精品解析：北京市第八十中学2025-2026学年高一上学期12月阶段检测数学试题（B卷）

北京市第八十中学2025—2026学年第一学期12月阶段测 高一数学（B卷） 2025年12月 班级____________ 姓名____________ 考号____________ （考试时间90分钟 满分100分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答. 一、单项选择题（共10题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次不等式求集合B，再结合题设韦恩图确定阴影部分的集合. 【详解】因为， 所以阴影部分表示的集合为， 故选：A 2. 以下函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数定义及函数单调性逐项判断得解. 【详解】对于A，是定义在上的奇函数，且在上单调递增，A不是； 对于B，是R上的偶函数，不是奇函数，B不是； 对于C，是R上的奇函数，在上不单调，C不是； 对于D，是R上的奇函数，在上单调递减，D是. 故选：D 3. 已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么、、的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用象限角、锐角、小于的角的意义，逐项判断得解. 【详解】锐角是第一象限角，而第一象限角不一定是锐角，如角，因此是的真子集，D错误； 角是第一象限角，而大于，因此不是的子集，C错误； 角是第一象限角且是小于的角，而角不是锐角，，A错误； 锐角是大于小于的角，因此是的真子集，，B正确. 故选：B 4. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用给定的分段函数分段判断求出函数值. 【详解】函数，则. 故选：C 5. 函数（ ） A. 有最大值，也有最小值 B. 没有最大值，有最小值 C. 有最大值，没有最小值 D. 没有最大值，也没有最小值 【答案】B 【解析】 【分析】先换元设，再应用指数函数的值域及二次函数单调性计算求解. 【详解】因为函数， 设， 当函数单调递减，当函数单调递增， 所以当时，函数取最小值，函数无最大值. 故选：B. 6. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，， 所以的大小关系是. 故选：C 7. 设函数的定义域为，开区间，则“且，都有”是“在上是减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用减函数的定义，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数，，满足，都有， 而函数在上递增，在上递减，即函数在上不是减函数； 反之在上是减函数，则且，都有， 所以“且，都有”是“在上是减函数”的必要不充分条件. 故选：B 8. 点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量（单位：）与传播距离（单位：）的关系式为，其中为常数.当传播距离为时，衰减量为；当传播距离为时，衰减量为.若，则约为（ ）（参考数据：） A. 6dB B. 4dB C. 3dB D. 2dB 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数值作差，再进行对数运算，即可求出近似值. 【详解】由， 因为，所以， 故答案为：A 9. 对于函数，下列结论错误的是（ ） A. 的图象关于轴对称； B. 在上单调递减； C. 当时，有最大值； D. 的值域为； 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的定义域，利用奇偶函数性质、函数单调性判断逐项分析得解. 【详解】函数的定义域为， 对于A，，函数是偶函数，其图象关于轴对称，A正确； 对于B，当时，，在上单调递减，B正确； 对于C，函数，当时，在上单调递增，在上单调递减，，C正确； 对于D，由，得，因此的值域不为，D错误. 故选：D 10. 已知是各项均为正整数的函数，且，对与有且仅有一个成立，则的最小值为（ ） A. 21 B. 20 C. 19 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】由递推关系分析的取值，再求的最小值即可. 【详解】由已知得，所以， 若，因为，所以， 故，所以； 若，则； 综上可知，任意，都有，. 若，则， 当时，，若，则，与条件相矛盾； 当时，，若，则，与条件相矛盾； 当时，，若，则可以取8， 此时， 当时，，若，则， 此时； 当时，，又，则； 当时，，则； 若，则，则， 则； 若，则，则， 则， 若，则， 则， 综上最小值为，故A正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛：解题关键是对递推关系分类讨论，然后再求和得到所要求的结果即可． 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. ____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解. 【详解】. 故答案为： 12. 设函数.已知，且的最小值为，则__________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据函数的最值与周期的关系可得，即可求解. 【详解】由于的最大值为1，结合且的最小值为， 故函数的周期，故, 故答案为：8 13. 函数在区间上单调递增，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意确定当时，，再结合余弦函数的单调性，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】当时，， 由于余弦函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在区间上单调递增，需满足， 即，即的取值范围是， 故答案为： 14. 已知为正实数且满足，则的最大值是____________，的最大值为____________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】直接根据基本不等式得，进而得即可得的最大值；再根据得，进而得的最大值. 【详解】由为正实数且满足， 故根据基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值是； 因为，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以当且仅当时等号成立， 所以的最大值为 故答案为：； 15. 设函数若存在点在函数的图象上，则的一个取值为______，的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用分段函数性质结合题意求解第一空，结合一元二次方程性质求解第二空即可. 【详解】当时，将点代入， 得到，解得，则的一个取值为， 当时，满足，则， 由题意得此方程在上有解，得到，解得， 则的最小值为. 故答案为：1；0 三、解答题（共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16. 设集合. （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，求. 【答案】（1）1； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据给定的解集，结合一元二次方程的根列方程求解. （2）化简集合，利用补集、交集的定义直接求解. 【小问1详解】 由，得是方程的两个根，且， 则，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，或， ， 所以或. 17. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并用定义证明你的结论； （3）若函数，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）函数为奇函数，证明如下： 由（1）知函数的定义域关于原点对称， 由，即 所以函数为奇函数. （3） 【解析】 【分析】（1）由函数有意义，列出不等式组，求解即得； （2）根据函数奇偶性的定义判断即可； （3），进而得，再结合定义域解不等式组即可得答案. 【小问1详解】 要使函数有意义， ，解得， 故函数的定义域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为 所以函数等价于， 由于函数在上单调递增，所以， 解不等式得； ,则,解得， 综上，可得的解集为， 即实数的取值范围是. 18. 在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与坐标原点重合，始边均为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，且两点关于轴对称. （1）若点的纵坐标为，求的值； （2）若，求的值； （3）若，求的最小值及取得最小值时相应的值. 【答案】（1） （2） （3）时，有最小值. 【解析】 【分析】（1）先利用任意角的三角函数的定义求出，，再利用诱导公式化简，代值并计算即可； （2）根据诱导公式得，进而讨论的范围得，再根据同角三角函数关系求解即可； （3）由题知，进而根据诱导公式得，再根据得当时，有最小值，再转化为的值即可. 【小问1详解】 因为点的纵坐标为，所以， 因为，所以， 所以 【小问2详解】 因为， 所以， 因为，所以，， 所以 【小问3详解】 由两点关于轴对称得， 所以， 因为，所以， 所以当时，有最大值，此时； 当时，有最小值，此时； 所以当时，有最小值，此时， 时，有最大值，此时. 综上，当时，有最小值. 19. 若函数满足下列条件：在定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质；反之，若不存在，则称函数不具有性质. （1）判断函数是否具有性质，若具有性质，求出对应的的值；若不具有性质，说明理由. （2）已知函数具有性质，求的取值范围. （3）证明函数具有性质. 【答案】（1）具有性质，理由如下： 函数的定义域为R，假定函数具有性质， 由，得，解得， 所以函数具有性质M，且. （2）； （3）证明：函数定义域为R，由，得， 整理得，令函数，， 由，，得，使得，即成立， 因此成立，所以函数具有性质M. 【解析】 【分析】（1）利用给定的定义，列式求出并判断. （2）利用给定的性质可得，等价变形此等式，利用关于的方程有实根求出范围. （3）利用给定的定义列式，再利用零点存在性定理推理得证. 【小问1详解】 函数具有性质M，且，理由略； 【小问2详解】 函数的定义域为R，， 由函数具有性质M，得存在，， 即，化简整理得， 依题意，方程有实根， 当时，，因此； 当时，则，即， 解得，因此且， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第八十中学2025—2026学年第一学期12月阶段测 高一数学（B卷） 2025年12月 班级____________ 姓名____________ 考号____________ （考试时间90分钟 满分100分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答. 一、单项选择题（共10题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 以下函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么、、的关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 5. 函数（ ） A. 有最大值，也有最小值 B. 没有最大值，有最小值 C. 有最大值，没有最小值 D. 没有最大值，也没有最小值 6. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数的定义域为，开区间，则“且，都有”是“在上是减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量（单位：）与传播距离（单位：）的关系式为，其中为常数.当传播距离为时，衰减量为；当传播距离为时，衰减量为.若，则约为（ ）（参考数据：） A. 6dB B. 4dB C. 3dB D. 2dB 9. 对于函数，下列结论错误的是（ ） A. 的图象关于轴对称； B. 在上单调递减； C. 当时，有最大值； D. 的值域为； 10. 已知是各项均为正整数的函数，且，对与有且仅有一个成立，则的最小值为（ ） A. 21 B. 20 C. 19 D. 18 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. ____________. 12. 设函数.已知，且的最小值为，则__________. 13. 函数在区间上单调递增，则的取值范围是____________. 14. 已知为正实数且满足，则的最大值是____________，的最大值为____________. 15. 设函数若存在点在函数的图象上，则的一个取值为______，的最小值为______． 三、解答题（共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16. 设集合. （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，求. 17. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并用定义证明你的结论； （3）若函数，求实数的取值范围. 18. 在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与坐标原点重合，始边均为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，且两点关于轴对称. （1）若点的纵坐标为，求的值； （2）若，求的值； （3）若，求的最小值及取得最小值时相应的值. 19. 若函数满足下列条件：在定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质；反之，若不存在，则称函数不具有性质. （1）判断函数是否具有性质，若具有性质，求出对应的的值；若不具有性质，说明理由. （2）已知函数具有性质，求的取值范围. （3）证明函数具有性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $