浙江省余姚中学2026-2027学年高二上学期10月质量检测数学试题

余姚中学2026学年第一学期10月质量检测 高二数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 2 3 4 5 6 > 8 ◇ 0 C C A B 8.【解析】因为抛物线y2=8x过焦点为F,所以F(2,0), 设直线AB的方程为x=y+2(m>0),A(:,y),B(x2,y), +20>0,可得y-8-16=0,则y+为=8m,则x+5=m0+)+4=8+4, 由 y2=8x 故14B=5+5+p=8r+8=9,解得m=5,故y广-2N2-16-=0,即0-4N20+25=0, 4 解得=4W2,乃=-2√2， 不妨设A(4,4V2),B1,-22),分别过A,B作A41x轴，BB1x轴，则A4=4V2,B,B=2W2,AB,=3. 因为翻折后AB=AA+AB,+B,B, 所以AB=(A4+AB,+BB)=A4+4B+BB+2(A4·4B+4B,·B,B+BB·A4) =32+8+9+20+0+2√2.42cos120°）=33，即|AB=√3，故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 ACD BD ABD 11.【解析】(xy-1)(x2-y21-2)=0即xy=1或x2-y2=2, 作出曲线C,设曲线|xy=1与z2-y=2的交点分别为A,B,D,E,F,G,H,1,如图. A.当z2-y1=2时，双曲线x2-y2=2与双曲线y2-x2=2的顶点到原点的距离 均为√反，两个双曲线上除顶点外的其他点到原点的距离均大于√： 当w1时，不妨设，)是曲线w1上的点，则V2+=√2+豆≥V5, 1 当且仅当x=1,y=1或x=1,y=-1或x=-1,y=1或x=-1,y=-1时取等号 A正确. 第1页共6页 B结合图象可知，直线y=±x及x轴，y轴均是曲线C的对称轴， 联立y=1与x-y=2得，2=2+1，=2-1， 故结合图象的对称性可知，直线y=(V2-1)x是曲线C的对称轴， 同理再结合图象的对称性可知直线y=(W2+1)x,直线y=(-V2-1)x,直线y=1-√2)x也是C的对称轴， 故曲线C恰有八条对称轴，如图所示，B正确. c取过点Q)的直线，=1一子， 与W=1联立，得0-)=1，整理得，。-4x+4=0,得x=2 与9=1联立，得1-)=-1，整理得，-4-4=0，得x=2±22： 与2-y2-2联立，得2-1-P=2,整理得15r2+8x-48=0,得=4-1v 15 与x2-y2=-2联立，得2-(1-2=-2，整理得15x2+8x+16=0,无实根 因为：--1⑥<-V,2--1中⑥>V2,故直线y=1-子与面线C的公共点有5个，c错误 15 15 D.由选项A可知，曲线C所围成的封闭图形上的点均在圆x+y2=2外或圆周上，所以S>2π， 连接AB,BD,DE,EF,FG,GH,HⅢ，IA,由选项B可知，IOA2=2V2,且 ScSe-sas-8xh,5-8.故2：<9<S.D正编. 故选ABD. 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.√5 13.1 14.4=3-4-0(答案x=十子+1或y=x-)均给5分) 3 14.【解析】设AB:x=y+1,A(x1,y),B(x2,y2) 将直线AB与抛物线C联立，得y2-4y-4=0→y1+y3=4,yy2=-4, 在A处的切线方程为：y=2(x+x),在B处的切线方程为：yy=2(x+x), 欧立切浅方可将兰，华，所似P摩标为华）-1加 2 4 法起p=小-（告斗+k-小水同P4+四-小 图8-24#4-》4+-16美=利 “PBV4+y 第2页共6页 即A4,士4)，代入直线AB方程得m=士2，所以AB:x=士2y+1,即4红士3y-4=0, 4 4 PA (++-* -为 111 (法2)依题：4= 2 y 2 416+4_星+4 PB 2 1+1+1巧+4 2 2 416+4 →4+y=4(4+y),下同法一. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分) (1)由题可得AB=OB-OA=pa+b+gc-a-2b+c)=D-1)i+5+g-1), AC=0C-OA=2i+b-2E-(a-2b+c)=a+3b-3c,-- ---2分 因为AB=mAC,所以(p-1)a+35+(g-1)c=m(a+36-3c), 4分 p-1=, 「m=1, 所以3=3，解得p=2,所以p,q的值分别为2，-2. -6分 9-1=-3m, 9=-2, (2)因为O,A,B,C四点共面，所以存在元，L∈R,使得OB=OA+uOC, -8分 即pi+b+gc=2(a-2b+c)+u(2a+b-2)=(+2u)a+(u-2)b+(-2)e, [p=元+2， 故1=u-2元， -10分 9=-2, 所以3p+5q=3(2+2四+5(2-2)=82-4u=8-41+2)=-4,即3p+5q的值为-4. -13分 16.(本题满分15分) ()设A(x,y),由AB=2AC到，得V2+Y=2V-3)2+y, -----2分 整理得到(x-4)2+y2=4, -5分 又点A不能在x轴上，所以点A的轨迹T的方程为(x-4)2+y2=4(y≠0). -6分 (2)由题意可得引BC3,当A到x轴距离最大时，即纵坐标最大时满足题意，此时A(4,2), -----8分 所以e=2-0=2,4C所在直线方程为y-2=20x-9,即2x-y-6=0, --10分 4-3 2 又圆心(4,0)到直线AC的距离d=- 5 -12分 半径7=2，可得1A02P--5 -15分 第3页共6页 17.（本题满分15分) (1)由已知：△AFF的周长为2a+2c=6. -3分 (☒因为点A在椭圆E上且在第一象限内，A识上F不，则g-10,RQ,0),4〔引 所以直线AB:3x-4y+3=0. -4分 设M(x,),因为S,=3S，,所以点M到直线AB的距离等于点O到直线AB距离的3倍. 由此得3-划+3到=3×13×0-4×0+3到， 5 则3x-4y+12=0或3.x-4y-6=0. --6分 3x-4y+12=0, 由 2 2 +3=1 得7x2+24x+32=0,此方程无解： -8分 3x-4y-6=0, +=1， 得72-12.x-4=0, 解得x=2或x=- 2-7 4+3= 代入直线方程3x-4y-6=0, 对应分别用y-0或=号 因此点M的坐标为20安（号）】 -10分 设B(民，5)，P(化，)，则至+兰=1=1,2且c(y） 43 -------13分 x2-x x2+x x-x X-x x32-x2 又ke[-2,-1], 3 所以-4。 「337 k8’4 即直线PC的斜率k的取值范围为 33 --15分 84 18.(本题满分17分) (I)由题意知，CC⊥CB,CC1⊥CA,AC⊥CB, 以C为坐标原点，CA,CB,CC所在直线为x,y,z轴，建立如图空间直角坐标系C-2.2分 则C(0,0,0),C(0,0,3),B1(0,2,3),D(2,0,1),M(1,1,3), 所以CM=1,1,0),BD=(2,-2,-2),得CMBD=0,所以CM⊥BD. -4分 第4页共6页 ZA B (2)C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,3),B1(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2), 得AB=（-2,2,0),EB1=(0,2,1),ED=(2,0,-1), i.EB =2y+z=0 设平面DEB的法向量为i=(x,y,z）,则 ii.ED=2x-z=0 令二=2，得x=1,y=-1,故平面DEB,的法向量为i=(1,-1,2), -6分 AB.元_43 散s〈8.元儿A通元2V2xV石3即AB与平面D然所成角的正弦值为5 -9分 3 (3)设A五=AB(0≤≤1)， -10分 由(I)(2)知AB=(-2,2,0),EB=(0,2,1),所以(H-2,yH,2H)=（-2元2元0)， [xg-2=-21「xH=2-21 得yg=2元，解得yH=21，即H(2-2元，2元，0)，所以EF=(2-22,2元，-2)， H=0 2H=0 i·EH=(2-2)a+2b-2c=0 设平面HEB的法向量为i=(a,b,c)，则 .EB=2b+c=0 令6=1，得c=-2.a=-2-2,故平面HB的一个法向量为7=（-入1，-2，产 --12分 又平面DEB的一个法向量为i=(1,-1,2), -2-入 故c0s(元，川= |元.元 V5 元元) 3 -14分 整理得422+361-19=0，由0≤≤1，得2=二 2 即当点H为AB的中点时，平面DBB与平面B所成角的余弦值为y --16分 3 此时A=2W2=V2,即AH=√2 -17分 第5页共6页 19.(本题满分17分) @设双线，C的标准方程为。-Q>0,6>0,依题意有：a=4,2b=6, -2分 ÷b=3,所以双曲线C的方程为：兰- -=1. .4分 169 (2)()证明：设直线MN方程为：x=y+6,设M(x1,y),N(x,y) x=1y+6 联立方程 三卫=1消去x得：(9m-16Y+108+180=0, 169 :m≠土4 -108m 3”+2=16y2-926·1 -6分 直线4M:y=当K+利，直线4N:y=为K-4), +4 x2-4 -7分 联立方程得： x+49=当（-④， x1+4 x2-4 :x+4=+4-玉+4.为=（+10)y=4y2+105 x-44(32-443-4(2+2)44y2+24 0,得心y-+） 5 +43所+%)+10%，5y+25y -10分 -4-3(4+)+2y 片-5为 解得：X含故点P在定直线=8上 8 -11分 3 四由双曲线对称性可知，点Q也在直线x=8上，设P),Q, 8 3 3 204 点P在直线4M上，所以=月+03+中？ x+43 点在直线4N上，所以，=”，民 +4)= 20y2 2+43 3(G2+4' ---13分 所以顾0顾宁09-0)1g +5y=100400 yy 99(x1+4)33+4) =100.400 yy2 100400 2 -15分 99(%,+10)(%2+10)99m24y2+10ny1+y)+100 180 100,400 9m2-16 100400.955 99 m2、180 1080m2 +100 99×80=9 9m2-169m2-16 所以p项QR=55 --17分 第6页共6页余姚中学2026学年第一学期10月质量检测高二数学试卷 命题：褚龙波审题：张静 说明：本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若直线1的方向向量是e=(-1,√3)，则直线1的倾斜角是 B π D.6 2.若向量a,b,c不共面，则下列选项中的三个向量不共面的是 A.b-c,b,b+c B.a-b,a+b,a C.a+b,a-c,c D.a+b,c,a+b+c 3.已知在平面内，E,E是两个定点，M是一个动点，则“M+F为定值”是“点M的轨迹是以F,E为焦 点的椭圆”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在长方体ABCD-AB,CD中，AB=BC=1,A4=V3,则异面直线AD,与DB,所成角的余弦值为 av5 D.5 5 B. 2 6 5 5.已知点P(0,2)关于直线x-y+1=0对称的点Q在圆C:x2+y2+2x+m=0外，则实数m的取值范围是 A.>-4 B.m<1 C.-4<<1 D.<-4或>1 6.己知点P(x,)满足V(x-1)2+y2x+1川，2(4,0)，则|PQ1的最小值为 A.2 B.22 C.25 D.4 7设双曲线女 京京=1a>0,b>0)的左右焦点为A,及，过R的直线与双曲线右支交于4，B两点，设AB中点为 P,若|AB=√2|FP1,且∠PA=45°，则该双曲线的离心率为 A.5 B.5 C3+1 D.5+1 2 2 8.如图，画在纸面上的抛物线y2=8x过焦点F的弦AB长为9，则沿x轴将纸面折成平面角为60°的二面角后，空 间中线段AB的长为 第1页，共4页 A.46 B.33 c.59 D.√65 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对 的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.已知空间中三点A(0,11),B(2,2,1),C(2,1,0),则 A.AC=5 B.与C丽同向的单位向量是o,,yS 22 C.i=(1,-2,2)是平面ABC的一个法向量 DBC在AC上的投影向量的模为5 10刻阅。月，尽是《线G:号-1随测C:若芳-a>0b~0伯公共丝点，点4是G,C在并 3 象限的公共点，则 A.a2+b2=4 B.△AFF,的内切圆与x轴相切于点L,0) C若EHRA,则C的离心率为5 D.若AR上AS,则椭圆方程为兰+上=】 73 11.已知曲线C:(（y-1)(x2-y2-2)=0,则 A.曲线C上任一点到原点的距离的最小值为√2 B.曲线C恰有八条对称轴 C.过点(0,1)的任意一条直线与曲线C的公共点个数均为偶数 D.曲线C所围成的封闭图形的面积S满足2π<S<8 第Ⅱ卷（非选择题，共2分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在空间直角坐标系O-y2中，经过点P(x,0,2)且方向向量为五=(X,Y,Z)(Z≠0)的直线方程为 二6。已知空间中一条直线1方程为片=”4-，2，则点44,33)到直线1的距离 为 第2页，共4页 13.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2y-6=0(a>0)的公共弦长为2√5，则4= 14过抛物线C:y=4x的焦点F作直线1交抛物线C于A、B两点，以A、B两点为切点作抛物线的切线，两条 PA 切线交于点P. 当 =2时，直线1的方程为 PB 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分13分) 已知向量a,b,c是空间中不共面的三个向量，OA=a-2b+c,OB=pa+b+qc,OC=2a+b-2c(p,q∈R) (1)若AB=AC(∈R),求p,q的值： (2)若O,A,B,C四点共面，求3p+5q的值. 16.(本题满分15分) 已知△ABC中，B(0,0),C(3,0),动点A满足AB=2AC. (1)求动点A的轨迹工的方程： (2)设AC所在直线与轨迹T的另一个交点为D,当△ABC的面积最大且点A在第一象限时，求AD的值， 17.(本题满分15分) 平面直角坐标系x0中，已知椭圆，千+了1的左、有焦点分别为，及，点A在椭圆B上且在第一象限内 AF,⊥FF,直线A耳与椭圆E相交于另一点B. (1)求△AFF的周长； (2)设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S,S,,若S,=3S1,求点M的坐标： (3)设点C与点B关于原点O对称，点P在椭圆E上运动，若直线PB的斜率k∈[-2，-1]，求直线PC的斜率k, 的取值范围. 第3页，共4页 18.(本题满分17分) 如图，在三棱柱ABC-AB,C1中，CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3,点D,E分别在棱A4和 棱CC1上，且AD=1,CE=2,M为棱AB,的中点， (1)求证：C1M⊥BD: (2)求直线AB与平面DEB所成角的正弦值： （③)在线段48上是西存在点H,使得平面D与平面那8所成角的余弦信为5：若存在，求出坦的长度： 3 若不存在，请说明理由. C B A M.- E 19.(本题满分17分) 己知双曲线C的中心为坐标原点，左、右顶点分别为A(-4,0),A(4,0),虚轴长为6 (1)求双曲线C的方程： (2)过点R(6,0)的直线1与C的右支交于M,N两点，若直线AM与A,N交于点P. (i)证明：点P在定直线上：(i)若直线A,N与AM交于点Q,求PR.OR的值. 第4页，共4页报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 余姚中学2026学年第一学期10月 质量检测高二数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 正确填涂 考 号 [o] [o] [o] [0] [o] [0] [o] [0] [o] [o] [o] [o] 缺考标记 [] [1] [1] 「17 「11 [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] 口 [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [3] [ [3] [3] [31 [3] [31 [3] [3] [3] [3] [4] [4] [4] [4] [4] 4 [4] 「41 [4] [4] [4] [4] [5 [5] [5] [5] [5] I5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] 6] [6] [6 [6] L6] [6] [6] [6] [6] [6] [71 [7] [7] [71 [7 7 [7] 「71 [7 [7] [7] [7] [8] [8] [8] R 8] 8] 8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] (97 [9] [9] [9] [9] 9] [9] [9] [9] 9] 注意事项 1. 答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚： 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1[A][B][c][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 4[A][B][c][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选 错的得0分： 9[A][B][c][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][c][D] 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 13 14. 囚囚■ 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 15.(13分) 囚囚■ 16.(15分) ■ 17.(15分) 1 1 囚■囚 18.(17分) A M D B -=- 囚■囚 ▣ 19.(17分)