精品解析：天津市第五十五中学2026-2027学年高三上学期10月学情调研数学试题

2026-2027学年度第一学期高三年级10月学情调研---数学 一、单选题 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. {2，3，4} B. {1，2，4，5} C. {2，5} D. {2} 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆，当圆的面积最小时，直线与圆相切，则 A. B. C. D. 5. 设为定义在上的奇函数，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知P为双曲线的右支上一点，，为其左右焦点，且焦距的长度为6，PI为的角平分线，I是PI与x轴的交点，O是坐标原点，满足，．则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设O为坐标原点，直线过抛物线：（）的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 若，则 D. 轴上存在一点，使为定值 9. 已知，函数在R上单调递增，且对于任意实数a，方程有且只有一个实数根，且，函数的图象与函数的图象有且只有三个不同的交点，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 10. 展开式中的系数为__________． 11. 若函数的图象在点处的切线与直线垂直，则的值等于___________. 12. 某志愿者组织召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者和3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则①抽取的3人中至少有一名是女志愿者的概率为__________；②在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是__________. 13. 已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 14. 在平面直角坐标系中，已知圆和圆．若过定点存在无数条直线，被圆和圆截得的弦长之比为，则该定点的坐标是______． 15. 将函数的图象按照以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍；③向下平移个单位长度，可得到函数的图象．则下列结论正确的是_____ ①．若，则的取值范围为； ②．图象关于对称，则； ③．若函数在上的图象与直线有且只有一个交点，在上单调递减，则； ④．若函数在区间上的最值分别为，则的取值范围是； ⑤．若方程在内恰有两个根，则. 三、解答题 16. 已知函数． （1）当时，求的最大值和最小值，以及对应的的值. （2）在中，内角所对的边分别为.已知，，.求的值. 17. 某学校组织学生到工厂参加劳动实践，利用3D打印技术制作几何模型，该模型为四棱锥，在四棱锥中，平面，为的中点，为上的一个动点，底面是边长为2的正方形，且. （1）若是的中点，求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）若直线与平面所成的角为30°，求出的长. 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2. （1）求的方程； （2）直线 过点交椭圆于，两点，证明：为定值.（为坐标原点） 19. 椭圆的离心率为，长轴长为4. （1）求的方程； （2）设是曲线上的三个动点. （i）若直线过点，且点是曲线的上顶点，求面积的最大值； （ii）试探究：是否存在是以为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由. 20. 设函数为的导函数. （1）求的单调区间； （2）当时，证明； （3）设为函数在区间内的零点，其中，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期高三年级10月学情调研---数学 一、单选题 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. {2，3，4} B. {1，2，4，5} C. {2，5} D. {2} 【答案】B 【解析】 【分析】 根据补集的定义求出，再利用并集的定义求解即可. 【详解】因为全集， ， 所以， 又因为集合， 所以， 故选：B. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性、充分和必要条件、不等式的性质等知识确定正确答案. 【详解】由，得，当时，得不到； 由，得，所以. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 则有，所以. 4. 已知圆，当圆的面积最小时，直线与圆相切，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】圆的标准方程为，则当时，该圆的面积最小， 此时圆的圆心为，半径为1，由直线与该圆相切，得， 所以. 5. 设为定义在上的奇函数，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质和已知条件推出函数的周期，再利用周期性和奇函数性质求出的值，最后求出的值. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，且， 又，即，则关于对称， 所以，所以，则， 所以，即的周期为， 所以， 所以. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指、对数函数单调性可得，结合偶函数的性质分析判断. 【详解】因为函数为减函数，所以， 又函数在上为增函数，所以， 所以， 又函数在上为增函数，所以， 所以， 因为函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数， 当时，函数为减函数， 因为，所以， 又函数为偶函数，可得. 故选：A. 7. 已知P为双曲线的右支上一点，，为其左右焦点，且焦距的长度为6，PI为的角平分线，I是PI与x轴的交点，O是坐标原点，满足，．则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，根据角平分线定理可得，根据双曲线的定义可得 ，；利用两次余弦定理可得，进而可得离心率的值. 【详解】设，，由PI为角平分线， 根据角平分线定理可得：， 根据双曲线的定义可知：，从而，； 又，， 且， 所以， 所以，解得， 又，离心率． 故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的定义，解三角形，角平分线，中线，余弦定理，考查了双曲线的离心率，属于中档题. 8. 设O为坐标原点，直线过抛物线：（）的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 若，则 D. 轴上存在一点，使为定值 【答案】D 【解析】 【分析】对于A选项，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即可得到；对于B选项，利用抛物线上的点的性质进行转化，再结合图象，三点共线时，对应的线段和最小；对于C选项，得到点的坐标，直线方程，联立直线与抛物线的方程求得点的坐标进而求得；对于D选项，设出直线方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，代入进行化简，要使得为定值，，从而存在点. 【详解】 A选项，因为过焦点，故当且仅当为通径时，最短，即，从而，故A错误； B选项，由抛物线的定义知，所以， 由图知，当且仅当三点共线时，取得最小值，即，故B错误； C选项，由图是抛物线的准线与准线的交点，所以，在中，，所以， 所以，所以，所以， 联立得，得，从而， 所以，故C错误； D选项，设，联立得，， 设，则，设轴上存在一点， 则 ， 故当时，，即存在使得为定值，故D正确. 故选：D. 9. 已知，函数在R上单调递增，且对于任意实数a，方程有且只有一个实数根，且，函数的图象与函数的图象有且只有三个不同的交点，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据分段函数在单调递增列出不等式可求出的取值范围，再根据有且只有一个实数根，转化为值域为，结合可确定的值，画出的图像，利用与直线有且只有三个不同的交点，可根据相切和过定点求出两个交点临界位置的，进而求出的取值范围. 【详解】因为函数在单调递增，则在和都递增，并且在处，一次函数的函数值大于 或等于二次函数的函数值，可得不等式， 解得，又因为有且只有一个实数根可得出值域为，即 ，解得或，又因为，得， ，即.所以，令，解得或 （舍），作出的图像如图，若直线经过点，则，此时函数 与有两个交点，若直线与相切，联立，整理得 ，，即，此时函数与有两个交点，因为函数 的图象与函数的图象有且只有三个不同的交点，所以， 故选：D 二、填空题 10. 展开式中的系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理得到展开式的通项公式即可求解. 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为， 当时，，因此的系数为. 11. 若函数的图象在点处的切线与直线垂直，则的值等于___________. 【答案】 【解析】 【分析】先求解出在点处的导数值即为切线的斜率，然后根据垂直对应的斜率关系求解出的值. 【详解】因为，所以， 又因为点处的切线与直线垂直，且的斜率为， 所以，所以， 故答案为：. 12. 某志愿者组织召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者和3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则①抽取的3人中至少有一名是女志愿者的概率为__________；②在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题包含两个概率计算问题，均需利用组合数及概率相关知识求解，第一个问题通过对立事件间接计算至少有一名女志愿者的概率；第二个问题利用条件概率公式，在给定前提条件下特定事件的概率. 【详解】记全是男志愿者为事件，至少有一名男志愿者为事件B，则 ，. 记至少有一名是女志愿者为事件C，则事件C与事件 A互为对立事件， 则 ， 抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率为. 故答案为： ；. 13. 已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【详解】， ， ， ， ， 当且仅当，即，结合得时等号成立， 的最小值为4． 14. 在平面直角坐标系中，已知圆和圆．若过定点存在无数条直线，被圆和圆截得的弦长之比为，则该定点的坐标是______． 【答案】和 【解析】 【分析】先判断直线的斜率存在，再设直线方程为，由条件根据弦长公式列方程得，求解方程即可. 【详解】由已知圆的圆心的坐标为，半径， 圆的圆心的坐标为，半径， 过且斜率不存在的直线与两圆不同时相交， 设直线方程为，即， 圆被直线截得的弦长为， 圆被直线截得的弦长为， 令，化简可得， 即， 由已知或， 所以直线的方程为或， 所以定点的坐标为或. 15. 将函数的图象按照以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍；③向下平移个单位长度，可得到函数的图象．则下列结论正确的是_____ ①．若，则的取值范围为； ②．图象关于对称，则； ③．若函数在上的图象与直线有且只有一个交点，在上单调递减，则； ④．若函数在区间上的最值分别为，则的取值范围是； ⑤．若方程在内恰有两个根，则. 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】先通过图象变换得到，再通过正弦函数性质求解不等式即可判断①；利用正弦型函数对称轴处取最值，即可求出，进而可判断②；将交点问题转化为方程有解问题，求解参数范围，利用正弦函数性质建立不等式组，求解参数范围，进而判断③；举反例即可判断④；利用整体代换，令，将转化为，即可判断⑤. 【详解】由题意得函数的图象向左平移个单位长度得， 再将其横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍得， 再向下平移个单位长度得，所以，即. 对于①，若，则，由正弦函数的图象可得， 解得，①正确； 对于②，由正弦型函数对称轴处取最值，则，即，，所以，②错误； 对于③，由题意得， 令，则，而，则， 若函数在上的图象与直线有且只有一个交点，则在上有且只有一个解， 可得，解得， 若函数在上单调递减，则在上单调递增， 因为，所以，令，由正弦函数性质可知在上单调递增， 则，解得，综上可得，，③正确； 对于④，由题意得， 不妨设，函数在区间上的最大值为，最小值为， 令，则区间变为，可得，则， 即，此时，所以的取值范围为不成立，④错误； 对于⑤，令，则，， 若方程在内恰有两个根，则， 即在内恰有两个根，则，且， 得到，所以，⑤正确. 三、解答题 16. 已知函数． （1）当时，求的最大值和最小值，以及对应的的值. （2）在中，内角所对的边分别为.已知，，.求的值. 【答案】（1）当时，取得最小值为；当时，取得最大值为. （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换公式化简函数的解析式，再结合三角函数的性质求函数在给定区间上的值域，并指出取得最值时对应的的值. （2）先根据条件求出，再利用正弦定理求，余弦定理求，最后利用三角恒等变换公式求的值. 【小问1详解】 因为， 因为，所以， 所以当即时，取得最小值，为； 当即时，取得最大值，为. 【小问2详解】 由， 又，所以为锐角，所以. 由余弦定理，，所以. 由正弦定理，， 由余弦定理，. 所以， ， 所以. 17. 某学校组织学生到工厂参加劳动实践，利用3D打印技术制作几何模型，该模型为四棱锥，在四棱锥中，平面，为的中点，为上的一个动点，底面是边长为2的正方形，且. （1）若是的中点，求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）若直线与平面所成的角为30°，求出的长. 【答案】（1） 平面 ，所以 ， ，又底面 是正方形，故 两两垂直，如图：以为原点， 分别以 所在直线为轴建立空间直角坐标系，则， 为 的中点，是的中点，所以，， 平面 ，取平面 的一个法向量为，， 又平面 ，故平面 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设平面 的法向量为，只要证明即可； （2）向量法求点到面的距离； （3）向量法求线面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，. 设平面 的法向量为则即 令 ，则，点到平面 的距离. 【小问3详解】 由（1）知，设，则 由（2）知面 的法向量为.因为直线与平面 所成的角为30°， 所以， 解得，所以，，所以 的长为. 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2. （1）求的方程； （2）直线 过点交椭圆于，两点，证明：为定值.（为坐标原点） 【答案】（1） （2）如图， 因为能形成，所以直线必存在斜率，可设直线方程为. 将直线方程代入到椭圆方程，得， 整理得：. 设，，则，. 又， 而， 所以，为定值. 【解析】 【分析】（1）根据条件确定的值，可得椭圆的方程. （2）设直线方程为，与椭圆方程联立，再设，，利用韦达定理，可得，的表达式.再将转化成，只需化简为定值即可. 【小问1详解】 由题意，， 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 略 19. 椭圆的离心率为，长轴长为4. （1）求的方程； （2）设是曲线上的三个动点. （i）若直线过点，且点是曲线的上顶点，求面积的最大值； （ii）试探究：是否存在是以为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）（i）； （ii）①当在轴上时，的坐标为，则关于轴对称，的中点在轴上. 又为的中心，所以， 可知， 从而，即. 所以这与为等边三角形矛盾. ②当在轴上时，的坐标为，则关于轴对称，的中点在轴上. 又为的中心，所以，可知， 从而，即. 所以这与为等边三角形矛盾. ③当不在坐标轴上时，设，的中点为，则， 又为的中心，则，可知. 设，则， 又，两式相减得， 从而， 所以， 所以与不垂直，与等边矛盾. 综上所述，不存在是以为中心的等边三角形. 【解析】 【分析】（1）利用离心率以及长轴长，求出椭圆中.即可求椭圆的方程; （2）（i）由已知，直线的斜率存在，设直线方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式，推出面积的表达式，通过换元，利用导数求出面积的最大值. （ii）分点在轴上时、在轴上时以及不在坐标轴上讨论即可. 【小问1详解】 由已知得 ，解得 ， 所以椭圆的方程是 【小问2详解】 （i）由已知可知直线的斜率定存在，设直线的方程为， ， 由 得，所以 ， 所以， 又，所以， 令， 所以， 令， 根据对勾函数性质知在上单调递增， 所以当时，此时，有最小值，此时有最大值. 20. 设函数为的导函数. （1）求的单调区间； （2）当时，证明； （3）设为函数在区间内的零点，其中，证明. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）记， 依题意及（1）有：，从而， 当时，， 故. 因此，在区间上单调递减，进而. 所以，当时，. （3）依题意，，即. 记，则. 且. 由及（1）得. 由（2）知，当时，，所以在上为减函数， 因此. 由（2）知， 故. 所以. 【解析】 【分析】（1）由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数的单调区间； （2）构造函数，结合(Ⅰ)的结果和导函数的符号求解函数的最小值即可证得题中的结论； （3）令，结合（1），（2）的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结果. 【小问1详解】 由已知，有. 当时，有，得，则单调递减； 当时，有，得，则单调递增. 所以，的单调递增区间为， 单调递减区间为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查导数的运算､不等式证明､运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力､综合分析问题和解决问题的能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $