第一章一元二次方程 期中复习练习 2026—2027学年苏科版数学九年级上册

期中复习第一章一元二次方程单元复习2026—2027苏科版九上数学 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （测试范围：第1章 考试时间:120分钟 试卷满分:150分) 一、单选题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（     ） A． B． C． D． 3．某校2024年参加体育社团的学生有100人，2026年达到144人．设该校参加体育社团的学生人数从2024年到2026年的年平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程有一个根为零，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D．且 6．小刚在解关于的方程（）时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的是原方程的的相反数，则原方程的根是（     ） A．， B．， C．， D．， 7．易知：，，的最小值为．应用上述思想方法请判断，对于代数式，下列说法正确的是（     ） A．有最小值3 B．有最大值3 C．有最小值7 D．有最大值7 8．对于一元二次方程，下列说法中正确的是（     ）． A．若方程的两个根是和3，则 B．若方程有两个根互为相反数，则 C．当时，方程有两个相等的实数根 D．当时，方程一定有一个根为 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 9．已知关于x的方程有一个根是，则a的值为___________． 10．已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 11．若是一元二次方程的根，则的值为_________． 12．已知a，b是方程的两个实数根（），则的值是______． 13．一元二次方程化为一般形式为_____________． 14．如图，在一块长、宽的矩形空地上，修建同样宽的两条相互垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为 ，则修建的路宽应为_______． 15．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 16．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 17．等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则为_______． 18．已知，满足，则的最小值为_______． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分，其中19、20、21、22每题8分，23、24、25、26每题10分，27、28每题12分，解答题要有必要的文字说明） 19．解方程： (1)； (2) 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程必有两个不相等的实数根． (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 21．某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售5件． (1)在每件降价幅度不超过10元的情况下，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ (2)小明说：“根据薄利多销的原则，只要降价不超过44元，降价越多每天获利越大．”你认同他的说法吗？请通过计算说明理由． 22．数学老师在黑板上写了、两个整式，已知，． (1)用公式法解方程：； (2)比较，的大小． 23．解方程： (1)； (2)如下是小明解一元二次方程的过程． 解：二次项系数化为1，得，第一步 移项，得，第二步 配方，得，即，第三步 由此可得，第四步 所以，．第五步 ①在小明的解题过程中，从第________步开始出现错误． ②请写出正确的解答过程． 24．“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式． 例如：，∵，， ∴．试利用配方法解决下列问题： (1)填空：因为（______）＋______，所以当______时，代数式有最______（填“大”或“小”）值，这个最值为______； (2)试说明无论x取何值代数式的值都是非正数； (3)求的最值． 25．王师傅用一段长的篱笆和长的墙，围成一个矩形的菜园，设平行于墙的一边的长为． (1)如图1，如果矩形菜园的一边靠墙，另外三边由篱笆围成，当菜园面积为时，求的长： (2)如图2，如果矩形菜园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，当菜园面积是时，求的长． 26．“低碳生活，绿色出行”，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某销售中心新能源汽车销量自2026年起逐月增加，据统计，该销售中心7月份销售100辆，9月份销售了144辆． (1)若销售中心7月至9月新能源汽车销量的月平均增长率相同，销售中心8月份售出多少辆新能源汽车？ (2)考虑新能源汽车需求不断增加，销售中心准备再购进一批两种规格的新能源汽车共120辆，已知A型新能源汽车进价为8万元/辆，售价为9万元/辆，B型新能源汽车进价为12万元/辆，售价为14万元/辆，根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，假设所进车全部售完，为使利润最大，该销售中心应如何进货？ 27．综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”． 【探究】如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”是________． (2)已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想与证明】 (3)根据以上结论，猜想方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________（，，），并证明你的结论． 【拓展】 (4)已知关于x的方程的两根是，，请利用（3）中结论，直接写出关于x的方程的两根． 28．如图，，，，为矩形的4个顶点，，，动点，分别以，的速度从点，同时出发，点从点向点移动，点从点向点移动． (1)若点从点移动到点停止，点，分别从点，同时出发，问经过时，，两点之间的距离是多少？ (2)若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，点，分别从点，同时出发，问经过多长时间，两点之间的距离是？ (3)若点沿着移动，点，分别从点，同时出发，点从点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，试求经过多长时间的面积为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习第一章一元二次方程单元复习2026—2027苏科版九上数学 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A的方程含，两个未知数，不是一元二次方程． 选项B的方程未说明，当时不是二次方程，不一定是一元二次方程． 选项C的方程分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程． 选项D的方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程． 2．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 移项得， 两边同时加，得， 即． 3．某校2024年参加体育社团的学生有100人，2026年达到144人．设该校参加体育社团的学生人数从2024年到2026年的年平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵2024年参加体育社团的学生有100人，年平均增长率为， ∴2025年学生人数为，2026年学生人数为， ∵2026年学生人数为144人， ∴可列方程． 4．若关于的一元二次方程有一个根为零，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入方程求的值，再根据一元二次方程的定义进一步确定a的值． 【详解】解：将代入，得： ， 解得， ∵ 该方程为一元二次方程， ∴ ，即， ∴ ． 5．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 6．小刚在解关于的方程（）时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的是原方程的的相反数，则原方程的根是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用方程的根的定义求出抄错的值，再推导原方程并求解． 【详解】解：设小刚抄错的为，则抄错的方程为， ∵是该方程的根， ∴将代入方程得， 解得， ∵所抄的是原方程的相反数，即， ∴原方程的， 原方程为， 因式分解得， 解得，． 7．易知：，，的最小值为．应用上述思想方法请判断，对于代数式，下列说法正确的是（     ） A．有最小值3 B．有最大值3 C．有最小值7 D．有最大值7 【答案】A 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的最小值为． 8．对于一元二次方程，下列说法中正确的是（     ）． A．若方程的两个根是和3，则 B．若方程有两个根互为相反数，则 C．当时，方程有两个相等的实数根 D．当时，方程一定有一个根为 【答案】B 【分析】根据根与系数的关系、根的判别式以及方程的解逐项判断即可． 【详解】解：A．若两根为和，由根与系数的关系得，化简得，故A错误； B．设两根为，若两根互为相反数，则，由根与系数的关系得，又，故，B正确； C．方程判别式为，当时方程有两个相等的实数根，故C错误； D．将代入方程左边得，，D错误． 二、填空题 9．已知关于x的方程有一个根是，则a的值为___________． 【答案】 【分析】方程的根满足原方程，将已知根代入原方程即可求解的值． 【详解】解：是方程的根， 将代入原方程得， 计算得， 整理得， 解得． 10．已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，代入待求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 、是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 11．若是一元二次方程的根，则的值为_________． 【答案】0 【分析】根据一元二次方程的求根公式得到，，，然后代入求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，，， ∴． 12．已知a，b是方程的两个实数根（），则的值是______． 【答案】 【分析】利用方程根的定义得到的值，再结合根与系数的关系得到的值，对所求式子变形后代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴，整理得， ∵是方程的两个实数根，， ∴由根与系数的关系得， ∴． 13．一元二次方程化为一般形式为_____________． 【答案】 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为． 14．如图，在一块长、宽的矩形空地上，修建同样宽的两条相互垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为 ，则修建的路宽应为_______． 【答案】 【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植园地是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程． 【详解】解：设道路的宽应为米，由题意有 ， 整理得， 解得（不合题意，舍去）． 答：道路的宽应为． 15．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】因为方程有两个不相等的实数根，所以首先判断方程类型为一元二次方程，即二次项系数不为0，可得第一个关于k的限制条件．因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以根的判别式，代入对应系数建立不等式，求解得到第二个关于k的限制条件．取两个限制条件的公共解集，即为k的取值范围． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根，首先它必须是一元二次方程，即； 其次， 即， 解得． 综上且． 16．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 【答案】3或1 【分析】先对一元二次方程因式分解得到两个根，再根据“邻根方程”的定义得到两根差为，分情况列方程求解即可． 【详解】解：对因式分解得： ， 或， 解得，， 方程是“邻根方程”， 或， 解得或． 17．等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则为_______． 【答案】或 【分析】当底边长为4时，则腰长为方程的两个根，利用判别式得到m的值,再求出方程的解，然后运用三角形的三边关系加以判断即可；当腰长为4，则将代入方程求解，然后根据三角形三边的关系加以判断即可． 【详解】解：∵方程， ∴方程， 当底边长为4时，则腰长为方程的两个根， ∴，解得； 方程可化为，解得， ∵， ∴4、3、3符合三角形三边的关系． 当腰长为4，则为方程的一个根， ∴，解得， 方程可化为，解得， ∵， ∴2、4、4符合三角形三边的关系． 综上，m的值为或． 18．已知，满足，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】将原方程整理得出，然后代入代数式利用配方法求解即可． 【详解】解： 整理得：，即， ∴， ∴即， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题 19．解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 解得，； （2）解： ，， ∴ 解得，． 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程必有两个不相等的实数根． (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) 证明：∵ ∴该方程总有两个不相等的实数根； (2)或 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （）计算一元二次方程根的判别式进而即可求证； （）利用根与系数的关系得，，代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， ∵， ∴， 解得：或， 经检验或是原方程的解， ∴或． 21．某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售5件． (1)在每件降价幅度不超过10元的情况下，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ (2)小明说：“根据薄利多销的原则，只要降价不超过44元，降价越多每天获利越大．”你认同他的说法吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)每件应降价4元 (2) 不认同，理由如下： 设每件降价元，获利为元，由题意得， 即， 因为，所以当时，获利最大，即每件降价20元时，可获得最大利润， ∴小明的说法不正确． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的最值问题，理解题意是解题的关键； （1）设每天要盈利1600元，每件应降价元，根据题意，可列方程，求解方程即可； （2）不认同，理由：设每件降价元，获利为元，由题意得，整理后再配方成顶点式得，分析后即可得到答案． 【详解】（1）解：设每天要盈利1600元，每件应降价元， 由题意得，， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：如果每天要盈利1600元，每件应降价4元； （2）解：略． 22．数学老师在黑板上写了、两个整式，已知，． (1)用公式法解方程：； (2)比较，的大小． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意得一元二次方程，整理后利用公式法解方程即可； （2）化简，利用完全平方式的非负性判断大小即可． 【详解】（1）解：已知，， 当时，则， 整理得，， ， ， 解得：； （2）解：， ． 23．解方程： (1)； (2)如下是小明解一元二次方程的过程． 解：二次项系数化为1，得，第一步 移项，得，第二步 配方，得，即，第三步 由此可得，第四步 所以，．第五步 ①在小明的解题过程中，从第________步开始出现错误． ②请写出正确的解答过程． 【答案】(1)， (2)① 三，配方错误，未加一次项系数一半的平方；② ， 【分析】（1）本题选用因式分解法，将二次三项式分解成两个一次因式乘积的形式，令每个因式等于0，求出方程的根． （2）①对照配方法的原理，一次项系数是，它一半的平方是，小明错误加上，由此定位出错的步骤． ②使用配方法解一元二次方程，先把二次项系数化为1，移项，等式两边加上一次项系数一半的平方，写成完全平方式，再开方求解． 【详解】（1）解：， ， 或， ∴，； （2）解：①原方程移项后得到． 一次项系数为． 一次项系数一半：． 一次项系数一半的平方：． 配方时等式两边应当同时加上． 小明第三步写的是，错误加上，并且错误写成． 从第三步开始出现错误． ②， ， ， ， ， ， ∴，． 24．“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式． 例如：，∵，， ∴．试利用配方法解决下列问题： (1)填空：因为（______）＋______，所以当______时，代数式有最______（填“大”或“小”）值，这个最值为______； (2)试说明无论x取何值代数式的值都是非正数； (3)求的最值． 【答案】(1)3；4；；小；4 (2)解：∵ ， ， ∴无论x取何值代数式的值都是非正数； (3)有最小值，最小值为5 【分析】（1）用配方法进行配方后，再完成填空即可； （2）配方后得出，即可说明结论； （3）配方后得出，即可求出最值； 【详解】（1）解：因为， 所以当时，代数式有最小值，这个最值为4； （2）略 （3）解： ， ∵， ， ∴有最小值，最小值为5． 25．王师傅用一段长的篱笆和长的墙，围成一个矩形的菜园，设平行于墙的一边的长为． (1)如图1，如果矩形菜园的一边靠墙，另外三边由篱笆围成，当菜园面积为时，求的长： (2)如图2，如果矩形菜园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，当菜园面积是时，求的长． 【答案】(1)当菜园面积为时，长． (2)当菜园面积是时，求的长为． 【分析】（1）设平行于墙的一边的长为．表示出，根据矩形的面积以及已知条件得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出答案． （2）设，则矩形边，表示出，根据矩形的面积以及已知条件得出关于的一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设平行于墙的一边的长为． 则， 根据题意可知：，即， 整理得：， 解得，或（不合题意，舍去） 答：当菜园面积为时，长． （2）解：设，则矩形边， 则，， 根据题意可知：， 整理得：， 解得，（舍去） 答：当菜园面积是时，的长为． 26．“低碳生活，绿色出行”，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某销售中心新能源汽车销量自2026年起逐月增加，据统计，该销售中心7月份销售100辆，9月份销售了144辆． (1)若销售中心7月至9月新能源汽车销量的月平均增长率相同，销售中心8月份售出多少辆新能源汽车？ (2)考虑新能源汽车需求不断增加，销售中心准备再购进一批两种规格的新能源汽车共120辆，已知A型新能源汽车进价为8万元/辆，售价为9万元/辆，B型新能源汽车进价为12万元/辆，售价为14万元/辆，根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，假设所进车全部售完，为使利润最大，该销售中心应如何进货？ 【答案】(1)销售中心8月份售出120辆新能源汽车 (2)购进A型新能源汽车80辆，B型新能源汽车40辆时，所获利润最大 【分析】（1）根据月平均增长率相同的条件，结合7月、9月的销量列一元二次方程，求解增长率后计算8月销量； （2）设A型车进货量为自变量，根据A型车与B型车的数量关系得自变量的取值范围，结合总利润与进货量的一次函数关系求最值对应的进货方案． 【详解】（1）解：设月平均增长率为a， 根据题意得：， 解得：，（舍去） ∴8月份销量为（辆）， 答：销售中心8月份售出120辆新能源汽车； （2）解：设购进A型新能源汽车x辆，则购进B型新能源汽车辆， ∵A型车不少于B型车的2倍， ∴ 解得， 设总利润为w万元， 根据题意得，， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∵x为整数， ∴x的最小值为80， 当时，w取得最大值，此时， 答：购进A型新能源汽车80辆，B型新能源汽车40辆时，所获利润最大． 27．综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”． 【探究】如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”是________． (2)已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想与证明】 (3)根据以上结论，猜想方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________（，，），并证明你的结论． 【拓展】 (4)已知关于x的方程的两根是，，请利用（3）中结论，直接写出关于x的方程的两根． 【答案】(1) (2)两根为和 (3)，证明如下： ∵ 是方程的根， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 将等式两边同时除以，得 ，即 ， ∴ 是方程的根， 同理可证是方程的根， ∴。 (4)两根为和 【分析】（1）根据“友好方程”定义，互换二次项系数与常数项即可解答； （2）由（1）可知方程的“友好方程”为，再解方程即可； （3）由特殊结果猜想倒数关系，利用方程根的定义变形证明即可； （4）换元将待求方程转化为友好方程形式，再利用（3）的结论求解即可． 【详解】（1）解： 根据“友好方程”的定义，将方程的二次项系数与常数项互换，一次项系数保持不变，可得其“友好方程”为． （2）解：由（1）可知，“友好方程”为， 因式分解得， 解得． （3）解：，证明略． （4）解：将方程变形得， 两边同时乘，得， 令，则方程化为， 该方程是方程的“友好方程”， 由（3）的结论，该方程的两根为方程两根的倒数， ∴方程的两根为，， ∴或， ∴，， ∴关于x的方程的两根为和． 28．如图，，，，为矩形的4个顶点，，，动点，分别以，的速度从点，同时出发，点从点向点移动，点从点向点移动． (1)若点从点移动到点停止，点，分别从点，同时出发，问经过时，，两点之间的距离是多少？ (2)若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，点，分别从点，同时出发，问经过多长时间，两点之间的距离是？ (3)若点沿着移动，点，分别从点，同时出发，点从点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，试求经过多长时间的面积为． 【答案】(1) (2)经过或时P，Q两点之间的距离是； (3)经过4秒或6秒时，的面积为 【分析】（1）过点P作于点E，根据题意，得，，然后利用勾股定理建立方程求解即可； （2）设秒后，，两点之间的距离是，根据题意列出方程求解即可； （3）连接，设经过秒后的面积为，根据题意得出，然后分三种情况分析：①当时， ②当时，③当时，依据面积建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点P作于点E， 根据题意，得，， 在中，，即， ， 故经过时P，Q两点之间的距离是； （2）设秒后，，两点之间的距离是， 根据题意得：，即， ， ，， 故经过或时P，Q两点之间的距离是； （3）连接， ∵矩形，，， ∴，， ∵点沿着移动， ∴点在上的运动时间为：，在上的运动的时间为：到；在上的运动的时间为：到； 点Q的运动时间为：； 设经过秒后的面积为， ∵点随点的停止而停止移动， ∴， ①当时，则， ，即， 解得； ②当时，则， ，， ∴， 解得，（舍去）； ③当时，， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，经过4秒或6秒时，的面积为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $