天津市第四十七中学2026-2027学年第一学期高三年级第一次阶段性检测数学试卷

天津市第四十七中学2026一2027第一学期高三年级 第一次阶段性检测数学试卷答案 一：选择题：（共9小题，每小题5分，共45分) 1.D2.B3D4.A5.C6.C7.C8.B9.B 二：填空题：（本大题共6小题.每题5分共30分） 10. √2 2 11.252 12.2 13.① 28 14.①1②3+1 2 15.[0,1 三.解答题.（共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.) 16.【详解】1）y)-(+cos)-25cos2+V5-1-1+2smcs51 cos +3-1 2 222 4 ∫(x)的最小正周期为T=4π，T=2红=2”=4元 …5 由亚+2≤π≤3π+ 2 23-2 +kπ，k∈Z,.6 5 11π 解得 +4π≤x≤ +4c,k∈Z, 3 所以函数f()的单调递减区间是 +4km+4m,k∈Z 3 3 7 (2)将f(x)的图象先向左平移亚个单位长度，得到函数y=2sm 6 2sin 6 2 3 4 再将其横坐标缩小为原来的子，纵坐标不变得到函数g(x)=2sinx- 4 .11 高三数学第1页，共8页 62x巨_巨x21+3团 82 8 2 8 .14 17.【答案】方法一(1)连接A4C∩AG=E,连接DE, 四边形ACCA为正方形，E为AC中点，：D为BC的中点，.DE11AB, ABt平面ADC,DEc平面ADC,.ABII平面ADC: 方法二(1)取AC的中点O,AC的中点O,连接OB,O0, ,△ABC为等边三角形，∴OB⊥AC, .·平面ACCA⊥平面ABC,平面ACCA∩平面ABC=AC,OBc平面ABC, ∴.OB⊥平面ACCA,:OOc平面ACCA,∴.OB⊥O0,∴.OB,OC,OO两两垂直， 以0为原点，OB为x轴，OC为y轴，O0为z轴建立空间直角坐标系，.2 v48-2..085..j.c(.2)..-4-) 设平面ADC的法向量为n=(x,,名)， 则 2+2=0,令5=5，则=-1，马=1n=(5,- .5 n:AC=2y+2z,=0 A1B=(V3,1,-2),A1B·元=0，A1Bt平面ADC .AB/1平面ADC.... .7 aG0-(2-2小6-ko,4-0a2 设平面ABB,A的法向量为m=(x,y,z), 高三数学第2页，共8页 则 m形=3x+y=0,令x=5,则y=3,z=0,m=-(5-3,0小 m·4=2z=0 设直线CD与平面ABB,A所成角为O, 3.3 :.sin0=cos(m.CD) m-CD 22 5 2W3×V510 ·直线CD与平面ABB4所成角的正弦值为 10 (设角和答问有其一就给分，都没有减一分) (3)假设在棱B弧上存在一点M,使得点M到平面ADC的距离为5， BM 设 BB :B(V5,0,2,BB=(0,0,-2),∴BM=BB=(0,0,-2), M(V50,2-2,Mi=(5,-1,2-2, AC=(0,2,2) 由(1)问得，平面ADC的法向量为n=(5,-1, 则点M到平面ADC的距离为d M.升_3+1+2元-2_5 √5 解得天-号 二在棱BB上存在一点M,使得点M到平面ADC的距离为5 此时 BM 3 BB 4 18.【详解】(1)因为短轴长为2，所以b=1, 因为M=7IMRl,M+M=7M+M=8M-2a, 所以M-异N=7w=安 又因为M⊥x轴，所以M=M+F,， 则0=C+4c2,且d-=a-1=c,解得a=2 高三数学第3页，共8页 .9 则椭圆C的标准方程为女 +y2=1.... (2)设A(5,片)，则B(6),A1(-x1,-y1)A,(5,-片)， x=ty+m 联立 +4三4整理得+4y+2mw+m-40, 5 则△>0曰t2+4>m2 m- -2tm .11 X为=P+ ,4+为=+4' 7 D 直线B4:y-与=当+(-x), 8 X2 (0≤≤1)， 令y=0,得 x=必+丛.+m+6幽+m）1-2为+m+=m+21:业 4+y2 4+2 y1+y2 4+y2 ’.9 12 故x=4m+m=4D40,4(5,-), 10 1 则AD的中点坐标为 品 21 .11 由于△ABD与△ABA的面积相等，故D,A到直线AB的距离相等， 因此AD的中点在x=y+m上， .13 可用品=品0+则-到+a 211 21 2 21 则品m,解得m-手，又0≤m<2,所以m-子E 2 15 15 19.【答案】(1)证明如下：设等比数列{an}的公比为9，所以a≠0,9≠0 aas as ag=ag a-4a,+4a=0'得 由 g-4ag+40=0解得8 (9=21 因此数列{an}为“超凡数列： bb2 2)①由4=1.S=6=26,-)' 得b2=2, 高三数学第4页，共8页 bb bnb 当n≥2时，由6，=S,-S,得626-b)26,-b)’ 整理得bnt1+bn=2bn, 所以数列{b,}是首项和公差均为1的等差数列， 因此，数列{b,}的通项公式为b,=n(n∈N): ②由①知，b=k,k∈N, 因为数列{cn}为超凡数列，设公比为9，所以G=1,9>0, 因为c≤b≤C,所以q≤k≤q,其中k=1,2,3,…,m, 当k=1时，有q≥1；. 。 当&-2m时，布笑sngs 设-=>小，则到- 则当x∈(l,e)时，f'(x)>0,当x∈(e,+oo)时，f'(x)<0, 故f(x)在(L,e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减， 因为竖2-管29里所以=到 取g=源，当=h23,45时，≤ng,即k≤g 令8x>).则g- （x-）-nx1-1-nx (x-02 (x-12 今到-h,则-与0 故h(x)在(1，+∞)上单调递减，则h(x)≤h()=1-1-0=0, 即g(x)<0在(1，+o)上恒成立，即g(x)在(1，+o)上单调递减， 则g==学-h5<- 高三数学第5页，共8页 因此所求m的最大值不小于5，即lnq≤ ≤，g≤k, .7 若m≥6，分别取k=3,6,得3≤g3,且g≤6，从而g5≥243，且g5≤216， .8 所以9不存在，因此所求m的最大值小于6， 故m的最大值为5..... .....15 .9 20.【详解】(1)当a=1时，f(x)=e-1-x- +则 f0)=c-1-1- 125 23 =e- 1+1 1 f(x)=e-1-+2x (x+12, ..10 f"0=e-1-1P+2.7 =e- (1+1)2 4. ..........。,... 则曲线y=f(x)在点包f()处的切线方程为： -e-引-e--) 整理得：（4-7）x-4y-3=0.......4 (2)因为f"(x)=e-1-a.x+2x (x+y, 所以f'(0)=0 令g(x)=e-1-a r+,则8'()=e-2a x2+2x (x+,故g'(0)-=1-2a5 .12 ①当a>)时，g(0)=1-2a<0,而当x-→时，g')=e-2a (x+13 →+0， 由零点存在性定理可知，3x,∈(0，+∞)，使得g(x)=0. 当x∈(0，)时，g(x)<0,g(x)单调递减，故g(x)<g(0)=0, 则f(x)在(0，x)上单调递减，f(x)<f(0)=0,与f(x)≥0恒成立相矛盾，故舍去.7 @当as时，x≥0.有c21,(+‘(c+ 2a<≤1，则g(x)2e-r 高三数学第6页，共8页 (+月，则()=e+,3 令hy)=e-1 +功>0， 故h(x)在[0，+o)上单调递增，h(x)≥h(0)=0 则g(x)≥0，g(x)在[0，+o)上单调递增，g(x)≥g(0)=0, 故f(x)在[0，+∞)上单调递增，f(x)≥f(0)=0,符合题意. 综上，实数a的限值范国足（一引 9 )油(2)知，当a时，x20,有f(20,即c21+x+2x+0 x2 当且仅当x=0时等号成立. 1)2 令x=之0keN)则有c>1++ k +2+ 11 n nn+1厂2(n+1) 12 :c>n+ 1.n T名k2(n+) 构造函数p(x)=x-ln(1+x),x∈(0，+o) -1中20 ∴p(x)在(0，+o)上单调递增，p(x)>p(0)=0,故有x>ln(1+x)在(0，+oo)上恒成立.…14 令x=keN)相安n+=hk+)-k k 头2a+)-]-(a2-b-i-h2r4e-]-h+. -2>n+h(a+小t2Z96 高三数学第7页，共8页 高三数学第8页，共8页天津市第四十七中学2026-2027第一学期高三年级 第一次阶段性检测数学试卷 第卷（选择题共45分） 一、选择题 1.已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={1,3},则Cu(AUB)= A.{1,2,3,5} B.{2,4,5,6 C.{1,3} D.{2,4,6} 2.设a∈R,则“1na2>0”是“a>1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数y=f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为 A.f(x)= x2-9 x3+2x B.f(x)= x2+2 C.f(x)= 4cosz x2+2 D.f(z)= 4sinx x2+2 (-a-5)x-2 4.函数f(x) 工之2，对任意，∈1≠，都有f）-儿回< x2+2(a-1)x-3ax<2 x1-x2 0,则实数a的取值范围为 A.[-4,-1 B.[-4,-2] C.(-5,-1) D.[-5,-4 5.设，B是两个平面，m,l是两条直线，则下列命题为真命题的是 A.若a⊥3，m‖a,l13,则m⊥1 B.若mc,1c3,m‖l,则a‖3 C.若an3=m,l‖a,l‖3，则m‖l D.若m⊥a,1⊥B,m‖l,则a⊥3 6.给出下列说法，其中正确的是 A.一组数据7,8,8.9,11,13,15,17,20,22的第80百分位数为17 B.已知数据x1,2,,xn的平均数为2，方差为3，那么数据21+1,222+1，·，22n+1 的平均数和方差分别为5,13 C.在回归直线方程9=0.25x+1.5中，相对于样本点(2,1.2)的残差为-0.8 D.样本相关系数r∈(-1,1) 7.《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“粟米问题”。现有9人分粟米，每人所得 粟米质量（单位：铢）从小到大构成数列{a},该数列的前3项成等差数列，后7项 成等比数列，且a1=1,a2+ag=5.a4+a5=18,则这9人所得粟米质量的和为 A.284 B.381 C.384 D.484 8.已知函数f)=sin(r+e>0)在区间（一苓，爱上单调递增，且在区间0，）内 恰有两个零点，则w的取值范围是 (到 B(习 c.（ n尽习 x2,y2 9.已知椭圆C:+ a>>0和双线C店，-=1，>0，>0)有 共焦点分别为F,2,设两曲线在第一象限的交点为M,C1,C2的离心率分别为e1,2, 当FF2=6MF2时，Ce2不可能等于 A.4 B月 二、填空题 10.已知i是虚数单位，复数z满足(1一)=i,则z= 11.二项式 9z3 的展开式中的常数项为 12.已知直线过抛物线y2=8x的焦点F,且与抛物线在第一象限的交点为A,若AF=3, 则以点A为圆心，3为半径的圆被x轴截得的弦长为 13.某校发起“AI赋能乡村教育”公益项目，项目团队下设技术研发组5人、课程设计组3 人。为推进乡村高中智能教学设备落地，需从两个组中随机抽取2人组成执行小组。抽 取2人中恰好有1名课程设计组成员的概率为 ;已知抽取的2人中至少有1 名课程设计组成员，则其中恰好有1名课程设计组成员的概率为 14.已知平面向量G,6c满足：a与6的夹角为2红，（亿-画-（亿-而=0，同+团=2，则网 的最大值是 ；记M是c-a-的最大值，则M的最小值是 15.若函数∫(x)=2Vx-2a+1+x-4a+2-1恰有一个零点，则实数a的取值范围 为 三、解答题 16.已知函数f)=(6sin+cos)-2V3cos+V万-1 (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间； (2)将f(x)的图象先向左平移：个单位长度，再将横坐标缩为原来的；（纵坐标不 变)得到函数g).若9g)=是为∈（元，），求cosx0的值 17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形ACC1A1为正方形，△ABC为等边三角形， 平面ACC1A1⊥平面ABC,AB=2,D为BC的中点 (1)求证：A1B‖平面ADC1: B (2)求C1D与平面ABB1A1所成角的正弦值： (3)在棱BB1上是否存在一点M,使得点M到平面ADC1 的距离为气？若存在，求的值：若不存在，说明理由。 D 18.已知椭圆C号+兰=1(a>b>0)的短轴长为2，左右焦点分别为P1.F2.M为 椭圆C上一点，且MF1⊥x轴，lMF2l=7IMF1. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知直线x=ty+m(t≠0且0<m<2)与椭圆C交于A,B两点，点A关于 原点的对称点为A1,A关于x轴的对称点为A2,直线BA2与x轴交于点D,若 △ABD与△ABA1的面积相等，求m的值 19.定义首项为1且公比为正数的等比数列为"超凡数列" (1)已知等比数列{an}满足：a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0.求证：数列{an}为"超 凡数列"； (2)已知各项为正数的数列{b,}满足：b1=1,Sn=21-b bnbn+1 其中Sn是数列 {bn}的前n项和. (i)求数列{bn}的通项公式： (ii)设m为正整数，若存在"超凡数列"{cn}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m 时，都有ck≤bk≤ck+1成立，求m的最大值. 20.已知函数f)=e*-1-x-其中a为实数定义域为xe(-1,+四). (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)若f(x)≥0对任意的x∈[0，+∞)恒成立，求实数a的取值范围： (3)证明：对任意的正整数n都有=1e>n+ln(m+1)+2D