四 圆（知识清单）-2026-2027学年数学六年级上册人教版

圆·特征、周长与面积 （知识清单） 2026—2027学年 六年级上册 数学（人教版） 第5单元 一、单元知识地图 本单元围绕“圆”这一曲边图形展开，共四个知识板块：圆的认识、圆的周长、圆的面积、扇形。全单元贯穿着一条主线——化曲为直：周长用绕绳、滚动的办法变成线段来量，面积用等分、拼剪的办法变成长方形来算。抓住这条主线，公式就不再是需要死记的符号，而是看得见、说得清的过程。 学习本单元要抓两组核心关系。一是半径与直径的关系：在同一圆内，直径等于半径的二倍，它是所有计算的换算枢纽，很多错误的根源都是把这两者看混。二是圆周率的意义：任意圆的周长与直径的比值都固定不变，正是这个不变量把“曲”与“直”联系了起来。理解了圆周率，周长公式和面积公式都能自己推导出来。 从知识发展看，本单元是小学阶段平面图形认识的收官内容，又为初中学习圆的性质以及圆柱、圆锥打下基础。与先前所学比较：长方形、正方形的周长和面积靠“边”来算，而圆靠“半径”来算——圆上的一切要素都由圆心与半径唯一确定，这是圆区别于多边形的根本之处。 二、核心考点梳理 考点1　圆的认识 圆是由一条曲线围成的封闭图形。圆中心的一点叫圆心，用字母O表示，圆心决定圆的位置；连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径，用字母r表示，半径决定圆的大小；通过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径，用字母d表示。三者合起来，就是“圆心定位置、半径定大小”。 图1　圆心、半径与直径 要点：在同一个圆（或等圆）里，半径有无数条且长度都相等，直径也有无数条且长度都相等；直径等于半径的二倍，半径等于直径的一半。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线都是它的对称轴，所以圆有无数条对称轴。用圆规画圆时，针尖固定的一点就是圆心，两脚之间的距离就是半径——这是判断“画得对不对”的依据。 考点2　圆的周长 围成圆的曲线的长度叫作圆的周长。周长没法直接用直尺量，测量思路就是化曲为直：用线绕圆一周再拉直测量，或者让圆形卡片在直尺上滚动一周。多做几组实验会发现一个稳定的事实：无论圆多大，周长与直径的比值总是同一个数，这个数叫圆周率，它是无限不循环小数，计算时通常取它的两位小数近似值三点一四。 图2　圆的周长公式 要点：周长等于圆周率乘直径，也等于圆周率乘半径的二倍（见图2）。反过来，由周长可以求直径和半径：直径等于周长除以圆周率，半径等于直径的一半。“周长—直径—半径—面积”是一条常用换算链，后面求面积经常要从周长出发倒推。另外注意，半圆的周长要分段算：圆周长的一半加上一条直径，漏加直径是最常见的错误。 考点3　圆的面积 圆的面积无法直接量出来，核心策略是等积变形：把圆平均分成若干个相等的小扇形，交错拼插，就得到一个近似的长方形。这个长方形的长近似于圆周长的一半，也就是圆周率乘半径；宽近似于半径。按照长乘宽推算，就得到了圆的面积公式（见图3、图4）。分的份数越多，拼出的图形就越接近长方形，这里渗透的是极限思想。 图3　把圆等分后拼成近似的长方形 图4　圆的面积公式 要点：已知半径求面积，直接代入公式；已知直径，先除以二求出半径；已知周长，先除以圆周率求出直径，再求半径。代入公式前先把“半径是多少”这三步换算做完，能避开大部分错误。 考点4　圆环、扇形与组合图形 圆环是两个同心圆之间的部分，外圆半径通常记作大R，内圆半径记作小r，环宽等于外圆半径减去内圆半径。圆环面积等于外圆面积减去内圆面积，也可以先用平方差把两个半径的平方先作差，再乘圆周率（见图6），这样数字更小、更好算。 图5　圆环 图6　圆环面积公式 扇形是由圆心角的两条半径和所对的弧围成的图形。圆心角越大，扇形就越大；扇形面积占整圆面积的几分之几，取决于圆心角占周角的几分之几。例如圆心角是九十度的扇形，面积就是整圆的四分之一；圆心角是一百二十度的扇形，面积就是整圆的三分之一。 组合图形先拆解再计算。外方内圆：圆的直径恰好是正方形的边长，面积等于正方形减去圆；外圆内方：正方形的对角线恰好是圆的直径，面积等于圆减去正方形。抓住“谁包含谁、边长还是对角线”这两条，拆解就不容易出错。 三、法则与公式速记 半径与直径：直径等于半径的二倍，半径等于直径的一半。 周长：圆周率乘直径，或圆周率乘半径的二倍。半圆周长：圆周长的一半加直径。 面积：圆周率乘半径的平方。圆环面积：外圆面积减内圆面积。 圆心角九十度的扇形：整圆面积的四分之一；圆心角一百二十度的扇形：整圆面积的三分之一。 计算时圆周率统一取三点一四；结果按题目要求保留位数，过程中不要中途更换近似值。 四、易错提醒 1. 条件看错：题目给的是直径，却当成半径代入。动笔前先圈出“半径”“直径”“周长”三个关键词。 2. 平方误用：面积公式里是半径的平方，不是直径的平方；已知直径要先折半再平方。 3. 周长一半与半圆周长混淆：圆周长的一半不含直径，半圆的周长必须加直径。 4. 单位混用：周长用长度单位，面积用面积单位；条件单位不统一时，先换算再计算。 5. 环宽求错：环宽是外圆半径减内圆半径，不是外圆直径减内圆直径。 6. 对称轴表述不准：对称轴是直径所在的直线，是直线而不是线段。 7. 组合图形漏减或重复：先画草图分清“外减内”的关系，再列式计算。 8. 结果处理：按题目要求保留两位小数；用“约等号”连接近似结果，不能用等号。 五、典型例题（含解析） 例1　一张圆形桌面的直径是八分米，在它的边缘镶一圈金属条，至少需要金属条多少分米？ 解析：镶一圈就是求周长。圆周率乘直径：三点一四乘八得二十五点一二，约需二十五分米金属条。 例2　一个圆的周长是十八点八四厘米，它的面积是多少平方厘米？ 解析：先求直径：十八点八四除以三点一四得六厘米，半径是三厘米；再求面积：三点一四乘三的平方，即三点一四乘九，得二十八点二六平方厘米。 例3　一个圆环的外圆半径是五厘米，内圆半径是三厘米，圆环的面积是多少平方厘米？ 解析：外圆面积三点一四乘二十五得七十八点五，内圆面积三点一四乘九得二十八点二六，相减得五十点二四平方厘米。也可以先用平方差：二十五减九得十六，三点一四乘十六同样得五十点二四平方厘米，第二种算法数字更小。 例4　在边长十分米的正方形内画一个最大的圆，圆的面积和正方形的面积各是多少？圆的面积占正方形面积的百分之几？ 解析：最大的圆直径等于正方形边长十分米，半径五分米，面积三点一四乘二十五得七十八点五平方分米；正方形面积是一百平方分米；七十八点五除以一百得百分之七十八点五。这是一个有用的结论：内切圆的面积约占外切正方形面积的四分之三多一点。 六、达标自测（独立完成，再做对照） 建议限时二十五分钟完成。填空题写清单位，计算题保留两位小数，结果用约等号连接的保留原式。 一、填空 1. 从圆心到圆上任意一点的线段叫作（　），用字母（　）表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作（　），用字母（　）表示。 2. 在同一个圆内，半径有（　）条，直径有（　）条；直径的长度是半径的（　）倍。 3. 一个圆的半径是四厘米，直径是（　）厘米，周长是（　）厘米，面积是（　）平方厘米。 4. 一个圆的直径是十厘米，半径是（　）厘米，周长是（　）厘米，面积是（　）平方厘米。 5. 一个圆的周长是三十一点四厘米，它的直径是（　）厘米，面积是（　）平方厘米。 6. 画一个周长是十八点八四厘米的圆，圆规两脚分开的距离应是（　）厘米。 7. 圆周率表示同一个圆内（　）与（　）的倍数关系，它是一个（　）小数，计算时通常取（　）。 8. 圆的对称轴是直径所在的（　），一个圆有（　）条对称轴。 9. 一个圆环的外圆半径是六厘米，内圆半径是四厘米，环宽是（　）厘米，圆环的面积是（　）平方厘米。 10. 把一个半径四厘米的圆平均分成若干等份，拼成一个近似的长方形，这个长方形的长是（　）厘米，宽是（　）厘米，面积是（　）平方厘米。 11. 圆心角是九十度的扇形，面积是这个圆的（　）；圆心角是一百二十度的扇形，面积是这个圆的（　）。 12. 大圆半径是小圆半径的三倍，大圆周长是小圆周长的（　）倍，大圆面积是小圆面积的（　）倍。 二、选择 13. 下面说法正确的是（　）。A. 圆的半径是直径的二倍　B. 圆的对称轴是线段　C. 圆心决定圆的位置　D. 圆的周长是直径的三倍 14. 半径是二分米的圆，周长是（　）分米。A. 六点二八　B. 十二点五六　C. 三点一四　D. 二十五点一二 15. 直径是八厘米的圆，面积是（　）平方厘米。A. 五十点二四　B. 二十五点一二　C. 二百点九六　D. 一百点四八 16. 一个半圆的半径是三厘米，它的周长是（　）厘米。A. 九点四二　B. 十五点四二　C. 十八点八四　D. 二十八点二六 17. 周长相等的正方形和圆，面积相比较（　）。A. 正方形大　B. 圆大　C. 一样大　D. 无法比较 18. 在边长六厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是（　）平方厘米。A. 二十八点二六　B. 三十六　C. 一百一十三点零四　D. 九点四二 19. 一个圆的半径扩大到原来的二倍，它的面积扩大到原来的（　）倍。A. 二　B. 四　C. 六　D. 八 20. 一个圆环，外圆直径十厘米，内圆直径六厘米，圆环的面积是（　）平方厘米。A. 五十点二四　B. 二十八点二六　C. 七十八点五　D. 二十五点一二 三、判断 21. 圆的直径越大，圆周率也越大。（　） 22. 半径是二厘米的圆，周长和面积相等。（　） 23. 圆有无数条对称轴，半圆只有一条对称轴。（　） 24. 两个圆的半径比是三比二，它们的面积比也是三比二。（　） 25. 用同样长的绳子围成的图形中，圆的面积最大。（　） 26. 一个圆环的面积一定比与它同外圆半径的圆面积的一半大。（　） 四、动手操作 27. 在下面边长为四厘米的正方形内画一个最大的圆（用文字描述作图步骤），并算出这个圆的周长和面积，再算出正方形内圆以外部分的面积。 28. 用一张长十分米、宽六分米的长方形铁皮，剪下一个最大的圆，这个圆的直径是多少分米？剩下的铁皮面积是多少平方分米？ 五、解决问题 29. 一个圆形花坛的半径是五米，在花坛的周围围一圈栅栏，需要栅栏多少米？如果每米栅栏四十五元，一共需要多少元？ 30. 一辆自行车车轮的直径是零点六米，车轮每分钟转一百圈，这辆车每分钟前进多少米？通过一座长九百四十二米的大桥，大约需要多少分钟？ 31. 一个圆形水池的周长是六十二点八米，在水池周围铺一条宽一米的小路，这条小路的面积是多少平方米？ 32. 一根铁丝正好围成一个边长九点四二分米的正方形，如果用这根铁丝围成一个圆，这个圆的半径是多少分米？面积是多少平方分米？ 33. 一块圆形草地的直径是二十米，在草地中间修一个直径六米的圆形花坛，剩下草地的面积是多少平方米？如果每平方米草地需要浇水二十千克，一共需要水多少千克？ 34. 一个钟面的分针长十厘米，从三点走到三点半，分针的针尖走过的路程是多少厘米？分针扫过的面积是多少平方厘米？ 35. 用一根长三十一点四米的绳子绕一棵树的树干正好绕了五圈，这棵树树干的横截面面积是多少平方米？ 七、参考答案与解析 先自查再对照，错题回到“二、核心考点梳理”找对应知识点。 1. 半径，r；直径，d。 2. 无数，无数，二。 3. 八；二十五点一二；五十点二四。（周长＝三点一四×八；面积＝三点一四×四的平方） 4. 五；三十一点四；七十八点五。 5. 十；七十八点五。（直径＝三十一点四÷三点一四＝十厘米，半径＝五厘米，面积＝三点一四×25） 6. 三。（圆规两脚间的距离是半径，半径＝十八点八四÷三点一四÷二＝三厘米） 7. 周长，直径，无限不循环，三点一四。 8. 直线，无数。 9. 二；六十二点八。（环宽＝六减四＝2；面积＝三点一四×(36−16)＝三点一四×20） 10. 十二点五六；四；五十点二四。（长方形的长是圆周长的一半，即三点一四×4；宽是半径4） 11. 四分之一；三分之一。 12. 三；九。（周长比等于半径比，面积比等于半径比的平方） 13. C。圆心决定位置、半径决定大小；半径是直径的一半而非二倍；对称轴是直线不是线段；周长是直径的π倍而不是三倍。 14. B。周长＝三点一四×2×2＝十二点五六分米。 15. A。半径＝4，面积＝三点一四×16＝五十点二四平方厘米。 16. B。半圆周长＝三点一四×3＋2×3＝九点四二＋六＝十五点四二厘米。漏加直径会误选A。 17. B。周长相同时圆的面积最大，这是本单元的常用结论。 18. A。最大圆的直径等于正方形边长6，半径3，面积＝三点一四×9＝二十八点二六平方厘米。 19. B。半径扩大到二倍，面积扩大到二×二＝四倍。 20. A。外圆半径5、内圆半径3，面积＝三点一四×(25−9)＝三点一四×16＝五十点二四平方厘米。 21. 错。圆周率是固定值，与圆的大小无关。 22. 错。周长是长度（单位厘米），面积是面积（单位平方厘米），单位不同不能比较；数值虽都是十二点五六，但不能说相等。 23. 对。圆的对称轴是直径所在的直线，有无数条；半圆的对称轴只有垂直平分直径的那一条。 24. 错。面积比等于半径比的平方，应为九比四。 25. 对。这是等周长图形中面积最大的结论，本单元常用来做比较题。 26. 错。圆环面积等于外圆面积减内圆面积，一定小于外圆面积，说“比外圆面积的一半大”没有依据，内圆很大时会明显小于一半。 27. 作图步骤：连接正方形两条对角线，交点即为圆心；以交点为端点向任意一边作垂线，垂线段长二厘米即为半径；以交点为圆心、二厘米为半径画圆。周长＝三点一四×4＝十二点五六厘米；面积＝三点一四×4＝十二点五六平方厘米；正方形面积＝四×四＝十六平方厘米，圆以外部分＝十六减十二点五六＝三点四四平方厘米。 28. 最大的圆直径等于长方形的宽，是六分米（半径3）。圆面积＝三点一四×9＝二十八点二六平方分米；长方形面积＝十×六＝六十平方分米；剩下＝六十减二十八点二六＝三十一点七四平方分米。注意不能以长为直径，否则圆画不进长方形。 29. 栅栏长＝周长＝三点一四×2×5＝三十一点四米；费用＝三十一点四×45＝一千四百一十三元。 30. 车轮周长＝三点一四×0.6＝一点八八四米；每分钟前进＝一点八八四×100＝一百八十八点四米；过桥时间＝九百四十二÷188.4＝五（分钟）。 31. 水池半径＝六十二点八÷三点一四÷2＝十米；外圆半径＝十加一＝十一米；小路面积＝三点一四×(121−100)＝三点一四×21＝六十五点九四平方米。 32. 铁丝长＝九点四二×4＝三十七点六八分米；圆的直径＝三十七点六八÷三点一四＝十二分米；半径＝六分米；面积＝三点一四×36＝一百一十三点零四平方分米。 33. 草地半径＝十米，花坛半径＝三米；剩余面积＝三点一四×(100−9)＝三点一四×91＝二百八十五点七四平方米；需水＝二百八十五点七四×20＝五千七百一十四点八千克。 34. 分针针尖走的路程是半径十厘米的圆周长的一半：三点一四×2×10÷2＝三十一点四厘米；扫过的面积是圆面积的一半：三点一四×100÷2＝一百五十七平方厘米。 35. 绕一圈的长度＝三十一点四÷5＝六点二八米，即树干横截面周长；直径＝六点二八÷三点一四＝二米，半径＝一米；横截面面积＝三点一四×1＝三点一四平方米。 学科网（北京）股份有限公司 $