江西省乐平中学2026-2027学年高一上学期9月月考数学试题

江西省乐平中学2026-2027学年第一学期高一年级月考 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卡上． 1．下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（ ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数． A．2 B．3 C．4 D．6 2．若集合，则的真子集个数为（ ） A．3 B．4 C．7 D．15 3．已知集合，，若，则的取值是（ ） A．或0 B．或0 C．0或2 D．或2 4．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 5．假设集合，集合，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 7．已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 8．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若正实数，满足，则（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为1 D．的最小值为 10．下列选项中，正确的是（ ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（ ） A．不等式的解集为 B．若，恒成立，则实数 C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，答案填写在答题卡上． 12．已知，，，则_________． 13．设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为_________． 14．已知命题：“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知不等式的解集为． （1）求，的值； （2）解不等式． 16．（15分）设全集，集合，，其中． （1）若，求； （2）若命题“，使得”是假命题，求实数的取值范围． 17．（15分）已知，为正实数，且， （1）求的最大值． （2）求的最小值； （3）求的最小值． 18．（17分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元． （1）求出该公司本季度增加的利润（单位：万元）与之间的函数关系式． （2）若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围． （3）当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 19．（17分）设是由有限个正整数构成的集合，记为集合中的元素个数．若存在非空集合，，…，，，，…，使，且满足如下两个条件，则称，，…，，，，…，为集合的维伴随拆分： ①对，，； ②对，，，…，，若，均有． （1）若． （i）请写出一个集合的2维伴随拆分； （ii）证明：集合不存在3维伴随拆分； （2）若集合存在10维伴随拆分，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省乐平中学2026-2027学年第一学期高一年级月考 数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C B D B A B ACD AB 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】集合元素必须具备确定性.（1）（2）（5）描述模糊、无统一标准，无法构成集合； （3）（4）（6）对象确定，可构成集合，共3组不能构成集合. 2．C 【详解】由题集合可得集合， 集合的真子集个数为，故的真子集个数为. 3．C 【详解】由，得或，解得或或， 当时，，，满足要求； 当时，，，满足要求； 当时，，与元素互异性矛盾，不满足要求； 综上，的取值为0或2. 4．B 【分析】根据集合的并集定义求解即可. 【详解】由并集的定义知. 5. D 【详解】若，则，解得， 因此当时，的取值范围为 6．B 【分析】根据全称量词的否定，“改量词，否结论”即可解决. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 7．A 【分析】根据不等式的解集确定的符号和关系，再解一元二次不等式即可. 【详解】由图可知，，，，∴，， ∴，. ∴等价于， ∵，∴，解得或， 故解集为. 故选：A 8．B 【分析】先将不等式进行变式，将a的取值范围初步求出，再根据初步范围和不等式恰有2个整数解进行分类讨论，最终求出a的范围. 【详解】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2， 则，即，解得； ②当时，不等式解集为，因为， 故2个整数解为，则， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 9．ACD 【分析】利用基本不等式可判断A、B、D，利用二次函数的性质可判断C． 【详解】对于A，由于，当时等号成立， 因此的最大值为，故A正确； 对于B，由于， 当，时等号成立，因此的最小值为9，故B错误； 对于C，由于， 当时等号成立，因此的最小值为1，故C正确； 对于D，由于， 当时等号成立，因此的最小值为，故D正确． 10．AB 【详解】不等式，即，解得或， 故不等式的解集为或，A正确； 不等式，即，即， 所以，解得， 故不等式的解集为，B正确； 不等式，即或，解得或， 即不等式的解集为或，C错误； 因为不等式， 所以，即，D选项的解集中包含了，所以D错误. 11．ACD 【分析】根据“高斯函数”的定义和性质，解不等式判断选项A；求出的取值，结合不等式恒成立求的取值范围，判断选项B；解不等式判断选项C；解不等式，利用解集求的取值范围，判断选项D． 【详解】满足不等式的整数为， 对应，对应，对应， 满足不等式的区间为，故A正确； 当时，的取值为，令，不等式对恒成立， 时：； 时：； 时：； 时：； 综上可得，，故B错误； ，解得， 是整数，故无满足条件的整数解， 解集为，故C正确； 不等式的解集为，则， 令，不等式化为， 当时，，，则， ， 当时，需满足，解得， 综上可得，故D正确 故选：ACD． 12． 【详解】因为，，所以. 又，所以. 13．15 【分析】根据集合需要满足的条件，结合集合的非空子集个数计算公式，即可得到集合的个数. 【详解】是自然数集，，需要舍去， 所以满足“， 若，则”的集合是集合的非空子集， 但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现， 所以将集合看作有4个元素，其非空子集个数为. 故答案为：15. 14． 【分析】先求得为真命题时的取值范围，再根据必要不充分条件求得的取值范围. 【详解】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题， 时，，符合题意； 当时，，且， 则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意； 当时，由，解得， 此时方程为符合题意； 由解得，此时， 则此时方程有两个负根，符合题意. 综上所述，为真命题时，的取值范围是. 若为真命题的一个必要不充分条件为， 则. 故答案为： 【点睛】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解. 15．(1)， (2)当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求参数； （2）代入参数后因式分解，分类讨论两根大小求解含参一元二次不等式. 【详解】（1）由题意知， 和是方程 的两个实根， 由韦达定理得，，解得. （2）将代入不等式得，即. 方程的两根为， . 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. 16．(1) (2) 【分析】（1）先求出集合A，再应用补集及交集定义计算求解； （2）应用特称命题为假分和列式计算求解参数. 【详解】（1）当时，，所以， 所以； （2）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 18．(1)； (2)的取值范围为； (3)当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大,最大万元. 【分析】（1）由题意知，增加的利润增加的产量售价追加投入投入的其他成本；（2）由题意知，追加的总成本追加投入投入的其他成本，列出不等式求解即可；（3）将函数解析式进行化简，利用换元法再结合基本不等式求解. 【详解】（1）由题知， 又，解得， 所以. （2）由题知追加的总成本， 整理得，解得， 又，所以的取值范围为. （3）由知，令，则， 代入函数解析式得 ， 当且仅当时，等号成立， 此时，. 故当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大万元. 19．(1)（i），（答案不唯一）， （ii）假设集合存在3维伴随拆分，由于， 所以只能取1或． 不妨设， 其中． 若，则，而，不合题意； 若，则，而，不合题意； 若或，则，而，不合题意． 所以假设不成立．所以集合不存在3维伴随拆分． (2). 【分析】（1）（i）根据新定义求解即可；（ii）利用反证法进行证明得到矛盾从而得到证明； （2）不妨设中元素最少的集合为，由条件（2）得，再分和讨论即可. 【详解】（1）（i）若，则存在非空集合，满足， 且满足条件:①对；②对，若，均有. 取，， 满足，，，， ，，，， 不存在的情况，故满足条件①②， 故一个集合的2维伴随拆分为，. （ii）略 （2）不妨设中元素最少的集合为， 且. 记，由，可得． 由条件（2）知，对，得． 于是 当时，有，则，所以． 当时，． 综上，． 当， 时，． 所以的最小值为50． 答案第2页（共7页） 答案第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $