精品解析：上海市浦东新区华东师范大学附属周浦中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

2026学年第一学期高三第一次阶段检测 数学试卷 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用交集的定义进行求解. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 2. 函数在区间上的平均变化率为_________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据平均变化率的公式进行求解即可. 【详解】函数在区间上的平均变化率为：. 故答案为： 3. 已知，则的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据对数运算求得的关系，利用基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以且， 所以， 当时等号成立. 故答案为： 4. 已知，则_________. 【答案】 ## 【解析】 【详解】由. 5. 已知常数，的二项展开式中项的系数是，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式确定特定项系数，进而确定的值. 【详解】由已知，则其展开式的通项为， 又其二项展开式中项的系数是， 则令，即，， 又， 所以， 故答案为：. 6. 关于的方程的解集为_________. 【答案】 【解析】 【分析】通过对的范围进行讨论，求解含绝对值的方程. 【详解】当时，等式左边为：，等式右边为：， 等式左右两边相等，符合条件； 当时，等式左边为：，等式右边为：， 等式左右两边不相等，不符合条件； 当时，等式左边为：，等式右边为：， 等式左右两边不相等，不符合条件； 当时，等式左边为：，等式右边为：， 等式左右两边相等，符合条件. 7. 已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为，则该圆锥的高为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用侧面积公式求出母线长，进而求出圆锥的高. 【详解】圆锥的底面半径，设其母线长为，则，解得， 所以该圆锥的高. 故答案为：4 8. 若是上的增函数，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，把"在上是增函数"转化为在上恒成立，再分离参数得，由在上的最小值求出的范围. 【详解】的定义域为，其导函数为. 在上是增函数，即对任意都有. 由得. 因为时单调递增，其最小值为， 所以，即实数的取值范围是. 9. 若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】先讨论不等式的二次项系数是否为0，若不为0，利用一元二次不等式恒成立即可求解. 【详解】时，即，满足条件； 时，需满足，解得； 综上所述：的取值范围是. 10. 若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，再分讨论即可． 【详解】因为函数为上的奇函数，所以， 又因为奇函数在上单调递减，且， 所以在上单调递减，且， 所以当时，， 当时，， 所以由可得： ①当时，有或， 解得：， ②当时，有或， 解得：， ③当时，满足题意， 综上得：或， 所以满足的的取值范围是， 故答案为：. 11. 已知函数，则方程的实根个数为_________. 【答案】7 【解析】 【分析】令，则，进而分和解方程得，再讨论取相应值时方程的根的个数即可得答案. 【详解】解：令，原方程等价于 ①当时，有，即，解得或，均满足； ②当时，有 所以， 综上，的解：， 接下来分别解方程，，整理得， 当时，，有2个实根； 当时，，有2个实根； 当时，，有2个实根； 当时，，有1个实根， 所以，方程的实根个数为. 12. 已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】令，利用导函数研究其单调性，最后根据即可求解. 【详解】若，则由得， 令，得， 由得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 因为关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数， 所以，，得， 故的取值范围是 二､选择题（本大题共有4题，满分18分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知，则是的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非必要非充分 【答案】A 【解析】 【分析】分别验证充分性和必要性是否成立，结合时的解的情况判断条件类型. 【详解】充分性验证： 若，满足，代入正弦函数可得，因此由可以推出，充分性成立， 必要性验证： 已知，若，根据正弦函数在上的取值特征，解得或，即由不能唯一推出，必要性不成立， 综上，是的充分非必要条件. 14. 下列函数中，与函数的奇偶性和单调性都一致的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，结合求导分析单调性判断即可. 【详解】函数为奇函数，且在定义域上单调递增. 对A，为偶函数，且在上单调递减，在上单调递增，故A错误； 对B，无奇偶性，在上单调递增，故B错误； 对C，为奇函数，在上单调递增，故C错误； 对D，，则，故为奇函数，且，故为奇函数，且在定义域上单调递增，故D正确. 故选：D 15. 已知函数的定义域为，值域为，则满足条件的函数最多有（ ）个. A. 28 B. 30 C. 31 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数定义域与值域的映射规则写出所有可能的情况数，注意排除值域不为的情况即可得. 【详解】函数的定义域为，共有5个元素， 函数的值域为，共有2个元素， 映射规则要求定义域中的每个元素都必须且只能对应值域中的一个元素， 因为定义域有5个元素，每个元素都有2种选择， 不考虑值域的限制，一共可以构成个不同的函数， 要求函数的值域恰好是，意味着值域中的两个元素都必须被取到， 若所有定义域元素都映射到或中的一个，值域为或，不符合题意， 因此，满足条件的函数的数量为个. 16. 设正数不全相等，，函数．关于说法 ①对任意都为偶函数， ②对任意在上严格单调递增， 以下判断正确的是（ ） A. ①、②都正确 B. ①正确、②错误 C. ①错误、②正确 D. ①、②都错误 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数的定义判断①；变形函数，利用导数探讨单调性即可判断②. 【详解】函数的定义域为R，而， 对于①， ，因此函数是偶函数，①正确； 对于②，， 当时，令，求导得， 当时，，函数在上递减，则，因此， 当时，，函数在上递增，则，因此， 从而函数在上递增，同理在上都递增， 于是在上严格单调增，②正确， 故选：A 【点睛】思路点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②或是定义域上的恒等式． 三､解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知集合 （1）若，求集合和； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）解分式不等式化简集合，再利用对数函数单调性求出值域即可. （2）利用对数函数单调性求出，再利用集合的包含关系求出范围. 【小问1详解】 解不等式，移项通分得，即，解得， 故； 是定义域上的减函数，因此， 故. 【小问2详解】 是定义域上的减函数，因此， 故. 若，则. 18. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，是侧棱的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）设，连接， 因为是正方形，所以是线段的中点， 因为是侧棱的中点，所以在中，， 因为平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）设，求证，再利用线面平行的判定定理证明； （2）取线段的中点，利用点与点到平面的距离相等以及等体积思想求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取线段的中点，连接， 因为，所以点与点到平面的距离相等， 因为底面，，所以底面，所以， 则， 因为平面，所以， 则， ， 则底边上的高为，则， 因为，所以点或到平面的距离为. 19. 函数 （1）当时，是否存在实数c，使得为奇函数； （2）若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）不存在 （2）且 【解析】 【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断； （2）先半点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 假设为奇函数，则， 而，则，此时无实数满足条件， 所以不存在实数，使得函数为奇函数； 【小问2详解】 图像经过点，则代入得，解得， 所以，定义域为， 令，则的图像与轴负半轴有两个交点， 所以，即，解得， 若，即是方程的解， 则代入可得，解得或. 由题意得，所以实数的取值范围是且. 20. 某一场体育比赛由局小比赛组成（），若赢1局则积1分，先赢局的选手获得整场比赛的胜利．特别地，当时，即为一局定整场比赛的胜负．假设每局比赛之间的胜负相互独立，且没有平局． （1）已知甲、乙两人在过往100局小比赛的练习中，甲赢60局，若以此频率估计甲每局获胜的概率．当时，求甲以的比分获得整场比赛胜利的概率． （2）若甲、乙两人每局比赛获胜的概率分别为p和，，甲可以选择n的值（其中），则对于甲而言，选择n为哪个值更为有利？请说明理由． （3）若甲、乙两人每局比赛获胜的概率均为，当时，设甲在没有进行第局时就能获得整场比赛胜利的概率为，求证：． 【答案】（1） （2）应该选择，理由：选择时，甲整场比赛获胜的概率为 ； 当选择 时，甲整场比赛获胜的概率为； 所以作差得，， 由于，，，所以， 即对于甲而言，应该选择； （3）证明：若甲、乙两人每局比赛获胜的概率相等，所以前2n局就能定整场比赛正负的概率相同， 即甲和乙没有进行第局时就能获得整场比赛胜利的概率均为， 由题可得，若要以第局定整场比赛的胜负， 则前2n局得分必定为的形式，概率为， 因为 “甲在局内获胜”“乙在局内获胜”“比赛进行到第局” 是互斥且穷尽的事件， 所以，即， 由于，则，得证． 【解析】 【分析】（1）由题意得甲每局比赛获胜的概率为0.6，根据独立事件乘法公式计算即可； （2）分别计算出时， 时甲获胜的概率，再利用作差法比较可得结论； （3）由于对称性可知甲和乙没有进行第局时就能获得整场比赛胜利的概率均为，若要以第局定整场比赛的胜负，则，由此计算得，判断即可得证. 【小问1详解】 甲每局比赛获胜的概率为0.6， 由于甲以获得整场比赛胜利， 所以，第4局的胜者必然是甲，则前面3局中甲赢2局，输1局， 故甲以获得整场比赛胜利的概率为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 设函数的定义域为R，其导函数为，．若存在区间及实数满足：对任意，都有恒成立，则称函数为上的“函数”． （1）判断函数是否为上的函数，并说明理由； （2）已知实数满足：函数为上的函数，求的取值范围； （3）已知函数存在最大值． 对于以下两个命题，：对任意，都有与恒成立；：对任意正整数，满足函数都是上的函数；判断P是否为Q的充要条件，并说明理由． 【答案】（1）是，理由如下： 设定义域为的函数 在上可导，导函数为 ． 若区间及实数满足：，对任意成立， 则称函数为上的“函数”． ，， ，在时恒成立， 是 上的函数． （2） （3）为的充要条件，理由如下： 若成立，则对任意正整数，有：， 即 为上的函数，成立．故为充分条件． 若成立，即对任意正整数，有：（2） 记函数的最大值为． 先证明恒成立． 反证法，假如存在使得，则取正整数，使得， 此时有，与（2）矛盾． 则有恒成立，这意味着为上的严格减函数． 再证明恒成立． 取为的一个最大值点， 则当时，由单调性知， 但，所以， 于是． 对任意 ，可取一个与有关的正整数，使得， 由（2）知：． 于是成立，故也为的必要条件． 故为的充要条件． 【解析】 【分析】（1）利用函数的定义来判断即可； （2）根据函数，将问题转化为不等式问题，进一步转化为恒成立问题进行求解； （3）推导出为的充分条件，若成立，即对任意正整数，有：，记函数的最大值为．用反证法证明恒成立和恒成立，从而为的充要条件． 【小问1详解】 是 上的函数，理由略； 【小问2详解】 实数满足：函数为上的函数， 则有，得， 函数，有在上恒成立， 在单调递减，在上， 所以，即的取值范围为； 【小问3详解】 为的充要条件，理由略. 【点睛】思路点睛： 本题考查导数性质及应用、函数的单调性、充分条件、必要条件等基础知识，考查运算求解能力，（1）中直接根据定义来判断，（2）将不等式问题转化为恒成立问题来求解；（3）巧用反证法来证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期高三第一次阶段检测 数学试卷 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则___________ 2. 函数在区间上的平均变化率为_________. 3. 已知，则的最小值为________ 4. 已知，则_________. 5. 已知常数，的二项展开式中项的系数是，则的值为_____________． 6. 关于的方程的解集为_________. 7. 已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为，则该圆锥的高为______． 8. 若是上的增函数，则实数的取值范围是_________. 9. 若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是_________. 10. 若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是______ 11. 已知函数，则方程的实根个数为_________. 12. 已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是_________. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知，则是的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非必要非充分 14. 下列函数中，与函数的奇偶性和单调性都一致的函数是（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数的定义域为，值域为，则满足条件的函数最多有（ ）个. A. 28 B. 30 C. 31 D. 32 16. 设正数不全相等，，函数．关于说法 ①对任意都为偶函数， ②对任意在上严格单调递增， 以下判断正确的是（ ） A. ①、②都正确 B. ①正确、②错误 C. ①错误、②正确 D. ①、②都错误 三､解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知集合 （1）若，求集合和； （2）若，求实数的取值范围. 18. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，是侧棱的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 19. 函数 （1）当时，是否存在实数c，使得为奇函数； （2）若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 20. 某一场体育比赛由局小比赛组成（），若赢1局则积1分，先赢局的选手获得整场比赛的胜利．特别地，当时，即为一局定整场比赛的胜负．假设每局比赛之间的胜负相互独立，且没有平局． （1）已知甲、乙两人在过往100局小比赛的练习中，甲赢60局，若以此频率估计甲每局获胜的概率．当时，求甲以的比分获得整场比赛胜利的概率． （2）若甲、乙两人每局比赛获胜的概率分别为p和，，甲可以选择n的值（其中），则对于甲而言，选择n为哪个值更为有利？请说明理由． （3）若甲、乙两人每局比赛获胜的概率均为，当时，设甲在没有进行第局时就能获得整场比赛胜利的概率为，求证：． 21. 设函数的定义域为R，其导函数为，．若存在区间及实数满足：对任意，都有恒成立，则称函数为上的“函数”． （1）判断函数是否为上的函数，并说明理由； （2）已知实数满足：函数为上的函数，求的取值范围； （3）已知函数存在最大值． 对于以下两个命题，：对任意，都有与恒成立；：对任意正整数，满足函数都是上的函数；判断P是否为Q的充要条件，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $