2026-2027学年人教版九年级上册数学期中考试卷（25-27章）

保密★启用前 2026-2027学年度初中数学期中考试卷（25-27章） 本卷满分120分，考试时间120分钟。 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）已知是关于x的一元二次方程的根，则a的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 2．（本题3分）若关于的一元二次方程有一个根为零，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）一元二次方程的两根之和是（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）若，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D．−5 6．（本题3分）某商店经销一种文具，每件成本为30元，若按每件40元销售，每月能售出600件；销售单价每涨1元，月销售量就减少10件．设销售单价为x元（），若商店想使月销售利润恰为10000元，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）若一元二次方程有实数解，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．且 D． 8．（本题3分）已知点，，在二次函数的图象上，则（     ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为的门（由其他材料制成）．则鸭舍面积的最大值为（     ）． A．40 B． C．60 D． 10．（本题3分）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于的一元二次方程与为“友好方程”，则m可取的值有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 评卷人 得分 二、填空题（共24分） 11．（本题4分）有下列二次函数：①；②；③，在同一平面直角坐标系中，将它们的图像的开口大小按从大到小的顺序排列为________（填序号）． 12．（本题4分）若关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的根是_______． 13．（本题4分）若抛物线有最高点，则实数的取值范围是__________． 14．（本题4分）若函数是反比例函数，则的值为______________． 15．（本题4分）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，的垂直平分线交轴于点，当时，的周长为__________． 16．（本题4分）如图，点是抛物线的顶点．下列结论（1）；（2）；（3）：（4）对任意实数总成立；（5）若点在抛物线上，则，正确的是__________． 评卷人 得分 三、解答题（共66分） 17．（本题6分）（1）用配方法解方程：； （2）用公式法解方程：． 18．（本题6分）已知关于x的一元二次方程的两个实数根是，． (1)当时，求m的值； (2)在第（1）问的条件下，求的值 19．（本题8分）已知抛物线经过点、、． (1)求这条抛物线的表达式； (2)求这条抛物线的顶点坐标，并在坐标系中画出函数的大致图象． 20．（本题8分）已知抛物线． (1)求证：该抛物线与轴必有两个交点； (2)如果该抛物线的最低点纵坐标为，求此时值与抛物线的表达式． 21．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集为 ． 22．（本题10分）“南阳是一个值得三顾的城市”，南阳武侯祠中存有岳飞手书的诸葛亮出师表石刻，武侯祠制作的文创产品“岳飞手书出师表”深受游客喜爱，某商店销售这种文创产品，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该产品销售量的月平均增长率； (2)若此产品的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该产品的售价应定为多少元/个？ (3)直接写出当售价为________元时，商店取得最大利润，最大利润是________元． 23．（本题10分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，且与轴和轴分别交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数关系式及点D的坐标； (2)连接，已知为反比例函数图象上一点，且，求点的坐标． 24．（本题10分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点，点在该抛物线上，已知当点在点处时，点恰与点重合．    (1)求该抛物线的函数表达式． (2)当点在第二象限内时，求的取值范围． (3)若点也在该抛物线上，且恒有，求的取值范围． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年度初中数学期中考试卷（25-27章）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C B C C A C A 1．C 【详解】解：∵已知是关于x的一元二次方程的根， ∴且， 解得. 2．A 【分析】将代入方程求的值，再根据一元二次方程的定义进一步确定a的值． 【详解】解：将代入，得： ， 解得， ∵ 该方程为一元二次方程， ∴ ，即， ∴ ． 3．B 【详解】解：由题意得， 则可设方程的两根为，， ∵，， ∴． 4．C 【分析】明确二次函数的定义：形如（，、、为常数），且自变量最高次数为2、是整式函数，以此作为判断依据．对每个选项的表达式先整理化简，如果是整式且自变量最高次数为2，同时二次项系数不为0，那么符合二次函数定义．逐一验证各选项是否满足上述条件，排除不符合的选项． 【详解】初中阶段二次函数的定义是：形如（是常数，且）的函数，核心要求是自变量的最高次数为2，且含自变量的代数式必须是整式． 选项A：是自变量最高次数为1的一次函数， 不符合二次函数要求． 选项B：没有限定，当时函数就变为一次函数或常数函数， 不一定是二次函数． 选项C：将式子展开得，符合二次函数的定义， 一定是二次函数． 选项D：中含有分式，不是整式函数， 不属于二次函数． 5．B 【分析】利用根与系数的关系 ． 【详解】解：，， ． 6．C 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，以月销售利润为等量关系，分别表示出每件利润与月销售量即可列方程． 【详解】解：每件利润为元.销售单价比40元上涨元，月销售量减少件， 则月销售量为件， ∵月销售利润为10000元， ∴可列方程． 7．C 【分析】需同时考虑一元二次方程的定义和根的判别式两个限制条件． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得， ∴的取值范围是且． 8．A 【分析】将各点的横坐标代入解析式表示出函数值，然后进行比较大小即可． 【详解】解：分别将，，代入，得 ， ， ， ∵， ∴． 9．C 【分析】设，鸭舍的面积为，则，根据矩形面积公式列出y关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，鸭舍的面积为， 由题意得， ， ∵墙的长度为，且， ∴， ∴， ∵在中，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴鸭舍面积的最大值为． 10．A 【分析】设两方程的公共根为 ，由方程 左边因式分解，得公共根只能是 或 ；分两类把公共根代入方程 求出 的值，再逐一检验两方程是否恰有一个公共根，从而确定 可取值的个数． 【详解】解：设公共根为 ， 由 ，得 ，即 ， 或 ． ①当 时，代入 ，得 ，即 ，解得 或 ； 当 时，方程 的根为 ，，方程 的根为 ，，两方程有且只有一个公共根； 当 时，方程 的根为 ，，方程 的根为 ，，两方程有且只有一个公共根； ②当 时，代入 ，得 ，即 ， 分解因式得 ，解得 或 ； 当 时，，方程 的根为 ，， 不是它的根，两方程有且只有一个公共根； 当 时，，方程 的根为 ，， 不是它的根，两方程有且只有一个公共根； 综上， 可取的值有 ，，，，共 个． 11． 【分析】根据二次函数解析式的二次项系数的绝对值越大，图像开口越小进行求解． 【详解】解：∵，且， ∴图像的开口大小按从大到小的顺序排列为． 12．，． 【分析】由根的定义，把代入得，即；新方程可化为，直接开平方得． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴方程可化为， 开平方，得， ∴，． 13． 【分析】抛物线有最高点说明开口向下，二次项系数小于0，据此列不等式求解． 【详解】∵ 抛物线有最高点， ∴ 抛物线开口向下，二次项系数满足． 解不等式得． 14．2 【分析】根据反比例函数的定义，得到指数为且系数不为，列出方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，且， ∴且 ∴． 15． 【分析】先求出点的坐标，再利用垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：， 把代入，得， ， , 的垂直平分线交轴于点， , 的周长． 16．（1）（3） 【分析】（1）通过函数图象，利用特殊值法求解； （2）利用对称轴得出系数之间的关系； （3）利用系数之间的关系以及顶点坐标确定，然后利用抛物线与轴的交点坐标列出不等式求解； （4）利用抛物线的顶点坐标求解； （5）利用函数的增减性进行判断． 【详解】解：（1）当时，函数值为负数， ∴， 该选项正确； （2）由抛物线的对称轴为直线得， ， ∴， ∴， 该选项错误； （3）∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∵， ∴， 由图象可知，抛物线与轴交于和之间， ∴， 解得， 该选项正确； （4）∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，函数值最大，为， ∴对任意实数总成立， 该选项错误； （5）若点在抛物线上，无法确定的大小， 综上，正确的选项为（1）（3）． 17．（1），；（2），； 【分析】本题考查了配方法和公式法解一元二次方程的知识点，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤以及一元二次方程求根公式． （1）配方法先将二次项系数化为 1 ，再通过移项，配方，开平方求解； （2）公式法先将方程化为一般形式，确定各项系数，再代入求根公式计算． 【详解】（1）用配方法解方程： ； ； ， ； 开平方得； 解得； （2）用公式法解方程： ， 其中； ； ∴， ∴，． 18．(1) (2) 【分析】（1）先利用一元二次方程根的判别式求出的取值范围，再求出，，利用完全平方公式变形求值即可； （2）先求出，的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， ∵关于的一元二次方程的两个实数根是，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的值为． （2）解：由（1）可知，， ∴，， ∴． 19．(1) (2)抛物线的顶点坐标为，画图象如下： 【分析】（1）设抛物线解析式的交点式，即可求解； （2）将抛物线解析式化为顶点式，即可写出顶点坐标，通过列表，描点，连线，即可画出函数图象． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、、， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 函数图象略． 20．(1) 证明：令，得方程， ， ∵， ∴，即， ∴该抛物线与轴必有两个交点； (2) ，抛物线的表达式为． 【分析】（1）将抛物线与轴交点问题转化为一元二次方程根的判别式问题，计算判别式结合证明其大于0； （2）通过配方法得到抛物线顶点式，结合最低点纵坐标列方程求解，代入得抛物线表达式． 【详解】（1）略 （2）解： ， ∵抛物线开口向上， ∴最低点为顶点，纵坐标为， 由题意得， 解得， ∵， ∴， 将代入原解析式，得． 21．(1) (2)或 【分析】（1）根据点A的坐标求出反比例函数的表达式，进而求出点B的坐标，再求出一次函数的表达式即可； （2）根据函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入反比例函数的表达式得， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 在中，当时，， ∴； 把点A和点B的坐标代入一次函数的表达式得， ∴， ∴一次函数的表达式为 （2）解：由函数图象可知关于x的不等式的解集为或． 22．(1)该产品的月平均增长率为 (2)售价应定为元/个 (3)50；4000 【分析】（1）列一元二次方程求解即可； （2）根据总利润单件利润销售量，设涨价金额为，列方程求解即可； （3）构建二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得， ， ， （舍），， 答：该产品的月平均增长率为． （2）解：设售价上涨元，则售价元，单件利润 元，销量个， 由题意得 解得，， 要尽可能给顾客实惠，涨价取小值 售价：（元） 答：售价应定为元/个． （3）解：设上涨元，利润为 当时，，售价元， 答案：售价为50元，最大利润4000元． 23．(1)，，点的坐标为 (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中可求出m的值，把点A和点C的坐标代入一次函数解析式中可求出a、b的值，再联立两个函数解析式可得交点D的坐标； （2）根据一次函数解析式求出点B坐标，根据可求出点P的纵坐标，据此可得答案． 【详解】（1）解：把点代入得：， 反比例函数解析式为， 把点，代入得： ， 解得， 一次函数的解析式为， 联立两个解析式得， 解得或， 点的坐标为； （2）解：对于，当时，， 点， 点， ． ， ， ， ， 点的坐标为或． 24．(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数点的坐标特征、二次函数得增减性、二次函数最值等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易得，再代入二次函数求解即可； （2）由P在第二象限可知，进而得到，再根据增减性求解即可； （3）由易得0，再分类讨论，根据点P和点Q在对称轴同侧和异侧问题，利用增减性和对称性建立不等式求解即可． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于点， ∴， ∵在该抛物线上，当点在点处时，点恰与点重合， ∴，点Q的横坐标为3， ∴， 将代入得，，   抛物线的函数表达式； （2）解：令，则． 或． 解得，． 所以抛物线与轴的交点坐标为，． 点在第二象限，   ，   ，   点在对称轴直线的右侧，随的增大而减小，   当时，，当时，，   ； （3）令，   解得或，   ，   ，   解得，   ， 所以符合条件的两种情况如图所示：   ①当点、位于对称轴两侧时，如图1，    ∴ 解得， ∴； ②当点P、Q位于对称轴同侧时，如图2    ， 解得：， 综上所述：或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $