精品解析：福建三市明第八中学中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

三明八中2026－2027学年九年级数学第一学期校本作业 一、选择题：（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为． 【详解】解：、，当时是一元二次方程，原选项不符合题意； 、由得，是一元一次方程，原选项不符合题意； 、，是分式方程，原选项不符合题意； 、，是一元二次方程，原选项符合题意； 故选：． 2. 根据下列表格的对应值：可得方程x2+5x﹣3＝0一个解x的范围是（　　） x 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 x2+5x﹣3 -3.00 -1.69 -0.25 1.31 3.00 A. 0＜x＜0.25 B. 0.25＜x＜0.50 C. 0.50＜x＜0.75 D. 0.75＜x＜1 【答案】C 【解析】 【分析】由表格可知，当x＝0.5时，x2+5x﹣3＝﹣0.25＜0，当x＝0.75时，x2+5x﹣3＝1.31＞0，根据以上分析，结合选项所给的x的范围，即可得到答案． 【详解】解：由表格可知，当x＝0.5时，x2+5x﹣3＝﹣0.25＜0，当x＝0.75时，x2+5x﹣3＝1.31＞0， ∴方程x2+5x﹣3＝0一个解x的范围是0.50＜x＜0.75， 故选：C． 【点睛】本题考查的是二元一次方程结合二次函数图像的应用，二次函数图像中，抛物线与x轴的交点即可看做与之相对应的二元一次方程的解，所以交点前后的值肯定是正负变化的，掌握该诀窍是解此类题型的关键． 3. 用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）. A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 四边都相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【详解】解：由图形作法可知：AD=AB=DC=BC， ∴四边形ABCD是菱形， 故选：B． 4. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式的关系：①，方程有两个不相等的实数根；②，方程有两个相等的实数根；③，方程没有实数根，直接计算判别式，确定符号即可确定答案． 【详解】解：一元二次方程， ， 一元二次方程没有实数根， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟练掌握①，方程有两个不相等的实数根；②，方程有两个相等的实数根；③，方程没有实数根是解决问题的关键． 5. 若关于x的一元二次方程的两个根为，，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．根据题意两根之和为，两根之积为，利用根与系数的关系写出方程即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根为，， ∴两根之和为，两根之积为， ∴这个方程是； 故选：B． 6. 如果证明平行四边形为正方形，那么我们需要进一步证明（　　） A. 且 B. 且 C. 且 D. 和互相垂直平分 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案． 【详解】解：A、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形是正方形； B、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形是正方形； C、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形是矩形，不能判断四边形是正方形； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形是正方形． 故选：A 【点睛】此题考查了正方形判别的方法，判别一个四边形是正方形主要根据正方形的概念，途径有两种：①说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角是直角． 7. 如图，在中，，斜边上的高，斜边上的中线，那么的面积为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再根据三角形面积公式求解． 【详解】解：，是斜边上的中线 是斜边上的高， ． 8. 如图，在正方形中，以为边在正方形内作等边，连接，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得到的度数，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 9. 菱形一条对角线是另一条对角线的2倍，且它的面积是，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设菱形的较短对角线长为，则较长对角线长为，根据菱形的面积公式列方程,解出即可得菱形的两条对角线的长，进而得菱形的两条对角线的一半长，再根据勾股定理、菱形的性质即可求解得菱形的边长. 【详解】解：设菱形的较短对角线长为，则较长对角线长为，根据菱形的面积公式得：，化简得：，解得：， ∵， ∴， ∴菱形的两条对角线长分别为，， ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴菱形的对角线的一半长分别为，， ∴菱形的边长为：， ∴菱形的边长为. 10. 如图，点是菱形对角线上一动点，点是的中点，若，，则的最小值是( ) A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用菱形的轴对称性得出，将的最小值转化为线段的长，根据等边三角形的性质和勾股定理求解． 【详解】解：连接， ，， 四边形是菱形， 点与点关于直线对称， ， ， 当、、三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 四边形是菱形，， ， 是等边三角形， 点是的中点， ，， 在中，由勾股定理得：， 的最小值为． 二、填空题：（共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填入答题纸的相应位置） 11. 将化为一元二次方程的一般形式__________． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式为，只需将原方程所有项移到等号左侧整理即可． 【详解】解：将化为一元二次方程的一般形式． 12. 如图所示，已知，下列条件：①，②，③，④中，能说明是矩形的有（填写序号）_________．     【答案】①④ 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理，逐个对给出的4个条件进行辨析，判断哪个条件可以证明平行四边形为矩形． 【详解】解：①四边形是平行四边形，， ∴是矩形． ②四边形是平行四边形，， ∴是菱形，不能判定为矩形． ③四边形是平行四边形， ，可得，属于平行四边形固有性质，不能判定为矩形． ④， ． 四边形是平行四边形， ∴是矩形． 综上，符合条件的是． 13. 若关于x的方程x2－5x＋k＝0的一个根是0，则另一个根是_____． 【答案】5 【解析】 【详解】试题分析：设方程x2–5x+k=0的另外一个根为x， 则x+0=5 解得：x=5． 故答案是5． 考点：1.根与系数的关系2.一元二次方程的解． 14. 如图所示,在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O,点E，F，G,H分别为边AD，AB，BC，CD的中点.若AC＝8，BD＝6,则四边形EFGH的面积为____． 【答案】12 【解析】 【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形．利用中位线定理可得出四边形矩形，根据矩形的面积公式解答即可． 【详解】解：点、分别为四边形的边、的中点， ，且． 同理求得，且， 又， ，且． 四边形是矩形． 四边形的面积，即四边形的面积是12． 故答案是：12． 【点睛】本题考查的是中点四边形，解题的关键是利用了矩形的判定以及矩形的定理，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形． 15. 某种型号的电脑，原售价6000元/台，经连续两次降价后，现售价为4860元/台，设平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列出方程：_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据降价后的价格=降价前的价格×（1平均每次降价的百分率），可列出方程为. 16. 如图，在正方形ABCD中，E是边CD上一点(点E不与点C、D重合)，连结BE，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为____． 【答案】9． 【解析】 【分析】证明△BCE≌△CDG（ASA），可得BE=CG，根据直角三角形斜边中线的性质可得CG=BE=2CM=6，最后根据面积和可得四边形GMCE的面积． 【详解】解：令BE、CG交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠D=∠BCE=90°． ∵CG⊥BE， ∴∠COE=∠CEO+∠ECO=∠CEO+∠CBE=90°， ∴∠ECO=∠CBE， 在△BCE和△CDG中， ∵ ， ∴△BCE≌△CDG(ASA)， ∴BE=CG． ∵CM=3，∠BCE=90°，且M是BE的中点， ∴CG=BE=2CM=6， ∴四边形GMCE的面积=S△EMG+S△CME=． 故答案为：9． 【点睛】考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，判断出CG=BE是解本题的关键． 三、解答题：（共7题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）确定一元二次方程系数后，用公式法求解； （2）移项提取公因式，用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：方程中，，， 解得：， 【小问2详解】 解：原方程移项得： 提取公因式得： 整理得： 因此或 解得， 18. 如图，某小区规划在长20米，宽10米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为162米2，问小路应为多宽？ 【答案】小路宽1米． 【解析】 【分析】设小路宽x米，则其余部分可合成长（20-2x）米、宽（10-x）米的矩形，根据矩形的面积公式结合草坪的面积为162米2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】设小路宽x米，则其余部分可合成长（20﹣2x）米、宽（10﹣x）米的矩形， 根据题意得：（20﹣2x）（10﹣x）＝162， 整理得：x2﹣20x+19＝0，即（x﹣1）（x﹣19）＝0， 解得：x1＝1，x2＝19． 当x＝19时，10﹣x＝﹣9不合题意， ∴x2＝19舍去． 答：小路宽1米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． （2）若方程的两个根互为倒数，求k的值． 【答案】（1） 的取值范围是. （2） 的值为. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式与根的个数的关系列不等式求解． （2）利用根与系数的关系结合两根互为倒数的条件列方程，再根据方程有实根的条件取舍结果． 【小问1详解】 解：对于一元二次方程， ，，． ∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ． 代入得 ， 整理得 ， 解得 ． 【小问2详解】 解：设方程的两个实数根为，． ∵ 两根互为倒数， ∴ ． 根据根与系数的关系，， ∴ ， 解得  或 ． ∵ 方程有两个实数根， ∴ ， 即 ． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，， 符合题意． 综上所述，的值为． 20. 如图，中，，是的中点，过点作，且，连接、．求证：四边形是菱形． 【答案】证明：，， 四边形是平行四边形． 中，，是的中点， ． 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】先根据一组对边平行且相等证出四边形是平行四边形；再利用直角三角形斜边中线定理得到；最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形完成证明． 【详解】略 21. 已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长． （1）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】（1）解：直角三角形，理由: ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，直角三角形的判定，等边三角形的性质，掌握根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． （1）根据判别式的意义得，即，然后根据勾股定理可判断三角形的形状； （2）利用等边三角形的性质得，方程化为，然后利用因式分解法解方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当是等边三角形，则， ∴，即， ， ， 解得：． 22. 如图，在中，，，为的一个外角． （1）尺规作图：作正方形，使点在线段上，点在的内部；（要求：在图中标明相应的字母，保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求线段的长． 【答案】（1）如图，正方形即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）先过点作于点，又过点作，在射线上取，连接，则四边形是正方形； （2）先算出与的长度，证明，在中直接使用勾股定理求． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 解：如图，连接， ，，， ， 由（1）得， ∴， 四边形是正方形， ，， 在中， ， ∴． 23. 如图，四边形对角线，相交于点，且，． （1）证明：四边形是矩形 （2）四边形是正方形吗？请说明理由． 【答案】（1）证明：， 四边形是平行四边形． ， ， ． 平行四边形是矩形． （2）四边形是正方形，理由如下： ∵，， ∴，， ． ，即． 四边形是矩形，且对角线， 矩形是正方形． 【解析】 【分析】（1）先由对角线互相平分证四边形是平行四边形，再由对角线相等证明平行四边形为矩形． （2）利用勾股定理逆定理，证明对角线互相垂直；结合已经证出的矩形，判定该四边形为正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，中，，、分别是和外角的平分线，． （1）求证：； （2）试判断与是否相等？并证明你的结论． 【答案】（1）证明：∵、分别为角平分线， ∴，， ∵， ∴ ， ∴； （2）． 证明：∵，为角平分线， ∴，即 ∵ ， ∴ ， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，，根据平角的性质可以得出结论； (2)根据等于三角形的三线合一定理说明，根据三个角是直角的四边形为矩形得出为矩形，最后根据矩形的对角线的性质说明结论． 【详解】（1）略 （2）略 25. 【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，，，，将直角三角形ABE绕A点逆时针方向旋转度（）点B、E的对应点分别为点、． 【问题解决】 （1）如图2，在旋转的过程中，点落在了AC上，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与D重合），延长BE交于点F， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接CE，求CE的长； （3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 【答案】（1） （2）①四边形是正方形， 理由如下： 由旋转的性质得：，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ② （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键． （1）由勾股定理得的长度，再由正方形的性质得的长度，然后由旋转的性质得，即可求解； （2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论；②过点作于点，证，得，，再由勾股定理求解即可； （3）当点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上，即可得出答案． 【小问1详解】 解：，，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； 【小问2详解】 解：①略 ②过点作于点，如图所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ， 【小问3详解】 ∵直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转度（）， 点B、E的对应点分别为点、， ∴当时，与E重合，最短； 当落在CA的延长线上时，，最长， ∴线段长度的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明八中2026－2027学年九年级数学第一学期校本作业 一、选择题：（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 根据下列表格的对应值：可得方程x2+5x﹣3＝0一个解x的范围是（　　） x 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 x2+5x﹣3 -3.00 -1.69 -0.25 1.31 3.00 A. 0＜x＜0.25 B. 0.25＜x＜0.50 C. 0.50＜x＜0.75 D. 0.75＜x＜1 3. 用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）. A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 四边都相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 4. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 若关于x的一元二次方程的两个根为，，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如果证明平行四边形为正方形，那么我们需要进一步证明（　　） A. 且 B. 且 C. 且 D. 和互相垂直平分 7. 如图，在中，，斜边上的高，斜边上的中线，那么的面积为( ) A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，以为边在正方形内作等边，连接，则的大小是（ ） A. B. C. D. 9. 菱形一条对角线是另一条对角线的2倍，且它的面积是，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点是菱形对角线上一动点，点是的中点，若，，则的最小值是( ) A. 1 B. C. 2 D. 3 二、填空题：（共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填入答题纸的相应位置） 11. 将化为一元二次方程的一般形式__________． 12. 如图所示，已知，下列条件：①，②，③，④中，能说明是矩形的有（填写序号）_________．     13. 若关于x的方程x2－5x＋k＝0的一个根是0，则另一个根是_____． 14. 如图所示,在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O,点E，F，G,H分别为边AD，AB，BC，CD的中点.若AC＝8，BD＝6,则四边形EFGH的面积为____． 15. 某种型号的电脑，原售价6000元/台，经连续两次降价后，现售价为4860元/台，设平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列出方程：_____________． 16. 如图，在正方形ABCD中，E是边CD上一点(点E不与点C、D重合)，连结BE，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为____． 三、解答题：（共7题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，某小区规划在长20米，宽10米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为162米2，问小路应为多宽？ 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． （2）若方程的两个根互为倒数，求k的值． 20. 如图，中，，是的中点，过点作，且，连接、．求证：四边形是菱形． 21. 已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长． （1）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 22. 如图，在中，，，为的一个外角． （1）尺规作图：作正方形，使点在线段上，点在的内部；（要求：在图中标明相应的字母，保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求线段的长． 23. 如图，四边形对角线，相交于点，且，． （1）证明：四边形是矩形 （2）四边形是正方形吗？请说明理由． 24. 如图，中，，、分别是和外角的平分线，． （1）求证：； （2）试判断与是否相等？并证明你的结论． 25. 【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，，，，将直角三角形ABE绕A点逆时针方向旋转度（）点B、E的对应点分别为点、． 【问题解决】 （1）如图2，在旋转的过程中，点落在了AC上，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与D重合），延长BE交于点F， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接CE，求CE的长； （3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $