第13-15章题型精练：解答题-2026-2027学年人教版数学八年级上册

第13-15章题型精练：解答题-2026-2027学年数学八年级上册人教版 考点汇总 考点一：与三角形有关的线段 考点二：三角形的内角与外角 考点三：全等三角形及其性质 考点四：三角形全等的判定 考点五：角的平分线 考点六：轴对称及其性质 考点七：关于x,y轴对称的点的坐标 考点八：等腰三角形 跟踪特训 考点一：与三角形有关的线段 1．（2025秋•南岗区期末）如图，已知△ABC的周长为33，AD是BC边上的中线，． （1）当AC＝10时，求BD的长； （2）AC能否等于12？为什么？ 2．（2025秋•武威校级期末）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝15，BD，CE都是△ABC的高，且BD＝8，求CE的长． 3．（2026秋•江都区月考）如图，在△ABC中，点D在边BC上．求证：AC+CB＞AD+DB． 4．（2026秋•东湖区校级月考）已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）若a＝2，b＝5，且c为奇数，求c的值； （2）化简：|a﹣b﹣c|﹣|a+c﹣b|+|a﹣b﹣c|． 考点二：三角形的内角与外角 5．（2026秋•赛罕区月考）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，∠A＝40°，∠BDC＝70°． （1）求∠ABD的度数； （2）求∠C的度数． 6．（2026秋•安远县校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，CE平分∠ACB交AB于点E． （1）求∠ACE的度数． （2）若CD⊥AB于点D，F是CE上一点，且∠CDF＝75°．求证：△CFD是直角三角形． 7．（2026秋•集宁区月考）如图，在三角形ABC中，∠B＝∠C，D是BC上一点，且FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝140°，求∠EDF的度数． 8．（2026春•泸州期末）已知直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，∠EFD＝α．点P是直线AB上的动点（不与点E重合），连接PF，∠PEF和∠PFC的平分线所在直线交于点H． （1）如图1，若EF⊥CD，点P在射线EB上．则当∠EPF＝50°时，∠EHF＝_______ °； （2）如图2，若α＝100°，点P在射线EA上． ①补全图形； ②探究∠EPF与∠EHF的数量关系，并证明你的结论． 考点三：全等三角形及其性质 9．（2025秋•淮北期末）如图，△ABC≌△ABD，∠C＝40°，∠DAB＝20°，求∠ABC的度数． 10．（2025秋•松滋市期末）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若BE＝11，FC＝3，求BF的长． 11．（2026秋•行唐县月考）如图．△ABC≌△DEB，点E在边AB上，DE与AC相交于点F． （1）若AB＝6，BC＝2，求线段AE的长； （2）若∠DBE＝65°，∠A＝20°，求∠DBC的度数． 12．（2026春•洛宁县期末）如图所示，已知AD⊥BC于点D，△ABD≌△CFD． （1）若BC＝10，AD＝7，求BD的长． （2）求证：CE⊥AB． 考点四：三角形全等的判定 13．（2026秋•崇州市月考）如图，在△ABC和△DEF中，点A、D、B、E在同一条直线上，已知AD＝BE，∠A＝∠FDE，AC＝DF． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠C＝60°，求∠F的度数． 14．（2026秋•城中区月考）如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在△ABC外，连结AD，AE，DE，DE交AB于点F，∠DAB＝∠EAC，∠B＝∠D，AD＝AB． （1）求证：△ABC≌△ADE． （2）若∠EAC＝30°，∠AFE＝70°，求∠D的度数． 15．（2026秋•昆明校级月考）问题情境：如图1，在四边形ABCD中．AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，连接AE，DE，AB＝CE，BE＝CD． 问题探究： （1）判断△DEA的形状并证明． （2）“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点B，E，C在直线MN上，AE＝DE，∠ABE＝∠ECD＝∠AED．若AB＝7，CD＝5，求BC的长． 16．（2026秋•昆明校级月考）如图，在△ADF中，∠F＝90°，点B、C分别在边AF、DF上，连接AC、BC，CB＝CD，∠D＝∠CBF，在边AD上截取DE＝BF，连接CE． （1）求证：△CDE≌△CBF． （2）求证：AC平分∠DAB． 考点五：角的平分线 17．（2026秋•东台市月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D． （1）过顶点B画出△ABC的高线BE； （2）若BE交AD于F，当DF＝DC时，求证：AD＝BD． 18．（2026春•北碚区月考）如图，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线． （1）若∠BED＝40°，∠BAF＝54°，求∠BAD的度数； （2）若DE：AE＝2：3，△ACD的面积是30，求△ABE的面积． 19．（2025秋•永春县期末）如图，已知OC平分∠AOB，点D、E分别在OA、OB上，∠1＝∠2，求证：OD＝OE． 20．（2025秋•蜀山区校级期末）如图，△ABC的外角∠ACD的角平分线CE与内角∠ABC的角平分线BE交于点E，点F在边BA的延长线上，AE的延长线交边BC的延长线于点D，过点E作EH⊥BD于点H． （1）求证：AE平分∠CAF； （2）若∠BAC＝30°，求∠BEC的度数； （3）若AB＝6，AC＝5，CD＝8，且S△ABE＝12，求△ACD的面积． 考点六：轴对称及其性质 21．（2026秋•同步）如图，线段AB与A'B'关于直线l对称，AA'交直线l于点O，连接BO，B′O． （1）图中相等的线段有：____________________ ，线段AA'的垂直平分线是________ ； （2）△OAB和△OA'B'关于直线l_______ ，△OAB_____ △OA'B'，∠ABO＝___________ ，∠A'OB'＝_________ ． 22．（2025秋•竹溪县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E． （1）若∠A＝30°，求∠DBC的度数； （2）若AE＝7，△CBD的周长为22，求△ABC的周长． 23．（2026春•高新区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）求∠PAQ的度数． （2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长． 24．（2026春•宿城区期中）如图△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝5，FC＝2，∠BAC＝75°，∠EAC＝56°． （1）求BF的长度； （2）求∠CAD的度数． 考点七：关于x,y轴对称的点的坐标 25．（2026秋•思明区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）． （1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）直接写出A1，B1，C1三点的坐标： A1（_________ ），B1（_________ ），C1（_________ ）； （3）求△A1B1C1的面积． 26．（2025秋•南充期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，2）． （1）请写出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1的各顶点的坐标，A1__________ ，B1__________ ，C1__________ ； （2）请画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （3）已知点P（﹣2a﹣1，a），直线PC1∥x轴，求点P的坐标． 考点八：等腰三角形 27．（2026春•勉县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC于点E，交AB于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）连接CF，若∠D＝30°，∠CFE＝60°，DF＝8，求EF的长． 28．（2025秋•东莞市校级期末）如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）若AF＝1，求AB的长． 29．（2025秋•蜀山区校级期末）如图，在△ABD与△BCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠DAB＝60°，过点C作CE∥BA，交AD于E，交BD于点F，连结AC，交BD于H． （1）判断△DEF的形状，并说明理由． （2）求证：AC平分∠DAB． （3）若AD＝12，CE＝8，求CF的长． 30．（2025秋•薛城区期末）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点E，∠ABD＝∠ADB． （1）求证：AC垂直平分BD； （2）过点B作BF∥CD交CA的延长线于F，如果AB＝AF； ①求证：△BCD是等边三角形； ②如果G、H分别是线段AC、线段CD上的动点，当GH+AH为最小值时，请确定点H的位置，并思考此时GH与CH有怎样的数量关系． 参考答案与试题解析 一．解答题（共30小题） 1．（2025秋•南岗区期末）如图，已知△ABC的周长为33，AD是BC边上的中线，． （1）当AC＝10时，求BD的长； （2）AC能否等于12？为什么？ 【解答】解：（1）∵AC＝10，， ∴， ∵△ABC的周长为33， ∴BC＝33﹣AB﹣AC＝33﹣15﹣10＝8， ∵AD是BC边上的中线， ∴； （2）AC不能等于12，理由如下： ∵ABAC， ∴当AC＝12时，， ∵△ABC的周长为33， ∴BC＝33﹣12﹣18＝3， ∵12+3＝15＜18， ∴BC，AC，AB这三边不能构成三角形， 2．（2025秋•武威校级期末）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝15，BD，CE都是△ABC的高，且BD＝8，求CE的长． 【解答】解：∵AC＝15，BD＝8，AB＝10， ∴S△ABC＝AC•BD＝AB•CE， ∴15×8＝10×CE， ∴CE＝12． 3．（2026秋•江都区月考）如图，在△ABC中，点D在边BC上．求证：AC+CB＞AD+DB． 【解答】证明：由三角形三边关系定理得到：AC+CD＞AD， ∴AC+CD+DB＞AD+DB， ∴AC+CB＞AD+DB． 4．（2026秋•东湖区校级月考）已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）若a＝2，b＝5，且c为奇数，求c的值； （2）化简：|a﹣b﹣c|﹣|a+c﹣b|+|a﹣b﹣c|． 【解答】解：（1）∵△ABC的三边长分别为a，b，c，a＝2，b＝5， ∴b﹣a＜c＜b+a， ∴5﹣2＜c＜5+2，即3＜c＜7， ∵c为奇数， ∴c＝5； （2）△ABC的三边长分别为a，b，c， ∴a＜b+c，a+c＞b， ∴a﹣b﹣c＜0， ∴|a﹣b﹣c|﹣|a+c﹣b|+|a﹣b﹣c| ＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（a+c﹣b）﹣（a﹣b﹣c） ＝﹣a+b+c﹣a﹣c+b﹣a+b+c ＝﹣3a+3b+c． 5．（2026秋•赛罕区月考）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，∠A＝40°，∠BDC＝70°． （1）求∠ABD的度数； （2）求∠C的度数． 【解答】解：（1）∵∠BDC是△ABD的外角，∠A＝40°，∠BDC＝70°， ∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝70°﹣40°＝30°； （2）∵BD是∠ABC 的平分线，∠ABD＝30°， ∴∠CBD＝∠ABD＝30°． 在△BCD中，∠CBD＝30°，∠BDC＝70°， ∴∠C＝180°﹣∠CBD﹣∠BDC＝180°﹣30°﹣70°＝80°． 6．（2026秋•安远县校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，CE平分∠ACB交AB于点E． （1）求∠ACE的度数． （2）若CD⊥AB于点D，F是CE上一点，且∠CDF＝75°．求证：△CFD是直角三角形． 【解答】（1）解：在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣30°﹣60°＝90°． ∵CE平分∠ACB， ∴． （2）证明：∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°． ∠BCD＝180°﹣∠CDB﹣∠B ＝180°﹣90°﹣60° ＝30°． 由（1）知∠ACE＝45°，即∠ECB＝45°． ∠ECD＝∠ECB﹣∠BCD＝45°﹣30°＝15°， ∠CFD＝180°﹣∠CDF﹣∠ECD ＝180°﹣75°﹣15° ＝90°． ∴△CFD是直角三角形． 7．（2026秋•集宁区月考）如图，在三角形ABC中，∠B＝∠C，D是BC上一点，且FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝140°，求∠EDF的度数． 【解答】解：∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠FDC＝∠FDB＝∠DEB＝90°， ∵∠B＝∠C， ∠EDB＝180°﹣∠B﹣∠BED， ∠DFC＝180°﹣∠C﹣∠CDF， ∴∠EDB＝∠DFC， ∴∠EDB＝∠DFC＝180°﹣∠AFD＝180°﹣140°＝40°， ∴∠EDF＝90°﹣∠EDB＝50°． 8．（2026春•泸州期末）已知直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，∠EFD＝α．点P是直线AB上的动点（不与点E重合），连接PF，∠PEF和∠PFC的平分线所在直线交于点H． （1）如图1，若EF⊥CD，点P在射线EB上．则当∠EPF＝50°时，∠EHF＝　20　 °； （2）如图2，若α＝100°，点P在射线EA上． ①补全图形； ②探究∠EPF与∠EHF的数量关系，并证明你的结论． 【解答】解：（1）∵EF⊥CD，点P在射线EB上，∠EPF＝50°，AB∥CD， ∴∠PEF＝∠CFE＝90°，∠PFD＝∠EPF＝50°， ∴∠PFC＝180°﹣∠PFD＝130°， ∵EM、FH分别平分∠PEF、∠PFC， ∴∠FEM∠PEF＝45°，∠CFH＝∠PFH＝65°， ∴∠EFH＝∠CFE﹣∠CFH＝25°， ∵∠FEM＝∠EFH+∠EHF， ∴∠EHF＝∠FEM﹣∠EFH＝45°﹣25°＝20°， 故答案为：20； （2）解：①若α＝100°，点P在射线EA上， 补全图形，如图所示： ②∠EPF与∠EHF 的数量关系是∠EHF∠EPF+50°，证明如下： ∵AB∥CD， ∴∠PEF＝∠EFD＝α＝100°，∠EPF＝∠PFC， ∵EM、FH分别平分∠PEF、∠PFC， ∴∠FEM∠PEF＝50°，∠CFH∠PFC， ∴∠CFH∠EPF，∠EMF＝180°﹣α＝180°﹣100°＝50°， ∵∠EHF＝∠CFH+∠FMH， ∴∠EHF∠EPF+50°． 9．（2025秋•淮北期末）如图，△ABC≌△ABD，∠C＝40°，∠DAB＝20°，求∠ABC的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△ABD，∠DAB＝20°， ∴∠CAB＝∠DAB＝20°（全等三角形对应角相等）， ∴∠ABC＝180°﹣∠CAB﹣∠C＝180°﹣20°﹣40°＝120°． 10．（2025秋•松滋市期末）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若BE＝11，FC＝3，求BF的长． 【解答】（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠E． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）； （2）解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF， ∵BC﹣FC＝BF，EF﹣FC＝CE， ∴BF＝CE， ∵BE＝BF+FC+CE，BE＝11，FC＝3， ∴11＝BF+3+CE， ∴2BF＝8， 解得：BF＝4． 11．（2026秋•行唐县月考）如图．△ABC≌△DEB，点E在边AB上，DE与AC相交于点F． （1）若AB＝6，BC＝2，求线段AE的长； （2）若∠DBE＝65°，∠A＝20°，求∠DBC的度数． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB， ∴BC＝EB＝2（全等三角形的对应边相等）， ∴AE＝AB﹣EB＝6﹣2＝4； （2）∵△ABC≌△DEB， ∴∠ACB＝∠DBE＝65°（全等三角形的对应角相等）， 又∵∠A＝20°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝95°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝95°﹣65°＝30°． 12．（2026春•洛宁县期末）如图所示，已知AD⊥BC于点D，△ABD≌△CFD． （1）若BC＝10，AD＝7，求BD的长． （2）求证：CE⊥AB． 【解答】（1）解：∵△ABD≌△CFD， ∴AD＝CD＝7， ∵BC＝10， ∴BD＝BC﹣CD＝10﹣7＝3， ∴BD的长为3； （2）证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠B+∠BAD＝90°， ∵△ABD≌△CFD， ∴∠BAD＝∠DCF， ∴∠B+∠DCF＝90°， ∴∠CEB＝180°﹣（∠B+∠DCF）＝90°， ∴CE⊥AB． 13．（2026秋•崇州市月考）如图，在△ABC和△DEF中，点A、D、B、E在同一条直线上，已知AD＝BE，∠A＝∠FDE，AC＝DF． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠C＝60°，求∠F的度数． 【解答】（1）证明：∵AD＝BE， ∴AD+BD＝BE+BD， ∴AB＝DE． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）； （2）解：∵△ABC≌△DEF，∠C＝60°， ∴∠F＝∠C＝60°． 14．（2026秋•城中区月考）如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在△ABC外，连结AD，AE，DE，DE交AB于点F，∠DAB＝∠EAC，∠B＝∠D，AD＝AB． （1）求证：△ABC≌△ADE． （2）若∠EAC＝30°，∠AFE＝70°，求∠D的度数． 【解答】（1）证明：∵∠DAB＝∠EAC， ∴∠DAB+∠BAE＝∠EAC+∠BAE， 即∠DAE＝∠BAC， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）； （2）解：∵∠DAB＝∠EAC＝30°，∠AFE＝∠D+∠DAB＝70°， ∴∠D＝∠AFE﹣∠DAB＝70°﹣30°＝40°． 15．（2026秋•昆明校级月考）问题情境：如图1，在四边形ABCD中．AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，连接AE，DE，AB＝CE，BE＝CD． 问题探究： （1）判断△DEA的形状并证明． （2）“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点B，E，C在直线MN上，AE＝DE，∠ABE＝∠ECD＝∠AED．若AB＝7，CD＝5，求BC的长． 【解答】解：（1）△DEA为等腰直角三角形； 证明如下：∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠B＝∠C＝90°， ∵AB＝CE，BE＝CD， ∴△ABE≌△ECD（SAS）， ∴AE＝DE，∠AEB＝∠EDC， ∵∠EDC+∠DEC＝90°， ∴∠AEB+∠DEC＝90°， ∴∠AED＝180°﹣90°＝90°， ∴△DEA为等腰直角三角形； （2）∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠ABE+∠BAE， 又∵∠ABE＝∠ECD＝∠AED， ∴∠DEC＝∠BAE， ∵AE＝DE， ∴△ABE≌△ECD（AAS）， ∴CE＝AB＝7，BE＝CD＝5， ∴BC＝BE+CE＝5+7＝12． 16．（2026秋•昆明校级月考）如图，在△ADF中，∠F＝90°，点B、C分别在边AF、DF上，连接AC、BC，CB＝CD，∠D＝∠CBF，在边AD上截取DE＝BF，连接CE． （1）求证：△CDE≌△CBF． （2）求证：AC平分∠DAB． 【解答】证明：（1）在△CDE和△CBF中， ， ∴△CDE≌△CBF（SAS）． （2）∵△CDE≌△CBF， ∴∠CED＝∠F，CE＝CF． ∵∠F＝90°， ∴∠CED＝90°， ∴∠AEC＝180°﹣∠CED＝90°． 在Rt△AEC和Rt△AFC中， ， ∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL）， ∴∠CAE＝∠CAF， ∴AC平分∠DAB． 17．（2026秋•东台市月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D． （1）过顶点B画出△ABC的高线BE； （2）若BE交AD于F，当DF＝DC时，求证：AD＝BD． 【解答】（1）解：△ABC的高线BE如图所示： （2）证明： ∵BE⊥AC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EAF+∠AFE＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠BDF＝∠ADC＝90°， ∴∠FBD+∠BFD＝90°， ∵∠BFD＝∠AFE， ∴∠EAF＝∠FBD， 在△ADC和△BDF中， ， ∴△ADC≌△BDF（AAS）， ∴AD＝BD． 18．（2026春•北碚区月考）如图，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线． （1）若∠BED＝40°，∠BAF＝54°，求∠BAD的度数； （2）若DE：AE＝2：3，△ACD的面积是30，求△ABE的面积． 【解答】解：（1）∵AF⊥BC，∠BAF＝54°， ∴∠ABF＝90°﹣54°＝36°． ∵BE平分∠ABF， ∴∠ABE∠ABF＝18°， ∵∠BED＝40°， ∴∠BAD＝∠BED﹣∠ABE＝40°﹣18°＝22°； （2）∵AD是△ABC的中线且△ACD的面积是30， ∴S△ABD＝S△ACD＝30． ∵DE：AE＝2：3， ∴S△ABES△ABD30＝18． 19．（2025秋•永春县期末）如图，已知OC平分∠AOB，点D、E分别在OA、OB上，∠1＝∠2，求证：OD＝OE． 【解答】证明：∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵∠1＝∠2，∠CDO＝180°﹣∠1，∠CEO＝180°﹣∠2， ∴∠CDO＝∠CEO， 在△ODC和△OEC中， ， ∴△ODC≌△OEC（AAS）， ∴OD＝OE． 20．（2025秋•蜀山区校级期末）如图，△ABC的外角∠ACD的角平分线CE与内角∠ABC的角平分线BE交于点E，点F在边BA的延长线上，AE的延长线交边BC的延长线于点D，过点E作EH⊥BD于点H． （1）求证：AE平分∠CAF； （2）若∠BAC＝30°，求∠BEC的度数； （3）若AB＝6，AC＝5，CD＝8，且S△ABE＝12，求△ACD的面积． 【解答】（1）证明：如图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N， ∵BE平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD，CE平分∠ACD，EN⊥AC，EH⊥BD， ∴EM＝EH，EN＝EH， ∴EM＝EN（等量代换）， 又∵点E在∠CAF的内部， ∴AE平分∠CAF； （2）解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，BE为∠ABC的角平分线，CE为∠ACD的角平分线， ∴，（角平分线的性质）， ∵∠ECD＝∠EBC+∠BEC，∠ACD＝∠ABC+∠BAC， ∴，∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC， ∴． 则∠BEC的度数为15°； （3）解：由（1）已得：EM＝EH＝EN， 设EM＝EH＝EN＝x， ∵S△ABE＝12， ∴， 解得x＝4， ∴EM＝EH＝EN＝4， ∴． 21．（2026秋•同步）如图，线段AB与A'B'关于直线l对称，AA'交直线l于点O，连接BO，B′O． （1）图中相等的线段有：OA与OA′，OB与OB′，AB与A′B′，　 ，线段AA'的垂直平分线是　直线l ； （2）△OAB和△OA'B'关于直线l　对称　 ，△OAB　≌　 △OA'B'，∠ABO＝　∠A′B′O ，∠A'OB'＝　∠AOB ． 【解答】解：（1）图中相等的线段有：OA与OA′，OB与OB′，AB与A′B′，线段AA′的垂直平分线是直线l， 故答案为：OA与OA′，OB与OB′，AB与A′B′，直线l； （2）△OAB和△OA′B′关于直线l对称，△OAB≌△OA′B′，∠ABO＝∠A′B′O，∠A′OB′＝∠AOB， 故答案为：对称，≌，∠A′B′O，∠AOB． 22．（2025秋•竹溪县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E． （1）若∠A＝30°，求∠DBC的度数； （2）若AE＝7，△CBD的周长为22，求△ABC的周长． 【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°， ∴∠ABC＝∠C＝75°， ∵AB的垂直平分线MN交AC于点D， ∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝30°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝75°﹣30°＝45°； （2）∵MN垂直平分AB， ∴DA＝DB， ∵BC+BD+DC＝22， ∴AD+DC+BC＝22， ∴AC+BC＝22， ∵AB＝2AE＝14， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝14+22＝36． 23．（2026春•高新区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）求∠PAQ的度数． （2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长． 【解答】解：（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z， ∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴AP＝PB，AQ＝CQ， ∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y， ∵∠BAC＝80°， ∴∠B+∠C＝100°， 即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°， ∴x＝20°， ∴∠PAQ＝20°； （2）∵△APQ周长为12， ∴AQ+PQ+AP＝12， ∵AQ＝CQ，AP＝PB， ∴CQ+PQ+PB＝12， 即CQ+BQ+2PQ＝12， BC+2PQ＝12， ∵BC＝8， ∴PQ＝2． 24．（2026春•宿城区期中）如图△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝5，FC＝2，∠BAC＝75°，∠EAC＝56°． （1）求BF的长度； （2）求∠CAD的度数． 【解答】解：（1）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED＝5，FC＝2， ∴BC＝ED＝5， ∴BF＝BC﹣FC＝3； （2）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC＝75°，∠EAC＝56°， ∴∠EAD＝∠BAC＝75°， ∴∠CAD＝∠EAD﹣∠EAC＝75°﹣56°＝19°． 25．（2026秋•思明区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）． （1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）直接写出A1，B1，C1三点的坐标： A1（　﹣2，3　 ），B1（　﹣1，0　 ），C1（　﹣1，2　 ）； （3）求△A1B1C1的面积． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）由图可得，A1（﹣2，3），B1（﹣1，0），C1（﹣1，2）． 故答案为：﹣2，3；﹣1，0；﹣1，2． （3）△A1B1C1的面积为． 26．（2025秋•南充期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，2）． （1）请写出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1的各顶点的坐标，A1　（4，4）　 ，B1　（2，0）　 ，C1　（1，2）　 ； （2）请画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （3）已知点P（﹣2a﹣1，a），直线PC1∥x轴，求点P的坐标． 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，2）． 由轴对称的性质得：A1（4，4），B1（2，0），C1（1，2）， 故答案为： （2）△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，如图即为所求； （3）∵点P（﹣2a﹣1，a），直线PC1∥x轴， ∴a＝2， ∴﹣2a﹣1＝﹣2×2﹣1＝﹣5， ∴点P的坐标为（﹣5，2）． 27．（2026春•勉县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC于点E，交AB于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）连接CF，若∠D＝30°，∠CFE＝60°，DF＝8，求EF的长． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE⊥BC， ∴∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠D＝90°， ∴∠BFE＝∠D， ∵∠BFE＝∠AFD， ∴∠AFD＝∠D， ∴AD＝AF， 即△ADF是等腰三角形； （2）解：∵∠D＝30°，∠CFE＝60°， ∴∠DCF＝60°﹣30°＝30°， ∴∠DCF＝∠D， ∴CF＝DF＝8， ∵DE⊥BC， ∴∠FCE＝90°﹣∠CFE＝30°， ∴． 28．（2025秋•东莞市校级期末）如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）若AF＝1，求AB的长． 【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，点D是AC边的中点， ∴BD垂直平分AC， ∴AB＝CB， ∵EF⊥AB， ∴∠BFE＝90°， ∴∠ABC+∠E＝90°， ∵∠E＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）解：∵ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB于点F， ∴∠AFD＝90°， ∵△ABC是等边三角形，点D是AC边的中点， ∴∠A＝60°， ∴∠ADF＝90°﹣∠A＝30°， ∵AF＝1， ∴AD＝2AF＝2， ∴AB＝AC＝2AD＝4， ∴AB的长是4． 29．（2025秋•蜀山区校级期末）如图，在△ABD与△BCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠DAB＝60°，过点C作CE∥BA，交AD于E，交BD于点F，连结AC，交BD于H． （1）判断△DEF的形状，并说明理由． （2）求证：AC平分∠DAB． （3）若AD＝12，CE＝8，求CF的长． 【解答】（1）解：△DEF是等边三角形，理由如下； ∵AB＝AD，∠DAB＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°， ∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE， ∴△DEF是等边三角形； （2）证明：∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AC是BD的垂直平分线， 即AC⊥BD， ∵AB＝AD， ∴AC平分∠DAB； （3）解：∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°， ∵CE∥AB， ∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°， ∴AE＝CE＝8， ∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4， ∵△DEF是等边三角形， ∴EF＝DE＝4， ∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4． 30．（2025秋•薛城区期末）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点E，∠ABD＝∠ADB． （1）求证：AC垂直平分BD； （2）过点B作BF∥CD交CA的延长线于F，如果AB＝AF； ①求证：△BCD是等边三角形； ②如果G、H分别是线段AC、线段CD上的动点，当GH+AH为最小值时，请确定点H的位置，并思考此时GH与CH有怎样的数量关系． 【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴AB＝AD，∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB， ∴A在BD的垂直平分上，∠CBD＝∠CDB， ∴CB＝CD， ∴C在BD的垂直平分上， ∴AC垂直平分BD； （2）①证明：设∠F＝α， ∵AB＝AF， ∴∠ABF＝∠F＝α， ∵∠BAC是△ABF的外角， ∴∠BAC＝∠F+∠AFB＝2α， 由（1）AC⊥BD，CB＝CD， ∴∠BCE＝∠DCE， ∵BF∥CD， ∴∠F＝∠DCE， ∴∠F＝∠BCE＝α， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BCE+∠BAC＝90°，即α+2α＝90°， 则α＝30°， ∴∠DCB＝2∠BCE＝60°， ∵BC＝CD， ∴△BCD是等边三角形； ②GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH＝2GH， 理由： 延长AD至A′，使DA′＝AD， ∵CD⊥AD， ∴A与A′关于CD成轴对称，过A′作A′G⊥AC于G交CD于H，连接AH， ∴AH＝A′H， ∴AH+GH＝A′H+GH＝A′G，此时GH+AH为最小， 由①知：∠DCE＝30°，即∠GCH＝30°， ∵A′G⊥AC即GH⊥CG， ∴在Rt△GCH中，∠GCH＝30°， ∴CH＝2GH， ∴GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH＝2GH． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/14 14:52:31；用户：小初高数学；邮箱：19911585950；学号：69944501 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $