上海市华东师范大学第一附属中学2026-2027学年高三上学期10月质量检测数学试卷

华东师范大学第一附属中学十月质量检测 高三数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）请在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．的展开中，的系数为__________． 2．函数的频率为__________． 3．已知集合，，则__________． 4．已知椭圆：（）的右焦点是，则的离心率为__________． 5．已知，则的最小值为__________． 6．若直线是曲线的切线，则__________． 7．设、两个相互独立事件，且，，则__________． 8．用数字1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为__________． 9．已知复数满足（为虚数单位），则的最小值是__________． 10．如果函数的值域为，则实数的取值范围是__________： 11．三脚架（如图所示）是美术中常用来支撑画板，调节倾斜角度，方便写生与画作展示的一种工具．若某三脚架的三只脚长均为50 cm，两两夹角彼此相等且固定．将其立在地上时，顶端距离地面的高度为40 cm．后来一只脚损坏，底部截去长度10 cm，再立在地面上时，此时顶端距离地面的高度为__________cm．（结果保留两位小数） 12．设（），若存在公比为负数的无穷等比数列，使得对于任意正整数恒成立，则正实数的取值范围是__________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2 C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8 14．“”是“关于的方程有一正一负根”的（ ）条件． A．充分必要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 15．已知奇函数的定义域为，若，则可以是（ ） A． B．1 C．2 D．4 16．已知为原点，坐标平面上两两不同的4个点、、、满足：其中的任意三点不共线，且，，．对于命题： ①存在、、、，使得4个向量，，，中的任意2个都不平行； ②在、、、这4个数中，一定存在相等的2个数． 则下列判断正确的是（ ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 为进一步增强学生的消防安全、居家安全、饮食安全等安全意识，某校举办了“以知识守护校园，安全伴我成长为主题”的知识竞赛．根据该校某年级①班、②班的竞赛成绩得到如下频率分布直方图： （1）分别估计该年级①班、②班竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）根据竞赛成绩，将学生成绩分成A、B、C三个等级： 竞赛成绩 高于80分 60分到80分 低于60分 成绩等级 A B C 以频率估计概率，从该年级①班、②班各随机抽一人，求从①班抽的人的成绩等级高于从②班抽的人的成绩等级的概率． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图所示，圆台上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，为圆台下底面的一条直径，圆上点满足，是圆台上底面的一条半径，点、在平面的同侧，且． （1）证明：平面平面； （2）若圆台的高为2，求直线与平面所成角的大小． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图所示，已知的内角、、的对边分别为、、，，为的中点，为上一点，平分． （1）若，求的面积； （2）若，求的值． 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 已知抛物线：（）上的一点（）到焦点的距离为，为坐标原点，直线交于、两点，满足． （1）求抛物线的标准方程； （2）作垂足为，则是否存在定点，使为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若在处的切线恰好平分直线与的夹角，求的方程． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知函数的定义域，对于任意的正实数，记和分别为函数在区间上的最大值和最小值． （1）若，求和； （2）设，若在区间上恰好存在2026个不同的实数、、…、，使得，求实数的取值范围； （3）设，试判断“函数严格增”是“函数严格增”的什么条件？并证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $