精品解析：广西柳州高级中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

2026～2027学年度上学期2025级（高二）十月月考 数学试题 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算得到复数，再确定其在复平面内对应点的坐标，即可确定点所在的象限. 【详解】因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D 2. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面，以及平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，若，，，则或者异面，故A错误， 对于B，若，，且与，的交线垂直，才有，否则与不一定垂直，故B错误， 对于C，若，，则或者，故C错误， 对于D，若，，则，D正确， 故选：D 3. 已知直线和直线，若，则（ ） A. 1或 B. 1 C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】根据可列出关于的方程，求解再舍去不符合题意的项即可. 【详解】因为，所以，解得 时，两直线方程均为，两直线重合，故舍去. 时，两直线不重合，满足题意. 故选：C 4. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】是的中点，则 ． 5. 已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 6. 已知直线的一个方向向量为，其倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得直线的斜率为，可得，将所求的式子转化为齐次式，弦化切得解. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率为，即， 故选：B． 7. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到函数的单调性，结合特殊点的函数值，利用零点存在性定理得到，，，得到答案. 【详解】由题意得在R上单调递增， 在上单调递增， 又，，故， ，，故， ，故， 故. 故选：B 8. 已知圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为，若圆锥与圆柱的表面积之比为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中的圆锥和圆柱的表面积的比值可得答案. 【详解】设圆锥的表面积为，圆柱的表面积为，由圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为， 则圆锥的母线，圆柱的母线为， 则，. 由，得， 化简得，即， 所以或（舍去），所以，即. 故选：C. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 平面内过点且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】分截距均为和截距均不为两种情况讨论，利用待定系数法求出直线方程. 【详解】当截距均为时，设直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为，即； 当截距均不为时，设直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为，即； 综上可得所求直线方程为或. 故选：BC 10. 已知函数在区间上的最大值为6，则下列关于的判断正确的有（ ） A. B. 当时取最小值 C. 最小正周期为 D. 在上是增函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】A恒等变换得到，根据得到，从而得到，解得；B代入计算出；C利用求出最小正周期；D求出，由于在上不单调. 【详解】A，， ，，故， 所以在的最大值为， 所以，解得，正确； B，由A知，当，显然时取最小值，正确； C，最小正周期为，正确； D，，，由于在上不单调，故在上不是增函数，错误. 故选：ABC 11. 如图，在长方体中，，，动点M在体对角线（含端点）上，则下列结论正确的是（ ） A. 当点M为的中点时，为钝角 B. 当点M为的中点时，四棱锥的外接球的表面积为 C. 存在点M，使得平面 D. 直线BM与平面所成角的最大正切值为 【答案】BC 【解析】 【分析】依题意建系，表示判断A；根据外接球半径求法求出，进而判断B；假设存在点，利用向量验证，判断C；根据线面角的向量求法判断D. 【详解】 建立如图所示空间直角坐标系，当点M为中点时，，，， ，，，为锐角，A错误； 设四棱锥的外接球半径为R，则，则， 四棱锥的外接球的表面积为，B正确； 设，，，，则， ，，，得， 存在点M，使得平面，C正确； 设平面的法向量为，直线BM与平面所成角的正切值最大， 则直线BM与平面所成角的正弦值最大即可，， 即，，故， 令，，则， 当时，， 当时，， 故最大正弦值，则最大正切值，D错误， 故选：BC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 已知是相互独立事件，且，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据独立事件的乘法公式求出，再根据求解即可. 【详解】因为是相互独立事件， 所以， 则. 故答案为：. 13. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 (单位: )和燃料的质量 (单位: )、火箭 (除燃料外)的质量(单位:)的函数关系表达式为 . 当燃料质量是火箭质量的__________倍时，火箭的最大速度可以达到 . 【答案】15 【解析】 【分析】解方程即可. 【详解】令，则，所以，所以. 故当燃料质量是火箭质量的倍时，火箭的最大速度可以达到. 故答案为： 14. 如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，M，N分别是AC，BF上的动点，且，则MN的最小值是__________ 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用二面角的定义证得就是二面角的平面角，即为，再利用空间向量将的长转化为的模求解，利用空间向量的线性运算和数量积、一元二次函数的图象与性质运算即可得解. 【详解】连接，如下图， 由题意，，，正方形中， 正方形中，平面，平面， 平面平面， ∴就是二面角的平面角，则， ∴向量与向量夹角为，且，， 设，，，则， 且由题意， ∴， ， ∴， 令，，图象开口向上，且对称轴为， ∴当时，取得最小值， 即最小值为， ∴的最小值是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3. （1）证明：平面PCD⊥平面PAD； （2）求点B到平面PAD的距离. 【答案】（1）证明：∵PC⊥底面ABCD，平面， ∴PC⊥AD， 又∵CD⊥AD ，且PC∩CD=C，平面， ∴AD⊥平面PCD， ∵平面PAD， ∴平面PCD⊥平面PAD； （2） 【解析】 【分析】（1）由PC⊥底面ABCD，得到PC⊥AD，再由CD⊥AD ，得到AD⊥面PCD，然后利用面面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，求得平面PAD的一个法向量，由点到平面距离向量公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系， 则 ， 所以， 设平面PAD的一个法向量为， 则，即， 解得，令，得，则， 所以点B到平面PAD的距离为：. 16. 在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可； （2）根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 由，故 由正弦定理知：，所以. 因为，所以A为锐角，故； 【小问2详解】 由（1）及余弦定理知：， 故，故. 由，所以， 所以的面积. 17. 已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． （1）求点B的坐标； （2）若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，分析可知的中点在直线上，运算即可； （2）求关于直线的对称点为，进而可求反射光线所在的直线方程. 【小问1详解】 由题意可设点， 因为，则的中点在直线上， 可得，解得， 所以点B的坐标为. 【小问2详解】 设关于直线的对称点为， 则，解得，即 所以反射光线所在的直线方程为，可得. 18. 在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到的位置，使得平面平面（如图2）. （1）求证:平面 ; （2）求二面角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值为 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为在梯形中，，为的中点， 所以， 所以四边形为平行四边形， 因为线段与交于点，所以为线段的中点， 所以中， 因为平面，平面， 所以平面. （2） （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）推导出，从而四边形为平行四边形，推导出，由此能证明平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值. （3）设，求得及平面的一个法向量的坐标，根据与平面所成角的余弦值列方程，求得，进而求得正确答案. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 平行四边形中，， 所以四边形是菱形，，垂足为， 所以， 因为平面，平面， 所以是二面角的平面角， 因为平面平面， 所以，即. 可以如图建立空间直角坐标系，其中， 因为在图1菱形中，， 所以， 则， ，， 设平面的一个法向量为， 则取，得， 平面的一个法向量为， 由图得二面角为锐角，设二面角为， 故， 【小问3详解】 假设线段上存在点使得与平面所成角的余弦值为，则与平面所成角的正弦值为. 设， 因为， 所以， 设平面的一个法向量为， 则取，得， ， 所以， 因为，所以， 故线段上存在点，且，使得与平面所成角的余弦值为. 19. 如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成，设直线的斜率为，问： （1）求直线的方程及斜率的范围； （2）若的面积为，求的表达式； （3）若为的面积，问是否存在实数，使得关于的不等式有解，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）利用点斜式直接写出直线的方程，通过分析直线和的斜率确定的范围. （2）联立直线与，的方程，求出交点的坐标，再结合两点间距离公式和点到直线距离公式计算的面积． （3）先表示出的面积，通过换元法确定其取值范围，再将不等式进行变形，结合面积的取值范围求解的取值范围． 【小问1详解】 依题意，点，直线的斜率为， 由直线的点斜式方程，可得直线MN的方程为． 因为，所以． 【小问2详解】 由已知， 可得直线方程为，直线方程为， 联立方程组，解得， 又由，解得， 由两点距离公式可得， 又由点P到直线OM的距离为， 所以． 【小问3详解】 由题意，可得， 设， 令，即，函数在为单调递增函数， 所以当时，的最小值为，当时，的最大值为， 即，所以， 又且，所以， 可得的最大值为，所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度上学期2025级（高二）十月月考 数学试题 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 已知直线和直线，若，则（ ） A. 1或 B. 1 C. D. 不存在 4. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线的一个方向向量为，其倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为，若圆锥与圆柱的表面积之比为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 平面内过点且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数在区间上的最大值为6，则下列关于的判断正确的有（ ） A. B. 当时取最小值 C. 最小正周期为 D. 在上是增函数 11. 如图，在长方体中，，，动点M在体对角线（含端点）上，则下列结论正确的是（ ） A. 当点M为的中点时，为钝角 B. 当点M为的中点时，四棱锥的外接球的表面积为 C. 存在点M，使得平面 D. 直线BM与平面所成角的最大正切值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 已知是相互独立事件，且，则_____． 13. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 (单位: )和燃料的质量 (单位: )、火箭 (除燃料外)的质量(单位:)的函数关系表达式为 . 当燃料质量是火箭质量的__________倍时，火箭的最大速度可以达到 . 14. 如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，M，N分别是AC，BF上的动点，且，则MN的最小值是__________ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3. （1）证明：平面PCD⊥平面PAD； （2）求点B到平面PAD的距离. 16. 在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，求的面积. 17. 已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． （1）求点B的坐标； （2）若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 18. 在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到的位置，使得平面平面（如图2）. （1）求证:平面 ; （2）求二面角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值为 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成，设直线的斜率为，问： （1）求直线的方程及斜率的范围； （2）若的面积为，求的表达式； （3）若为的面积，问是否存在实数，使得关于的不等式有解，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $