江苏省赣榆高级中学等校2026-2027学年高三上学期8月学情检测数学试题

2026~2027学年第一学期8月学情检测 高三数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每题只有一个选项最符合题意。 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A． B． C． D． 4．若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 5．设，，则（ ） A． B． C． D． 6．函数的部分图象可能是（ ） A． B． C． D． 7．如图，四边形，，，将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．设，若存在实数，，，满足，且，则的范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．下列说法不正确的有是（ ） A．若函数为奇函数，则； B．函数在上是单调减函数； C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．将的图像向右平移个单位，可得的图像 10．已知实数，，满足，则下列不等式正确的有（ ） A． B． C．D． 11．定义在上的函数和，为奇函数，为偶函数，且，则（ ） A． B． C．的图象关于对称 D．8为的一个周期 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若成等差数列，则正数的值为______. 13．已知实数，则的最小值是______. 14．已知函数且关于x的方程有7个不同实数解，则实数m的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．已知，在处的切线与垂直， (1)求实数的值； (2)求在区间上的值域． 16．已知函数，函数在区间上的最大值为4，. (1)求的解析式； (2)设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围. 17．某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了个相同的箱子，其中第个箱子中有个数学题，个物理题．每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品． (1)已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了个数学题，个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为，答对每一个物理题的概率为． ①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率； ②已知，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时、的值． (2)若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率． 18．已知函数，函数， (1)设. （ⅰ）若，求的零点； （ⅱ）若的最小值为，求的值； (2)若函数在上有定义，且存在区间使得在上的值域是，求的取值范围. 19．我们称底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体为“椭圆柱”．如图所示的椭圆柱中底面长轴，母线，分别为下底面椭圆的左右焦点，动点在线段上（不与重合），为下底面过点的一条动弦（不与重合），当时，直线平面． (1)求底面椭圆的离心率； (2)若，三棱锥的体积为2，求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥外接球表面积的最小值． 2026-2027学年第一学期8月学情检测 高三数学参考答案 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，满分40分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A B C A A D 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，满分18分。 题号 9 10 11 答案 ABC BC ACD 三、填空题：共5小题，每小题5分，满分15分。 12．9 13． 14． 四、解答题：共5题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分。 15．（1）函数的定义域为，对求导得， 则在处的切线斜率， 直线变形为，斜率为， 由两直线垂直时斜率乘积为，得，解得． （2）由（1）得，求导并整理得， 当时，，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此在处取得区间内的最小值， 计算端点值，， 比较和的大小：， 由于，故，即区间内最大值为， 综上所述，在上的值域为． 16．（1），其图象对称轴为， ，在单调递增， 即，． 又，则有即，所以，， 所以的解析式为． （2）由（1）得， 则在上有解，即在上有解， 令，则在上有解， 所以，， 又，，故当时，取到最大值1， 即，所以， 所以实数的取值范围是． 17．（1）解：（1）记“学生甲第一轮活动获得一个奖品”为事件．则； （2）学生甲在每一轮活动中获得一个奖品的概率为， 令，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，， 即当时，． 学生甲在轮活动中获得奖品的个数，由，知． 故理论上至少要进行27轮游戏，此时，． （2）解：设选出的是第个箱子，连续三次取出题目的方法数为． 设数学题为，物理题为，第三次取出的是物理题有如下四种情形： 取法数为， 取法数为， 取法数为， 取法数为， 从而，第三次取出的是物理题的种数为 则在第个箱子中第三次取出的是物理题的概率为． 而选到第个箱子的概率为， 故所求的概率为． 18．（1）， 若，令， 若，方程可化为，解得或（舍去）； 若，方程可化为，解得或（舍去）， 综上，的零点为2和． （ii）， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 令，解得或（舍去）； 当时，若，即， 则在上单调递减，在上单调递增， 令， 解得或（舍去）； 若，即， 则在上单调递减，在上单调递增， 令，解得（舍去）； 若，即， 则在上单调递减，在上单调递增， 令， 解得或（均不合题意，舍去）， 综上，实数的值为-2或． （2）∵函数在上有定义， 又在上单调递增，，解得． 若存在区间， 使得在上的值域是， 即， 则，是一元二次方程， 即在上的两个不等的正根， 需满足，解得．实数的取值范围为． 19．（1）因为平面，平面，平面平面， 所以，又由可得，故， 因此半焦距长，半长轴长， 所以离心率． （2）由于椭圆长轴，短轴，直线两两垂直，故以点为原点，椭圆长轴，短轴所在直线，直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则平面内椭圆的标准方程为，，，，， 由平面得，所以， 设平面内直线（与不重合），，， 与椭圆方程联立，消去得，，， 故，， ， 令，则，得或（舍），所以， 即，代入椭圆方程解得，， 即坐标系内，， ，，，设平面法向量为， 则，令得， 记直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． （3）设外接圆为圆，半径为，外接圆为圆，半径为， 则在平面内垂直平分线上即轴上，同理在轴上， 设三棱锥外接球球心为，半径为， 因为平面平面，所以平面，平面， 设，， 所以，，，． 所以． 对于，， 当且仅当时取等，即为锐角，最大为； 由正弦定理，， 对于，因为，所以，当且仅当时取等，即为锐角，最大为， 由正弦定理，； 所以，当且仅当，时取等， 所以三棱锥外接球表面积的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $