精品解析：四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学)　2026-2027学年高一上学期9月月考数学试题

川大附中高一上学期9月月考 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在答题卡“栏目”内. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，考生用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮檫檫干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题是，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合，，所以. 2. 设命题，使得，则为（    ） A. ，都有 B. ，都有 C. ，使得 D. ，使得 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的知识确定正确答案. 【详解】由于命题，使得， 所以为，都有. 3. 下列五个关系式：①，②，③，④，⑤，其中正确的个数为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】，故①正确； ，故②错误；，故③错误； ，故④正确；，故⑤正确. 故正确的个数为3. 4. 下列命题是真命题的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用反例可说明ABC错误；根据不等式的性质可说明D正确. 【详解】对于A，若，，，，则，，，A错误； 对于B，若，，则，即，B错误； 对于C，若，，则，，，C错误； 对于D，若，则，，D正确. 故选：D. 5. 已知一个直角三角形的斜边长为6，则其面积的最大值是（    ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】设直角三角形的两直角边长分别为，则； 三角形面积，当且仅当时取等，所以三角形面积的最大值为. 6. 已知关于的不等式的解集为，则（     ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的解集为即可判断的正负；根据韦达定理得出和关于的关系式，把代入得到，根据关于的不等式的解集为且即可判断的正负；将和关于的关系式代入，再根据的正负即可求出的解集；将和关于的关系式代入，消去，解一元二次不等式即可得出答案. 【详解】对于A，因为不等式的解集为， 所以方程的两根为和3，且，故A错误； 对于B，把代入得， 因为关于的不等式的解集为且， 所以，故B错误； 对于C，由韦达定理得，解得， 把代入得， 因为，解得，故C错误； 对于D，把代入，得， 因为，所以，即， 解得解集为，故D正确. 7. 若存在，且，使得成立，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为1， 因为有解，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 8. 已知，则下列选项中使得“关于的不等式的解集恰有3个整数”成立的一个充分不必要条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式的解集，再利用充分不必要条件的定义即可得参数范围. 【详解】不等式，因式分解得：， 因为，所以不等式的解集为， 又因为解集恰有3个整数，即包含0,1,2，所以，解得. 对于A，是的一个必要不充分条件，故A错误； 对于B，是的充要条件，故B错误； 对于C，是的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，是的一个充分不必要条件，故D正确. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值可能是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立，分、讨论求解即可. 【详解】当时，不等式为，显然成立； 当时，则，解得. 综上所述，． 故选：BCD 10. 若，，则下列结论正确的有（    ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A根据，利用基本不等式即可得出答案；B 根据以及A选项判断即可得出答案；C利用1的妙用得到利用基本不等式即可得出答案；D根据，将基本不等式转化为，令，，代入不等式即可得出答案. 【详解】由题意可得，， 则，则，等号成立时，，故A正确； ，等号成立时，， 故B正确； ， 等号成立时，故C错误； 由基本不等式得，两边同时加上得，即， 令，， 所以，故D正确. 11. 设集合若对任意，都有，则称为对称集，同时规定空集为对称集．设集合，若对任意，都有，且对任意，都有，则称集合与相互对称，那么下列命题中正确的是（ ） A. 集合是对称集 B. 集合与相互对称 C. 若集合与相互对称且为对称集，则 D. “集合和均为对称集”是“与相互对称”的充要条件 【答案】BC 【解析】 【分析】对于AB：解不等式化简集合，结合题意分析判断即可；对于C：根据题意可证，，即可得；对于D：举反例说明即可. 【详解】选项A：由不等式整理可得， 等价于，解得， 所以集合为， 因为属于该集合，但不属于该集合，因此该集合不是对称集，故A错误； 选项B，因为，， 对任意，均有， 所以两个集合相互对称，故B正确； 选项C，因为集合是对称集，则任取，均有， 又因为与相互对称，故，可知； 同理可得，所以．故C正确； 选项D，若与相互对称，则和都是对称集；但反过来不成立， 例如取，，则，两者都是对称集， 但是与不相互对称，因此该条件不是充分条件．故D错误． 第 卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请将答案填写在答题卡上. 12. 满足的集合M有________个． 【答案】7 【解析】 【分析】由，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，根据集合中元素的个数分类讨论，即可求解. 【详解】可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有三个元素：，，； 含有四个元素：，，； 含有五个元素：． 故满足题意的集合M共有7个． 故答案为：7. 13. 若，，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】令，求出，再由不等式的性质求解. 【详解】令，则，解得， 因为，，故. 故答案为： 14. 若对任意，使得恒成立，则实数的取值范围是________________ 【答案】 【解析】 【分析】通过分离参数法，将不等式问题转化为求式子的最大值，利用基本不等式计算最大值即可． 【详解】对任意，，所以， 当，，当且仅当，即时取等号， 当时，， 故在上的上确界为9，故． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 集合， （1）当时，求，； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；. （2）或． 【解析】 【小问1详解】 当时，，因为， 则；. 【小问2详解】 若，则 是的子集， 当时，由，可得； 当时， ，解得， 综上，实数的取值范围为或． 16. 如图所示，某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为3200 m3，深为2 m. （1）若水池的长比宽至少多60 m，求水池的宽的最大值； （2）若池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池的长和宽能使总造价最低? 最低总造价是多少? 【答案】（1）. （2）将水池的池底设计为边长为的正方形时总造价最低，最低总造价为 元. 【解析】 【小问1详解】 设水池的长、宽分别为，则，且， 由题意得 ，即， 所以，因为， 所以，即， 即，解得， 又，所以， 所以水池的宽的最大值为. 【小问2详解】 设水池总造价为元， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，将水池的池底设计为边长为的正方形时总造价最低，最低总造价为 元. 17. 已知集合. （1）若，求实数的值； （2）已知，若p是q的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）先分别解出,，再由交集恰为求出实数的值，注意检验； （2）分析可知是的真子集，再分类讨论集合C是否为空集，结合包含关系列式求解. 【小问1详解】 化简为，所以. 将代入对应方程得： ， 化简得，解得或， 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，不符合条件，舍去； 综上，； 【小问2详解】 由p是q的必要不充分条件，得是的真子集. ① 当时， 解得，符合条件； ② 当时，方程有实根， 若，符合条件； 若，当，，符合条件； 当方程有两个不等根时， 无解. 所以时，或，即. 综上，实数的取值范围是. 18. 已知，，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值； （3）求的最小值． 【答案】（1）2 （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）由题可得，再应用基本不等式计算求解； （3）由题可得，再代入结合基本不等式进行求解即可． 【小问1详解】 ， ，，由基本不等式得， 即，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为2； 【小问2详解】 ， ，，由基本不等式得，故， 所以，解得，负值舍去， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4； 【小问3详解】 ，，，故， 由得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． 19. 已知函数． （1）当时，解关于的不等式； （2）设，该函数在和处的函数值分别为． （i）设，该函数在处的函数值为，证明：； （ii）若对于任意，都有，证明：． 【答案】（1）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. （2）（i）由题意，且， 于是， 因为，所以，故， （ii）因为对任意，都有， 所以，，所以， 由（i）可知：，所以． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的求解方式，分、、、、五种情况进行求解； （2）（i）由题可知且，再作差比较即可证明； （ii）由题可知，，则，再结合（i）的结论即可证明． 【小问1详解】 由题，即， ①当时，，解得，所以不等式的解集为， 当时，或； ②当时，即时，不等式的解集为； ③当时，即时，不等式的解集为或； ④当时，即时，不等式的解集为； ⑤当时，，不等式的解集为，或. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 川大附中高一上学期9月月考 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在答题卡“栏目”内. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，考生用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮檫檫干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题是，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（     ） A. B. C. D. 2. 设命题，使得，则为（    ） A. ，都有 B. ，都有 C. ，使得 D. ，使得 3. 下列五个关系式：①，②，③，④，⑤，其中正确的个数为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 下列命题是真命题的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知一个直角三角形的斜边长为6，则其面积的最大值是（    ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 6. 已知关于的不等式的解集为，则（     ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 7. 若存在，且，使得成立，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 8. 已知，则下列选项中使得“关于的不等式的解集恰有3个整数”成立的一个充分不必要条件是（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值可能是（ ） A. B. C. D. 0 10. 若，，则下列结论正确的有（    ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最大值为 11. 设集合若对任意，都有，则称为对称集，同时规定空集为对称集．设集合，若对任意，都有，且对任意，都有，则称集合与相互对称，那么下列命题中正确的是（ ） A. 集合是对称集 B. 集合与相互对称 C. 若集合与相互对称且为对称集，则 D. “集合和均为对称集”是“与相互对称”的充要条件 第 卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请将答案填写在答题卡上. 12. 满足的集合M有________个． 13. 若，，则的取值范围是_________. 14. 若对任意，使得恒成立，则实数的取值范围是________________ 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 集合， （1）当时，求，； （2）若，求实数m的取值范围. 16. 如图所示，某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为3200 m3，深为2 m. （1）若水池的长比宽至少多60 m，求水池的宽的最大值； （2）若池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池的长和宽能使总造价最低? 最低总造价是多少? 17. 已知集合. （1）若，求实数的值； （2）已知，若p是q的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18. 已知，，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值； （3）求的最小值． 19. 已知函数． （1）当时，解关于的不等式； （2）设，该函数在和处的函数值分别为． （i）设，该函数在处的函数值为，证明：； （ii）若对于任意，都有，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $