13.1-13.3三角形习题集 2026--2027学年人教版八年级数学上册

第十三章 三角形 题集 目录 第1课时 三角形的三边关系 4 第2课时 三角形的中线与重心 8 第3课时 三角形的高 11 第4课时 面积转化与面积法 13 第5课时 三角形的内角和 15 题型1　利用三角形的内角和求角 15 题型2　利用直角三角形的两锐角互余求角 15 第6课时 三角形的外角 17 第7课时 综合与实践——折叠求角 20 类型1　不压边（点A落在三角形内部） 20 类型2　压一边（点A落在三角形外部） 20 类型3　压两边（把底边 BC 向上翻折） 20 二、核心母题 21 第8课时 方程思想 23 第9课时 参数思想 26 题型1　运用参数思想探求角的度数 26 题型2　运用参数思想探求角度关系 26 第10课时 整体思想 29 题型1　运用整体思想求多角之和 29 第11课时 特殊到一般 32 题型1　图形从特殊到一般 32 题型2　角度从特殊到一般 33 第12课时 分类讨论 35 题型1　高的位置不确定，需分类讨论 35 题型2　点的位置不确定，需分类讨论 36 第13课时 常用导角模型 37 1. 8字形模型 38 2. A字形模型 39 3. 风筝形模型 39 4. 燕尾形模型 40 5. 余角模型 40 6. 补角模型 41 7. 一线三等角模型 41 8. 角平分线与导角综合 42 第14课时 双角平分线夹角模型 43 模型1　双内角平分线夹角：∠P=90°+∠A 44 模型2　双外角平分线夹角：∠P=90°−∠A 44 模型3　一内一外角平分线夹角：∠P=∠A 44 模型4　8字形双平分线夹角：∠P=(∠B+∠D) 44 模型5-1　燕尾形双平分线夹角：∠P=(∠A+∠D) 44 模型5-2　燕尾形双平分线夹角：∠P=(∠C−∠B) 45 第15课时 双角平分线夹角模型 46 题型1　双内角平分线夹角问题 46 题型2　内、外角平分线夹角问题 47 题型3　8字形双角平分线夹角问题 47 题型4　燕尾形双角平分线夹角问题 48 题型5　双外角平分线夹角问题 49 第16课时 高与角平分线夹角模型 51 类型1　∠DAE=(∠C−∠B) 51 类型2　∠P=(∠C−∠B) 52 类型3　∠P=(∠C−∠B) 52 类型4　∠CDF=∠CFD 52 第17课时 数学活动 53 第18课时 阅读理解与新定义 56 第19课时 综合与实践 58 第1课时 三角形的三边关系 一、知识梳理 1. 三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 2. 判断三条线段能否组成三角形：只要两条较短的线段之和大于最长的线段，就能组成三角形；否则不能组成三角形。 3. 已知两边长，求第三边（或含参数的边）的取值范围：设三角形三边的长为 a，b，c，则 |a-b|<c<a+b。 4. 等腰三角形中的分类讨论：已知等腰三角形两边的长，求第三边的长或周长时，要分“已知边为腰”和“已知边为底”两种情况讨论，并检验三边能否组成三角形。 【温馨提醒】（1）三边关系中的“任意两边”是指三条不等式都要成立；（2）含参数的边长必须同时满足“边长为正数”和“三边关系”两个条件；（3）分类讨论得到的每一种结果都要回代检验能否组成三角形。 二、核心母题 【例1】用4根长度分别为 5 cm，7 cm，9 cm，13 cm 的木棒，可以摆出______种不同的三角形. 解：从4根木棒中任取3根，共有4种取法：（1）5，7，9：5+7=12>9，能组成三角形；（2）5，7，13：5+7=12<13，不能组成三角形；（3）5，9，13：5+9=14>13，能组成三角形；（4）7，9，13：7+9=16>13，能组成三角形。所以可以摆出3种不同的三角形。 【变式1】若三条线段中 a=3，b=5，c 为奇数，那么由 a，b，c 为边组成的三角形共有（ ） A. 1个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 解：由三边关系，得 5-3<c<5+3，即 2<c<8。∵c 为奇数，∴c=3，5，7，共3个，选B。 【变式2】已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长为4，但不是最短边，这样的三角形共有______个. 解：三边长均为整数，其中一边长为4，且4不是最短边，说明4是最长边。设三边为 a，b，4（a≤b≤4），由 a+b>4 讨论：当 b=4 时，a=1，2，3，4，得（1，4，4），（2，4，4），（3，4，4），（4，4，4）；当 b=3 时，a=2，3，得（2，3，4），（3，3，4）；当 b=2 时，a>2 与 a≤2 矛盾，无解。所以这样的三角形共有6个。 【例2】已知等腰三角形的周长为12. （1）若腰长为 x，求 x 的取值范围；（2）若底边长为 y，求 y 的取值范围. 解：（1）两腰的长都是 x，底边长为 12-2x。∵x+x>12-2x，∴x>3；又 12-2x>0，∴x<6。∴3<x<6。 （2）两腰的长都是 。∵+>y，即 12-y>y，∴y<6；又 y>0。∴0<y<6。 【变式1】已知三角形的三边长分别为 2，a-1，5，则A的取值范围为______. 解：由三边关系，得 5-2<a-1<5+2，即 3<a-1<7，∴4<a<8。 【变式2】若等腰三角形的腰长为6，则它的底边长A的取值范围是______；若等腰三角形的底边长为4，则它的腰长 b 的取值范围是______. 解：腰长为6时，两腰之和为12，由 6+6>a 得 a<12，又 a>0，∴0<a<12；底边长为4时，由 b+b>4 得 b>2。 【例3】已知 a，b，c 为三角形三边的长，化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|. 解：∵a，b，c 是三角形的三边长，∴a<b+c，b<c+a，c<a+b，∴a-b-c<0，b-c-a<0，c-a-b<0，∴原式=(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c。 【变式】已知三角形的三边长分别为 2，a-1，4，化简 |a-3|+|a-7| 的结果为______. 解：由三边关系，得 4-2<a-1<4+2，即 2<a-1<6，∴3<a<7，∴a-3>0，a-7<0，∴原式=(a-3)+(7-a)=4。 【例4】一个等腰三角形的三边分别为 4，3a-2，6a-6，求这个三角形的周长. 解：分三种情况讨论： （1）4=3a-2，解得 a=2，此时三边长为 4，4，6，∵4+4>6，∴能组成三角形，周长为 4+4+6=14； （2）4=6a-6，解得 a=，此时 3a-2=3，三边长为 4，3，4，∵3+4>4，∴能组成三角形，周长为 4+3+4=11； （3）3a-2=6a-6，解得 a=，此时 3a-2=2，6a-6=2，三边长为 2，2，4，∵2+2=4，∴不能组成三角形，舍去。∴这个三角形的周长为14或11。 【变式1】一个等腰三角形的一边长为 4 cm，周长为 20 cm，求这个三角形的腰长. 解：若 4 cm 为腰长，则底边长为 20-4-4=12（cm），∵4+4<12，∴不能组成三角形，舍去；若 4 cm 为底边长，则腰长为 =8（cm），∵8+4>8，∴能组成三角形。∴这个三角形的腰长为 8 cm。 【变式2】用一条长为41的细绳围成一个三角形，已知该三角形的第一条边的长为 x，第二条边长比第一条边长的3倍少4，若该三角形恰好是一个等腰三角形，求这个三角形的三边长. 解：第三条边的长为 41-x-(3x-4)=45-4x。分三种情况讨论： （1）x=3x-4，解得 x=2，此时三边长为 2，2，37，∵2+2<37，∴不能组成三角形，舍去； （2）x=45-4x，解得 x=9，此时三边长为 9，23，9，∵9+9<23，∴不能组成三角形，舍去； （3）3x-4=45-4x，解得 x=7，此时三边长为 7，17，17，∵7+17>17，∴能组成三角形。∴这个三角形的三边长为 7，17，17。 【例5】如图，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，D 为 AB 边上一点（不与 A，B 两点重合），将△ACD 沿 CD 折叠，点A的对应点 E 落在 BC 的下方，求 BE 的取值范围. 解：∵62+82=100=102，∴△ABC 是直角三角形，∠A=90°。由折叠的性质，得 CE=CA=8，DE=DA。 ∵点 E 在以 C 为圆心、8 为半径的圆上，∴BE≥|BC-CE|=10-8=2；当 B，E，C 三点共线（即点 E 落在线段 BC 上）时 BE=2，此时 CD 为∠ACB 的平分线，点 E 落在 BC 上，不在 BC 的下方。 当点 D 由点 B 向点 A移动时，点 E 沿该圆运动到 BC 的下方，BE 逐渐增大；当点 D 无限接近点A时，点 E 无限接近点 A，BE 无限接近 AB=6，但取不到6。 ∴BE 的取值范围是 2<BE<6。 【变式1】如图，AB=10 cm，BC=18 cm，将线段 AB 绕着点 B 旋转，连接 AC，在旋转过程中，线段 AC 的最大值是______，最小值是______，AC 的取值范围是______. 解：∵线段 AB 绕点 B 旋转，∴AB=10 cm 始终不变。当点 A，B，C 在同一条直线上，且点 B 在 A，C 两点之间时，AC 最大，AC=AB+BC=10+18=28（cm）；当点 A，B，C 在同一条直线上，且点 A，B 在点 C 的同侧时，AC 最小，AC=BC-AB=18-10=8（cm）。 ∴AC 的最大值是 28 cm，最小值是 8 cm，AC 的取值范围是 8≤AC≤28 cm。 【变式2】如图，在△ABC 中，AB=3，BC=4，AC=5，D 为 BC 边上一动点，将△ABD 沿 AD 翻折，得到△APD，点 B 的对应点为点 P，连接 CP，则 CP 的最小值为______. 解：由翻折的性质，得 AP=AB=3。∵点 P 在以A为圆心、3 为半径的圆上，∴CP≥AC-AP=5-3=2。 当点 P 落在线段 AC 上时，CP=2，此时 AD 为∠BAC 的平分线，点 D 落在 BC 边上（由角平分线定理得 BD==1.5，符合题意），∴CP 的最小值为2。 第2课时 三角形的中线与重心 一、知识梳理 中线 重心 图形 结论 ①BD=CD；②C△ACD-C△ABD=AC-AB（C 表示周长）；③S△ABD=S△ACD=S△ABC；④S△BPD=S△CPD，S△APB=S△APC。 ①S△AOB=S△AOC=S△BOC；②S△AOF=S△BOF=S△BOD=S△AOD=S△COE=S△COF=S△ABC；③OA=2OD，OB=2OE，OC=2OF。 【温馨提醒】（1）三角形的中线是一条线段，它把三角形分成两个面积相等的小三角形；（2）三角形的三条中线相交于一点，这个点叫作三角形的重心；（3）重心到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。 二、核心母题 【例1】如图，在△ABC 中，D，E，F 分别为 BC，AD，CE 的中点，S△ABC=4，求 S△BEF. 解：∵D 为 BC 的中点，∴S△ABD=S△ACD=S△ABC=2。∵E 为 AD 的中点，∴S△BDE=S△ABD=1，S△CDE=S△ACD=1，∴S△BEC=S△BDE+S△CDE=2。∵F 为 CE 的中点，∴S△BEF=S△BEC=1。 【变式1】如图，在△ABC 中，D，E 分别是 BC，AC 的中点，则 =______. 解：∵E 是 AC 的中点，∴S△BEC=S△ABC。∵D 是 BC 的中点，∴S△BDE=S△BEC=S△ABC，∴=。 【变式2】如图，BD 是△ABC 的中线，AB=7，BC=3，且△ABD 的周长为15，则△BCD 的周长为______. 解：∵BD 是△ABC 的中线，∴AD=CD。∵△ABD 的周长为15，∴AB+BD+AD=7+BD+AD=15，∴BD+AD=8，∴△BCD 的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=3+8=11。 【例2】如图，O 为△ABC 的重心，AO，BO，CO 的延长线分别与 BC，AC，AB 交于点 E，F，D. （1）图中与△AOD 面积相等的三角形共有______个（△AOD 除外）； （2）试说明：AO=2OE. 解：（1）∵O 为△ABC 的重心，∴AE，BF，CD 是△ABC 的三条中线，它们把△ABC 分成面积相等的六个三角形：△AOD，△AOF，△BOD，△BOF，△COE，△COF，∴除△AOD 外，与△AOD 面积相等的三角形共有5个。 （2）∵E 是 BC 的中点，∴S△ABE=S△ABC；又 O 是△ABC 的重心，∴AO=AE，∴S△AOB=S△ABE=S△ABC，S△BOE=S△ABE=S△ABC。 ∵△AOB 与△BOE 有公共的边 OB，且点 A，O，E 在同一条直线上，∴=。∵S△AOB=S△ABC，S△BOE=S△ABC，∴=2，即 AO=2OE。 【变式1】如图，O 是△ABC 的重心，AN，CM 相交于点 O，△MON 的面积是1，则△ABC 的面积为______. 解：连接 AM。∵N 是 BC 的中点，M 是 AB 的中点，∴S△ABC 被三条中线分成面积相等的六个小三角形。 ∵M 是 AB 的中点，∴S△AMN=S△ABN=×S△ABC=S△ABC。又 O 是重心，∴AO=AN，∴S△AMO=S△AMN=×S△ABC=S△ABC。 ∵点 O 在线段 AN 上，∴S△MON=S△AMN-S△AMO=S△ABC-S△ABC=S△ABC。∵S△MON=1，∴S△ABC=1，∴S△ABC=12。 【变式2】如图，在 4×3 的正方形网中，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC 的顶点 B，C 为格点，CD 为△ABC 的中线。请用无刻度的直尺在图中画出△ABC 的重心 G，并画出△ABC 的中线 BF. 解：作法：（1）在 BC 上取中点 M。∵B，C 两点都是格点，且 BC 的长度为4个小正方形，∴BC 的中点 M 恰为 BC 上的格点； （2）连接 AM，AM 与 CD 相交于点 G，则点 G 就是△ABC 的重心（三角形的三条中线相交于一点）； （3）作射线 BG，交 AC 于点 F，则 BF 就是△ABC 的中线（过重心且过顶点 B 的直线必为中线，F 为 AC 的中点）。 第3课时 三角形的高 一、知识梳理 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 图形 结论 AB·CF=AC·BC=2S△ABC AB·CF=AC·BE=BC·AD=2S△ABC 三条高所在的直线交于一点，这个点称为垂心。 【温馨提醒】（1）三角形的高是一条线段，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点到对边所在直线的垂足；（2）钝角三角形的两条高落在三角形的外部，作图时要把对边延长；（3）同一个三角形用不同的边作底时，底与相应高的乘积都等于 2S△ABC，这就是“等面积法”，常用来证明线段之间的关系或求线段的长。 二、核心母题 【例1】如图，已知△ABC，画出△ABC 的高 AM，CN. 解：作法：（1）过点A作直线 BC 的垂线，垂足为 M，线段 AM 就是 BC 边上的高；（2）过点 C 作直线 AB 的垂线，垂足为 N，线段 CN 就是 AB 边上的高。（若垂足落在边的延长线上，应先把该边延长后再作垂线。） 【例2】如图，在△ABC 中，AB=2，BC=4，CH⊥AB 于点 H，AG⊥BC 于点 G.求证：CH=2AG. 解：证明：∵CH⊥AB，AG⊥BC，∴S△ABC=AB·CH=BC·AG。∵AB=2，BC=4，∴2CH=4AG，∴CH=2AG。 【变式1】如图，在△ABC 中，AB=AC，CH 是△ABC 的高，且 CH=8，D 为 BC 上一点，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，求 DE+DF 的值. 解：连接 AD。∵DE⊥AB，DF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=AB·DE+AC·DF。∵AB=AC，∴S△ABC=AB(DE+DF)。又 S△ABC=AB·CH，∴DE+DF=CH=8。 【变式2】已知 AD 是△ABC 的高，∠BAD=70°，∠CAD=20°，求∠BAC 的度数. 解：分两种情况讨论： （1）当高 AD 在∠BAC 的内部（即 AD 在 AB 与 AC 之间）时，∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°； （2）当高 AD 在∠BAC 的外部（即 AB 与 AC 在 AD 的同侧）时，∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°。∴∠BAC 的度数为 90°或 50°。 第4课时 面积转化与面积法 一、知识梳理 D 为 BC 上一点 AD∥BC 图形 结论 = ①S△ABC=S△DBC，S△ABD=S△ACD；②S△ABO=S△DCO；③=；④===。 【温馨提醒】（1）两个三角形的高相等时，它们的面积之比等于底之比；（2）两个三角形的底相等时，它们的面积之比等于高之比；（3）两平行线之间的距离处处相等，所以夹在两平行线之间的同底三角形面积相等，这是“面积转化”的核心依据。 二、核心母题 【例1】如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AC，BD 交于点 O，S△BOC=2S△AOB，BD=12，则 OD 的长为______. 解：∵△AOB 与△BOC 都以 AC 所在直线为底边所在直线，∴=。∵S△BOC=2S△AOB，∴=。 ∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴==。∵OD+OB=BD=12，∴OD=×12=4。 【例2】如图，在△ABC 中，D 是 BC 上一点，CD=2BD，E 是 AC 的中点，AD，BE 交于点 F。若 S△ABC=18，则 S四边形CDFE-S△ABF 的值为______. 解：∵CD=2BD，∴S△ABD=S△ABC=6，S△ACD=S△ABC=12。∵E 是 AC 的中点，∴S△ABE=S△CBE=S△ABC=9。 设 S△ABF=x。∵F 在 BE 上，∴==，∴S△CBF=S△ABF=x，∴S△ACF=18-2x。 ∵F 在 AD 上，∴==。又 S△BDF=6-x，S△DCF=12-(18-2x)=2x-6，∴=，解得 x=4.5。 ∵F 在 BE 上，∴S△AEF=S△ABE-S△ABF=9-4.5=4.5，S△BDF=6-4.5=1.5，∴S四边形CDFE=S△ABC-S△ABF-S△AEF-S△BDF=18-4.5-4.5-1.5=7.5，∴S四边形CDFE-S△ABF=7.5-4.5=3。 【变式】如图，∠ABC=∠BCD=90°，AB=6，BC=5，AD 与 BC 交于点 E，S△BDE=6. （1）求 CE 的长；（2）求△CDE 的面积. 解：（1）∵∠ABC=∠BCD=90°，∴AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴=。 ∵S△BDE=BE·CD=6，∴BE·CD=12。由 = 得 AB·CE=BE·CD，∴6CE=12，∴CE=2。 （2）∵BC=5，CE=2，∴BE=BC-CE=3，∴CD==4，∴S△CDE=CE·CD=×2×4=4。 第5课时 三角形的内角和 一、知识梳理 1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。 2. 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余（两锐角的和等于 90°）。 3. 由内角和定理可得：三角形中最多有一个直角或一个钝角；已知两个内角可求第三个角；已知三内角的比也可用“设 k 法”求解。 【温馨提醒】利用“角平分线＋高线”求角时，常先把各角用同一个未知数表示，再在某个三角形中用内角和列方程。 二、核心母题 题型1　利用三角形的内角和求角 【例1】如图，在△ABC 中，∠ABC=∠C，BD 是∠ABC 的平分线，且∠BDE=∠BED，∠A=100°，求∠DEC 的度数. 解：∵∠A=100°，∴∠ABC=∠C=×(180°-100°)=40°。 ∵BD 平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC=20°。 ∵∠DBC=20°，∠C=40°，∴∠BDC=180°-20°-40°=120°。 设∠BDE=∠BED=x。在△BDE 中，∠DBE+∠BDE+∠BED=180°，即 20°+2x=180°，∴x=80°，∴∠BED=80°。 ∵B，E，C 在同一条直线上，∴∠DEC=180°-∠BED=180°-80°=100°。 题型2　利用直角三角形的两锐角互余求角 【例2】如图，在△ABC 中，BD 是高，∠ABC=∠C.（1）若∠A=50°，求∠CBD 的度数；（2）若∠A=α，求∠CBD 的度数（用含 α 的式子表示）. 解：（1）∵∠A=50°，∠ABC=∠C，∴∠C=×(180°-50°)=65°。 ∵BD 是高，∴BD⊥AC，∴∠BDC=90°。在 Rt△BCD 中，∠CBD=90°-∠C=90°-65°=25°。 (2)同(1)，∠C=(180°-α)=90°-，∴∠CBD=90°-∠C=90°-(90°-)=。 实战演练 1. 如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠BAC=65°，求∠APB 的度数. 解：∵∠PAC=∠2=∠1，∠BAC=65°，∴∠PAB=∠BAC-∠PAC=65°-∠1。 在△ABP 中，∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=180°-(65°-∠1)-∠1=115°。 2. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=45°，D，E 分别是 BC 和 BC 延长线上的点，EF⊥AD 于点 F，∠BAD=2∠CAD.求∠E 的度数. 解：∵∠ACB=90°，∠B=45°，∴∠BAC=180°-90°-45°=45°。 ∵∠BAD=2∠CAD，且∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°，∴3∠CAD=45°，∴∠CAD=15°，∠BAD=30°。 在△ACD 中，∠ADC=180°-∠ACD-∠CAD=180°-90°-15°=75°。 ∵D，C，E 在同一条直线上，F 在 AD 上，∴∠EDF=∠CDA=75°。在 Rt△DEF 中，∠E=90°-∠EDF=90°-75°=15°。 第6课时 三角形的外角 一、知识梳理 1. 外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。三角形的一个顶点处有两个外角，它们是对顶角。 2. 外角的性质：（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；（2）三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。 3. 常用结论：（1）“8 字形”（对顶三角形）中，∠A+∠B=∠C+∠D；（2）“飞镖形”中，∠BDC=∠A+∠B+∠C；（3）n 边形的外角和为 360°，与边数无关。 【方法技巧】证明两个角相等或求角时，先把待求角“翻译”成某个三角形的外角，再用外角定理一步到位；能不进三角形内部算的，就不要绕远路。 二、核心母题 【例1】如图，点 E 在 BC 上，点 D 在 AE 上，∠A=20°，∠B=40°，∠C=50°.求∠ADB 的度数. 解：∵E 在 BC 上，∴∠AEB 是△AEC 的外角，∴∠AEB=∠A+∠C=20°+50°=70°。 ∵∠ADB 是△BDE 的外角，且∠DBE=∠B=40°，∴∠ADB=∠AEB+∠DBE=70°+40°=110°。 【例2】如图，已知∠A=20°，∠B=27°，AC⊥DE，垂足为 P，分别求∠1，∠D 的度数. 解：∵AC⊥DE 于点 P，∴∠APE=90°。 在 Rt△AEP 中，∠AEP=90°-∠A=90°-20°=70°，∴∠1=∠AEP=70°。 ∵A，E，B 三点共线，∴∠BED=180°-∠1=180°-70°=110°。 在△BED 中，∠D=180°-∠B-∠BED=180°-27°-110°=43°。 实战演练 1. 如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D.若∠B=68°，∠C=32°，AE⊥BC 于点 E，则∠EAD 的度数为______. 解：∵∠B=68°，∠C=32°，∴∠BAC=180°-68°-32°=80°。∵AD 平分∠BAC，∴∠CAD=×80°=40°。 ∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴在 Rt△AEC 中，∠CAE=90°-∠C=90°-32°=58°。 ∴∠EAD=∠CAE-∠CAD=58°-40°=18°。 2. 如图，△ABC 为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，求∠1+∠2 的度数. 解：设虚线分别与 AC，BC 交于点 D，E，则剪去的是△CDE，剩下四边形 ABED。 ∵四边形的内角和为 360°，∴∠1+∠2=360°-∠A-∠B。 ∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠1+∠2=360°-90°=270°。 3. 如图，已知 AD 是△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的高，∠BAC=60°，∠BCE=45°，求∠ADC 的度数. 解：∵CE 是△ABC 的高，∴CE⊥AB，∴在 Rt△BEC 中，∠B=90°-∠BCE=90°-45°=45°。 在△ABC 中，∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-45°-60°=75°。 ∵AD 平分∠BAC，∴∠DAC=×60°=30°。 在△ADC 中，∠ADC=180°-∠DAC-∠ACD=180°-30°-75°=75°。 第7课时 综合与实践——折叠求角 一、模型梳理 类型1　不压边（点A落在三角形内部） 条件：折叠△ADE 得△A′DE。结论：∠A=(∠1+∠2)。 类型2　压一边（点A落在三角形外部） 条件：折叠△ADE 得△A′DE。结论：∠A=(∠1-∠2)。 类型3　压两边（把底边 BC 向上翻折） 条件：BC 沿虚线 DE 折叠得 B′C′，∠B 对应∠B′，∠C 对应∠C′。结论：∠A=(∠1+∠2)。 【温馨提示】解折叠问题的关键是“折痕两侧的两个角相等”“对应线段相等”。求角时把折后的角转化为外角或内角，再用内角和、外角定理列式。 二、核心母题 1. 如图，在△ABC 中，∠B=80°，∠C=70°，将△ABC 沿 EF 折叠，点A落在三角形内的点 A′ 处，求∠1+∠2 的度数. 解：在△ABC 中，∠A=180°-∠B-∠C=180°-80°-70°=30°。 由类型 1 的结论 ∠A=(∠1+∠2)，得∠1+∠2=2∠A=2×30°=60°。 （也可直接推：∵∠1+∠2=(180°-∠A′DE-∠A′ED)+(180°-∠AED-∠ADE)=360°-2(∠ADE+∠AED)=360°-2(180°-∠A)=2∠A。） 2. 如图，将△ABC 纸片沿 DE 折叠，使点A落在四边形 BCED 外部点 A′ 的位置，求∠A 与∠1、∠2 之间的数量关系. 解：∠A 与∠1，∠2 的数量关系是 ∠A=(∠1-∠2)，即∠1-∠2=2∠A。 说明：由折叠得∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED。∵B，D，A 三点共线，∴∠1=180°-2∠ADE；同理∠2=180°-2∠AED，∴∠1-∠2=2(∠AED-∠ADE)。 又∵点 A′ 落在四边形 BCED 的外部，此时∠AED-∠ADE=∠A，∴∠1-∠2=2∠A，即∠A=(∠1-∠2)。 3. 如图，将△ABC 沿直线 MN 向上翻折，点 B，C 的对应点分别为点 B′，C′，MN 分别与 AB，AC 交于点 E，F，若∠1+∠2=90°，求∠A 的度数. 解：由类型 3 的结论 ∠A=(∠1+∠2)，得∠A=×90°=45°。 答：∠A=45°。 第8课时 方程思想 一、方法技巧 当问题中角度关系较为复杂时，可通过设元，寻找已知与未知间的等量关系，构造方程实现未知向已知的转化。 常用等量关系：（1）三角形内角和等于 180°；（2）外角等于与它不相邻的两个内角之和；（3）同一顶点处几个角之和等于该顶点的大角；（4）邻补角之和等于 180°。 二、核心母题 【例1】如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，∠1=∠A，∠2=∠C，求∠A 的度数. 解：设∠A=x。∵BD 平分∠ABC，且∠1=∠A=x，∴∠ABD=∠DBC=∠1=x，∠ABC=2x。 ∵∠2=∠BDC=∠C，设∠C=y，则在△BDC 中，∠DBC+∠BDC+∠C=180°，即 x+2y=180°。① 在△ABC 中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即 3x+y=180°。② 由①②解得 x=36°，y=72°。∴∠A=36°。 【例2】如图，∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∠1=40°.求∠EDC 的度数. 解：设∠EDC=x。 ∵∠ADC 是△ABD 的外角，∴∠ADC=∠B+∠1=∠B+40°。又∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠ADE=∠B+40°-x。 ∵∠AED 是△EDC 的外角，∴∠AED=∠C+x=∠B+x。 ∵∠ADE=∠AED，∴∠B+40°-x=∠B+x，∴2x=40°，∴x=20°。 ∴∠EDC=20°。 实战演练 1. 如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE⊥BD 交 BD 的延长线于点 E，∠ABC=72°，∠C∶∠ADB=2∶3，求∠BAC 和∠DAE 的度数. 解：设∠C=2x，∠ADB=3x。∵BD 平分∠ABC，∠ABC=72°，∴∠DBC=36°。 ∵∠ADB 是△BDC 的外角，∴∠ADB=∠DBC+∠C，即 3x=36°+2x，∴x=36°。 ∴∠C=72°，∠ADB=108°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-72°-72°=36°。 ∵E 在 BD 的延长线上，∴∠ADE=180°-∠ADB=180°-108°=72°。∵AE⊥BD，∴∠AED=90°，∴在 Rt△ADE 中，∠DAE=90°-∠ADE=90°-72°=18°。 2. 如图，在△ABC 中，D，E 分别为 BC，AC 上的点，∠B=∠C=∠ADE，∠AED-3∠BAD=∠DAC=20°.求∠B 的度数. 解：设∠B=∠C=∠ADE=α，∠BAD=β。 ∵∠DAC=20°，∴∠BAC=β+20°，在△ABC 中，2α+β+20°=180°，即 2α+β=160°。① 在△ADE 中，∠AED=180°-∠ADE-∠DAE=180°-α-20°=160°-α。∵∠AED-3∠BAD=20°，∴(160°-α)-3β=20°，即 α+3β=140°。② 由①②解得 α=68°，β=24°。∴∠B=68°。 第9课时 参数思想 一、方法技巧 当图形中涉及到的角较多、关系复杂，但某些角之间存在确定数量关系时，为方便起见，可用参数表示相关联的角，设而不求，使运算和表达变得简单明了。 【方法技巧】用参数表示角时，要抓住“等腰”“平分”“垂直”“平行”等条件，把同一串角统一到同一个参数上，最后常在某个三角形中用内角和把参数消掉。 二、核心母题 题型1　运用参数思想探求角的度数 【例1】如图，在△ABC 中，∠BAC=∠B，AD⊥BC 于点 D，AE 平分∠DAC 交 CD 于点 E，EF⊥AB 于点 F，求∠AEF 的度数. 解：设∠B=∠BAC=α，则∠C=180°-2α。 ∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=90°-∠C=90°-(180°-2α)=2α-90°。 ∵AE 平分∠DAC，∴∠EAC=(2α-90°)=α-45°，∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=α-(α-45°)=45°。 ∵E 在 BC 上，∴在△ABE 中，∠AEB=180°-∠B-∠BAE=180°-α-45°=135°-α。 ∵EF⊥AB，∴∠BFE=90°，∴在 Rt△BEF 中，∠BEF=90°-∠B=90°-α。 ∴∠AEF=∠AEB-∠BEF=(135°-α)-(90°-α)=45°。 答：∠AEF=45°。 题型2　运用参数思想探求角度关系 【例2】如图，在△ABC 中，∠B=∠C=45°，点 D 在 BC 边上，点 E 在 AC 边上，且∠ADE=∠AED，试写出∠BAD 与∠CDE 的数量关系，并说明理由. 解：∠BAD=2∠CDE。 理由：设∠CDE=α。∵∠AED 是△EDC 的外角，∴∠AED=∠C+∠CDE=45°+α。 ∵∠ADE=∠AED，∴∠ADE=45°+α。 ∵∠ADC 是△ABD 的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+∠BAD。又∠ADC=∠ADE+∠CDE=45°+α+α=45°+2α， ∴45°+∠BAD=45°+2α，即∠BAD=2α=2∠CDE。 实战演练 如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点 I。（1）如图 1，写出∠I 与∠A，∠D 之间的数量关系式并证明；（2）如图 2，直接写出∠I 与∠A，∠D 之间的数量关系式为______. 解：（1）∠I=90°+(∠A-∠D)，即 2∠I=180°+∠A-∠D。 证明：∵BI 平分∠ABD，CI 平分∠ACE，∴∠IBD=∠ABD，∠ACI=∠ACE=(180°-∠ACD)=90°-∠ACD。 在△BIC 中，∠I=180°-∠IBC-∠ICB。 ∵∠IBC=∠IBD-∠DBC=∠ABD-∠DBC，∠ICB=∠ACI+∠ACB=90°-∠ACD+∠ACB，且∠DBC=180°-∠D-∠BCD， ∴∠I=180°-(∠ABD-∠DBC)-(90°-∠ACD+∠ACB) =90°-∠ABD+∠ACD+(∠DBC-∠ACB) =90°-∠ABD+∠ACD+[(180°-∠D-∠BCD)-∠ACB] =90°-∠ABD+∠ACD+180°-∠D-(∠BCD+∠ACB) =270°-∠D-∠ABD-∠ACD（∵∠BCD+∠ACB=∠ACD）。 ∵∠A+∠ABD+∠ACD+∠D=360°，∴∠ABD+∠ACD=360°-∠A-∠D， ∴∠I=270°-∠D-(360°-∠A-∠D)=90°+(∠A-∠D)。 （2）如图 2，∠I=90°+(∠A-∠D)（即 2∠I=180°+∠A-∠D）。 第10课时 整体思想 一、方法技巧 当题目中的条件或结论是以某几个元素的整体呈现时，可以将其视为一个整体，运用整体思想求值。 【方法技巧】求“多角之和”常用两种转化：一是用外角把零散的角集中到同一个三角形中；二是把已知的“两角之和”整体代入，避免逐个求出每个角。 常用结论：①“五角星”形（图1）中，五个角尖处的角的度数之和为 180°；②两条直线相交加两个三角形（图2）中，六个角的度数之和为 360°。 二、核心母题 题型1　运用整体思想求多角之和 【例】(1)如图 1，求 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数；(2)如图 2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______. 解：(1) 180°。 设 AD 与 BC 交于点 P。∵A，P，D 三点共线，B，P，C 三点共线，∴∠PAB=∠DAB，∠PBA=∠ABC，∠PCD=∠C，∠PDC=∠D。 在△PCD 中，∠C+∠D=∠PCD+∠PDC=180°-∠CPD；在△PAB 中，∠DAB+∠ABC=∠PAB+∠PBA=180°-∠APB。 ∵∠CPD 与∠APB 是对顶角，∴∠CPD=∠APB，∴∠C+∠D=∠DAB+∠ABC。① 在△ABE 中，∠E=180°-∠EAB-∠EBA。由图可知射线 AD 在∠EAB 的内部、射线 BC 在∠EBA 的内部， ∴∠EAB=∠A+∠DAB，∠EBA=∠B+∠ABC， ∴∠E=180°-(∠A+∠DAB)-(∠B+∠ABC)=180°-∠A-∠B-(∠DAB+∠ABC)=180°-∠A-∠B-(∠C+∠D)（由①）， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。 (2) 360°。 设 AD 与 CF 交于点 O，则点 O 也在直线 BE 上，记∠AOF=∠1，∠BOC=∠2，∠DOE=∠3（与图中标注一致）。 ∵A，O，D 三点共线，B，O，E 三点共线，C，O，F 三点共线，∴∠A=∠FAO，∠F=∠AFO，∠B=∠OBC，∠C=∠BCO，∠D=∠ODE，∠E=∠OED。 在△AOF 中，∠A+∠F=180°-∠1；在△BOC 中，∠B+∠C=180°-∠2；在△DOE 中，∠D+∠E=180°-∠3。 ∵∠1 与∠COD 是对顶角，∴∠1=∠COD，∴∠1+∠2+∠3=∠COD+∠BOC+∠DOE=∠BOE=180°。 ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=540°-(∠1+∠2+∠3)=540°-180°=360°。 实战演练 1. 如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 的平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点 I，∠A+∠D=160°，求∠I 的度数. 解：∵BI 平分∠DBE，CI 平分∠DCF， ∴∠DBI=∠DBE=(180°-∠ABD)=90°-∠ABD，∠DCI=∠DCF=(180°-∠ACD)=90°-∠ACD。 ∵点 D 在△ABC 的内部，∴BD 在∠ABC 的内部，CD 在∠ACB 的内部，即∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠ACB=∠ACD+∠DCB。 ∵在△BDC 中，∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC；在△ABC 中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠A+(∠ABD+∠DBC)+(∠ACD+∠DCB)=180°，即∠A+∠ABD+∠ACD+(180°-∠BDC)=180°，∴∠ABD+∠ACD=∠BDC-∠A。① 在四边形 BDCI 中，∠DBI+∠BDC+∠DCI+∠BIC=360°， ∴∠BIC=360°-(90°-∠ABD)-∠BDC-(90°-∠ACD)=180°+(∠ABD+∠ACD)-∠BDC。 把①代入，得∠BIC=180°+(∠BDC-∠A)-∠BDC=180°-(∠A+∠BDC)。 ∵∠A+∠BDC=∠A+∠D=160°，∴∠BIC=180°-×160°=100°。答：∠I=100°。 2. 如图，在四边形 ABCD 中，AE 平分∠BAD，DE 平分∠ADC。(1)若∠B+∠C=120°，则∠BAD+∠CDA 的度数为______，∠AED 的度数为______（直接写出结果）；(2)根据(1)的启发，猜想∠B+∠C 与∠AED 之间的数量关系，并说明理由. 解：(1) 240°；60°。 ∵∠BAD+∠B+∠C+∠CDA=360°，∠B+∠C=120°，∴∠BAD+∠CDA=360°-120°=240°。 ∵AE 平分∠BAD，DE 平分∠ADC，∴∠EAD=∠BAD，∠ADE=∠CDA， ∴∠AED=180°-∠EAD-∠ADE=180°-(∠BAD+∠CDA)=180°-×240°=60°。 (2) ∠AED=(∠B+∠C)（即 2∠AED=∠B+∠C）。 理由：∵∠BAD+∠CDA=360°-(∠B+∠C)，∴∠AED=180°-(∠BAD+∠CDA)=180°-[360°-(∠B+∠C)]=(∠B+∠C)。 第11课时 特殊到一般 一、方法技巧 有些问题可以先研究特殊情形（如三角形、特殊位置），再把结论推广到一般情形（如四边形、一般位置），这就是“从特殊到一般”的思想方法。 【方法技巧】解题时先抓住特殊情形下得到的结论（如“两内角平分线的夹角 = 90°+∠A”），再在一般情形中寻找与之对应的结构，把一般问题化归为特殊问题。 二、核心母题 题型1　图形从特殊到一般 【例】探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系．如图 1，在△ADC 中，DP，CP 分别平分∠ADC 和∠ACD，试探究∠P 与∠A 的数量关系，并说明理由； 探究二：若将△ADC 改为任意四边形 ABCD 呢？如图 2，在四边形 ABCD 中，DP，CP 分别平分∠ADC 和∠BCD．(1)直接写出∠A+∠B+∠BCD+∠ADC 的度数为______；(2)请你利用上述结论探究∠P 与∠A+∠B 的数量关系，并说明理由． 解：探究一：∠P=90°+∠A（即 2∠P-∠A=180°）。 理由：在△ADC 中，∠ADC+∠ACD=180°-∠A。 ∵DP 平分∠ADC，CP 平分∠ACD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD， ∴∠PDC+∠PCD=(∠ADC+∠ACD)=(180°-∠A)=90°-∠A。 在△PCD 中，∠P=180°-(∠PDC+∠PCD)=180°-(90°-∠A)=90°+∠A。 探究二：(1) 360°。 (2) ∠P=(∠A+∠B)（即 2∠P=∠A+∠B）。 理由：在四边形 ABCD 中，∠ADC+∠BCD=360°-(∠A+∠B)。 ∵DP 平分∠ADC，CP 平分∠BCD，∴∠PDC+∠PCD=(∠ADC+∠BCD)=[360°-(∠A+∠B)]=180°-(∠A+∠B)， ∴∠P=180°-(∠PDC+∠PCD)=(∠A+∠B)。 说明：探究一中把“四边形”的边 AB 看成经过点A的一条直线，当∠B=180° 时，结论 (∠A+∠B)=90°+∠A 正好退化为探究一的结论，体现了从特殊到一般的联系。 实战演练 题型2　角度从特殊到一般 如图，△ABC 的角平分线 BD，CE 交于点 F，FH⊥BC 于点 H．(1)若∠ABC=40°，∠ACB=60°，求∠1-∠2 的度数；(2)若∠A=60°，求∠1-∠2 的度数；(3)若∠A=α，求∠1-∠2 的度数（用含 α 的式子表示）． 解：先求一般结论。 ∵BD 平分∠ABC，∴∠2=∠FBC=∠ABC。 ∵FH⊥BC，∴∠FHC=90°。在 Rt△FHC 中，∠1=∠HFC=90°-∠FCH=90°-∠ACB。 ∴∠1-∠2=90°-∠ACB-∠ABC=90°-(∠ABC+∠ACB)=90°-(180°-∠A)=∠A。 (1) ∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-40°-60°=80°，∴∠1-∠2=×80°=40°。 (2) ∠1-∠2=×60°=30°。 (3) ∠1-∠2=α。 第12课时 分类讨论 一、方法技巧 当图形的形状或位置不确定，可能出现不同情况时，则需要根据可能出现的情况分类讨论求解。 【方法技巧】分类讨论要做到“不重不漏”：先找出使图形发生变化的临界位置（如出现直角、点落在边上或边的延长线上），再逐一讨论，最后汇总结论。 二、核心母题 题型1　高的位置不确定，需分类讨论 【例】在△ABC 中，∠A=50°，BD，CE 是它的两条高，直线 BD，CE 交于点 F．求∠DFE 的度数． 解：分两种情况讨论。 ①当△ABC 是锐角三角形时，高 BD，CE 都在三角形内部，点 F 也在三角形内部。 ∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠DBC=90°-∠ACB，∠ECB=90°-∠ABC。 在△BFC 中，∠BFC=180°-(∠DBC+∠ECB)=180°-(90°-∠ACB+90°-∠ABC)=∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°。 此时 B，C 分别在射线 FD，FE 的反向延长线上，∴∠DFE=∠BFC=130°。 ②当∠B（或∠C）为钝角时（不妨设∠B 为钝角）：BD⊥AC，垂足 D 在边 AC 上；CE⊥AB，垂足 E 在 BA 的延长线上，点 F 在△ABC 的外部。 ∵B，F，D 三点共线，C，E，F 三点共线，且 B，C 分别在射线 FD，FC 上，∴∠DFE=∠BFC。 ∵∠FBC=180°-∠DBC=180°-(90°-∠ACB)=90°+∠ACB，∠FCB=∠ECB=90°-∠CBE=90°-(180°-∠ABC)=∠ABC-90°， ∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=180°-(90°+∠ACB)-(∠ABC-90°)=180°-∠ABC-∠ACB=∠A=50°，即∠DFE=50°。 综上所述，∠DFE 的度数为 130° 或 50°。 实战演练 1. 在△ABC 中，∠ABC=∠ACB，BD 是高，∠ABD=20°，求∠ACB 的度数． 解：分两种情况讨论。 ①当∠A 为锐角时，高 BD 在△ABC 内部，垂足 D 在边 AC 上。 在 Rt△ABD 中，∠ADB=90°，∴∠A=180°-90°-∠ABD=90°-20°=70°。∵∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=(180°-70°)=55°。 ②当∠A 为钝角时，高 BD 的垂足 D 在 CA 的延长线上，此时∠BAD=180°-∠BAC。 在 Rt△ABD 中，∠BAD=90°-∠ABD=90°-20°=70°，∴∠BAC=180°-70°=110°，∴∠ACB=(180°-110°)=35°。 （∵∠ABC=∠ACB，∴∠B，∠C 不可能同为钝角，故只有上述两种情况。） 答：∠ACB 的度数为 55° 或 35°。 题型2　点的位置不确定，需分类讨论 2. 如图，点 P 为△ABC 外一点，且在直线 BC 上方（点 P 不在直线 AB，BC，AC 上），连接 PB，PC。若∠PBA=α，∠PCA=β，∠BAC=γ，对于①α+γ-β；②γ-α-β；③β-α-γ；④360°-α-β-γ，则∠BPC 的度数可能是（　　） A. ①②　　B. ①③　　C. ②③　　D. ①②④ 解：设∠ABC=∠B，∠ACB=∠C，则∠B+∠C=180°-γ。满足条件的点 P 的位置有三种： ①点 P 在直线 AC 的右上方（此时射线 BP 落在∠ABC 的内部）：∠PBC=∠B-α，∠PCB=∠C+β， ∴∠BPC=180°-(∠B-α)-(∠C+β)=180°-(∠B+∠C)+α-β=γ+α-β，即 ①； ②点 P 在直线 AB 与直线 AC 的上方（即点 P 在顶点A的正上方一带）：∠PBC=∠B+α，∠PCB=∠C+β， ∴∠BPC=180°-(∠B+α)-(∠C+β)=180°-(∠B+∠C)-α-β=γ-α-β，即 ②； ③点 P 在直线 AB 的左上方（此时射线 CP 落在∠ACB 的内部）：∠PBC=∠B+α，∠PCB=∠C-β， ∴∠BPC=180°-(∠B+α)-(∠C-β)=γ+β-α，不在 ①②③④ 之列。 （④对应点 P 在直线 BC 下方的情形，与题设不符。） ∴∠BPC 的度数可能是 ①或②，故选 A。 第13课时 常用导角模型 一、七个基本导角模型 模型 图形 结论 模型1　8字形 结论：①∠A+∠B=∠C+∠D； ②∠A=∠C ⇔ ∠B=∠D。 模型2　A字形 结论：①∠1+∠2=∠B+∠C； ②∠3+∠4=180°+∠A。 模型3　风筝形 结论：∠1+∠2=∠A+∠D。 模型4　燕尾形 结论：∠A+∠B+∠C=∠D（D 是向内凹的顶点）。 模型5　余角模型 结论：①∠1=∠B；②∠2=∠A。 结论：①∠B=∠E；②∠1=∠2=∠A。 同角（或等角）的余角相等。 图1中 CD⊥AB，∠1=∠ACD，∠2=∠BCD； 图2中 ∠1=∠2=∠A。 模型6　补角模型 条件：∠A+∠C=180°。 结论：∠1=∠B（∠1 是顶点 D 处的一个外角）。 模型7　一线三等角模型 类型一　一线三垂直 类型二　同侧一线三等角 类型三　异侧一线三等角 条件：∠1=∠2=∠3。 结论：①∠CBE=∠D；②∠ABD=∠E。 二、典型应用 1. 8字形模型 如图，求 ∠C+∠D+∠E−∠A−∠B 的度数． 解：如图，设 AE 与 BC 相交于点 F。 ∵B，F，C 三点共线，A，F，E 三点共线，∴在 △ABF 与 △EFC 中 ∠AFB=∠EFC（对顶角），∴∠EAB+∠ABC=∠AEC+∠BCE（8字形结论）。 又 ∠BCD=∠BCE+∠ECD，∠DEA=∠DEC+∠CEA，且在 △CDE 中，∠ECD+∠CDE+∠DEC=180°，∴∠BCD+∠CDE+∠DEA=∠BCE+180°+∠CEA。 ∴∠C+∠D+∠E−∠A−∠B=（∠BCD+∠CDE+∠DEA）−（∠EAB+∠ABC）=（∠BCE+180°+∠CEA）−（∠AEC+∠BCE）=180°。 答：∠C+∠D+∠E−∠A−∠B 的度数为 180°。 2. A字形模型 如图，在 △ABC 中，∠A=65°，直线 DE 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，求 ∠BDE+∠CED 的度数． 解：∵D 在边 AB 上，E 在边 AC 上，∴∠BDE=180°−∠ADE，∠CED=180°−∠AED。 在 △ADE 中，∠ADE+∠AED=180°−∠A，∴∠BDE+∠CED=360°−（∠ADE+∠AED）=360°−（180°−∠A）=180°+∠A。∵∠A=65°，∴∠BDE+∠CED=180°+65°=245°。 另解：在四边形 BDEC 中，∠B+∠BDE+∠CED+∠C=360°，而 ∠B+∠C=180°−∠A=180°−65°=115°，∴∠BDE+∠CED=360°−115°=245°。 答：∠BDE+∠CED 的度数为 245°。 3. 风筝形模型 如图，∠A=70°，将 ∠A 沿 EF 翻折得到 ∠EDF，则图中 ∠1+∠2 的度数为______． 解：由翻折可知 ∠EDF=∠A=70°（即 ∠D=∠A）。∵A，E，B 三点共线，A，F，C 三点共线，∴∠1=180°−∠AED，∠2=180°−∠AFD。 在四边形 AEDF 中，∠A+∠AED+∠D+∠AFD=360°，∴∠1+∠2=360°−（∠AED+∠AFD）=∠A+∠D=2∠A。∵∠A=70°，∴∠1+∠2=2×70°=140°。 答：∠1+∠2 的度数为 140°。 4. 燕尾形模型 如图，CE 平分 ∠ACD 交 AB 于点 E，∠D−∠A=60°，∠B=20°，则 ∠D−∠BEC 的度数为______． 解：由“燕尾形”模型（凹顶点为 D 的四边形 ABDC）得 ∠D=∠A+∠ABD+∠ACD。 ∵∠D−∠A=60°，∠ABD=∠B=20°，∴∠ACD=∠D−∠A−∠ABD=60°−20°=40°。∵CE 平分 ∠ACD，∴∠DCE=∠ECA=∠ACD=20°。 再由“燕尾形”模型（凹顶点为 D 的四边形 EBDC）得 ∠D=∠BEC+∠EBD+∠DCE。∵E 在 AB 上，∴∠EBD=∠ABD=20°，∴∠D−∠BEC=∠EBD+∠DCE=20°+20°=40°。 答：∠D−∠BEC 的度数为 40°。 5. 余角模型 如图，∠F=∠D=90°，AF∥BC．求证：∠DEF=∠BCD． 证明：∵AF∥BC，∴∠FAB+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）。 ∵六边形 ABCDEF 的内角和为 (6−2)×180°=720°，且 ∠D=∠F=90°，∴∠BCD+∠E=720°−(∠FAB+∠ABC)−∠D−∠F=720°−180°−90°−90°=360°（∠E 表示六边形在点 E 处的内角）。 ∵在点 E 处，六边形的内角 ∠E 与 ∠DEF 恰好拼成一个周角，∴∠E+∠DEF=360°，即 ∠DEF=360°−∠E。 ∴∠DEF=360°−∠E=∠BCD。 6. 补角模型 如图，在四边形 ABCD 中，∠B=∠D=90°，AE 平分 ∠DAB 交 CD 于点 E，交 BC 的延长线于点 G． （1）求证：∠ECG=2∠DAE；（2）求证：∠CEG=∠G． 证明（1）：在四边形 ABCD 中，∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°。∵∠B=∠D=90°，∴∠DAB+∠BCD=180°，即 ∠DAB=180°−∠BCD。 ∵E 在 DC 上，G 在 BC 的延长线上，∴∠ECG 与 ∠BCD 互补，∠ECG=180°−∠BCD。∴∠ECG=∠DAB。 ∵AE 平分 ∠DAB，∴∠DAB=2∠DAE，∴∠ECG=2∠DAE。 证明（2）：∵E 在 DC 上，A，E，G 三点共线，∴∠CEG 与 ∠DEA 是对顶角，∠CEG=∠DEA。∵∠D=90°，∴在 Rt△ADE 中，∠DEA=90°−∠DAE。 在 △CEG 中，∠G=180°−∠CEG−∠ECG=180°−（90°−∠DAE）−2∠DAE=90°−∠DAE=∠CEG。∴∠CEG=∠G。 7. 一线三等角模型 如图，P 是 ∠BAC 内一点，∠B=37°，∠C=25°，过点 P 作直线 EF，分别交 AB，AC 于点 E，F．若 ∠BEP=∠BPC=∠PFC，求 ∠A 的度数． 解：在 △ABC 中，∠A=180°−∠B−∠C=180°−37°−25°=118°。 答：∠A 的度数为 118°。 【说明】设 ∠BEP=∠BPC=∠PFC=x。∵E，P，F 三点共线，∴∠EPB+∠BPC+∠CPF=180°。由 △BEP 得 ∠EPB=180°−x−∠EBP，由 △PCF 得 ∠CPF=180°−x−∠FCP，∴360°−x−∠EBP−∠FCP=180°，即 x=180°−（∠EBP+∠FCP）。 又由 △BPC 得 x=180°−∠PBC−∠PCB=∠A+（∠EBP+∠FCP），∴∠EBP+∠FCP=(180°−∠A)=(∠B+∠C)=×62°=31°，∴x=180°−31°=149°，即当 ∠BEP=∠BPC=∠PFC=149° 时这样的点 P 存在，此时 ∠A=118°。 8. 角平分线与导角综合 如图，∠ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 E，连接 CE，若 ∠A=∠D=∠BEC，求证：CE 平分 ∠BCD． 证明：设 ∠A=∠D=∠BEC=α。 在四边形 ABCD 中，∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，∴∠ABC+∠BCD=360°−2α。∵BE 平分 ∠ABC，∴∠EBC=∠ABC。 在 △BEC 中，∠BCE=180°−∠EBC−∠BEC=180°−∠ABC−α。 ∴∠ECD=∠BCD−∠BCE=（360°−2α−∠ABC）−（180°−∠ABC−α）=180°−α−∠ABC=∠BCE。 ∴CE 平分 ∠BCD。 第14课时 双角平分线夹角模型 一、五个基本模型 模型 图形 条件与结论 模型1　双内角平分线 条件：BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB。 结论：∠P=90°+∠A。 模型2　双外角平分线 条件：BP 平分∠DBC，CP 平分∠ECB。 结论：∠P=90°−∠A。 模型3　一内一外角平分线 条件：BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACD。 结论：∠P=∠A。 模型4　8字形双平分线 条件：AP 平分∠BAD，CP 平分∠BCD。 结论：∠P=(∠B+∠D)。 模型5-1　燕尾形双平分线 条件：BP 平分∠ABD，CP 平分∠ACD。 结论：∠P=(∠A+∠D)。 模型5-2　燕尾形双平分线 条件：AP 平分∠BAC，DP 平分∠BDC（∠C>∠B）。 结论：∠P=(∠C−∠B)。 二、五个模型结论的证明 模型1　双内角平分线夹角：∠P=90°+∠A 证明：在 △ABC 中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A。 ∵BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°−∠A)=90°−∠A。 在 △PBC 中，∠P=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−(90°−∠A)=90°+∠A。 模型2　双外角平分线夹角：∠P=90°−∠A 证明：∵∠DBC，∠ECB 分别是 △ABC 在顶点 B，C 处的外角，∴∠DBC=180°−∠ABC，∠ECB=180°−∠ACB。 ∵BP 平分∠DBC，CP 平分∠ECB，∴∠PBC+∠PCB=(∠DBC+∠ECB)=(360°−∠ABC−∠ACB)=[360°−(180°−∠A)]=90°+∠A。 在 △PBC 中，∠P=180°−(90°+∠A)=90°−∠A。 模型3　一内一外角平分线夹角：∠P=∠A 证明：∵∠ACD 是 △ABC 在顶点 C 处的外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC。∵CP 平分∠ACD，∴∠PCD=∠ACD=(∠A+∠ABC)。∵BP 平分∠ABC，∴∠PBC=∠ABC。 ∵∠PCD 是 △PBC 在顶点 C 处的外角，∴∠PCD=∠PBC+∠P，∴∠P=∠PCD−∠PBC=(∠A+∠ABC)−∠ABC=∠A。 模型4　8字形双平分线夹角：∠P=(∠B+∠D) 证明：设 AD 与 BC 相交于点 O。在 △AOB 与 △COD 中，∠AOB=∠COD（对顶角），由 8 字形结论得 ∠DAB+∠ABC=∠BCD+∠CDA，∴∠DAB−∠BCD=∠D−∠B。 ∵AP 平分∠BAD，CP 平分∠BCD，∴∠PAB=∠DAB，∠PCB=∠BCD。 设 AP 与 BC 相交于点 M，同理（△AMB 与 △PMC 有对顶角）得 ∠PAB+∠ABC=∠PCB+∠P，∴∠P=∠PAB+∠B−∠PCB=∠DAB+∠B−∠BCD=(∠D−∠B)+∠B=(∠B+∠D)。 模型5-1　燕尾形双平分线夹角：∠P=(∠A+∠D) 证明：由燕尾形模型（凹顶点为 D 的四边形 ABDC）得 ∠D=∠A+∠ABD+∠ACD。① 由燕尾形模型（凹顶点为 P 的四边形 ABPC）得 ∠P=∠A+∠ABP+∠ACP。②∵BP 平分∠ABD，CP 平分∠ACD，∴∠ABP=∠ABD，∠ACP=∠ACD。 由 ② 得 ∠P=∠A+(∠ABD+∠ACD)，又由 ① 得 ∠ABD+∠ACD=∠D−∠A，∴∠P=∠A+(∠D−∠A)=(∠A+∠D)。 模型5-2　燕尾形双平分线夹角：∠P=(∠C−∠B) 证明：设直线 AP 与直线 BD 相交于点 Q。∵AP 平分∠BAC，DP 平分∠BDC，∴∠QAB=∠BAC，∠BDP=∠BDC。 在 △AQB 中，∠AQB=180°−∠QAB−∠ABQ=180°−∠BAC−∠ABD。 ∵∠ACD>∠ABD，∴点 Q 落在 BD 的延长线上（B，D，Q 依次共线），∴∠DQP=180°−∠AQB=∠BAC+∠ABD，∠QDP=180°−∠BDP=180°−∠BDC。 在 △DQP 中，∠P=180°−∠DQP−∠QDP=∠BDC−∠BAC−∠ABD。 由燕尾形模型 ∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD，∴∠P=(∠BAC+∠ABD+∠ACD)−∠BAC−∠ABD=(∠ACD−∠ABD)=(∠C−∠B)。 第15课时 双角平分线夹角模型 一、典例精讲 题型1　双内角平分线夹角问题 【例1】(1) 如图1，在 △ABC 中，∠A=60°，∠ABC，∠ACB 的三等分线交于点 O₁，O₂，则 ∠BO₁C 的度数为______，∠BO₂C 的度数为______； (2) 如图2，在 △ABC 中，∠ABC 的三等分线分别与 ∠ACB 的平分线交于点 O₁，O₂，若 ∠BO₁C=125°，∠BO₂C=110°，求 ∠A 的度数． 解：(1) ∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°−60°=120°。∵O₁ 是 ∠ABC，∠ACB 的三等分线（靠 BC 的那一条）的交点，∴∠O₁BC=∠ABC，∠O₁CB=∠ACB，∴∠BO₁C=180°−(∠ABC+∠ACB)=180°−×120°=140°。 同理，O₂ 是 ∠ABC，∠ACB 的另一条三等分线的交点，∴∠BO₂C=180°−(∠ABC+∠ACB)=180°−×120°=100°。∴∠BO₁C=140°，∠BO₂C=100°。 答：(1) 140°，100°。 (2) 设 ∠ABC 的三等分角为 β（即 ∠ABC=3β），∠ACB 被平分线分成的角为 γ（即 ∠ACB=2γ）。∵∠BO₁C 与 ∠BO₂C 分别由 ∠ABC 的两条三等分线与 ∠ACB 的平分线围成，∴180°−β−γ=125°，180°−2β−γ=110°。 两式相减得 β=15°，代入得 180°−15°−γ=125°，∴γ=40°。∴∠ABC=3β=45°，∠ACB=2γ=80°，∴∠A=180°−45°−80°=55°。 答：(2) ∠A 的度数为 55°。 题型2　内、外角平分线夹角问题 【例2】如图，在平面直角坐标系中，点A为 x 轴上的一点，点 B 为 y 轴上的一点，AD 平分 ∠BAx，BP 平分 ∠OBA，BP 与 DA 的延长线交于点 P，求 ∠P 的度数． 解：∵点A在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，∴∠AOB=90°。 ∵Ax 与 AO 互为反向延长线，∴∠BAx 是 △AOB 在顶点A处的外角。∵AD 平分 ∠BAx，BP 平分 ∠OBA，∴由“一内一外角平分线夹角模型”（∠P=∠O）得 ∠P=∠AOB=×90°=45°。 答：∠P 的度数为 45°。 题型3　8字形双角平分线夹角问题 【例3】如图，AB 和 CD 相交于点 O，∠C=∠COA，∠BDC=∠BOD，AP，DP 分别平分 ∠CAO 和 ∠BDC．若 ∠C+∠P+∠B=165°，则 ∠C 的度数是______． 解：设直线 AP 与 CD 相交于点 M。 ∵AB 与 CD 相交于点 O，由 8 字形（△AOC 与 △BOD）得 ∠CAO+∠ACO=∠DBO+∠BDO，即 ∠BAC+∠C=∠B+∠BDC。 ∵∠COA 与 ∠BOD 是对顶角，∴∠COA=∠BOD，又 ∠C=∠COA，∠BDC=∠BOD，∴∠C=∠BDC，代入上式得 ∠BAC=∠B。 在 △AOC 中，∠BAC+∠COA+∠ACO=180°，即 ∠BAC+2∠C=180°，∴∠BAC=∠B=180°−2∠C。 ∵AP 平分 ∠CAO（即 ∠BAC），DP 平分 ∠BDC，∴∠PAC=∠BAC=90°−∠C，∠MDP=∠CDP=∠BDC=∠C。 由 8 字形（△AMC 与 △DMP）得 ∠PAC+∠ACD=∠MDP+∠P，∴∠P=（90°−∠C）+∠C−∠C=90°−∠C。 ∴∠C+∠P+∠B=∠C+（90°−∠C）+（180°−2∠C）=270°−∠C=165°，∴∠C=105°，∠C=70°。 答：∠C 的度数是 70°。 题型4　燕尾形双角平分线夹角问题 【例4】如图，BM 平分 ∠ABC 交 CD 于点 E，DN 平分 ∠ADC．若 ∠A=∠C，求证：BM∥DN． 证明：∵BM 平分 ∠ABC，∴∠EBC=∠B。在 △BCE 中，∠BEC=180°−∠EBC−∠BCE=180°−∠B−∠C，∴∠MEC=180°−∠BEC=∠B+∠C。① 由燕尾形模型（凹顶点为 D 的四边形 ABCD）得 ∠ADC=∠A+∠B+∠C。∵∠A=∠C，∴∠ADC=2∠C+∠B。∵DN 平分 ∠ADC，∴∠NDC=∠ADC=∠B+∠C。② 由 ①② 得 ∠MEC=∠NDC。∵E，D 都在直线 CD 上，射线 EC 与射线 DC 方向相同，∴EM∥DN（同位角相等，两直线平行），即 BM∥DN。 题型5　双外角平分线夹角问题 【例5】如图，在平面直角坐标系中，点A为 x 轴上的一点，点 B 为 y 轴上的一点，AC 平分 ∠BAx，BC 平分 ∠ABy，求 ∠C 的度数． 解：∵点A在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，∴∠AOB=90°。∵Ax 与 AO 互为反向延长线，By 与 BO 互为反向延长线，∴∠BAx，∠ABy 分别是 △AOB 在顶点 A，B 处的外角。 ∵AC 平分 ∠BAx，BC 平分 ∠ABy，∴由“双外角平分线夹角模型”得 ∠C=90°−∠AOB=90°−×90°=45°。 答：∠C 的度数为 45°。 二、实战演练 1. 如图，∠BAC=∠BDC=90°，PB 平分 ∠ABD，PC 平分 ∠ACD，求 ∠P 的度数． 解：设 AC 与 BD 相交于点 E。在 △ABE 与 △DCE 中，∠AEB=∠DEC（对顶角），由 8 字形结论得 ∠BAC+∠ABD=∠BDC+∠ACD。∵∠BAC=∠BDC=90°，∴∠ABD=∠ACD。 ∵PB 平分 ∠ABD，PC 平分 ∠ACD，∴∠PBD=∠ABD=∠ACD=∠PCD。 ∵∠PBC=∠PBD+∠DBC，∠PCB=∠DCB−∠PCD，∴∠P=180°−∠PBC−∠PCB=180°−（∠PBD+∠DBC）−（∠DCB−∠PCD）=180°−（∠DBC+∠DCB）−（∠PBD−∠PCD）=180°−（180°−∠BDC）=∠BDC=90°。 答：∠P 的度数为 90°。 2. 如图，在 △ABC 中，∠ABC 和 ∠ACB 的平分线交于点 P，过点 P 作直线 MN，分别与 AB，AC 交于点 M，N．若 ∠AMN=∠ANM，求证：∠BPC=∠BMN=∠CNM． 证明：∵∠AMN=∠ANM，∴∠AMN=∠ANM=(180°−∠A)=90°−∠A。 ∵A，M，B 三点共线，A，N，C 三点共线，∴∠BMN=180°−∠AMN=90°+∠A，∠CNM=180°−∠ANM=90°+∠A。 ∵BP 平分 ∠ABC，CP 平分 ∠ACB，∴由双内角平分线夹角模型得 ∠BPC=90°+∠A。∴∠BPC=∠BMN=∠CNM。 3. 如图，E 为 BC 延长线上一点，∠ABC 和 ∠DCE 的平分线交于点 F．若 ∠A=60°，∠ADC=150°，求 ∠F 的度数． 解：由燕尾形模型（凹顶点为 D 的四边形 ABCD）得 ∠ADC=∠A+∠B+∠C，∴∠B+∠C=150°−60°=90°。 ∵BF 平分 ∠ABC，CF 平分 ∠DCE，∴∠FBC=∠B，∠FCE=∠DCE=(180°−∠C)=90°−∠C。∵CB 与 CE 互为反向延长线，∴∠BCF=180°−∠FCE=90°+∠C。 ∴∠F=180°−∠FBC−∠BCF=180°−∠B−90°−∠C=90°−(∠B+∠C)=90°−×90°=45°。 答：∠F 的度数为 45°。 第16课时 高与角平分线夹角模型 一、常用模型与结论 类型 图形 条件与结论 类型1　高与角分线共顶点 条件：AD 是角平分线，AE 是高，∠C>∠B。 结论：∠DAE=(∠C−∠B)。 类型2　类型1变式1 条件：AD 是角平分线，点 P 在 AD 的延长线上，PE⊥BC 于点 E，∠C>∠B。 结论：∠P=(∠C−∠B)。 类型3　类型1变式2 条件：AD 是角平分线，点 P 在 BC 的延长线上，PE⊥AD 于点 E，∠C>∠B。 结论：∠P=(∠C−∠B)。 类型4　高与角分线不共顶点 条件：∠ACB=90°，角平分线 AD 与高 CE 交于点 F。 结论：∠CDF=∠CFD。 二、四个结论的证明 类型1　∠DAE=(∠C−∠B) 证明：∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=(180°−∠B−∠C)=90°−(∠B+∠C)。 ∵AE 是 BC 边上的高，∴∠AEB=90°，在 Rt△ABE 中，∠BAE=90°−∠B。∵∠C>∠B，∴∠BAE−∠BAD=90°−∠B−[90°−(∠B+∠C)]=(∠C−∠B)>0，即 ∠BAE>∠BAD， ∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=（90°−∠B）−[90°−(∠B+∠C)]=(∠C−∠B)。 类型2　∠P=(∠C−∠B) 证明：∵AE⊥BC，PE⊥BC，∴PE∥AE。∵A，D，P 三点共线（射线 PA 与射线 AD 方向相反，射线 PE 与射线 AE 方向相反），∴∠APE=∠DAE。 ∴∠P=∠APE=∠DAE=(∠C−∠B)（由类型1）。 类型3　∠P=(∠C−∠B) 证明：∵P 在 BC 的延长线上，E 在 AD 上，PE⊥AD，∴在 Rt△PDE 中，∠P=90°−∠PDE，且 ∠PDE=∠CDA（射线 DP 与射线 DC 方向相同，射线 DE 与射线 DA 方向相同）。 ∵∠CDA 是 △ABD 在顶点 D 处的外角（DC 是 DB 的反向延长线），∴∠CDA=∠BAD+∠B=∠BAC+∠B，∴∠P=90°−∠BAC−∠B=(180°−∠BAC−∠B)−∠B=(∠C−∠B)。 类型4　∠CDF=∠CFD 证明：∵CE 是 AB 边上的高，∴CE⊥AB，∠AEF=90°，在 Rt△AEF 中，∠AFE=90°−∠EAF=90°−∠BAD=90°−∠BAC。 ∵∠CFD 与 ∠AFE 是对顶角（FA 与 FD、FC 与 FE 分别互为反向延长线），∴∠CFD=90°−∠BAC。 ∵∠CDF 是 △ABD 在顶点 D 处的外角（DC 是 DB 的反向延长线），∴∠CDF=∠BAD+∠B=∠BAC+∠B。∵∠ACB=90°，∴∠BAC+∠B=90°，∴∠B=90°−∠BAC，∴∠CDF=∠BAC+（90°−∠BAC）=90°−∠BAC=∠CFD。 第17课时 数学活动 变式一　搭多边形 1. 用3根等长的线段可以组成1个等边三角形（如图所示）。 （1）用6根等长线段最多能组成______个等边三角形； （2）用9根等长线段最多能组成______个等边三角形。 （以上搭图可以考虑立体图形） 解：（1）4个；（2）6个。 （1）6根等长线段可搭成1个正四面体（三棱锥）：底面用3根围成1个正三角形，另3根分别从底面三个顶点汇于第四点，它的四个面都是等边三角形，所以最多能组成4个等边三角形。 （2）9根等长线段可搭成1个“三角双锥”，即两个正四面体沿同一个面粘合而成：公共面用3根，公共面的三个顶点各向上、向下引1根共6根，共3+3+3=9根；它的面数为4+4−2=6，所以最多能组成6个等边三角形。 2. 用一些等长的线段组成正方形，动手完成下列问题（可以考虑立体图形）： （1）用4根等长线段可以组成______个正方形； （2）用7根等长线段最多可以组成______个正方形； （3）用9根等长线段最多可以组成______个正方形； （4）用12根等长线段最多可以组成______个正方形。 解：（1）1个；（2）2个；（3）3个；（4）6个。 （1）4根首尾相接恰好围成1个正方形。 （2）两个正方形共用一条边，需要 4+4−1=7 根，所以最多组成2个正方形。 （3）取正方体中两两相邻的三个面（“前面”“上面”“右面”），这三个面共用一个顶点，围成它们恰好用到9条棱，即9根线段，得到3个正方形，所以最多组成3个正方形。 （4）12根恰好搭成1个正方体，它的6个面都是正方形，所以最多组成6个正方形。 变式二　多边形的三角剖分 3. 把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段在多边形内部不相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分，其中三角形的个数记为 F，剖分完成后线段总数记为 E，多边形的所有顶点数记为 V。如图1为一种四边形的三角剖分，则 V=4，E=5，F=2。 （1）如图2为一种五边形的三角剖分，V=______，E=______，F=______； （2）如图3为一种六边形的三角剖分，V=______，E=______，F=______； （3）对于 n 边形（n≥3）的三角剖分，请写出 V，E，F 的数量关系（用 V，E，F 表示），并证明你的结论。 解：（1）V=5，E=7，F=3；（2）V=6，E=9，F=4。 （3）V−E+F=1。 证明：① 求三角形个数。n 边形三角剖分后共得 F 个三角形，每个三角形的内角和为 180°，而这些三角形的内角恰好拼成 n 边形的内角和 (n−2)·180°，∴F·180°=(n−2)·180°，∴F=n−2。 ② 求线段总数。F 个三角形共有 3F=3(n−2) 条边，其中多边形的 n 条边各被数 1 次，内部每一条对角线都被相邻两个三角形共用、各被数 2 次。设对角线有 d 条，则 3(n−2)=n+2d，解得 d=n−3，∴E=n+d=n+(n−3)=2n−3。 ∴V−E+F=n−(2n−3)+(n−2)=1。 验证：n=4 时 4−5+2=1；n=5 时 5−7+3=1；n=6 时 6−9+4=1，均成立。 4. 同第3题，用 Dn 表示 n 边形的不同三角剖分方法数。发现 n≥3 时，=。 （1）直接写出：D3=______，D4=______； （2）用已知式子求 D5 的值，并画图验证 D5 的正确性。 解：（1）D3=1（三角形本身就是1个三角形）；D4=2（四边形有2条对角线，任连其中1条都把四边形剖分成2个三角形，两条对角线各给出一种剖分）。 （2）在 = 中取 n=4，得 ==，∴D5=D4×=2×=5。 画图验证：把五边形的五个顶点按顺序记为 A，B，C，D，E。一种三角剖分就是画出两条互不相交的对角线。把五边形中互不相交的两条对角线全部找出，恰好有 5 组（见下图），即 5 种不同的剖分方法，与 D5=5 相符。 5 组依次是：（AC，AD），（AC，CE），（AD，BD），（BD，BE），（BE，CE）。每一组都把五边形剖分成 3 个三角形，故 D5=5。 第18课时 阅读理解与新定义 一、新定义 【定义】如果两个角的差为 30°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫作另一个角的“伙伴角”。例如：α=50°，β=20°，α−β=30°，则 α 和 β 互为“伙伴角”，即 α 是 β 的“伙伴角”，β 也是 α 的“伙伴角”。 二、理解与运用 （1）【理解】已知 ∠1 和 ∠2 互为“伙伴角”，且 ∠1+∠2=90°，则 ∠1 的度数为______； 解：填 60° 或 30°。由“伙伴角”的定义，得 |∠1−∠2|=30°。 若 ∠1−∠2=30°，与 ∠1+∠2=90° 联立，两式相加得 2∠1=120°，∴∠1=60°，∠2=30°； 若 ∠2−∠1=30°，同理得 ∠1=30°，∠2=60°。故 ∠1 的度数为 60° 或 30°。 （2）【运用】如图1，在 △ABC 中，∠ACB=90°，过点 C 作 AB 的平行线 CM，∠ABC 的平分线 BD 分别交 AC，CM 于 D，E 两点。 ① 若 ∠A>∠BEC，且 ∠A 和 ∠BEC 互为“伙伴角”，求 ∠A 的度数； ② 如图2所示，∠ACM 的平分线 CF 交 BE 于点 F，当 ∠A 和 ∠BFC 互为“伙伴角”时，直接写出 ∠A 的度数。 解：① ∠A=50°。设 ∠ABC=2β，∵BD 平分 ∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=β。 ∵CM∥AB，BE 是截线，∴∠BEC=∠ABE=β（两直线平行，内错角相等）。 ∵∠ACB=90°，∴∠A=90°−∠ABC=90°−2β。 ∵∠A 和 ∠BEC 互为“伙伴角”，∴|∠A−∠BEC|=30°，即 |90°−2β−β|=30°，|90°−3β|=30°。 若 90°−3β=30°，则 β=20°，∠A=90°−40°=50°，此时 ∠BEC=20°，∠A>∠BEC，符合题意； 若 90°−3β=−30°，则 β=40°，∠A=90°−80°=10°，此时 ∠BEC=40°，∠A<∠BEC，与 ∠A>∠BEC 矛盾，舍去。∴∠A=50°。 ② ∠A=75° 或 15°。 ∵CM∥AB，∴∠ACM=∠A（内错角），∵CF 平分 ∠ACM，∴∠ACF=∠FCM=∠A。 ∵BD 平分 ∠ABC，∴∠CBF=∠ABC。∵∠ACB=90°，CF 在 ∠ACB 的外侧，∴∠BCF=∠BCA+∠ACF=90°+∠A。 在 △BCF 中，∠BFC=180°−∠CBF−∠BCF=180°−∠ABC−(90°+∠A)=90°−(∠A+∠ABC)，∵∠A+∠ABC=90°，∴∠BFC=90°−×90°=45°。 ∵∠A 和 ∠BFC 互为“伙伴角”，∴|∠A−45°|=30°，∴∠A=75° 或 15°。 第19课时 综合与实践 （1）【阅读理解】如图1，在 △ABC 中，延长 AB 到点 M，BP 平分 ∠MBC，延长 AC 到点 N，CP 平分 ∠NCB，PB 交 PC 于点 P，则 ∠ABC+∠ACB=2∠BPC；理由如下（将过程补充完整）： ∵BP 平分 ∠MBC，CP 平分 ∠BCN， ∴∠CBP=∠MBC=∠A+∠ACB，∠BCP=∠BCN=∠A+∠ABC， ……（请补充完整） 解（补充完整）：∴∠BPC=180°−∠CBP−∠BCP=180°−(∠A+∠ACB)−(∠A+∠ABC)=180°−∠A−(∠ABC+∠ACB)。 ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A=180°−(∠ABC+∠ACB)， ∴∠BPC=180°−[180°−(∠ABC+∠ACB)]−(∠ABC+∠ACB)=(∠ABC+∠ACB)−(∠ABC+∠ACB)=(∠ABC+∠ACB)，∴∠ABC+∠ACB=2∠BPC。 （2）【变式运用】如图2，在 △ABC 中，E 是 AB 边上一点，F 是 AC 边上一点，延长 AB 到点 M，BP 平分 ∠MBC，FP 平分 ∠EFC，BP 交 FP 于点 P，若 ∠AEF=α，∠ACB=β，∠BPF=θ，求证：θ=。 证明：∵BP 平分 ∠MBC，∴∠PBC=∠MBC=(180°−∠ABC)=90°−∠ABC。 ∵∠EFC 是 △AEF 在顶点 F 处的外角（FC 是 FA 的反向延长线），∴∠EFC=∠A+∠AEF=∠A+α，∵FP 平分 ∠EFC，∴∠PFC=∠EFC=(∠A+α)。 在 △BCF 中，∵F 在 AC 上，∴∠BCF=∠BCA=β，∴∠CBF+∠BFC=180°−β。 在 △BPF 中，∠PBF=∠PBC+∠CBF，∠BFP=∠BFC−∠PFC，∴θ=180°−∠PBF−∠BFP=180°−(∠PBC+∠CBF)−(∠BFC−∠PFC)=180°−∠PBC−(∠CBF+∠BFC)+∠PFC=180°−∠PBC−(180°−β)+∠PFC=β−∠PBC+∠PFC。 ∴θ=β−(90°−∠ABC)+(∠A+α)=β−90°+(∠A+∠ABC)+α=β−90°+(180°−β)+α=α+β，即 θ=。 （3）【拓展加深】如图3，在 △ABC 中，E 是 AB 边上一点，F 是 AC 边上一点，延长 EF 到点 G，BP 平分 ∠ABC，FP 平分 ∠AFG，BP 交 PF 于点 P，若 ∠AEF=α，∠ACB=β，∠BPF=θ，探究并直接写出 α，β，θ 之间的等量关系。 解：α+β+2θ=180°（即 θ=90°−）。 理由：设 BP 与 AC 交于点 O。在 △BOC 中，∵BP 平分 ∠ABC，∴∠OBC=∠ABC，∴∠BOC=180°−∠OBC−∠BCO=180°−∠ABC−β。 ∵∠AFG 是 △AEF 在顶点 F 处的外角（FG 是 FE 的延长线），∴∠AFG=∠A+∠AEF=∠A+α，∵FP 平分 ∠AFG，∴∠OFP=∠AFP=∠AFG=(∠A+α)。 在 △FOP 中，∠OPF=θ（OP 与 OB 互为反向延长线），∠FOP=180°−∠BOC，∴θ=180°−∠OFP−∠FOP=180°−(∠A+α)−(180°−∠BOC)=∠BOC−(∠A+α)=180°−∠ABC−β−∠A−α=180°−β−(∠A+∠ABC)−α。 ∵∠A+∠ABC=180°−β，∴θ=180°−β−(180°−β)−α=90°−β−α，即 α+β+2θ=180°。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形 题集 目录 第1课时 三角形的三边关系 4 第2课时 三角形的中线与重心 7 第3课时 三角形的高 9 第4课时 面积转化与面积法 11 第5课时 三角形的内角和 13 题型1　利用三角形的内角和求角 13 题型2　利用直角三角形的两锐角互余求角 13 第6课时 三角形的外角 15 第7课时 综合与实践——折叠求角 17 类型1　不压边（点A落在三角形内部） 17 类型2　压一边（点A落在三角形外部） 17 类型3　压两边（把底边 BC 向上翻折） 17 第8课时 方程思想 19 第9课时 参数思想 21 题型1　运用参数思想探求角的度数 21 题型2　运用参数思想探求角度关系 21 第10课时 整体思想 23 题型1　运用整体思想求多角之和 23 第11课时 特殊到一般 25 题型1　图形从特殊到一般 25 题型2　角度从特殊到一般 26 第12课时 分类讨论 27 题型1　高的位置不确定，需分类讨论 27 题型2　点的位置不确定，需分类讨论 27 第13课时 常用导角模型 28 1. 8字形模型 29 2. A字形模型 30 3. 风筝形模型 30 4. 燕尾形模型 30 5. 余角模型 31 6. 补角模型 31 7. 一线三等角模型 31 8. 角平分线与导角综合 32 第14课时 双角平分线夹角模型 33 模型1　双内角平分线夹角：∠P=90°+∠A 34 模型2　双外角平分线夹角：∠P=90°−∠A 34 模型3　一内一外角平分线夹角：∠P=∠A 34 模型4　8字形双平分线夹角：∠P=(∠B+∠D) 34 模型5-1　燕尾形双平分线夹角：∠P=(∠A+∠D) 34 模型5-2　燕尾形双平分线夹角：∠P=(∠C−∠B) 34 第15课时 双角平分线夹角模型 35 题型1　双内角平分线夹角问题 35 题型2　内、外角平分线夹角问题 35 题型3　8字形双角平分线夹角问题 36 题型4　燕尾形双角平分线夹角问题 36 题型5　双外角平分线夹角问题 37 第16课时 高与角平分线夹角模型 39 类型1　∠DAE=(∠C−∠B) 39 类型2　∠P=(∠C−∠B) 40 类型3　∠P=(∠C−∠B) 40 类型4　∠CDF=∠CFD 40 第17课时 数学活动 41 变式一　搭多边形 41 变式二　多边形的三角剖分 42 第18课时 阅读理解与新定义 44 第19课时 综合与实践 45 第1课时 三角形的三边关系 一、知识梳理 1. 三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 2. 判断三条线段能否组成三角形：只要两条较短的线段之和大于最长的线段，就能组成三角形；否则不能组成三角形。 3. 已知两边长，求第三边（或含参数的边）的取值范围：设三角形三边的长为 a，b，c，则 |a-b|<c<a+b。 4. 等腰三角形中的分类讨论：已知等腰三角形两边的长，求第三边的长或周长时，要分“已知边为腰”和“已知边为底”两种情况讨论，并检验三边能否组成三角形。 【温馨提醒】（1）三边关系中的“任意两边”是指三条不等式都要成立；（2）含参数的边长必须同时满足“边长为正数”和“三边关系”两个条件；（3）分类讨论得到的每一种结果都要回代检验能否组成三角形。 二、核心母题 【例1】用4根长度分别为 5 cm，7 cm，9 cm，13 cm 的木棒，可以摆出______种不同的三角形. 【变式1】若三条线段中 a=3，b=5，c 为奇数，那么由 a，b，c 为边组成的三角形共有（ ） A. 1个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【变式2】已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长为4，但不是最短边，这样的三角形共有______个. 【例2】已知等腰三角形的周长为12. （1） 若腰长为 x，求 x 的取值范围；（2）若底边长为 y，求 y 的取值范围. 【变式1】已知三角形的三边长分别为 2，a-1，5，则A的取值范围为______. 【变式2】若等腰三角形的腰长为6，则它的底边长A的取值范围是______；若等腰三角形的底边长为4，则它的腰长 b 的取值范围是______. 【例3】已知 a，b，c 为三角形三边的长，化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|. 【变式】已知三角形的三边长分别为 2，a-1，4，化简 |a-3|+|a-7| 的结果为______. 【例4】一个等腰三角形的三边分别为 4，3a-2，6a-6，求这个三角形的周长. 【变式1】一个等腰三角形的一边长为 4 cm，周长为 20 cm，求这个三角形的腰长. 【变式2】用一条长为41的细绳围成一个三角形，已知该三角形的第一条边的长为 x，第二条边长比第一条边长的3倍少4，若该三角形恰好是一个等腰三角形，求这个三角形的三边长. 【例5】如图，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，D 为 AB 边上一点（不与 A，B 两点重合），将△ACD 沿 CD 折叠，点A的对应点 E 落在 BC 的下方，求 BE 的取值范围. 【变式1】如图，AB=10 cm，BC=18 cm，将线段 AB 绕着点 B 旋转，连接 AC，在旋转过程中，线段 AC 的最大值是______，最小值是______，AC 的取值范围是______. 【变式2】如图，在△ABC 中，AB=3，BC=4，AC=5，D 为 BC 边上一动点，将△ABD 沿 AD 翻折，得到△APD，点 B 的对应点为点 P，连接 CP，则 CP 的最小值为______. 第2课时 三角形的中线与重心 一、知识梳理 中线 重心 图形 结论 ①BD=CD；②C△ACD-C△ABD=AC-AB（C 表示周长）；③S△ABD=S△ACD=S△ABC；④S△BPD=S△CPD，S△APB=S△APC。 ①S△AOB=S△AOC=S△BOC；②S△AOF=S△BOF=S△BOD=S△AOD=S△COE=S△COF=S△ABC；③OA=2OD，OB=2OE，OC=2OF。 【温馨提醒】（1）三角形的中线是一条线段，它把三角形分成两个面积相等的小三角形；（2）三角形的三条中线相交于一点，这个点叫作三角形的重心；（3）重心到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。 二、核心母题 【例1】如图，在△ABC 中，D，E，F 分别为 BC，AD，CE 的中点，S△ABC=4，求 S△BEF. 【变式1】如图，在△ABC 中，D，E 分别是 BC，AC 的中点，则 =______. 【变式2】如图，BD 是△ABC 的中线，AB=7，BC=3，且△ABD 的周长为15，则△BCD 的周长为______. 【例2】如图，O 为△ABC 的重心，AO，BO，CO 的延长线分别与 BC，AC，AB 交于点 E，F，D. （1）图中与△AOD 面积相等的三角形共有______个（△AOD 除外）； （2）试说明：AO=2OE. 【变式1】如图，O 是△ABC 的重心，AN，CM 相交于点 O，△MON 的面积是1，则△ABC 的面积为______. 【变式2】如图，在 4×3 的正方形网中，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC 的顶点 B，C 为格点，CD 为△ABC 的中线。请用无刻度的直尺在图中画出△ABC 的重心 G，并画出△ABC 的中线 BF. 第3课时 三角形的高 一、知识梳理 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 图形 结论 AB·CF=AC·BC=2S△ABC AB·CF=AC·BE=BC·AD=2S△ABC 三条高所在的直线交于一点，这个点称为垂心。 【温馨提醒】（1）三角形的高是一条线段，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点到对边所在直线的垂足；（2）钝角三角形的两条高落在三角形的外部，作图时要把对边延长；（3）同一个三角形用不同的边作底时，底与相应高的乘积都等于 2S△ABC，这就是“等面积法”，常用来证明线段之间的关系或求线段的长。 二、核心母题 【例1】如图，已知△ABC，画出△ABC 的高 AM，CN. 【例2】如图，在△ABC 中，AB=2，BC=4，CH⊥AB 于点 H，AG⊥BC 于点 G.求证：CH=2AG. 【变式1】如图，在△ABC 中，AB=AC，CH 是△ABC 的高，且 CH=8，D 为 BC 上一点，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，求 DE+DF 的值. 【变式2】已知 AD 是△ABC 的高，∠BAD=70°，∠CAD=20°，求∠BAC 的度数. 第4课时 面积转化与面积法 一、知识梳理 D 为 BC 上一点 AD∥BC 图形 结论 = ①S△ABC=S△DBC，S△ABD=S△ACD；②S△ABO=S△DCO；③=；④===。 【温馨提醒】（1）两个三角形的高相等时，它们的面积之比等于底之比；（2）两个三角形的底相等时，它们的面积之比等于高之比；（3）两平行线之间的距离处处相等，所以夹在两平行线之间的同底三角形面积相等，这是“面积转化”的核心依据。 二、核心母题 【例1】如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AC，BD 交于点 O，S△BOC=2S△AOB，BD=12，则 OD 的长为______. 【例2】如图，在△ABC 中，D 是 BC 上一点，CD=2BD，E 是 AC 的中点，AD，BE 交于点 F。若 S△ABC=18，则 S四边形CDFE-S△ABF 的值为______. 【变式】如图，∠ABC=∠BCD=90°，AB=6，BC=5，AD 与 BC 交于点 E，S△BDE=6. （1）求 CE 的长；（2）求△CDE 的面积. 第5课时 三角形的内角和 一、知识梳理 1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。 2. 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余（两锐角的和等于 90°）。 3. 由内角和定理可得：三角形中最多有一个直角或一个钝角；已知两个内角可求第三个角；已知三内角的比也可用“设 k 法”求解。 【温馨提醒】利用“角平分线＋高线”求角时，常先把各角用同一个未知数表示，再在某个三角形中用内角和列方程。 二、核心母题 题型1　利用三角形的内角和求角 【例1】如图，在△ABC 中，∠ABC=∠C，BD 是∠ABC 的平分线，且∠BDE=∠BED，∠A=100°，求∠DEC 的度数. 题型2　利用直角三角形的两锐角互余求角 【例2】如图，在△ABC 中，BD 是高，∠ABC=∠C.（1）若∠A=50°，求∠CBD 的度数；（2）若∠A=α，求∠CBD 的度数（用含 α 的式子表示）. 实战演练 1. 如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠BAC=65°，求∠APB 的度数. 2. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=45°，D，E 分别是 BC 和 BC 延长线上的点，EF⊥AD 于点 F，∠BAD=2∠CAD.求∠E 的度数. 第6课时 三角形的外角 一、知识梳理 1. 外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。三角形的一个顶点处有两个外角，它们是对顶角。 2. 外角的性质：（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；（2）三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。 3. 常用结论：（1）“8 字形”（对顶三角形）中，∠A+∠B=∠C+∠D；（2）“飞镖形”中，∠BDC=∠A+∠B+∠C；（3）n 边形的外角和为 360°，与边数无关。 【方法技巧】证明两个角相等或求角时，先把待求角“翻译”成某个三角形的外角，再用外角定理一步到位；能不进三角形内部算的，就不要绕远路。 二、核心母题 【例1】如图，点 E 在 BC 上，点 D 在 AE 上，∠A=20°，∠B=40°，∠C=50°.求∠ADB 的度数. 【例2】如图，已知∠A=20°，∠B=27°，AC⊥DE，垂足为 P，分别求∠1，∠D 的度数. 实战演练 1. 如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D.若∠B=68°，∠C=32°，AE⊥BC 于点 E，则∠EAD 的度数为______. 2. 如图，△ABC 为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，求∠1+∠2 的度数. 3. 如图，已知 AD 是△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的高，∠BAC=60°，∠BCE=45°，求∠ADC 的度数. 第7课时 综合与实践——折叠求角 一、模型梳理 类型1　不压边（点A落在三角形内部） 条件：折叠△ADE 得△A′DE。结论：∠A=(∠1+∠2)。 类型2　压一边（点A落在三角形外部） 条件：折叠△ADE 得△A′DE。结论：∠A=(∠1-∠2)。 类型3　压两边（把底边 BC 向上翻折） 条件：BC 沿虚线 DE 折叠得 B′C′，∠B 对应∠B′，∠C 对应∠C′。结论：∠A=(∠1+∠2)。 【温馨提示】解折叠问题的关键是“折痕两侧的两个角相等”“对应线段相等”。求角时把折后的角转化为外角或内角，再用内角和、外角定理列式。 二、核心母题 1. 如图，在△ABC 中，∠B=80°，∠C=70°，将△ABC 沿 EF 折叠，点A落在三角形内的点 A′ 处，求∠1+∠2 的度数. 2. 如图，将△ABC 纸片沿 DE 折叠，使点A落在四边形 BCED 外部点 A′ 的位置，求∠A 与∠1、∠2 之间的数量关系. 3. 如图，将△ABC 沿直线 MN 向上翻折，点 B，C 的对应点分别为点 B′，C′，MN 分别与 AB，AC 交于点 E，F，若∠1+∠2=90°，求∠A 的度数. 第8课时 方程思想 一、方法技巧 当问题中角度关系较为复杂时，可通过设元，寻找已知与未知间的等量关系，构造方程实现未知向已知的转化。 常用等量关系：（1）三角形内角和等于 180°；（2）外角等于与它不相邻的两个内角之和；（3）同一顶点处几个角之和等于该顶点的大角；（4）邻补角之和等于 180°。 二、核心母题 【例1】如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，∠1=∠A，∠2=∠C，求∠A 的度数. 【例2】如图，∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∠1=40°.求∠EDC 的度数. 实战演练 1. 如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE⊥BD 交 BD 的延长线于点 E，∠ABC=72°，∠C∶∠ADB=2∶3，求∠BAC 和∠DAE 的度数. 2. 如图，在△ABC 中，D，E 分别为 BC，AC 上的点，∠B=∠C=∠ADE，∠AED-3∠BAD=∠DAC=20°.求∠B 的度数. 第9课时 参数思想 一、方法技巧 当图形中涉及到的角较多、关系复杂，但某些角之间存在确定数量关系时，为方便起见，可用参数表示相关联的角，设而不求，使运算和表达变得简单明了。 【方法技巧】用参数表示角时，要抓住“等腰”“平分”“垂直”“平行”等条件，把同一串角统一到同一个参数上，最后常在某个三角形中用内角和把参数消掉。 二、核心母题 题型1　运用参数思想探求角的度数 【例1】如图，在△ABC 中，∠BAC=∠B，AD⊥BC 于点 D，AE 平分∠DAC 交 CD 于点 E，EF⊥AB 于点 F，求∠AEF 的度数. 题型2　运用参数思想探求角度关系 【例2】如图，在△ABC 中，∠B=∠C=45°，点 D 在 BC 边上，点 E 在 AC 边上，且∠ADE=∠AED，试写出∠BAD 与∠CDE 的数量关系，并说明理由. 实战演练 如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点 I。（1）如图 1，写出∠I 与∠A，∠D 之间的数量关系式并证明；（2）如图 2，直接写出∠I 与∠A，∠D 之间的数量关系式为______. 。 第10课时 整体思想 一、方法技巧 当题目中的条件或结论是以某几个元素的整体呈现时，可以将其视为一个整体，运用整体思想求值。 【方法技巧】求“多角之和”常用两种转化：一是用外角把零散的角集中到同一个三角形中；二是把已知的“两角之和”整体代入，避免逐个求出每个角。 常用结论：①“五角星”形（图1）中，五个角尖处的角的度数之和为 180°；②两条直线相交加两个三角形（图2）中，六个角的度数之和为 360°。 二、核心母题 题型1　运用整体思想求多角之和 【例】(1)如图 1，求 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数；(2)如图 2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______. 实战演练 1. 如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 的平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点 I，∠A+∠D=160°，求∠I 的度数. 2. 如图，在四边形 ABCD 中，AE 平分∠BAD，DE 平分∠ADC。(1)若∠B+∠C=120°，则∠BAD+∠CDA 的度数为______，∠AED 的度数为______（直接写出结果）；(2)根据(1)的启发，猜想∠B+∠C 与∠AED 之间的数量关系，并说明理由. 第11课时 特殊到一般 一、方法技巧 有些问题可以先研究特殊情形（如三角形、特殊位置），再把结论推广到一般情形（如四边形、一般位置），这就是“从特殊到一般”的思想方法。 【方法技巧】解题时先抓住特殊情形下得到的结论（如“两内角平分线的夹角 = 90°+∠A”），再在一般情形中寻找与之对应的结构，把一般问题化归为特殊问题。 二、核心母题 题型1　图形从特殊到一般 【例】探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系．如图 1，在△ADC 中，DP，CP 分别平分∠ADC 和∠ACD，试探究∠P 与∠A 的数量关系，并说明理由； 探究二：若将△ADC 改为任意四边形 ABCD 呢？如图 2，在四边形 ABCD 中，DP，CP 分别平分∠ADC 和∠BCD．(1)直接写出∠A+∠B+∠BCD+∠ADC 的度数为______；(2)请你利用上述结论探究∠P 与∠A+∠B 的数量关系，并说明理由． 实战演练 题型2　角度从特殊到一般 如图，△ABC 的角平分线 BD，CE 交于点 F，FH⊥BC 于点 H．(1)若∠ABC=40°，∠ACB=60°，求∠1-∠2 的度数；(2)若∠A=60°，求∠1-∠2 的度数；(3)若∠A=α，求∠1-∠2 的度数（用含 α 的式子表示）． 第12课时 分类讨论 一、方法技巧 当图形的形状或位置不确定，可能出现不同情况时，则需要根据可能出现的情况分类讨论求解。 【方法技巧】分类讨论要做到“不重不漏”：先找出使图形发生变化的临界位置（如出现直角、点落在边上或边的延长线上），再逐一讨论，最后汇总结论。 二、核心母题 题型1　高的位置不确定，需分类讨论 【例】在△ABC 中，∠A=50°，BD，CE 是它的两条高，直线 BD，CE 交于点 F．求∠DFE 的度数． 实战演练 1. 在△ABC 中，∠ABC=∠ACB，BD 是高，∠ABD=20°，求∠ACB 的度数． 题型2　点的位置不确定，需分类讨论 2. 如图，点 P 为△ABC 外一点，且在直线 BC 上方（点 P 不在直线 AB，BC，AC 上），连接 PB，PC。若∠PBA=α，∠PCA=β，∠BAC=γ，对于①α+γ-β；②γ-α-β；③β-α-γ；④360°-α-β-γ，则∠BPC 的度数可能是（　　） A. ①②　　B. ①③　　C. ②③　　D. ①②④ 第13课时 常用导角模型 一、七个基本导角模型 模型 图形 结论 模型1　8字形 结论：①∠A+∠B=∠C+∠D； ②∠A=∠C ⇔ ∠B=∠D。 模型2　A字形 结论：①∠1+∠2=∠B+∠C； ②∠3+∠4=180°+∠A。 模型3　风筝形 结论：∠1+∠2=∠A+∠D。 模型4　燕尾形 结论：∠A+∠B+∠C=∠D（D 是向内凹的顶点）。 模型5　余角模型 结论：①∠1=∠B；②∠2=∠A。 结论：①∠B=∠E；②∠1=∠2=∠A。 同角（或等角）的余角相等。 图1中 CD⊥AB，∠1=∠ACD，∠2=∠BCD； 图2中 ∠1=∠2=∠A。 模型6　补角模型 条件：∠A+∠C=180°。 结论：∠1=∠B（∠1 是顶点 D 处的一个外角）。 模型7　一线三等角模型 类型一　一线三垂直 类型二　同侧一线三等角 类型三　异侧一线三等角 条件：∠1=∠2=∠3。 结论：①∠CBE=∠D；②∠ABD=∠E。 二、典型应用 1. 8字形模型 如图，求 ∠C+∠D+∠E−∠A−∠B 的度数． 2. A字形模型 如图，在 △ABC 中，∠A=65°，直线 DE 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，求 ∠BDE+∠CED 的度数． 3. 风筝形模型 如图，∠A=70°，将 ∠A 沿 EF 翻折得到 ∠EDF，则图中 ∠1+∠2 的度数为______． 4. 燕尾形模型 如图，CE 平分 ∠ACD 交 AB 于点 E，∠D−∠A=60°，∠B=20°，则 ∠D−∠BEC 的度数为______． 5. 余角模型 如图，∠F=∠D=90°，AF∥BC．求证：∠DEF=∠BCD． 6. 补角模型 如图，在四边形 ABCD 中，∠B=∠D=90°，AE 平分 ∠DAB 交 CD 于点 E，交 BC 的延长线于点 G． （1）求证：∠ECG=2∠DAE；（2）求证：∠CEG=∠G． 7. 一线三等角模型 如图，P 是 ∠BAC 内一点，∠B=37°，∠C=25°，过点 P 作直线 EF，分别交 AB，AC 于点 E，F．若 ∠BEP=∠BPC=∠PFC，求 ∠A 的度数． 8. 角平分线与导角综合 如图，∠ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 E，连接 CE，若 ∠A=∠D=∠BEC，求证：CE 平分 ∠BCD． 第14课时 双角平分线夹角模型 一、五个基本模型 模型 图形 条件与结论 模型1　双内角平分线 条件：BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB。 结论：∠P=90°+∠A。 模型2　双外角平分线 条件：BP 平分∠DBC，CP 平分∠ECB。 结论：∠P=90°−∠A。 模型3　一内一外角平分线 条件：BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACD。 结论：∠P=∠A。 模型4　8字形双平分线 条件：AP 平分∠BAD，CP 平分∠BCD。 结论：∠P=(∠B+∠D)。 模型5-1　燕尾形双平分线 条件：BP 平分∠ABD，CP 平分∠ACD。 结论：∠P=(∠A+∠D)。 模型5-2　燕尾形双平分线 条件：AP 平分∠BAC，DP 平分∠BDC（∠C>∠B）。 结论：∠P=(∠C−∠B)。 二、五个模型结论的证明 模型1　双内角平分线夹角：∠P=90°+∠A 模型2　双外角平分线夹角：∠P=90°−∠A 模型3　一内一外角平分线夹角：∠P=∠A 模型4　8字形双平分线夹角：∠P=(∠B+∠D) 模型5-1　燕尾形双平分线夹角：∠P=(∠A+∠D) 模型5-2　燕尾形双平分线夹角：∠P=(∠C−∠B) 第15课时 双角平分线夹角模型 一、典例精讲 题型1　双内角平分线夹角问题 【例1】(1) 如图1，在 △ABC 中，∠A=60°，∠ABC，∠ACB 的三等分线交于点 O₁，O₂，则 ∠BO₁C 的度数为______，∠BO₂C 的度数为______； (2) 如图2，在 △ABC 中，∠ABC 的三等分线分别与 ∠ACB 的平分线交于点 O₁，O₂，若 ∠BO₁C=125°，∠BO₂C=110°，求 ∠A 的度数． 题型2　内、外角平分线夹角问题 【例2】如图，在平面直角坐标系中，点A为 x 轴上的一点，点 B 为 y 轴上的一点，AD 平分 ∠BAx，BP 平分 ∠OBA，BP 与 DA 的延长线交于点 P，求 ∠P 的度数． 题型3　8字形双角平分线夹角问题 【例3】如图，AB 和 CD 相交于点 O，∠C=∠COA，∠BDC=∠BOD，AP，DP 分别平分 ∠CAO 和 ∠BDC．若 ∠C+∠P+∠B=165°，则 ∠C 的度数是______． 题型4　燕尾形双角平分线夹角问题 【例4】如图，BM 平分 ∠ABC 交 CD 于点 E，DN 平分 ∠ADC．若 ∠A=∠C，求证：BM∥DN． 题型5　双外角平分线夹角问题 【例5】如图，在平面直角坐标系中，点A为 x 轴上的一点，点 B 为 y 轴上的一点，AC 平分 ∠BAx，BC 平分 ∠ABy，求 ∠C 的度数． 二、实战演练 1. 如图，∠BAC=∠BDC=90°，PB 平分 ∠ABD，PC 平分 ∠ACD，求 ∠P 的度数． 2. 如图，在 △ABC 中，∠ABC 和 ∠ACB 的平分线交于点 P，过点 P 作直线 MN，分别与 AB，AC 交于点 M，N．若 ∠AMN=∠ANM，求证：∠BPC=∠BMN=∠CNM． 3. 如图，E 为 BC 延长线上一点，∠ABC 和 ∠DCE 的平分线交于点 F．若 ∠A=60°，∠ADC=150°，求 ∠F 的度数． 第16课时 高与角平分线夹角模型 一、常用模型与结论 类型 图形 条件与结论 类型1　高与角分线共顶点 条件：AD 是角平分线，AE 是高，∠C>∠B。 结论：∠DAE=(∠C−∠B)。 类型2　类型1变式1 条件：AD 是角平分线，点 P 在 AD 的延长线上，PE⊥BC 于点 E，∠C>∠B。 结论：∠P=(∠C−∠B)。 类型3　类型1变式2 条件：AD 是角平分线，点 P 在 BC 的延长线上，PE⊥AD 于点 E，∠C>∠B。 结论：∠P=(∠C−∠B)。 类型4　高与角分线不共顶点 条件：∠ACB=90°，角平分线 AD 与高 CE 交于点 F。 结论：∠CDF=∠CFD。 二、四个结论的证明 类型1　∠DAE=(∠C−∠B) 类型2　∠P=(∠C−∠B) 类型3　∠P=(∠C−∠B) 类型4　∠CDF=∠CFD 第17课时 数学活动 变式一　搭多边形 1. 用3根等长的线段可以组成1个等边三角形（如图所示）。 （1）用6根等长线段最多能组成______个等边三角形； （2）用9根等长线段最多能组成______个等边三角形。 （以上搭图可以考虑立体图形） 2. 用一些等长的线段组成正方形，动手完成下列问题（可以考虑立体图形）： （1）用4根等长线段可以组成______个正方形； （2）用7根等长线段最多可以组成______个正方形； （3）用9根等长线段最多可以组成______个正方形； （4）用12根等长线段最多可以组成______个正方形。 变式二　多边形的三角剖分 3. 把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段在多边形内部不相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分，其中三角形的个数记为 F，剖分完成后线段总数记为 E，多边形的所有顶点数记为 V。如图1为一种四边形的三角剖分，则 V=4，E=5，F=2。 （1）如图2为一种五边形的三角剖分，V=______，E=______，F=______； （2）如图3为一种六边形的三角剖分，V=______，E=______，F=______； （3）对于 n 边形（n≥3）的三角剖分，请写出 V，E，F 的数量关系（用 V，E，F 表示），并证明你的结论。 4. 同第3题，用 Dn 表示 n 边形的不同三角剖分方法数。发现 n≥3 时，=。 （1）直接写出：D3=______，D4=______； （2）用已知式子求 D5 的值，并画图验证 D5 的正确性。 第18课时 阅读理解与新定义 一、新定义 【定义】如果两个角的差为 30°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫作另一个角的“伙伴角”。例如：α=50°，β=20°，α−β=30°，则 α 和 β 互为“伙伴角”，即 α 是 β 的“伙伴角”，β 也是 α 的“伙伴角”。 二、理解与运用 （1）【理解】已知 ∠1 和 ∠2 互为“伙伴角”，且 ∠1+∠2=90°，则 ∠1 的度数为______； （2）【运用】如图1，在 △ABC 中，∠ACB=90°，过点 C 作 AB 的平行线 CM，∠ABC 的平分线 BD 分别交 AC，CM 于 D，E 两点。 ① 若 ∠A>∠BEC，且 ∠A 和 ∠BEC 互为“伙伴角”，求 ∠A 的度数； ② 如图2所示，∠ACM 的平分线 CF 交 BE 于点 F，当 ∠A 和 ∠BFC 互为“伙伴角”时，直接写出 ∠A 的度数。 第19课时 综合与实践 （1）【阅读理解】如图1，在 △ABC 中，延长 AB 到点 M，BP 平分 ∠MBC，延长 AC 到点 N，CP 平分 ∠NCB，PB 交 PC 于点 P，则 ∠ABC+∠ACB=2∠BPC；理由如下（将过程补充完整）： ∵BP 平分 ∠MBC，CP 平分 ∠BCN， ∴∠CBP=∠MBC=∠A+∠ACB，∠BCP=∠BCN=∠A+∠ABC， ……（请补充完整） （2）【变式运用】如图2，在 △ABC 中，E 是 AB 边上一点，F 是 AC 边上一点，延长 AB 到点 M，BP 平分 ∠MBC，FP 平分 ∠EFC，BP 交 FP 于点 P，若 ∠AEF=α，∠ACB=β，∠BPF=θ，求证：θ=。 （3）【拓展加深】如图3，在 △ABC 中，E 是 AB 边上一点，F 是 AC 边上一点，延长 EF 到点 G，BP 平分 ∠ABC，FP 平分 ∠AFG，BP 交 PF 于点 P，若 ∠AEF=α，∠ACB=β，∠BPF=θ，探究并直接写出 α，β，θ 之间的等量关系。 1 学科网（北京）股份有限公司 $