精品解析：福建厦门外国语学校石狮分校教育集团2026年10月第一阶段摸底抽测初三年段数学学科试题

厦门外国语学校石狮分校教育集团2026年10月第一阶段摸底抽测 初三年段数学学科试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x=1 B. x≥1 C. x＞1 D. x＜1 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．由题意得，x﹣1≥0， 解得x≥1．故选B． 考点： 二次根式有意义的条件． 2. 将一元二次方程化成一般形式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数且），据此求解即可． 【详解】解：， ． 3. 一元二次方程3x2-2x-1＝0的二次项系数和一次项系数分别为（ ）． A. 3，-2 B. 3，2 C. 3，-1 D. 3x2，-2x 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义分析，即可得到答案． 【详解】一元二次方程3x2-2x-1＝0的二次项系数和一次项系数分别为：3、-2 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，从而完成求解． 4. 下列各式与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将选项化简为最简二次根式，然后找出与是同类二次根式的选项． 【详解】解：A、，与是同类二次根式，符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、，与不是同类二次根式，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不符合题意． 5. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是( ) A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数关系求解即可． 【详解】解：由题意可得：． 6. 一件商品标价100元，连续两次降价后的价格为81元，则两次平均降价的百分率是（　　） A. 10% B. 15% C. 18% D. 20% 【答案】A 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的（1-x），那么第二次降价后的单价是原来的（1-x）2，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得： 100×（1﹣x）2＝81， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）， 故选A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍，难度一般． 7. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理得，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 移项得， ， ∴， 故选：B 8. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ）． A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先估算的取值范围，确定其整数部分和小数部分，再代入代数式计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 9. 如果一元二次方程满足，那么，我们称这个方程为“凤凰方程”，已知是“凤凰”方程且有一个解为，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解． 根据凤凰方程的定义得，根据方程且有一个解为得，通过加减消元即可求解． 【详解】解：∵方程是凤凰方程， ∴． ∵是方程的解， ∴，即． 将两式相加：，得 ， ∴，即． 将两式相减：，得 ， ∴． 故且， 故选C． 10. 如图，四边形是边长为的菱形，对角线、的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得到，，，，利用勾股定理得到，利用根与系数的关系求出，再根据完全平方公式的变形求出，得到，再根据菱形面积公式求出的长即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， ， ， 对角线，的长度分别是一元二次方程的两实数根， ，， ，， ， ， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， ∴， ∴， 是边上的高， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，一元二次方根与系数的关系，灵活运用所学知识是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的乘法运算法则进行计算． 【详解】解：原式==， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，掌握二次根式乘法的运算法则（a≥0，b＞0）是解题关键． 12. 方程的根为____． 【答案】， 【解析】 【分析】利用因式分解转化为得或即可求解． 【详解】∵， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程解法的步骤是解题关键． 13. 比较大小：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，把根号外的因式移入根号内再比较，是解题的关键．把根号外的因式移入根号内，再比较即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 14. 若一元二次方程的一个根是，则另一个根是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，设另一个根是，由题意可得，求解即可，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：设另一个根是， 由题意可得：， ∴，即另一个根是， 故答案为：． 15. 在一块长35米，宽26米的矩形绿地上有宽度相同的两条小路，如图所示，其中绿地的面积为，若设小路的宽为，则可列出方程为_____________. 【答案】35×26-35x-26x+x2=850． 【解析】 【分析】本题可先用x表示矩形的面积和小路的面积，用矩形的面积减去小路的面积即为绿地的面积，这样就可以得到方程. 【详解】解：矩形面积=35×26， 小路面积为=35x+26x-x2， 则绿地面积=35×26-35x-26x+x2=850． 故答案为：35×26-35x-26x+x2=850． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的运用，要结合图形和题意进行分析．解题要注意两条小路中有重复的地方，在计算时要加上多减去的部分． 16. 设是方程的两个根，是方程的两个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得到两根和与两根积，结合方程解的定义得到，满足的关系式，将所求代数式展开后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根，，是方程的两个根， ∴，，，，且，， ∴ ． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得． 【详解】解：， ， ． 18. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】直接用公式法求解即可． 【详解】 ∴ ∴ ， 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值. 先通分，再去括号，约分，最后将代入即可. 【详解】 ， 当时，原式 20. 利用如图所示的直角墙角（两边足够长），用篱笆围成矩形花圃，已知篱笆、两边中，，所用篱笆总长为，若篱笆围成的矩形的面积为，求边的长． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据长方形的面积公式列出关于x的一元二次方程，再求解舍去不合题意的数，即可得出答案． 【详解】解：设，依题意，得， 即， 解得，． ∵， 即， 解得， ∴不合舍去，则． 答：边长为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 21. 已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【解析】 【分析】利用数轴判断得出：，，，，进而化简即可． 【详解】解：如图所示： ∴，， 则原式 ． 【点睛】本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质化简二次根式是解题关键． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元一次方程根与系数的关系，掌握相关的知识是解题的关键． （1）证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，，将变形为，代入相应的值，得到关于m的方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两实根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或． 23. 商场某品牌运动鞋每双进价120元，在试销期间发现，当每双售价130元时，每天可销售70双，当每双售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1双，据此规律，请回答： （1）当每双鞋售价定为170元时，每天可销售多少双鞋？商场获得的日盈利是多少元？ （2）在上述条件不变，运动鞋销售正常的情况下，每双鞋的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？ 【答案】（1）30双，1500元 （2）160元 【解析】 【分析】（1）根据“每涨价1元，日销售量就减少1双”求出日销量，再乘以每双鞋子的利润即可； （2）设商场日盈利达到1600元时，每双鞋的售价为x元，根据进价、售价、销量、利润之间的关系列一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：（元）， 每日销售量为：（双）， 商场可获日盈利为（元）． 答：每天可销售30双鞋子，商场获得的日盈利是1500元． 【小问2详解】 解：设商场日盈利达到1600元时，每双鞋的售价为x元， 依题意得：， 整理，得，即， 解得． 答：每双鞋子的售价为160元时，商场日盈利达到1600元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据进价、售价、销量、利润之间的关系列出方程． 24. 如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求证：； （2）的面积是定值吗？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； （3）与相等吗？请说明理由． 【答案】（1） 方法一：根据函数图象可得在第一象限，在第三象限， ∴， ∴； 方法二：∵一次函数与反比例函数的图象相交于，两点， ∴联立，整理得， ∴和是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴； （2）的面积不是定值 （3） ，理由如下： ，， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数面积问题； （1）联立，整理得，在根据一元二次方程根与系数的关系得到； （2）先求出，，再根据，由，，求出，据此判断即可； （3）先求出，，再根据，得到，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，，则，； 当时，，则，； ∴ ， 由（1）可得，， ∴， ∵的值不确定， ∴的值不确定， ∴的值不确定， 即的面积不是定值； 【小问3详解】 略 25. 我们知道一元二次方程的两根为，，若其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为倍“梅石花”方程，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程的两根为，，则称这样的方程为“状元来”方程． （1）根据上述定义，请判断：是_________倍“梅石花”方程； （2）若关于的方程是倍“梅石花”方程， ①请探究与之间的数量关系（用含的代数式表示）； ②直接写出的最小值是_________． （3）若方程为“状元来”方程，求证：． 【答案】（1）4 （2）①；②1 （3） 证明：∵可化成， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． （1）利用因式分解法解方程可得，由此即可得； （2）①设这个方程的两个根为，则可得，，将代入化简即可得； ②先化简可得，再根据可得，由此即可得； （3）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，则可得，代入化简即可得证． 【小问1详解】 解：， ， 解得， ∵， ∴是4倍“梅石花”方程， 故答案为：4． 【小问2详解】 解：①设这个方程的两个根为， ∴，， ∴， ∴． ②∵，为正整数， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为1， 故答案为：1． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门外国语学校石狮分校教育集团2026年10月第一阶段摸底抽测 初三年段数学学科试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x=1 B. x≥1 C. x＞1 D. x＜1 2. 将一元二次方程化成一般形式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程3x2-2x-1＝0的二次项系数和一次项系数分别为（ ）． A. 3，-2 B. 3，2 C. 3，-1 D. 3x2，-2x 4. 下列各式与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是( ) A. 3 B. C. 2 D. 6. 一件商品标价100元，连续两次降价后的价格为81元，则两次平均降价的百分率是（　　） A. 10% B. 15% C. 18% D. 20% 7. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ）． A. B. C. 1 D. 3 9. 如果一元二次方程满足，那么，我们称这个方程为“凤凰方程”，已知是“凤凰”方程且有一个解为，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 10. 如图，四边形是边长为的菱形，对角线、的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算的结果是________． 12. 方程的根为____． 13. 比较大小：___________． 14. 若一元二次方程的一个根是，则另一个根是__________． 15. 在一块长35米，宽26米的矩形绿地上有宽度相同的两条小路，如图所示，其中绿地的面积为，若设小路的宽为，则可列出方程为_____________. 16. 设是方程的两个根，是方程的两个根，则代数式的值为___________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 利用如图所示的直角墙角（两边足够长），用篱笆围成矩形花圃，已知篱笆、两边中，，所用篱笆总长为，若篱笆围成的矩形的面积为，求边的长． 21. 已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 23. 商场某品牌运动鞋每双进价120元，在试销期间发现，当每双售价130元时，每天可销售70双，当每双售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1双，据此规律，请回答： （1）当每双鞋售价定为170元时，每天可销售多少双鞋？商场获得的日盈利是多少元？ （2）在上述条件不变，运动鞋销售正常的情况下，每双鞋的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？ 24. 如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求证：； （2）的面积是定值吗？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； （3）与相等吗？请说明理由． 25. 我们知道一元二次方程的两根为，，若其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为倍“梅石花”方程，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程的两根为，，则称这样的方程为“状元来”方程． （1）根据上述定义，请判断：是_________倍“梅石花”方程； （2）若关于的方程是倍“梅石花”方程， ①请探究与之间的数量关系（用含的代数式表示）； ②直接写出的最小值是_________． （3）若方程为“状元来”方程，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $