学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（广西专用，范围：新教材人教版九上第25～27章）

11 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13._______________ 14. ___________ 15. _________________ 16. __________________ 三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（10分） 19．（10分） 20．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22． （12分） （1）① ② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~27章。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．下列关于的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（热点）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 4．（新情境）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．一元二次方程：的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 6．若点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 7．二次函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在体育测试中，小明掷出的实心球的飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系可以近似地看成抛物线，则小明本次投掷实心球的成绩为（     ） A．8米 B．9米 C．10米 D．12米 9．如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，连接．且的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D．不确定 10．设一元二次方程的两根为，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D．0 11．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 12．如图，这是二次函数图象的一部分，图象与x轴的交点为，对称轴为直线．有下列说法：①；②；③当时，．其中正确的有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．方程的解为_________． 14．已知与成反比例，且当时，，则当时，的值为__________． 15．把抛物线先向下平移2个单位长度后，再向左平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是_________． 16．如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 三、解答题：本题共7小题，共72分。其中：17题8分，18-21题每题10分，22-23题每题12分。 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．已知反比例函数的图象经过点． (1)求关于的函数解析式； (2)若点在这个图象上，求的值． 19．如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． (1)求关于的函数解析式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 20．如图1，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心；如图2，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系． (1)求水管的长度； (2)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变（即将抛物线向上平移），则水管要升高多少？ 21．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断是否是“倍根方程”； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值． 22．综合实践与探究——新能源汽车刹车性能研究 【设计实验方案】 某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随刹车时间的变化规律开展探究． 设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至点时启动刹车，从汽车到达点开始，用测速仪、计时器测量并记录汽车刹车后的运动时间、瞬时速度、刹车路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 瞬时速度 12 10 8 6 4 2 … 刹车路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 (1)【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似看作 函数表示．（填：“一次”或“二次”），v与t的函数关系式为 ． ②y与t之间的关系可以近似看作 函数表示．（填：“一次”或“二次”），y与t之间的函数关系式为 ． (2)【拓展与运用】 ①若某段水平测试路面的长度为，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会超出该路面范围？ ②当新能源汽车到达水平路面A点时，前方B点处有另一辆电动车以的速度在匀速向前直线运动，若新能源汽车不能追尾电动车，那么AB的最小值是多少？ 23．已知抛物线的对称轴为直线． (1)若抛物线经过点． ①求这条抛物线的表达式； ②将抛物线向右平移（）个单位得到抛物线，当时，抛物线对应的函数值的最大值为16，求的值； ③过点的直线与抛物线交于不同的两点，，设点的横坐标为，点的横坐标为，求的值； (2)已知点，，若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~27章。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．下列关于的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（热点）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 4．（新情境）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．一元二次方程：的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 6．若点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 7．二次函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在体育测试中，小明掷出的实心球的飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系可以近似地看成抛物线，则小明本次投掷实心球的成绩为（     ） A．8米 B．9米 C．10米 D．12米 9．如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，连接．且的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D．不确定 10．设一元二次方程的两根为，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D．0 11．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 12．如图，这是二次函数图象的一部分，图象与x轴的交点为，对称轴为直线．有下列说法：①；②；③当时，．其中正确的有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．方程的解为_________． 14．已知与成反比例，且当时，，则当时，的值为__________． 15．把抛物线先向下平移2个单位长度后，再向左平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是_________． 16．如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 三、解答题：本题共7小题，共72分。其中：17题8分，18-21题每题10分，22-23题每题12分。 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．已知反比例函数的图象经过点． (1)求关于的函数解析式； (2)若点在这个图象上，求的值． 19．如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． (1)求关于的函数解析式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 20．如图1，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心；如图2，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系． (1)求水管的长度； (2)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变（即将抛物线向上平移），则水管要升高多少？ 21．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断是否是“倍根方程”； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值． 22．综合实践与探究——新能源汽车刹车性能研究 【设计实验方案】 某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随刹车时间的变化规律开展探究． 设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至点时启动刹车，从汽车到达点开始，用测速仪、计时器测量并记录汽车刹车后的运动时间、瞬时速度、刹车路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 瞬时速度 12 10 8 6 4 2 … 刹车路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 (1)【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似看作 函数表示．（填：“一次”或“二次”），v与t的函数关系式为 ． ②y与t之间的关系可以近似看作 函数表示．（填：“一次”或“二次”），y与t之间的函数关系式为 ． (2)【拓展与运用】 ①若某段水平测试路面的长度为，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会超出该路面范围？ ②当新能源汽车到达水平路面A点时，前方B点处有另一辆电动车以的速度在匀速向前直线运动，若新能源汽车不能追尾电动车，那么AB的最小值是多少？ 23．已知抛物线的对称轴为直线． (1)若抛物线经过点． ①求这条抛物线的表达式； ②将抛物线向右平移（）个单位得到抛物线，当时，抛物线对应的函数值的最大值为16，求的值； ③过点的直线与抛物线交于不同的两点，，设点的横坐标为，点的横坐标为，求的值； (2)已知点，，若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的范围． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~27章。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．下列关于的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一元二次方程有三个特点：只含有一个未知数；未知数的最高次数是2；是整式方程，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、整理得，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、是一元二次方程，原选项中没有给出二次项系数不为0，故该选项不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C 2．（热点）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵抛物线为顶点式， ∴顶点坐标为． 3．反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】反比例函数上点满足，依次计算各选项横纵坐标乘积，找出乘积等于的点. 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴图象上的点满足， 选项、、的横纵坐标乘积均为，不符合题意. 选项的横纵坐标乘积为，符合题意. 4．（新情境）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式． 根据题意可得出第二周的票房为，第三周的票房为，将第三周的票房收入代入即可得出答案． 【详解】增长率为x，则第二周的票房为，第三周的票房为， 所以可列方程为． 故选：B． 5．一元二次方程：的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】因为根的判别式公式为，所以将确定的、、的值代入公式计算的数值．如果，那么方程有两个不相等的实数根；如果，那么方程有两个相等的实数根；如果，那么方程没有实数根，根据计算得到的的符号对应判断根的情况即可． 【详解】∵一元二次方程为， ∴，，， ∴． ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 6．若点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两点横坐标代入反比例函数解析式，求出与的值后比较大小． 【详解】解：把代入，得. 把代入，得. ∵， ∴． 7．二次函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴二次函数的图象大致为 8．如图，在体育测试中，小明掷出的实心球的飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系可以近似地看成抛物线，则小明本次投掷实心球的成绩为（     ） A．8米 B．9米 C．10米 D．12米 【答案】A 【分析】求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）； 故小明本次投掷实心球的成绩为8米． 9．如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，连接．且的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】设点的坐标为，根据的面积为，可得，即可求出的值． 【详解】解：设点的坐标为， 则，， ， 解得：． 10．设一元二次方程的两根为，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，运用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：在方程 中，，，， 根据根与系数的关系可得：，， 将其代入 可得：． 故选：C． 11．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据图象可得答案. 【详解】解：由图象可知，该函数图象与轴的交点坐标是，， ∴当，即时，，， ∴关于的一元二次方程的解为，. 12．如图，这是二次函数图象的一部分，图象与x轴的交点为，对称轴为直线．有下列说法：①；②；③当时，．其中正确的有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象和系数之间的关系，判断①；根据对称轴和特殊点判断②；图象法判断③即可. 【详解】解：∵抛物线的开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵图象与x轴的交点为，对称轴为直线， ∴，图象与轴的另一个交点为， ∴，， ∴，，故①②正确； 由图象可知，当时，或；故③错误； 综上：正确的有2个. 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．方程的解为_________． 【答案】，/， 【分析】利用因式分解法，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得，． 14．已知与成反比例，且当时，，则当时，的值为__________． 【答案】3 【分析】首先根据题意设出反比例函数解析式，再利用待定系数法把当时，代入求出的值，进而可得当时，的值． 【详解】解：与成反比例， ， 当时，， ， 反比例函数解析式为， 当时，， ∴． 15．把抛物线先向下平移2个单位长度后，再向左平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是_________． 【答案】 【分析】二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减． 【详解】解：把抛物线先向下平移2个单位长度后，再向左平移3个单位后，所得抛物线的解析式为， ∴把抛物线先向下平移2个单位长度后，再向左平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是． 16．如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 【答案】 4 【分析】 将横坐标代入到反比例函数中，得出纵坐标的值；数形结合，利用的面积求出k的值，从而得出的值． 【详解】 解：由题意可知：，，， ， ， ， ． 三、解答题：本题共7小题，共72分。其中：17题8分，18-21题每题10分，22-23题每题12分。 17．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， 或， ，． （2）解：， ， ， ，即， ， ，． 18．已知反比例函数的图象经过点． (1)求关于的函数解析式； (2)若点在这个图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接把点代入反比例函数即可得出结论； （2）把代入已求出的解析式即可求得n的值． 【详解】（1）解：把代入中， 得， 解得， ∴． （2）解：∵点在反比例函数上， ∴． 19．如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． (1)求关于的函数解析式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】(1) (2)小孔到蜡烛的距离为． 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握好相关知识是关键． （1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）将代入（1）中的解析式，求出的值． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴关于的函数解析式为； （2）解：将代入，得， ， 解得． 答：小孔到蜡烛的距离为． 20．如图1，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心；如图2，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系． (1)求水管的长度； (2)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变（即将抛物线向上平移），则水管要升高多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可设抛物线的顶点式，再根据水柱落地处离池中心，求出抛物线的表达式，再令，即可求解； （2）设水管要升高米，求出扩建后抛物线的表达式，即可求解． 【详解】（1）解：∵喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为， ∴抛物线的顶点为， ∴设抛物线的表达式为：， ∵水柱落地处离池中心， ∴当时，， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为：， 当时，， ∴． （2）解：设水管要升高米，则扩建后抛物线的表达式为， 当时，， ∴，解得， ∴水管要升高． 21．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断是否是“倍根方程”； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)方程是“倍根方程” (2)代数式的值为或 【分析】（1）利用因式分解法求出一元二次方程的根，和新定义进行比较即可； （2）表示出一元二次方程的根，然后根据新定义，分两种情况求出的值，最后代入多项式求值． 【详解】（1）解： 或， ∴，， ∵， ∴方程是“倍根方程”； （2）解： 或 ，， ∵方程是“倍根方程”， ∴当时，即， 解得， ∴； 当时，即， ∴； 综上，代数式的值为或． 22．综合实践与探究——新能源汽车刹车性能研究 【设计实验方案】 某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随刹车时间的变化规律开展探究． 设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至点时启动刹车，从汽车到达点开始，用测速仪、计时器测量并记录汽车刹车后的运动时间、瞬时速度、刹车路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 瞬时速度 12 10 8 6 4 2 … 刹车路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 (1)【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似看作 函数表示．（填：“一次”或“二次”），v与t的函数关系式为 ． ②y与t之间的关系可以近似看作 函数表示．（填：“一次”或“二次”），y与t之间的函数关系式为 ． (2)【拓展与运用】 ①若某段水平测试路面的长度为，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会超出该路面范围？ ②当新能源汽车到达水平路面A点时，前方B点处有另一辆电动车以的速度在匀速向前直线运动，若新能源汽车不能追尾电动车，那么AB的最小值是多少？ 【答案】(1) ①一次 ，②二次， (2)①不会超出测试路面范围② 【分析】（1）①观察图象可知，随的变化而均匀变化，所以是一次函数，再用待定系数法设，代入和，求函数表达式即可； ②观察图象可知，随的变化而变化，但不是均匀变化，近似于二次函数．再用待定系数法设二次函数，求函数表达式即可； （2）①汽车停止时，即，解得时间值，把时间值代入，再将求出的值与测试路面的长度为进行比较即可； ②两车速度相等时，是刚好不追尾的临界时刻，令，即，解得，再回代分别算出电动车行驶路程和新能源汽车行驶路程，它们的差值即为AB的最小值． 【详解】（1）解：平面直角坐标系中描点、连线、作图略． ①观察图象可知，随的变化而均匀变化，所以是一次函数． 设，代入和得 ，解得， ∴； ②观察图象可知，随的变化而变化，但不是均匀变化，近似于二次函数． 设二次函数，代入和得 ，解得， ∴； （2）①汽车停止时，即，解得， 把代入，得， 即刹车总距离， ∴不会超出测试路面范围； ②电动车的速度为 ，电动车的行驶路程为：， 新能源汽车速度为， ∵两车速度相等时，是刚好不追尾的临界时刻， ∴令，即， 解得， 此时电动车行驶路程为， 新能源汽车行驶路程为， ∴AB的最小值为：． 23．已知抛物线的对称轴为直线． (1)若抛物线经过点． ①求这条抛物线的表达式； ②将抛物线向右平移（）个单位得到抛物线，当时，抛物线对应的函数值的最大值为16，求的值； ③过点的直线与抛物线交于不同的两点，，设点的横坐标为，点的横坐标为，求的值； (2)已知点，，若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的范围． 【答案】(1)①；②1或5；③； (2)，或 【分析】（1）①利用对称轴公式，先求，再把代入，求出即可；②根据平移可得，根据性质可求对称轴，根据与对称轴的位置关系分类讨论，利用最值，列出关于的方程，求解即可；③设过点的直线解析式为，易得，根据函数与方程的关系，可得、是联立方程的两个实数根，最后根据一元二次方程根与系数的关系，化简求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，当，当方程有两个相等的实数根时，可求，满足题意；再分别讨论抛物线过临界点，，求出c的值并判断是否符合条件，最后根据抛物线平移的性质，即可求出范围． 【详解】（1）解：①抛物线的对称轴为直线， ，即1，解得， 将代入中，得，解得， ； ②， 将抛物线向右平移个单位得到抛物线， 抛物线的开口向上，对称轴为直线， ， ． 当时，即，在对称轴左侧，随的增大而减小， 当时，抛物线对应的函数值最大为， ，解得，， ， 均不符合，舍去； 当时，即，若，则， 当时，时，抛物线对应的函数值最大为16， ，解得，（舍去）， 当时，时，抛物线对应的函数值最大为16， ，解得（舍去）， 综上所述，的值为1或5； ③设过点的直线解析式为， 则， ， ， 联立得，整理得， 由题意得，、是这个方程的两个实数根， ，， ； （2），或． 设直线的解析式为，代入，， ，解得， ， 令，整理得， 当时，， 此时，解得，符合，抛物线与线段只有一个交点； 当抛物线过点时，，此时， 当时，， ， 此时抛物线与线段只有一个交点； 当抛物线过点时，，解得，此时抛物线与线段有两个交点，不符合题意； ． 综上所述，的取值范围是或． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A C B B A A A A C C B 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．，/， 14．3 15． 16．4 三、解答题：本题共7小题，共72分。其中：17题8分，18-21题每题10分，22-23题每题12分。 17． 【详解】（1）解：， ， 或，（2分） ，．（4分） （2）解：， ， ， ，即， ， ，．（4分） 18． 【详解】（1）解：把代入中，（2分） 得，（3分） 解得， ∴．（5分） （2）解：∵点在反比例函数上， ∴．（10分） 19． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴关于的函数解析式为；（5分） （2）解：将代入，得， ， 解得． 答：小孔到蜡烛的距离为．（10分） 20． 【详解】（1）解：∵喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为， ∴抛物线的顶点为， ∴设抛物线的表达式为：， ∵水柱落地处离池中心， ∴当时，， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为：， 当时，， ∴．（5分） （2）解：设水管要升高米，则扩建后抛物线的表达式为， 当时，， ∴，解得， ∴水管要升高．（10分） 21． 【详解】（1）解： 或， ∴，， ∵， ∴方程是“倍根方程”；（4分） （2）解： 或 ，， ∵方程是“倍根方程”， ∴当时，即， 解得， ∴； 当时，即， ∴； 综上，代数式的值为或．（10分） 22． 【详解】（1）解：平面直角坐标系中描点、连线、作图略．（2分） ①观察图象可知，随的变化而均匀变化，所以是一次函数． 设，代入和得 ，解得， ∴；（4分） ②观察图象可知，随的变化而变化，但不是均匀变化，近似于二次函数． 设二次函数，代入和得 ，解得， ∴；（6分） （2）①汽车停止时，即，解得， 把代入，得， 即刹车总距离， ∴不会超出测试路面范围；（10分） ②电动车的速度为 ，电动车的行驶路程为：， 新能源汽车速度为， ∵两车速度相等时，是刚好不追尾的临界时刻， ∴令，即， 解得， 此时电动车行驶路程为， 新能源汽车行驶路程为， ∴AB的最小值为：．（12分） 23． 【详解】（1）解：①抛物线的对称轴为直线， ，即1，解得， 将代入中，得，解得， ；（2分） ②， 将抛物线向右平移个单位得到抛物线， 抛物线的开口向上，对称轴为直线， ， ． 当时，即，在对称轴左侧，随的增大而减小， 当时，抛物线对应的函数值最大为， ，解得，， ， 均不符合，舍去； 当时，即，若，则， 当时，时，抛物线对应的函数值最大为16， ，解得，（舍去）， 当时，时，抛物线对应的函数值最大为16， ，解得（舍去）， 综上所述，的值为1或5；（6分） ③设过点的直线解析式为， 则， ， ， 联立得，整理得， 由题意得，、是这个方程的两个实数根， ，， ；（9分） （2），或． 设直线的解析式为，代入，， ，解得， ， 令，整理得， 当时，， 此时，解得，符合，抛物线与线段只有一个交点； 当抛物线过点时，，此时， 当时，， ， 此时抛物线与线段只有一个交点； 当抛物线过点时，，解得，此时抛物线与线段有两个交点，不符合题意； ． 综上所述，的取值范围是或．（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 11.[A][B][C][DJ 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 12.A][B][C][D] 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13 15. 6 三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(10分) 19.(10分) 20.(10分) ◆y/m x/m 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 22.(12分) ◆vm/s) y(m) 2 160 10 P 6 80 0 40 2 04812162024t9 O24681012141618202224s) 图2 图3 (1)① ② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 23.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！