，利用根与系数的关系，可得出，解之即可得出的值． 本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个根互为相反数， ， 解得：， 的值为． 故答案为：． 15. 如图是南宋数学家杨辉研究的垛积问题中“圭垛”的示意图，将这个“圭垛”继续堆积下去，即第行有束，如果从上往下数前行的束数的和是，那么的值是________． 【答案】15 【解析】 【分析】先求出从上往下数前行的束数的和为，即可建立一元二次方程求解． 【详解】解：设 则 两式相加可得， 故 解得或（舍）， ∴的值是． 16. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，有以下结论：①；②；③（为任意实数）；④若方程的两根为，，且，则；⑤，其中说法正确的有________． 【答案】②③⑤ 【解析】 【分析】根据开口方向，对称轴公式和与y轴的交点坐标可判断a、b、c的符号，据此可判断①；根据对称性可得二次函数的图象过点，则当时，，据此可判断②；根据对称轴处函数有最小值可判断③；根据交点式可判断④；根据，得到，据此可判断⑤． 【详解】解：∵函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵二次函数的图象过点， ∴由对称性可知，二次函数的图象过点， ∴当时，， ∴，故②正确； ∵函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值， ∴（为任意实数）， ∴，故③正确； ∵函数图象与x轴交于点，， ∴， 若方程的两根为，，且， ∴方程的两根为，， ∴二次函数与直线的两个交点的横坐标分别为，， ∴，故④错误； ∵， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（１）根据一元二次方程的一般式可找出方程的二次项系数、一次项系数和常数项，再求出，即可根据求根公式求解即可； （２）利用因式分解法将原方程进行变形，然后利用两个因式分别为，即可求解． 【小问1详解】 解： ∵，，， ∴， ∴， 即，； 【小问2详解】 解： 原方程可变形为：， ∴或， ∴，． 18. 关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系．先利用根的定义将代入求得，设方程的另一个根为，再利用根与系数的关系得出，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是， ∴， 解得：， 设方程的另一个根为， 则：， 解得：， ∴，方程的另一个根为． 19. 如图，二次函数图像的顶点坐标为，与轴的一个交点坐标为，根据图像回答下列问题： （1）与轴的另一个交点坐标的坐标为________； （2）这个二次函数的解析式是________； （3）不等式的解集为________； （4）若时，则的取值范围为________． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）二次函数图像关于对称轴对称，已知顶点横坐标即对称轴，由到对称轴的距离，对称得到另一交点B的坐标； （2）已知抛物线与x轴两个交点A、B，设交点式，代入顶点求出a，展开得到一般式； （3）不等式即函数值小于等于0，对应图像在x轴下方及x轴上的部分，结合开口方向与两个交点横坐标，写出解集； （4）在区间内，代入端点、计算函数值，顶点处取最小值；由于取不到，函数值趋近5但不等于5，从而确定y的取值范围． 【小问1详解】 解：，顶点坐标为， ，即； 【小问2详解】 解：该二次函数过点，， 设该二次函数的解析式为， 代入顶点坐标得， 解得， 该二次函数的解析式为； 【小问3详解】 解：由图像得当时，二次函数图像在轴的下方， 故不等式的解集为； 【小问4详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， 故当时，的取值范围为． 20. 关于的方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【小问1详解】 解：关于的方程有两个实数根， 满足， ， ， ； 【小问2详解】 解：由得，， 关于的方程有两个实数根，， ，， ， 整理得， 解得（不合题意，舍去）， 的值为． 21. 如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（左右）． （1）求此抛物线的解析式： （2）为抛物线第一象限内的点，求当面积最大时点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意设抛物线顶点式，利用点，即可求出抛物线表达式． （2）设点，求出抛物线与轴交点坐标，求出直线表达式，表示出点坐标，表示出，根据三角形面积的最大值计算即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， 设抛物线的顶点式解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ， ， ∴抛物线的顶点式解析式为， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线解析式为 设点， ∵点为抛物线第一象限内的点， ∴， 过点作轴垂线，交于点，如图，     ∵抛物线与轴交于，两点， ∴，即， 解得：，， ∵左右， ∴点坐标为， 设直线表达式为， ， 解得， ∴， ∴点， ∴， 观察图形可知， ，， ∴， 即， 抛物线对称轴为，符合， ∴在当时，面积取得最大值， 此时点， ∴当面积最大时P点坐标为． 22. 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系． （1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ （3）在（2）的限定条件下，直接写出该公司的最大年利润． 【答案】（1） （2）该设备的销售单价应是50万元 （3）最大年利润为12250万元 【解析】 【分析】（1）根据变量的值，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）设此设备的销售单价为x万元，则每台设备的利润为万元，销售数量为台，根据总利润等于单台利润乘销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解方程并取其小于等于70的解即可得出结论． （3）设该公司的年利润为万元，易得关于x的二次函数，求出最大值即可． 【小问1详解】 解：设年销售量与销售单价的函数关系式为， 由题意得， 解得， ∴年销售量与销售单价的函数关系式为； 【小问2详解】 解：此设备的销售单价为x万元，则每台设备的利润为万元，销售数量为台， 由题意得：， 整理，得：， 解得：（舍去）， 答：该设备的销售单价应是50万元； 【小问3详解】 解：设该公司的年利润为万元， 则， 配方，得， 当时，W取得最大值； 答：该公司的最大年利润为12250万元． 23. 如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星求出点的坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将，代入即可求解； （2）点B关于y轴的对称点，则，求出直线与y轴的交点坐标即可； （3）分三种情况讨论上的最小值，根据最小值大于等于9列不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴与y轴重合， 设抛物线的解析式为， ，， ，， 将，代入，得： ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1， 当时，， ， 作点B关于y轴的对称点，连接交轴于点， 则，， ， 当，，A共线时，拉杆长度之和最短， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：中， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 分三种情况讨论上的最小值： 1.当对称轴在左侧，即，最小值在处取得， ，解得，结合前提， ∴； 2.当对称轴落在内，即，开口向下的抛物线在内的最小值出现在端点，比较和的函数值： 时，； 时，； 由于， ， ，范围内所有的函数值均大于9，该范围全部满足条件； 3.当对称轴在右侧，即，最小值在处取得：， 解得，结合前提，得； 综合三种情况，最终b的取值范围为： ， 的取值范围为． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点的左边），交轴负半轴于点 （1）直接写出、、三点的坐标 （2）如图2，若抛物线上有一点，，求点的坐标 （3）若点E在该抛物线上，点F为x轴上一点，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出E点坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或． 【解析】 【分析】（1）求出时x的值和求出时y的值即可得到答案； （2）过点A作交于点H，过点H作轴于点G，证明，得到，可推出；求出直线的解析式为，再联立函数解析式求解即可； （3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据平行四边形两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可． 【小问1详解】 解：在中， 当时，， 解得或， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点A作交于点H，过点H作轴于点G， ∴， ∴， ∴； 由（1）得， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 联立，解得或， ∴点D的坐标为； 【小问3详解】 解：设， 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴点E的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴点E的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得或， ∴点E的坐标为或， 综上所述，点E的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $