精品解析：山东省淄博第六中学2026-2027学年高一上学期第一次单元检测数学试题

2026级高一上学期第一次单元检测数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题“，”的否定是“”. 2. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解命题为真的充要条件，再根据充分不必要条件对应集合是充要条件对应集合的真子集筛选选项. 【详解】 命题“”为真，等价于对所有恒成立. 当时，的取值范围为，最大值为4， 因此命题为真的充要条件是. 若某个条件是该命题为真的充分不必要条件，则这个条件对应的的取值集合是集合的真子集： A选项：是命题为真的充要条件，不符合要求； B选项：对应的集合是的真子集，满足“时命题必为真， 命题为真时不一定有”，是充分不必要条件，符合要求； C选项：时例如命题为假，无法推出命题为真，不是充分条件； D选项：时例如命题为假，无法推出命题为真，不是充分条件. 3. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】逐一检验，对A，取，判断可知；对B， ，可知；对C，利用作差即可判断；对D根据不等式同向可加性可知结果. 【详解】对A，取，所以，故错误； 对B，由，，所以，故正确； 对C, ， 由，，所以，所以，故正确； 对D，由，所以，又，所以 故选：A 4. 设集合，若，则（ ） A. 或或2 B. 或 C. 或2 D. 或2 【答案】C 【解析】 【分析】 分和讨论，即得解. 【详解】当时，，符合题意； 当时，或. 当时，符合题意；当时，，与集合元素的互异性矛盾.所以舍去. 故或. 故选：C 【点睛】本题主要考查元素和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5. 已知集合，，则满足条件且真包含于的集合的个数为（ ） A. 16 B. 15 C. 32 D. 31 【答案】D 【解析】 【分析】利用列举法求出集合，再利用包含、真包含关系求出集合的个数. 【详解】集合， 则，当集合中不含其他元素时，； 当集合中含有其他元素时，集合中除元素1，2外，还含有3或4或5或6或7，但不能同时全部含有， 集合的个数即为集合的真子集的个数，即． 故选：D 6. 下列不等式中正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值判断AC，再由换元法及对勾函数的单调性判断B，根据均值不等式判断D. 【详解】当时，不成立，故A错误； ，令，则在上单调递增，故，故B错误； 当时，不成立，故C错误； 因为，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：D 7. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】换元设，可得，再结合与二次函数的范围求解即可. 【详解】设，则，所以，因为，所以，所以函数的值域为. 故选：A． 8. 已知且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（　　） A. m≥2 B. m≥4 C. m≥6 D. m≥8 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合基本不等式可求的范围，化简不等式可得，利用二次函数性质求的最大值，由此可求m的取值范围. 【详解】不等式可化为，又，， 所以， 令，则， 因为，，所以，当且仅当时等号成立， 又已知在上恒成立，所以 因为，当且仅当时等号成立， 所以m≥8，当且仅当，或，时等号成立， 所以m的取值范围是， 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”的必要不充分条件是“” C. “是实数”的充分不必要条件是“是有理数” D. “”是“”的充分条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意结合充分条件、必要条件的定义，逐项判断即可得解. 【详解】对于A，由得，所以“”可推出“”，反之不成立，故A正确； 对于B，解方程得或，所以“”的必要不充分条件是“”，故B正确； 对于C，“是有理数”可以推出“是实数”，反之不一定成立，所以“是实数”的充分不必要条件是“是有理数”，故C正确； 对于D，解方程得，则“”是“”必要不充分条件，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的判断，关键是对概念的准确理解，属于基础题. 10. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AC 【解析】 【分析】分别求出函数的定义域，化简其对应关系，判断其定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确； 对于选项B：的定义域为， 的定义域为， 定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：的定义域，的定义域， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故C正确； 对于选项D：的定义域为，的定义域为， 定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故D错误. 故选：AC. 11. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值2 D. 有最大值 【答案】AB 【解析】 【详解】选项A： 由，得，当且仅当时取等号，故有最大值，A正确； 选项B：，结合， 可得，即， 当且仅当时取等号，故有最大值，B正确； 选项C：，当且仅当时取等号， 所以最小值为4不是2，C错误； 选项D：，结合得， 即时有最小值，D错误. 三、填空题：本大题共3小题，共15分． 12. 已知，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用不等式的性质计算求解. 【详解】. 故答案为： 13. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的解的关系，可解得的值，进而可解分式不等式. 【详解】由题意可知，且1和2是方程的两根， 所以解得所以，即为， 可化为，即，解得. 所以所求不等式的解集是. 故答案为：. 14. 已知，，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【详解】，，则有，即， 解得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为6. 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 已知函数的定义域为A，的值域为 （1）求A、B； （2）求 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由函数表达式有意义求得定义域A，根据二次函数性质可求得值域B； （2）根据集合运算的定义计算． 【小问1详解】 由得， 解得， ， 所以，， 【小问2详解】 因为， 所以， 16. 某洗衣店今年年初，用万元购进一台新设备．已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为洗衣店创造收入万元．设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额总收入成本总维护费用）． （1）该店从第几年开始盈利？ （2）若干年后，该洗衣店想在年平均盈利达到最大值时，以万元的价格卖出设备，请问总获利为多少？（总获利盈利总额设备卖出价格） 【答案】（1）第二年 （2）万元 【解析】 【分析】（1）由已知条件得出的解析式，解不等式，结合可得出结论； （2）设年平均利润为，利用基本不等式求出的最大值，利用等号成立的条件求出的值，结合题意可求出总获利. 【小问1详解】 由题可知， 若开始盈利即，所以，解得， 因为，所以第二年开始盈利. 【小问2详解】 设年平均利润为，则 当且仅当，即时等号成立， 当时，最终获利万元． 17. 已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）命题，命题，若p是q成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）讨论，两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围； （2）由p是q成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围． 【小问1详解】 由，得 ①若，即时，，符合题意； ②若，即时，需或，解得． 综上，实数的取值范围为． 【小问2详解】 由已知是的真子集，知两个端不同时取等号，解得． 由实数的取值范围为． 18. 已知，，且. （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 【答案】（1）16； （2）16； （3）9. 【解析】 【分析】（1）（2）利用基本不等式求出最小值. （3）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【小问1详解】 ，，解得，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值16. 【小问2详解】 ，，解得，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值16. 【小问3详解】 ，由，得， 则，当且仅当时取等号， 所以汉时，取得最小值9. 19. 设. （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质可求； （2）因式分解，根据、、以及根的大小进行分类，结合一元二次函数图象求. 【小问1详解】 不等式对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，，解得； 综上，实数的取值范围为. 【小问2详解】 不等式等价于，即， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级高一上学期第一次单元检测数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 设集合，若，则（ ） A. 或或2 B. 或 C. 或2 D. 或2 5. 已知集合，，则满足条件且真包含于的集合的个数为（ ） A. 16 B. 15 C. 32 D. 31 6. 下列不等式中正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. D. 7. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（　　） A. m≥2 B. m≥4 C. m≥6 D. m≥8 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”的必要不充分条件是“” C. “是实数”的充分不必要条件是“是有理数” D. “”是“”的充分条件 10. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 11. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值2 D. 有最大值 三、填空题：本大题共3小题，共15分． 12. 已知，则的取值范围为__________. 13. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_____________. 14. 已知，，且，则的最小值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 已知函数的定义域为A，的值域为 （1）求A、B； （2）求 16. 某洗衣店今年年初，用万元购进一台新设备．已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为洗衣店创造收入万元．设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额总收入成本总维护费用）． （1）该店从第几年开始盈利？ （2）若干年后，该洗衣店想在年平均盈利达到最大值时，以万元的价格卖出设备，请问总获利为多少？（总获利盈利总额设备卖出价格） 17. 已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）命题，命题，若p是q成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 18. 已知，，且. （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 19. 设. （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $