精品解析：天津市第四十七中学2024-2025学年高三上学期第二次阶段性检测（12月）数学试题

天津市第四十七中学2024-2025第一学期高三年级 第二次阶段性检测数学试卷 第I卷（共三部分；满分150分） 一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设、，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个随机变量线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1 B. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验（），可判断与无关 C. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是． D. 已知随机变量服从二项分布，若，则． 4. 函数在的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若，，，则有（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱锥中，平面，，，则该棱锥的外接球半径为（ ）. A B. C. D. 7. 已知数列的前项和为，且，，，则（ ） A. B. 为奇数时， C. D. 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 9. 设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论： ①在（）有且仅有3个极大值点 ②在（）有且仅有2个极小值点 ③在（）单调递增 ④的取值范围是[) 其中所有正确结论的编号是 A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 复数（其中为虚数单位），则的虚部为___________. 11. 的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为______. 12. 已知圆，直线过点且与圆相切，则直线的方程为________． 13. 已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，，，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则至少有一人命中的概率为______；在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为______. 14. 已知平行四边形的面积为，，为线段的中点，则______；若为线段上的一点，且，则的最小值为______． 15. 已知函数，在上的最大值为，若函数有4个零点，则实数的取值范围为________． 三、解答题（本大题5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知在中，，，. （1）求角大小； （2）求的长； （3）求的值． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点. （1）证明：∥平面； （2）若，， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18. 已知椭圆的左焦点为，离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线交椭圆于，两点. ①若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足，.求证：为定值； ②若，求面积的取值范围. 19. 等差数列的前项和为，数列满足：，，当时，，且，，成等比数列，． （1）求数列，的通项公式； （2）求证：数列中的项都在数列中； （3）将数列、的项按照：当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：，，，，，，…这个新数列的前和为，试求的表达式． 20. 已知函数，． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若恒成立，求的值； （3），，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市第四十七中学2024-2025第一学期高三年级 第二次阶段性检测数学试卷 第I卷（共三部分；满分150分） 一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 2. 设、，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，不妨取，，此时，不成立， 即“”“”； 若，则，所以，，即， 即“”“”. 所以，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1 B. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验（），可判断与无关 C. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是． D. 已知随机变量服从二项分布，若，则． 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个随机变量的线性相关性的强弱与相关系数的关系即可判断A；根据卡方检验即可判断B，利用线性回归方程必过样本中心点，即可判断选C；利用二项分布的数学期望计算公式以及期望的运算性质，即可判断D． 【详解】对于A，若两个随机变量线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故A错误； 对D，由可判断X与Y有关，故B错误； 对于C：因为线性回归直线过样本点中心，所以，可得，故C正确； 对于D：因为随机变量服从二项分布，所以， 则， 因为，则，所以，故D错误． 故选：C. 4. 函数在的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用确定正确选项. 【详解】，由此排除BD选项. 当时，， ， ，（在坐标原点处切线斜率）由此排除A选项. 故选：C 5. 已知函数，若，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得为偶函数，则，利用对数函数的性质和指数函数的性质，可得，，，又当时，由，可得为单调递增函数，即可得到答案. 【详解】因为函数且定义域为R，则，所以为偶函数， 因为， 则， 又，，， ，， 则，所以， 当时，因为，所以为单调递增函数， 所以. 故选：B. 6. 在三棱锥中，平面，，，则该棱锥的外接球半径为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出外接圆半径，球心到平面的距离，再利用球的截面圆性质计算即得. 【详解】令的外接圆圆心为，球心为，则平面，而平面， 于是，又球心在线段的中垂面上，此平面与平面平行，取中点 则，在中，，，则， 的外接圆半径，所以该棱锥的外接球半径. 故选：A 7. 已知数列的前项和为，且，，，则（ ） A. B. 为奇数时， C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设有，讨论奇偶性，结合等差数列定义、前项和公式逐项判断可得答案. 【详解】由，则，两式作差，得， ，当为奇数，是首项为1，公差为3的等差数列，即， ，当为偶数，是首项为2，公差为3的等差数列，即， 对于A，，， ，故A错误； 对于B，为奇数时， ，故B正确； 对于C，，， 所以 ，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件探求出的内切圆圆心坐标，借助点到直线的距离公式计算可得，结合，求，进而得到离心率. 【详解】设双曲线的半焦距为c，则， 由对称性，不妨令与平行的渐近线为，则直线的方程为：， 即，设的内切圆与三边相切的切点分别为如图所示， 则，即，即轴，圆的半径为， 则，点到直线的距离为， 整理得且，解得，所以双曲线的离心率. 故选：D 9. 设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论： ①在（）有且仅有3个极大值点 ②在（）有且仅有2个极小值点 ③在（）单调递增 ④的取值范围是[) 其中所有正确结论的编号是 A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得，结合正弦函数的图像分析得出答案． 【详解】当时，， ∵f（x）在有且仅有5个零点， ∴， ∴，故④正确， 由，知时， 令时取得极大值，①正确； 极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 当时，， 若f（x）在单调递增， 则 ，即 ， ∵，故③正确． 故选D． 【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 复数（其中为虚数单位），则虚部为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，结合虚部的概念即可求解. 【详解】由题意知，， 所以复数z的虚部为. 故答案为： 11. 的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为______. 【答案】 【解析】 【分析】由二项式系数性质得值，然后由二项展开式通项公式确定常数项． 【详解】展开式中二项式系数只有第4项最大，则， ， 由得， 所以常数项为. 故答案为： 12. 已知圆，直线过点且与圆相切，则直线的方程为________． 【答案】和 【解析】 【分析】根据相切，结合点到直线的距离，分类讨论即可求解. 【详解】圆的圆心和半径分别为， 当直线无斜率时，此时：，与圆相切，符合题意， 当直线有斜率时，设， 此时圆心到直线的距离为，解得， 此时直线方程为，即， 综上可得和 故答案为：和 13. 已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，，，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则至少有一人命中的概率为______；在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据对立事件结合独立事件概率求法求至少有一人命中的概率，记“三人中恰有两人命中”为事件M，“甲命中”为事件N，求，结合条件概率公式运算求解. 【详解】记“至少有一人命中”为事件A，所以； 记“三人中恰有两人命中”为事件M，“甲命中”为事件N， 则， ， 所以. 故答案为：；. 14. 已知平行四边形的面积为，，为线段的中点，则______；若为线段上的一点，且，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由平行四边形的面积为，可得，再由数量的定义可求出的值；由已知得，然后根据三点共线即可得，从而得出，得，然后利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】解：因为平行四边形的面积为， 所以，得， 所以， 如图，连接，则， 所以 因为三点共线， 所以，得， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：； 15. 已知函数，在上的最大值为，若函数有4个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三次函数单调性确定，再结合函数图像确定实数t的取值范围 【详解】因为函数，在上的最大值为， 在R上单调递增， 所以, 作与的图像，由图像可知 当时，；当时，即有两个不等正根， 则或解得或， 从而实数t的取值范围为 故答案为： 三、解答题（本大题5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知在中，，，. （1）求角的大小； （2）求的长； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积公式和三角形的面积公式可得，结合角的范围即可求解； （2）由（1）求出，再根据余弦定理的长即可； （3）先由余弦定理求出角，根据二倍角公式求出与，再根据两角和的正弦公式求解即可. 【小问1详解】 由题知：，， . ，，即角的大小为. 【小问2详解】 由（1）知：，，且， . 由余弦定理可得， ，即的长为. 【小问3详解】 由（1）知：，. 由余弦定理可知， ， ，. . 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点. （1）证明：∥平面； （2）若，， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见详解 （2）（i），（ii）存在点，. 【解析】 【分析】（1）取中点，可证四边形是平行四边形，可得，得证； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，（ii）假设存在点到平面的距离为，利用点到面距离的向量法求解即可. 【小问1详解】 如图，取中点，连接，， 因为是中点，所以，， 又，， ，， 所以四边形是平行四边形， ， 又平面，平面， 平面. 【小问2详解】 ，，又，， ，则， 又平面平面，平面平面， 平面， ，又， 所以，，两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， （i）设平面的一个法向量为，则 ，即，令，可得，， ， 又平面的一个法向量为， ， 所以二面角的余弦值为. （ii）假设线段上存在点，使得点到平面的距离为， 设，，， ， 由（i）知平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 则，解得或， 又，所以， 即存在点到平面的距离为，且. 18. 已知椭圆的左焦点为，离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线交椭圆于，两点. ①若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足，.求证：为定值； ②若，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据给定条件直接计算a，b作答. （2）①设出直线的方程，与椭圆C的方程联立，利用向量运算并借助韦达定理计算作答； ②先探讨OA，OB与坐标轴重合时情况，再在OA，OB与坐标轴不重合时，设OA，OB方程并列出的面积的关系，借助二次函数性质计算，从而得解. 【小问1详解】 椭圆：的左焦点为，离心率， 则半焦距，，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，则， 设，，由消去y并整理得：， 则，，由得：，， ， 所以为常数. ②当直线，分别与坐标轴重合时，的面积， 当直线，的斜率均存在且不为零时，设：，：， 设，，将代入椭圆的方程得：，， 于得，同理，， 的面积：， 令，， 而，则， 所以的面积的取值范围是. 【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，常把两个曲线的方程联立，消去x（或y）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系. 19. 等差数列的前项和为，数列满足：，，当时，，且，，成等比数列，． （1）求数列，的通项公式； （2）求证：数列中的项都在数列中； （3）将数列、的项按照：当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：，，，，，，…这个新数列的前和为，试求的表达式． 【答案】（1），； （2）证明见解析； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式，即可由基本量计算求得首项与公差，进而求得数列的通项公式与前项和；根据等比中项定义，结合数列的前项和，代入化简可求得数列的通项公式； （2）根据数列，的通项公式，即可证明数列中的项都在数列中； （3）由数列的通项公式，代入由裂项求和法可得的前项和，再对分类讨论，即可确定新数列的前和的表达式. 【小问1详解】 为等差数列，设公差为， ，， 所以，解得， 所以由等差数列通项公式可得； 等差数列的前项和为， 所以， 当时，，且，，成等比数列，. 所以， 则，即， 化简可得，当时也成立， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 则， 所以数列中的项都在数列中； 【小问3详解】 由（1）可知， 则， 所以数列的前项和为， ①当时，， ②当（）时，，经检验当时也成立， ③当时，， 综上所述，当时，； 当时，； 当时，. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是裂项求和得，然后再对分类讨论即可. 20. 已知函数，． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若恒成立，求的值； （3），，求证：． 【答案】（1） （2）2 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出切点坐标和切线斜率，即可得到切线方程； （2）根据题意求出极大值点，进而求出的值，然后利用导数证明不等式恒成立； （3）利用，转化为，然后利用导函数求单调性证明即可. 【小问1详解】 ，有， 因为，所以， 则曲线在点处的切线方程为． 所以时，切线方程为：； 【小问2详解】 因为，的定义域为， 所以是的极大值点，因为， 所以，所以， 需验证，当时，恒成立即可， 因为， 令，则， ①当时，，则在上单调递减， 所以在上单调递增，， ②当时，，则在上单调递减，所以， 综上，符合题意． 所以恒成立时，. 【小问3详解】 由（2）可知，，当且仅当时取等号， 当时，，所以， ， 因为 ， 所以即证， 令，则，当时，，， 所以即证：， 令，则， 所以时，单调递减， 所以，即， 综上，. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$