精品解析：河南郑州高新技术产业开发区行知中学2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测数学试卷

数学练习A 一、选择题（共10小题，30测评值，每小题3测评值） 1. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，则的长为（　　） A. 3 B. 6 C. 7 D. 3. 以和为根的一元二次方程是( ) A. -10x-1=0 B. +10x-1=0 C. +10x+1=0 D. -10x+1=0 4. 如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，已知四边形是平行四边形，点E是的中点，连接，相交于点F，过F作的平行线交于点G，若，则的值是（　　） A. 6 B. 5 C. 8 D. 4 6. 如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点E，此时恰为等边三角形，则重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某养鸡户用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸡舍，其面积为．在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），则的长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 8. 如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 9. 如图，在矩形中，与交于点，点在上运动，点在上运动，且，则下列为定值的是（ ） A. B. 的大小 C. D. 四边形的周长 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题（共5小题，15测评值，每小题3测评值） 11. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 12. 定义一种新运算，规定：，例如，若，则x的值是_______． 13. 如图，在菱形中，点A在x轴上，点B的坐标为，点D的坐标为，则菱形面积为________． 14. 如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点D的坐标是__________． 15. 在菱形中，，点分别是边上的动点，沿折叠使点的对应点始终落在边上，则两点之间的最大距离为_____． 三、解答题（共8小题，75测评值） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张赢利0.3元，为了尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.05元，那么平均每天可多售出200张．摊主要想平均每天赢利180元，每张贺年卡应降价多少元？ 18. 如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，，求菱形的面积． 19. 如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：． 20. 体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（一）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 算法一 女性理想体重 身高×身高×22 男性理想体重 身高×身高×22 算法二 算法三 （1）甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同！你认为正确吗？请说明理由． （2）无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重归类为表（二）的其中一种类别． 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 ①一名身高为h米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出h的取值范围__________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 21. 综合与实践 如图1，在长方形中，，，点以每秒1个单位的速度从点出发，沿运动到点后停止．连接，．设点的运动时间为，的面积为． （1）求关于的函数关系式，并写出的取值范围． （2）在图2中画出（1）中函数的图像，并结合函数图像，写出该函数的两条性质． （3）当时，求的长度． 22. 综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，E是的中点，与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想与的数量关系为________________． 【实践探究】 希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，E为边上一动点（点不重合），是等腰直角三角形，，连接，请你求出的大小． 【拓展迁移】 突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E为边上一动点（点不重合），是等腰直角二角形，，连接，知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值，当时，直接写出周长的最小值为________． 23. 【综合探究】 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为． （1）【初步感知】如图1，连接，，将三角形纸片绕点旋转，求的值； （2）【深入探究】如图2，在三角形纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长； （3）【拓展延伸】在三角形纸片绕点旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长度；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习A 一、选择题（共10小题，30测评值，每小题3测评值） 1. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程有实数根求参数以及解一元一次不等式，根据即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：． 故选∶B． 2. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，则的长为（　　） A. 3 B. 6 C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质． 由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由图可知， 在中，，点D为边的中点， , 故选：B． 3. 以和为根的一元二次方程是( ) A. -10x-1=0 B. +10x-1=0 C. +10x+1=0 D. -10x+1=0 【答案】D 【解析】 【分析】先计算和的和与积，然后根据根与系数的关系求解． 【详解】解：∵+=10， （）（）=25-24=1， ∴以和为根的一元二次方程可为x2-10x+1=0． 故选D. 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，． 4. 如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的判定定理，正方形的判定定理，含30度角的直角三角形的性质．根据菱形的判定方法和正方形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：四个全等的含角的直角三角板拼成如图所示的四个图形中， 第一个四边形中，，， ∴，不是菱形； 第二个四边形的四条边都是直角三角形的斜边，都相等， ∴第二个四边形是菱形； 第三个图形是菱形，如图， 由四个全等的含角的直角三角板拼成的四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴,， ∴, ∴， ∴四边形是菱形； 第四个四边形的四条边都是直角三角形的斜边，都相等， 四个角都等于， ∴第四个四边形是正方形； 综上，是菱形但不是正方形的有2个． 故选：B． 5. 如图，已知四边形是平行四边形，点E是的中点，连接，相交于点F，过F作的平行线交于点G，若，则的值是（　　） A. 6 B. 5 C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，由四边形是平行四边形，得，再证明，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵是的中点, ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴，， ∴， 解得： 故选: A． 6. 如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点E，此时恰为等边三角形，则重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形性质结合折叠推出，利用全等三角形的性质，为等边三角形，对顶角相等以及等角对等边推出，再利用勾股定理求出等边三角形的高，最后用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， ， 由折叠得，，， ，， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， 如图，过点作，垂足为，则点为的中点， ， 在中，由勾股定理得，， ，解得或（舍去）， ． 7. 如图，某养鸡户用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸡舍，其面积为．在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），则的长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设，则，根据矩形鸡舍的面积为，列出关于的一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又墙长， ， 即的长为， 故选：D． 8. 如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形，， ∴， ∵正方形，， ∴， ∴， 由题意得， ∴， ∴，即， 解得， 故选：B． 9. 如图，在矩形中，与交于点，点在上运动，点在上运动，且，则下列为定值的是（ ） A. B. 的大小 C. D. 四边形的周长 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，连接，，， A、点在上运动，点在上运动， 不是定值该选项错误； B、的大小会随点、的运动而改变，故该选项错误； C、在矩形中，与交于点， ， ， ，， ， ， 为定值，故该选项正确； D、四边形的周长会随点、的运动而改变，故该选项错． 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 二、填空题（共5小题，15测评值，每小题3测评值） 11. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴ 解得：， 故答案为：． 12. 定义一种新运算，规定：，例如，若，则x的值是_______． 【答案】4或 【解析】 【分析】理解新运算规则，根据规则列出关于的一元二次方程，再解方程即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 又， ∴， ∴ 开平方得， 解得或。 所以，x的值是4或． 13. 如图，在菱形中，点A在x轴上，点B的坐标为，点D的坐标为，则菱形面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．连接、交于点，由菱形的性质得出，，，由点的坐标和点的坐标得出，求出，，即可解决问题． 【详解】解：连接、交于点，如图所示： 四边形是菱形， ，，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 14. 如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点D的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由平移性质及判定四边形为矩形，得出及；构造一线三直角模型，证明，利用相似比求出和的长，结合点坐标即可求解． 【详解】解：过点作轴于点  线段平移得到线段  ，  四边形是平行四边形    四边形是矩形  ，      ，  ，  在中，              轴        即  ，  点在第四象限  点的横坐标为  点坐标为，点在点下方  点的纵坐标为  点的坐标是． 15. 在菱形中，，点分别是边上的动点，沿折叠使点的对应点始终落在边上，则两点之间的最大距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，作于H，由B、关于EF对称，推出，当BE的值最小时，AE的值最大，根据垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，作于H， ∵四边形ABCD是菱形，， ， ， ， ， ， ∵B、关于EF对称， ， 当BE的值最小时，AE的值最大， 根据垂线段最短可知，当时，BE的值最小， ∴AE的最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折的问题，掌握翻折变换、菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短等知识是解题的关键． 三、解答题（共8小题，75测评值） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）方程为一元二次方程一般形式，计算判别式后用公式法求解； （2）移项后提取公因式因式分解，即可求解． 【小问1详解】 解： 这里， ， ， 即； 【小问2详解】 或， ． 17. 某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张赢利0.3元，为了尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.05元，那么平均每天可多售出200张．摊主要想平均每天赢利180元，每张贺年卡应降价多少元？ 【答案】每张贺年卡应降价0.1元 【解析】 【分析】由题意可知：（原来每张贺年卡盈利-降价的价格）×（原来售出的张数+增加的张数）=180，把相关数值代入求解即可． 【详解】解：设每张贺年卡应降价x元，现在的利润是（0.3﹣x）元，则商城多售出200x÷0.05＝4000x张． （0.3﹣x）（500+4000x）＝180， 整理得400x2﹣70x+3＝0， （40x﹣3）（10x﹣1）＝0， 解得x1＝，x2＝0.1， ∵为了尽快减少库存， ∴x＝0.1． 答：每张贺年卡应降价0.1元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用；得到每降价x元多卖出的贺年卡张数是解决本题的难点；根据利润得到相应的等量关系是解决本题的关键． 18. 如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 如图所示菱形即为所求： （2） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接，以为圆心，为半径作弧，交的垂直平分线于点，连接、，根据线段垂直平分线的性质可知，则四边形是菱形； （2）根据菱形的性质及解直角三角形求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴ ∴， ∴， 即菱形的面积为． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握基本作图、解直角三角形． 19. 如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， （2）证明：四边形是正方形， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， 【解析】 【分析】（1）由四边形是正方形，得，，然后通过“”证明 即可； （2）由四边形是正方形，得，所以，由全等三角形性质可得，，故有，然后证明，得，即，所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（一）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 算法一 女性理想体重 身高×身高×22 男性理想体重 身高×身高×22 算法二 算法三 （1）甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同！你认为正确吗？请说明理由． （2）无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重归类为表（二）的其中一种类别． 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 ①一名身高为h米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出h的取值范围__________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【答案】（1） 不正确，理由如下： 设女性身高为米， 算法一的女性理想体重为公斤， 算法二的女性理想体重为公斤， 令， 整理得， ∵ ， ∴ 该方程无实数根，即不存在身高使得女性用算法一与算法二算出的理想体重相同， 故甲的说法错误． （2） ① ② 父亲的理想体重为65公斤，被归类为过重． 【解析】 【分析】（1）设女性身高为变量，令两种算法的理想体重相等，列一元二次方程，根据判别式判断方程是否有实数解，即可验证甲的说法； （2）① 根据男性算法二的理想体重公式，结合“不低于70公斤”列不等式求解. ② 代入男性算法三公式计算理想体重，再计算实际体重占理想体重的百分比，对照类别表判断分类． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：① 成年男性算法二的理想体重为公斤， 由题意得 解得； ② 小王父亲为男性，身高1.75米， 代入算法三男性公式： 理想体重（公斤）， 实际体重与理想体重的比值为， ∵ ， ∴ 属于过重类别 答：父亲的理想体重为65公斤，被归类为过重． 21. 综合与实践 如图1，在长方形中，，，点以每秒1个单位的速度从点出发，沿运动到点后停止．连接，．设点的运动时间为，的面积为． （1）求关于的函数关系式，并写出的取值范围． （2）在图2中画出（1）中函数的图像，并结合函数图像，写出该函数的两条性质． （3）当时，求的长度． 【答案】（1） （2） 函数图象如图2所示． 性质1：当时，的值随值的增大而增大；当时，的值随值的增大而减小；性质2：该函数在自变量的取值范围内有最大值；当时，函数取得最大值，最大值为12 （3） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，分别根据三角形面积公式即可求出函数关系式； （2）画出函数图象，根据函数图象分别写出函数的增减性和函数的最大值； （3）当点在上时，根据勾股定理求出，当点在上时，此种情况不存在，问题得解． 【小问1详解】 解：当时，， ∴． 当时，， ∴． 综上所述，； 【小问2详解】 解：性质1：当时，的值随值的增大而增大；当时，的值随值的增大而减小． 性质2：该函数在自变量的取值范围内有最大值；当时，函数取得最大值，最大值为12； 【小问3详解】 解：由题意可知，当点在上时， 根据题意，在中，，设，则， 由定理，即，解得； 当点在上时，此种情况不存在． 综上所述，当时，的长为． 【点睛】本题考查了根据题意列函数解析式，分段函数，一次函数的图象与性质，勾股定理等知识，熟知相关知识并根据题意列出函数解析式是解题关键． 22. 综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，E是的中点，与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想与的数量关系为________________． 【实践探究】 希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，E为边上一动点（点不重合），是等腰直角三角形，，连接，请你求出的大小． 【拓展迁移】 突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E为边上一动点（点不重合），是等腰直角二角形，，连接，知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值，当时，直接写出周长的最小值为________． 【答案】[问题情境]； [实践探究]； [拓展迁移]； 【解析】 【分析】[问题情境]取的中点，连接，利用同角的余角相等说明，再根据证明，得； [实践探究]在上取，连接，由（1）同理可得，则，再说明是等腰直角三角形即可得出答案； [拓展迁移]作，交的延长线于，交于，连接，则是等腰直角三角形，可知点与关于对称，则的最小值为的长，利用勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：[问题情境]， 理由如下：取的中点，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ 、分别为正方形的边、的中点， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； [实践探究] 解：在上取，连接， 由（1）同理可得， ， ∵是等腰直角三角形 ∴， ， ， ，， ，而， ， ， ， ， [拓展迁移] 解：连接，作，交的延长线于，交于，连接，， 由（2）知，， ， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， 点与关于对称， ∴最小值为的长， ， ，， 由勾股定理得， 周长的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23. 【综合探究】 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为． （1）【初步感知】如图1，连接，，将三角形纸片绕点旋转，求的值； （2）【深入探究】如图2，在三角形纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长； （3）【拓展延伸】在三角形纸片绕点旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）能，的长是或 【解析】 【分析】（1）证明即可解答； （2）如图， 通过延长交于点，连接，得到四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答； （3）分两种情况：如图和图，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解： ∴， 由旋转得：， ， ， ∴； 【小问2详解】 如图2， 延长交于，连接交于， 由（1）知：， ∴， ∵是中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵， ， ∴， ， ， ，， ∴， ， 由勾股定理得：，即 解得， ； ∴ 【小问3详解】 分两种情况：①如图3，，过点作于，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即 ， ， 中，， ， 解得：(负值舍)， ∵， 即 ， ； ②如图，，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得：； 综上，的长是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $