北京市第八十中学2026-2027学年高一上学期10月阶段评价数学试题

北京市第八十中学2026～2027学年第一学期阶段测评 高一数学 — 参考答案2026年10月 1、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C D B A C C D D 二、填空题 11．0或 12. 13. 14． ； 15.500； 16. ； 三、解答题共5小题，共8分。 17．（本题15分） （1）当时，， 又，，.-------------------7分 （2）若， 当时，则，解得， 当，则，解得， 综上：实数的取值范围为.-----------------------------------------------------------15分 18.（本题15分） （1）函数是奇函数，定义域为． ，即，即---------5分 （2）设且， ， 即， ，∴函数在区间上单调递增。-------------15分 19．（本题17分） （1）当时，，此时的解集为，成立； 当时，不等式的解集为，则，解得， 综上所述。-----------------------------------------------------------------4分 （2），即为， 当时，，解得，即； 当时，即为， 对应方程的解为，， 当时，不等式为，且，不等式的解集为或，即； 当时，不等式为，且，不等式的解集为，即； 当时，，不等式为，解得，即； 当时，不等式为，且，不等式的解集为，即， 综上所述： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；----------------------------------------------------------11分 （3）由已知对任意的，不等式恒成立， 即恒成立，即， 又是，恒成立， 则， 又，则，当且仅当时等号成立， 综上所述.-------------------------------------------------------------------------------------------17分 20.（本题16分） (1)　由于8=32-12，满足集合A中元素特征x=m2-n2，m，n∈Z，所以8∈A， 由于9=52-42，满足集合A中元素特征x=m2-n2，m，n∈Z，所以9∈A， 假设10=m2-n2，m，n∈Z， 则(|m|+|n|)(|m|-|n|)=10，且|m|+|n|>|m|-|n|>0， 由于10=1×10=2×5，所以或显然均无整数解， 所以10∉A. -------------------------------------------------------------------------------------------------6分 (2)证明　集合B={x|x=2k+1，k∈Z}，恒有2k+1=(k+1)2-k2， 即满足集合A中元素特征x=m2-n2，m，n∈Z，所以2k+1∈A，即一切奇数都属于A； 反之集合A中的元素不一定全是奇数，如8∈A， 所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.-----------------------------------------------------10分 (3)解　集合A={x|x=m2-n2，m，n∈Z}， 而m2-n2=(m+n)(m-n)， ①当m和n同为奇数或偶数时，m-n，m+n均为偶数，所以(m+n)(m-n)为4的倍数， 反之当(m+n)(m-n)=4k，k∈Z时， 不妨令 解得满足集合A中元素特征x=m2-n2，m，n∈Z， 所以满足集合A的偶数为4k(k∈Z)； ②当m和n一奇一偶时，m+n和m-n均为奇数， 所以(m+n)(m-n)为奇数，不满足题意； 综上所述，所有满足集合A的偶数为4k(k∈Z).-----------------------------------------------16分 21．（本题17分） （1）由，， 则集合是“完美集”.-------------------------------------------------------------4分 （2）若是两个不同的正数，且是“完美集”， 设， 根据根和系数的关系知，和相当于的两根， 由，解得或（舍去）， 所以，又均为正数， 所以至少有一个大于2.-------------------------------------------------------------------------10分 （3）不妨设中， 由，得， 当时，即有，又为正整数，所以， 于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当时，，故只能，，求得， 于是“完美集”只有一个，为． 当时，由，即有， 而， 又，因此，故矛盾， 所以当时不存在完美集， 综上知，“完美集”为.-------------------------------------------------------------------------17分 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第八十中学2026—2027学年第一学期10月阶段评价 高一数学 2026年10月 班级________姓名________考号________ （考试时间120分钟 满分150分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题（共10题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定为（ ） A．， B．， C．， D．， 3．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 4．设，，，且，则（ ） A． B． C． D． 5．设，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若“，使得不等式成立”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 8．已知，则“”是“为偶函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知是定义在的奇函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 10．在中国天门山举行的翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度与时间的关系，若定义“速度差函数”为时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图象是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（共6题，每小题5分，共30分） 11．若集合的子集只有两个，则实数________． 12．若，则的最小值是________． 13．函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是________． 14．已知．若的最小值为0，则实数的值是________；若存在最小值，则实数的取值范围是________． 15．商店经销某种洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价2.8元，销售价3.4元，全年分若干次进货，每次进货量均为包，已知每次进货的运输劳务费用为62.5元，全年保管费用为元．为了使利润最大，每次应进货________包；最大利润为________元． 16．已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于中的任意两个不同的元素，，若都不能整除，则称集合是的“好子集”． ①集合与是集合的“好子集”的是________； ②集合的“好子集”所含元素个数的最大值为________． 三、解答题（共5小题，共80分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．（本小题15分） 已知集合，． （1）若，求和； （2）若，求实数的取值范围． 18．（本小题15分） 设是实数，函数． （1）若函数是奇函数，求的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明； 19．（本小题17分） 设函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 20．（本小题16分） 已知集合 （1）判断8，9，10是否属于集合； （2）已知集合，证明：“”是“”的必要不充分条件； （3）求所有满足集合的偶数，并说明理由． 21．（本小题17分） 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”． （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”． 学科网（北京）股份有限公司 $