精品解析：河南南阳市镇平县2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026年秋期九年级数学质量监测 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 二次根式化简的结果是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 2. 已知三条线段的长分别为、、，则下列长度的线段中，不能与这三条线段构成成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例性质：比例的内项之积与外项之积相等求解即可． 【详解】解：设第四条线段长为， 若四条线段构成成比例线段，则两线段的乘积等于另两线段的乘积，分三种情况： ，解得； ，解得； ，解得； 则长度为的线段无法与已知三条线段构成成比例线段． 3. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入原方程，解关于的一元一次方程． 【详解】解：是关于的方程的一个根， 将代入，得， 解得：． 4. 如图，中，，将直尺的一边与重合，另一边与，分别交于，两点，，，，处的读数分别为20，17，0，1（单位：）．若直尺的宽为，则的长度是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行判定两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，求出线段的长度．由读数得到、长度，直尺宽得到；由得到，列相似比例式求出。 【详解】解：由读数可得：，，直尺宽度， ∵， ， 又是公共角， ∴， ∴， 设，则． ∴， 解得：． ∴． 5. 某校2024年参加体育社团的学生有100人，2026年达到144人．设该校参加体育社团的学生人数从2024年到2026年的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵2024年参加体育社团的学生有100人，年平均增长率为， ∴2025年学生人数为，2026年学生人数为， ∵2026年学生人数为144人， ∴可列方程． 6. 已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知等式变形为比例式，根据平行线分线段成比例定理，分析各选项中线段的比例关系即可． 【详解】解：∵， ∴， A．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； B．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； C．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； D．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项正确． 7. “积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，然后解方程并检验即可． 【详解】解：∵主对角线与第三行的乘积相等，且有公共的第三行第三列的数， ∴， ， ∴，， ∵个数均为正整数， ∴， ∴． 8. 如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意计算三个正方形的边长，再计算面积即可． 【详解】解：∵中间正方形纸片的面积为， ∴中间正方形纸片的边长为, ∵相邻两张正方形纸片的边长均相差， ∴另两个正方形的边长分别为和, 则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积差为． 9. 如图，将边长为的正方形，沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，点，，的对应点分别为，，．当与重叠部分的面积为时，平移的距离等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设平移距离，根据平移性质及正方形性质可知重叠部分为平行四边形，其底边长为，高为，利用平行四边形的面积公式列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设平移距离， ∵ 四边形是正方形，  ∴， ∵把沿着方向平移，得到，点，，的对应点分别为，，，  ∴， ∴ 重叠部分为平行四边形． 如图：设交于点E，  ∵，  ∴， 在中，，  ∴， ∴ 重叠部分的高为．  ∵与重叠部分的面积为， ∴， 解得． ∴ 平移的距离等于或． 10. 如图，将一张矩形纸片沿一组对边和的中点连线对折，对折后所得矩形恰好与原矩形相似．则与的比值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中点定义得到线段倍数关系，然后利用矩形相似得到对应边成比例，再设未知数代入比例建立等式，最后化简计算求出线段比值． 【详解】解：，分别是，的中点， ． 矩形与矩形相似， ． 设，，则． 代入比例式： ， ． ， ． ． 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 请写出一个能使二次根式有意义的的值：________． 【答案】（答案不唯一 【解析】 【分析】二次根式有意义要求被开方数为非负数，据此求出的取值范围，再在范围内选取一个值即可． 【详解】解：要使二次根式有意义，二次根式的被开方数必须是非负数， 则， 解得， 因此只需写出一个满足的数即可，例如． 12. 如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图： 由题意可得， ∵相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴， ∵， ∴． 13. 如图是小华求助人工智能软件的内容，人工智能软件在深度思考后，给出的正确答案是________． 你帮我求这样一个数：先计算这个数的平方，再减去这个数，其运算结果还等于这个数． 【答案】0或2 【解析】 【分析】设这个数为，根据题意列出一元二次方程，因式分解求解方程即可得到符合条件的数． 【详解】解：设这个数为，根据题意得：， 移项、整理得：， 因式分解得：， 解得， 因此给出的答案是或． 14. 如图，在中，，为的三等分点，交于点，平分交于点，若，，则的长为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据勾股定理可知的长度，根据平行线可知，进而根据三等分点可知的长度，根据角平分线以及平行可知，根据等腰三角形即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴, ∵， ∴， ∴ ∵为的三等分点， ∴，， ∴， ∴, ∵平分 ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． 15. 定义：在反比例函数的图象上，若点的横纵坐标之和与点的横纵坐标之和的比值等于，则称点是点的“相伴点”．如图，点、是该函数在第一象限内图象上的两点，轴于点．若，，且点是点的“相伴点”则点的坐标是_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据可知的取值，进而可知的坐标，进而根据新定义构造方程即可求解． 【详解】解：∵，，且在第一象限， ∴点且， 将点代入反比例函数得：， 解得：或（舍去）， 则点 设点， 又∵点是点的“相伴点”， ∴满足， 解得：或， 经检验，或是方程的解， ∴点的坐标是或． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程与作图 （1）用配方法解方程：； （2）利用尺规作图作出下列所要求作的点： 如图，中，，，，在线段上求作一点，使得的长恰好是方程的一个正根（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据配方法求解即可； （2）由（1）得到的长，根据勾股定理求出的长，进而作图即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 解：∵的长恰好是方程的一个正根， ∴， ∵，，， ∴， 以C为圆心，为半径画弧，交于点E，可知， 以B为圆心，为半径画弧，交于点D即可． 作图略． 18. 数学老师在黑板上写了、两个整式，已知，． （1）用公式法解方程：； （2）比较，的大小． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得一元二次方程，整理后利用公式法解方程即可； （2）化简，利用完全平方式的非负性判断大小即可． 【小问1详解】 解：已知，， 当时，则， 整理得，， ， ， 解得：； 【小问2详解】 解：， ． 19. 如图，为的边的延长线上一点，连接，交于点，交于点．求证：． 【答案】证明：∵在中， ∴ ∴ ∵在中， ∴ ∴ ∴ ∴． 【解析】 【分析】证明得，证明得，进而可证结论成立． 【详解】略． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若两个实数根分别是，，，求的值． 【答案】（1）证明：由题意得，， ∵， ∴ ∴此方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）只需要证明即可； （2）利用根与系数的关系得到，，结合已知条件求出，的值即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别是，， ∴， 联立， 解得， ∴， ∴． 21. 在中，，．菱形的三个顶点、、分别在边、、上． （1）求菱形的周长． （2）若，直接写出菱形的面积． 【答案】（1）24 （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，证明得到，解方程即可得到答案； （2）过点E作于点H，则，求出，求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，； 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴菱形的周长； 【小问2详解】 解：如图所示，过点E作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路和左右两条纵向道路的宽度均为米，中间部分种植奶油草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为80元，每月可销售4000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 问题解决： （1）若中间种植的面积是14400平方米，求出道路的宽度． （2）若该专业合作社预期一个月的总利润为33万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米的草莓应该降价多少元？ 【答案】（1）10米 （2）30元 【解析】 【分析】（1）由题意可知，中间种植区域的长为米，宽为米，根据中间种植的面积是14400平方米列方程求解即可； （2）设每平方米草莓应该降价y元，根据一个月的总利润为33万元列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，中间种植区域的长为米，宽为米， 可列方程， 整理得， 解得， 因为要求道路宽度不超过12米，且不小于5米，即， 所以不符合题意，舍去，取符合题意的解． 答∶道路的宽度为10米． 【小问2详解】 解：设每平方米草莓应该降价y元，由题意，得 ， 整理得， 解得， ∵从购买草莓客户的角度考虑，单价降得越多越好， ∴不合题意，舍去， 取符合题意的解， 答∶售价应降低30元． 23. 综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例的应用． （1）【初步感知】在中，、分别为、边上的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于点，则与的比值为________； （2）【深入探究】在（1）的条件下，探究线段与的数量关系； （3）【拓展提高】如图2，在中，点、分别为、的中点，连接、交于点，与交于点，若，直接写出的值． 【答案】（1）1 （2） （3）24 【解析】 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得到，证明，再由平行线分线段成比例定理得到； （2）证明，得到；证明，得到，则； （3）由平行四边形的性质得到，，则可证明；证明，得到，再根据三角形的中线平分三角形的面积和平行四边形的性质可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即， ∵， ∴ ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点、分别为、的中点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋期九年级数学质量监测 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 二次根式化简的结果是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知三条线段的长分别为、、，则下列长度的线段中，不能与这三条线段构成成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 5 D. 4. 如图，中，，将直尺的一边与重合，另一边与，分别交于，两点，，，，处的读数分别为20，17，0，1（单位：）．若直尺的宽为，则的长度是（） A. B. C. D. 5. 某校2024年参加体育社团的学生有100人，2026年达到144人．设该校参加体育社团的学生人数从2024年到2026年的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（ ）． A. B. C. D. 7. “积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是（ ） A. B. C. 或 D. 8. 如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将边长为的正方形，沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，点，，的对应点分别为，，．当与重叠部分的面积为时，平移的距离等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，将一张矩形纸片沿一组对边和的中点连线对折，对折后所得矩形恰好与原矩形相似．则与的比值是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 请写出一个能使二次根式有意义的的值：________． 12. 如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 13. 如图是小华求助人工智能软件的内容，人工智能软件在深度思考后，给出的正确答案是________． 你帮我求这样一个数：先计算这个数的平方，再减去这个数，其运算结果还等于这个数． 14. 如图，在中，，为的三等分点，交于点，平分交于点，若，，则的长为_________． 15. 定义：在反比例函数的图象上，若点的横纵坐标之和与点的横纵坐标之和的比值等于，则称点是点的“相伴点”．如图，点、是该函数在第一象限内图象上的两点，轴于点．若，，且点是点的“相伴点”则点的坐标是_______________． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2） 17. 解方程与作图 （1）用配方法解方程：； （2）利用尺规作图作出下列所要求作的点： 如图，中，，，，在线段上求作一点，使得的长恰好是方程的一个正根（保留作图痕迹，不写作法）． 18. 数学老师在黑板上写了、两个整式，已知，． （1）用公式法解方程：； （2）比较，的大小． 19. 如图，为的边的延长线上一点，连接，交于点，交于点．求证：． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若两个实数根分别是，，，求的值． 21. 在中，，．菱形的三个顶点、、分别在边、、上． （1）求菱形的周长． （2）若，直接写出菱形的面积． 22. 结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路和左右两条纵向道路的宽度均为米，中间部分种植奶油草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为80元，每月可销售4000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 问题解决： （1）若中间种植的面积是14400平方米，求出道路的宽度． （2）若该专业合作社预期一个月的总利润为33万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米的草莓应该降价多少元？ 23. 综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例的应用． （1）【初步感知】在中，、分别为、边上的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于点，则与的比值为________； （2）【深入探究】在（1）的条件下，探究线段与的数量关系； （3）【拓展提高】如图2，在中，点、分别为、的中点，连接、交于点，与交于点，若，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $