精品解析：浙江省金华市曙光学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

金华市曙光学校2025－2026学年第一学期第一次阶段性考试 高二年级数学试题卷 （本试卷满分共150分，考试时间：120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助倾斜角与斜率的关系计算即可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则有， 又，则. 故选：C. 2. 若向量，，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件应用空间向量数量积及模长公式逐项计算检验即可． 【详解】若，， 则，，故D正确； ，所以B错误； ，故A错误； 显然与不平行，故C错误； 故选：D． 3. 已知直线，则与的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由题意得，与的距离， 故选：C 4. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件求出的值即可得解. 【详解】若直线与直线互相平行且不重合， 则，解得，故. 所以“”是“直线与直线互相平行且不重合”的充要条件． 故选：C． 5. 若为两条直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与相交 【答案】C 【解析】 【分析】ABD选项，举出反例；C选项，根据线面平行性质得到线线平行，进而由线面垂直得到线线垂直，故. 【详解】A选项，若，则或异面，A错误； B选项，若，则或异面或相交，B错误； C选项，因为，，，所以， 因为，，所以，故，C正确； D选项，若，则与相交或异面，D错误. 故选：C 6. 如图，在平行六面体中，点是棱的中点，连接、交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】推导出，利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式. 【详解】在平行四边形中，因为为的中点，连接、交于点，且， 所以，，则， 因此，. 故选：B. 7. 已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率． 由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率， 因此直线的倾斜角的取值范围是． 故选：A. 8. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设棱长为1，，建立如图坐标系，根据计算点P坐标和向量，再写出平面的一个法向量的坐标，根据构建关系，求其值域即可． 【详解】如图，设正方体棱长为1，，则， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，故，，又，则，所以． 在正方体中，可知体对角线平面， 所以是平面的一个法向量， 所以． 所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值． 所以． 故选：A． 二、多选题（本题有3小题，每题6分，共18分.每小题中有多个符合题意的正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、有选错的得0分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 B. 已知两个向量，，且，则 C. 若，且，，则 D. ，，则在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间中四点共面的推论可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用空间向量垂直的坐标表示可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若、、、四点共面，则存在、，使得， 即， 所以，，且， 因为对空间中任意一点，有，且， 故、、、四点不共面，A错； 对于B选项，，，且，， 设，即，则，解得，故，B对； 对于C选项，若，且，，则，C对； 对于D选项，若，，则在上的投影向量为 ，D错. 故选：BC 10. 对于直线，下列选项正确是（ ） A. 直线恒过点 B. 当时，直线在轴上的截距为 C. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是 D. 坐标原点到直线的距离的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，将方程变形为，即可列方程求解定点判断；对B，令，求出截距判断；对C，根据直线过的定点，画出图象，结合定点与端点处连线的斜率，求出实数的取值范围；对D，求出原点到定点的距离即是原点到直线的距离的最大值. 【详解】对于A，直线可变形为， 由，得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，当时，直线，令，得，所以直线在轴上的截距为，故B错误； 对于C，由选项A知直线恒过定点，如图， ，， 要使得直线与线段相交，则或， 解得或，所以的取值范围为，故C错误； 对于D，因为直线恒过定点，所以坐标原点到直线的距离的最大值为，故D正确. 故选：AD. 11. 如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（ ） A. 存在点，使得平面 B. 存在点，使得直线与直线所成的角为 C. 存在点，使得三棱锥的体积为 D. 不存在点，使得，其中为二面角的大小，为直线与直线所成的角 【答案】ACD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、 、，设，即点，其中. 对于A选项，假设存在点，使得平面， ，，，则，解得， 故当点为线段的中点时，平面，A对； 对于B选项，，， 由已知可得，则，B错； 对于C选项，，点到平面的距离为， 则，解得，C对； 对于D选项，，，设平面的法向量为， 则，取，可得， 易知平面的一个法向量为， 由图可得， ，， ， 因为，， 则， 、，且余弦函数在上单调递减，则，D对. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 三、填空题（本大题共3小题，每空5分，共15分） 12. 若直线与垂直，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用两直线垂直的充要条件计算即可求得的值. 【详解】直线与垂直， 所以，解得. 故答案为：. 13. 已知平面经过点，且向量是平面的法向量，则点到平面的距离为________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题设，结合平面法向量，应用点到平面距离的向量求法即得. 【详解】由题设，又向量是平面的法向量， 所以点到平面的距离为. 故答案为： 14. 如图，在正方体中，M为线段BD的中点，N为线段上的一动点含端点，则直线MN与平面所成角的正弦值的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，得到点坐标即向量坐标，设，求得点坐标，从而得到坐标.由空间向量求得平面的一个法向量，由空间向量的夹角求得直线MN与平面所成角的正弦值的表达式，再由函数的性质求得最大值. 【详解】设，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，，又， 所以， 则，，， 即， 所以， 设平面的一个法向量为， 又，， 则， 取， 设直线MN与平面所成角为，， 当时，N与上的重合，直线MN在平面内，不合题意， 当时， ， 令，则， 则，时，有最小值6， 所以当，即，即时 故答案为： 【点睛】方法点睛，在求线面角的的正弦值问题时，一般采用空间直角坐标系来完成，所以建系设线段长是本题的关键.关于动点问题，一般我们采用向量共线的方法设出动点坐标，然后借助空间向量的夹角求得线面角. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知，，，，，求： （1）的值； （2）与夹角的余弦值. 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行及垂直的坐标表示即可求解； （2）由向量夹角的坐标公式即可求解. 小问1详解】 因为，所以， 解得，， 所以， 又，则，即，得， 于是，则. 【小问2详解】 由（1）得， 设与的夹角为，所以， 所以与夹角的余弦值为. 16. 已知直线；. （1）若，求的值； （2）若，且直线与直线之间的距离为，求、的值． 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）由两直线垂直，可得斜率乘积为，列方程可得答案； （2）由两直线平行，斜率相等可求出的值，再由两平行线间的距离公式列方程可求出的值 【详解】解：（1）设直线的斜率分别为，则． 若，则，， （2）若，则， ∴可以化简为， 又直线与直线的距离， 或， 综上：. 17. 如图，在正四棱柱中，已知，，E、F分别为、上的点，且． （1）求证：平面ACF； （2）求点E到平面ACF的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，要证明线与面垂直，只要证明这条直线与平面上的两条直线垂直． （2）为平面的一个法向量，向量在上的射影长即为到平面的距离，根据点到面的距离公式得到结果． 【小问1详解】 解：如图，以为原点，、、所在直线分别为、、轴 建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，， ，2，，，0，，，0，，，2，， ，2，，，2，，，，，，0，． ，， ，，且，平面， 平面 【小问2详解】 解：由（1）知，为平面的一个法向量，，， 向量在上的射影长即为到平面的距离设为，于是， 故点到平面的距离； 18. 已知直线，其中． （1）求直线所过定点． （2）当直线在轴上的截距是它在轴上的截距倍时，求实数的值． （3）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将直线的方程化为，列出相应的方程组，计算可得答案； （2）求出直线在轴上的截距，在轴上的截距，列出方程，求出的值； （3）由直线恒过定点，数形结合得即可. 【小问1详解】 由直线可变为， ，解得， 所以直线恒过定点. 【小问2详解】 由题可得，在直线的方程中，令，得，令，得， 所以，即，解得或， 经检验，或均符合要求， 所以实数的值为或. 【小问3详解】 由直线恒过定点，如图，，， 要使直线不经过第四象限，则，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 如图，在四棱锥中，四边形是梯形，其中，，平面平面． （1）证明：． （2）若是棱上的动点，且与平面所成角的正切值为． （i）求二面角的余弦值； （ii）记直线与平面所成角为，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据几何关系先证明，再根据面面垂直的性质定理证明平面，由此可知； （2）（i）先证明平面并求解出长度，然后建立合适空间直角坐标系，分别求解出平面和平面的一个法向量，根据法向量夹角的余弦值求解出结果；（ii）设，由此表示出坐标，然后利用向量法表示出，再通过换元法以及二次函数性质分析何时取最大值，即可. 【小问1详解】 因为，所以为正三角形， 所以， 又因为，所以， 在中，， 所以，所以， 所以，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以. 【小问2详解】 （i）因为，，，平面， 所以平面，所以与平面所成角即为， 所以，所以； 以为原点，分别以为轴正方向，建立空间直角坐标系，如下图所示， 因为，所以， 设平面的一个法向量为， 所以，所以， 取，则，所以， 取平面的一个法向量为， 设二面角的平面角大小为， 所以，由图知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； （ii）因为，即， 设，且， 因为，所以， 所以，所以， 设直线与平面所成角为， 所以 令，所以， 由二次函数性质可知， 当，即，即时，有最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金华市曙光学校2025－2026学年第一学期第一次阶段性考试 高二年级数学试题卷 （本试卷满分共150分，考试时间：120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，则与的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. “”是“直线与直线平行”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若为两条直线，为一个平面，则下列结论中正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与相交 6. 如图，在平行六面体中，点是棱的中点，连接、交于点，则（ ） A B. C. D. 7. 已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（本题有3小题，每题6分，共18分.每小题中有多个符合题意的正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、有选错的得0分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 B. 已知两个向量，，且，则 C. 若，且，，则 D. ，，则在上的投影向量为 10. 对于直线，下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 当时，直线在轴上的截距为 C. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是 D. 坐标原点到直线的距离的最大值为 11. 如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（ ） A. 存在点，使得平面 B. 存在点，使得直线与直线所成的角为 C. 存在点，使得三棱锥的体积为 D. 不存在点，使得，其中为二面角大小，为直线与直线所成的角 三、填空题（本大题共3小题，每空5分，共15分） 12. 若直线与垂直，则________． 13. 已知平面经过点，且向量是平面的法向量，则点到平面的距离为________. 14. 如图，在正方体中，M为线段BD的中点，N为线段上的一动点含端点，则直线MN与平面所成角的正弦值的最大值为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知，，，，，求： （1）的值； （2）与夹角的余弦值. 16. 已知直线；. （1）若，求的值； （2）若，且直线与直线之间的距离为，求、的值． 17. 如图，在正四棱柱中，已知，，E、F分别为、上的点，且． （1）求证：平面ACF； （2）求点E到平面ACF的距离． 18 已知直线，其中． （1）求直线所过定点． （2）当直线在轴上的截距是它在轴上的截距倍时，求实数的值． （3）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，四边形是梯形，其中，，平面平面． （1）证明：． （2）若是棱上的动点，且与平面所成角的正切值为． （i）求二面角的余弦值； （ii）记直线与平面所成角为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $