精品解析：江西景德镇市乐平市第三中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

乐平三中2026-2027学年度上学期10月考试高一数学试卷 满分：120分 考试时间：120（分钟） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卡上． 1. 若集合，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定集合中元素的个数，再结合真子集的个数即可求解. 【详解】已知集合，则，共个元素，所以的真子集的个数为，故D正确. 2. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定的定义判断. 【详解】全称命题的否定是特称命题，所以为：，. 3. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据Venn图确定阴影部分为，然后再由集合的运算求解. 【详解】由已知得， 所以阴影部分为. 4. 已知南雅中学高一班有55名学生，在秋季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（ ） A. 25 B. 30 C. 24 D. 23 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出Venn图，再进行求解即可． 【详解】根据题意，画出Venn图如下： 所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为. 故选：A. 5. 已知a，b为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为等价于，即， 则或， 所以当时，成立， 当时，不一定成立， 如，满足，但不满足， 故“”是“”的充分不必要条件. 6. 不等式 的解集为（ ） A. 且 B. 且 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先判断一元二次式的正负，再根据高次不等式的求解方法(数轴穿根法)来确定原不等式的解集. 【详解】， 故原不等式等价于， 对于方程可得或或或， 根据数轴穿根法，可得不等式的解集为或， 故选：C. 7. “赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为1，，则正方形的面积为（ ） A. 25 B. 36 C. 49 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据勾股定理得，根据中间最小的正方形的面积为1得，从而求得，即可得解. 【详解】中，设，则由题意， 则中间小正方形的边长为，因为， 所以，所以，所以， 即正方形的面积为49. 8. 已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有4个整数，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由一元二次不等式及仅有 4 个整数解排除，确定得到解集区间，再分两类讨论区间内的 4 组连续整数，通过端点不等式求出范围. 【详解】因为不等式为关于的一元二次不等式，所以， 若，则不等式的解集为两段无穷区间，不满足解中有且仅有4个整数； 若，则不等式的解集为， 因为不等式的解中有且仅有4个整数，且则4个整数可能是或， 若4个整数是，则，解得，即； 若4个整数是，则，解得，即， 综上，实数的取值集合是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中是真命题的有（ ） A. ， B. ， C. “”是“”的充分不必要条件 D. “四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】对A配方即可判断；对B，求解方程即可判断；对C，解出一元二次不等式即可判断；对D，根据菱形和正方形关系即可判断. 【详解】对于A选项，因为，所以，此命题为真命题，A正确； 对于B选项，由，解得或，所以命题“”为假命题，B错误； 对于C选项，由，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D选项，由“四边形为菱形”不能推出“四边形为正方形”，充分性不成立， 但由“四边形为正方形”可以推出“四边形为菱形”，必要性成立，D错误。 10. 下列命题中的真命题有（ ） A. 当时，的最小值是3 B. 的最小值是2 C. 当时，的最大值是5 D. 对正实数x，y，若，则的最大值为3 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：将目标式进行配凑，再利用基本不等式即可求解； 对B：令，构造对勾函数，利用对勾函数的单调性即可求得结果； 对C：直接利用基本不等式即可求得结果； 对D：取特殊值，即可判断正误. 【详解】对A：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是,故C正确； 对D：因为，且，显然满足题意， 此时有，故D错误. 故选：AC. 11. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ） A. B. 关于的不等式的解集为 C. 当且仅当时，取最小值 D. 若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据二次函数图像特征，确定的正负与等量关系，作为全部选项的解题依据，再按顺序逐项判断：利用正负化简绝对值即可判断A；代入关系式化简一元二次不等式，结合开口方向求解集可判断B；利用基本不等式即可判断C；根据内层函数值域、结合二次函数对称轴与定义域位置关系，判断复合函数最值情况，可判断D. 【详解】由题知，对称轴，即，当时，，即， 选项A：， 结果为，A错误； 选项B：将 代入不等式：， 化简得：，解得两根 ，， ，抛物线开口向下， 解集为 ，B正确； 选项C：由 ，，得 ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当且仅当时，取最小值，C正确； 选项D：， ， 函数 ，其自变量范围：，对称轴：， 若 ，即 ， 整理：，解得： 或 ， ，则当 时，两个函数最小值就已经相等； 可以取大于 的任意实数，不存在最大值，故D错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，答案填写在答题卡上． 12. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】把分式不等式转化为一元二次不等式计算得到解集； 【详解】因为， 等价于，即，解得 所以不等式的解集为 故答案为： 13. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在以为直径的半圆上，为圆心，点在半径上（不与点重合），且．设，则__________（用表示），由可以得出的关于的不等式为__________． 【答案】 ①. ②. （也可以写作） 【解析】 【分析】确定，根据线段间的关系计算，确定，根据得到不等式. 【详解】，， ， 由可得，即． 故答案为：； 14. 已知、为正实数，且满足，则的最大值是_______. 【答案】 【解析】 【分析】 将变形为，利用基本不等式得，构造不等式，通过一元二次不等式的解法求解. 【详解】将变形为， 因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 设，则， 即， 所以的最大值是. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设全集. （1）求； （2）求. 【答案】（1）；；； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补运算定义计算即得； （1）根据集合的补集定义计算即得. 【小问1详解】 由题意，； ； ；； 【小问2详解】 ；. 16. 设全集，集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用子集概念来确定参数满足的条件即可求解； （2）利用分类讨论，子集有可能是空集和非空集，然后进行列不等式组求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 又， 所以，解得，所以的取值范围是． 【小问2详解】 因为，所以． 若，则，可得，满足； 若，要使，则，不等式组无解． 综上，的取值范围是． 17. 某工厂要建造一个无盖的长方体蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，设池底长方形的长为米. （1）用含的表达式表示池底长方形的宽以及建造这个蓄水池的总造价（单位：元）； （2）运用基本不等式求当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】（1） （2），最小值为297600 【解析】 【分析】（1）设底面长为x米，宽为米，由容积为立方米，列出水池的总造价关于的函数关系； （2）借助均值不等式即得解. 【小问1详解】 设水池底面一边的长度为x米，则另一边的长度为米. 所以 即； 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立，y有最小值297600. 18. 已知关于x的不等式的解集为． （1）求实数a，b的值； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数x的取值范围； （3）若，求关于x的不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）由题意知，和3是方程的两根，且，再利用韦达定理即可得解； （2）将看成主元，构造关于的函数，则，进而可得出答案； （3）先因式分解，再讨论的范围，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 由题意知，和3是方程的两根，且， 所以解得； 【小问2详解】 因为，所以不等式对任意的恒成立， 可化为，即对任意的恒成立， 令， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 因为，所以不等式可化为， 即． 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为， 若，即时，则不等式的解集为； 若，即时，则不等式的解集为； 若，即时，则不等式的解集为． 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为． 19. 若集合，其中，，…，为非空集合，，则称集合为集合的一个划分． （1）写出集合的所有不同的2划分； （2）设为有理数集的一个2划分，且满足对任意，任意，都有，判断命题“中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．”的真假，并说明理由． （3）设集合，对于集合的任意一个3划分，证明：存在，存在，，使得． 【答案】（1），， （2）该命题为假命题，理由如下： 假设命题为真，则不妨设中元素的最大值为，中元素的最小值为，由题可知：，所以， 因为为中元素的最大值，所以， 因为为中元素的最小值，所以， 因为，所以， 这与矛盾，所以假设不成立，即命题不可能成立； （3）由于集合中有16个元素，所以，，中至少有一个集合至少包含6个元素， 不妨设中至少包含6个元素， 设，，，，，，且， 假设对任意，对任意，都有， 那么，，，，， 又因为，，，，， 所以，，，，， 则，中必有一个集合至少包含，，，，中的3个元素， 不妨设这3个元素为， 由假设可知：，，， 对任意，，存在，， 都有， 又因为，而，与假设矛盾， 所以假设不成立，即存在，存在，，使得． 【解析】 【分析】（1）根据题意，3 个元素拆成两非空子集，只能是 “1 个元素 + 2 个元素” 的组合，即可求解； （2）采用反证法，假设不同集合分别有最大值和最小值，则可推导出有理数不符合题意，即可证明； （3）利用反证法，假设任意集合内任意两数之差都不在这个集合内，以及元素与集合之间的关系即可证明； 【详解】（1）集合的所有不同的2划分为，， （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐平三中2026-2027学年度上学期10月考试高一数学试卷 满分：120分 考试时间：120（分钟） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卡上． 1. 若集合，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 已知南雅中学高一班有55名学生，在秋季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（ ） A. 25 B. 30 C. 24 D. 23 5. 已知a，b为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 不等式 的解集为（ ） A. 且 B. 且 C. 或 D. 或 7. “赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为1，，则正方形的面积为（ ） A. 25 B. 36 C. 49 D. 64 8. 已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有4个整数，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中是真命题的有（ ） A. ， B. ， C. “”是“”的充分不必要条件 D. “四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件 10. 下列命题中的真命题有（ ） A. 当时，的最小值是3 B. 的最小值是2 C. 当时，的最大值是5 D. 对正实数x，y，若，则的最大值为3 11. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ） A. B. 关于的不等式的解集为 C. 当且仅当时，取最小值 D. 若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，答案填写在答题卡上． 12. 不等式的解集为__________. 13. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在以为直径的半圆上，为圆心，点在半径上（不与点重合），且．设，则__________（用表示），由可以得出的关于的不等式为__________． 14. 已知、为正实数，且满足，则的最大值是_______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设全集. （1）求； （2）求. 16. 设全集，集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 17. 某工厂要建造一个无盖的长方体蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，设池底长方形的长为米. （1）用含的表达式表示池底长方形的宽以及建造这个蓄水池的总造价（单位：元）； （2）运用基本不等式求当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 18. 已知关于x的不等式的解集为． （1）求实数a，b的值； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数x的取值范围； （3）若，求关于x的不等式的解集． 19. 若集合，其中，，…，为非空集合，，则称集合为集合的一个划分． （1）写出集合的所有不同的2划分； （2）设为有理数集的一个2划分，且满足对任意，任意，都有，判断命题“中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．”的真假，并说明理由． （3）设集合，对于集合的任意一个3划分，证明：存在，存在，，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $