专题07 解直角三角形（期中真题汇编，广西专用）九年级数学上学期

函学科网 www zxxk.com 专题07解直角三角形 考点01正弦、余弦与正切 考点02解直角三角形 考点03应用举例 ①考点01正弦、余弦与正切 1.B 2.A 3.【答案】3030度 【分析】 本题主要考查了根据三角函数值求角的度数.根据特殊角的三角函数值，snA: ∠A=30°」 【详解】 解：：sinA=, 且∠A是锐角， ∠A=30° 故答案为：30°. D考点02解直角三角形 1.A 2.B 3.C 4.【答案】4 【分析】 本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答， 根据题意和图形并结合正切的定义，可以计算出tanc+tanβ的值， 【详解】 解：如图，设正方形网格中的小正方形的边长为Q, 1/9 让教与学更高效 方且∠A为能角，因t 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 D B ACB=90'AC=3a'CD=a'BC=3a' tana+tanB=AC+AC=3a+3a=1+3=4. BC CD 3a a 故答案为：4. 5.【答案】8 【分析】 本题考查了作垂线，三角形外角性质，等角对等边，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键。先 理解题意，结合作图过程得∠ADB=∠B,BE=DE,根据∠B=2∠C以及三角形外角性质得出 AD=CD=10,BE=DE=12÷2=6,再运用勾股定理算出AE的长，即可作答. 【详解】 解：连接AD,如图所示： A 结合作图过程，得出AD=AB,AE是BD的垂直平分线， ∠ADB=∠B'BE=DE' ·∠B=2∠C'∠ADB=∠C+∠CAD ∠ADB=2∠C=∠C+∠CAD 即∠C=∠CAD, ·AD=CD=10 219 函学科网 ·BC=22' DB=22-10=12 则BE=DE=12÷2=6, 在Rt△AED中，AE=O□： 故答案为：8. 6.【答案】(1) 证明：如图，连接CO, AB是⊙O的直径， ∠ACB=90 ∠AC0+∠BC0=90 “0A=0C ∠AC0=∠A' “∠BCD=∠A' ∠ACO=∠BCD' ∠BCD+∠BCO=90' 即∠OCD=90°， OCLCD' “0C是。0的半径， www zxxk .com 让教与学更高效 3/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CD是⊙O的切线： (2)12-9o) 【分析】 (1)连接CO,由圆周角定理得∠ACO+∠BCO=90°，进而根据等腰三角形的性质可得 ∠BCD+∠BCO=90°，即得OC⊥CD,即可求证； (2)如图，过C作CE⊥AB于E,可得∠COD=60°，∠AOC=∠D+∠OCD=120°，即得 CE=OC·sin60°=3V叵，最后根据S阴影=S扇形oAc-S△Aoc解答即可求解. (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 解：如图，过C作CE⊥AB于E, A ,∠D=30°，∠OCD=90°， ∠C0D=60'∠A0C=∠D+∠0CD=30°+90°=120 “CE⊥AB于E' ∠0EC=90 =3石， -CE=0Csin60°=6× 5anc=号A0-GF=号×6x30,5g0c 120π×62 2 360 =12cm, 六S阿g=S0AC-SAA0c=12n-g□ 【点睛】 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，不规则图形的面积，掌握以上 知识点是解题的关键。 7.【答案】(1) 证明：，四边形ABCD是正方形， 4/9 品学科网 AB=BC'∠ABC=90' ∠ABF+∠CBG=90' ·AF⊥BE'CG⊥BE' ∠AFB=∠BGC=90' ∠ABF+∠BAF=90 ∴∠BAF=∠CBG' △ABF≌△BCG(AAS) AF=BG (2) OF=OG理由如下： 延长GO交FA的延长线于点H, H D F B G E 图2 .AF⊥BE,CG⊥BE, ∴∠AFE=∠CGE=90' ·FH‖CG ∠OAH=∠OCG'∠OHA= 点O是AC的中点， www zxxk.com 让教与学更高效 ㄥOGC' 5/9 西学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 …0A=0C △OAH≌△OCGIAAS') 0H=0G 0G-JGH. ”∠HFG=90 0F-c, 0F=0G (3)229石或22阿口 【分析】 (1)根据题意，AF⊥BE,CG⊥BE,∠ABF+∠CBG=90°，∠ABF+∠BAF=90°，则 ∠BAF=∠CBG,利用AAS证明△ABF≌△BCG,即可得到答案： (2)延长GO交FA的延长线于点H,找到条件，证明△OAH≌△OCGIAAS),然后根据直角三角 形斜边中线的性质得到OH=OG=OF: (3)根据题意，由OF‖BC,由两种情况，要进行分类讨论：结合矩形的性质，得到△AFB和 △BCG是等腰直角三角形，利用三角函数值，求出BF和BG的长度，然后求出FG的长度即可. (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 略 3)小问详解： 解：①E在线段CA延长线上时，如图， 6/9 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 E D H B G 矩形ABCD, ∠ABC=90' 当OF‖BC时，∠OHA=∠ABC=90°，即OF⊥AB, .AHAO BH OC 点O为AC中点， ∴.点H为AB的中点，即AH=BH,而OF⊥AB, AF=BF' ”∠AFB=90 ∠BAF=∠ABF=45' =2▣， BF=AB.sin45°=4×音 “∠ABC=900'∠ABF=45o ∠CBG=45 “CG⊥BE “△BCG是等腰直角三角形， ,在Rt△ABC中，∠BAC=60°， 719 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 BC=AB·tan60°=4V▣' 2▣ BG=BC·cos45°=4 √叵 FG=BF+BG=2*29吧石 ②E在线段CA上时，如图， 延长OF交AB于点I, D G E 同理由①可知，△ABF是等腰直角三角形，BF=2▣， △BCG是等腰直角三角形，BG=2☐： FG=BG-BF=22四T 综合上述，FG的长度为：2*2四石或22吧石. 【点睛】 本题考查了四边形综合题，涉及正方形、矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形、相似三 角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，构造等腰直角三角 形进行解决问题.本题是压轴题，难度很大，需要对所学知识进行融会贯通. D考点03应用举例 1.D 2.【答案】热气球离地面的高度约为233m 【分析】 此题考查了解直角三角形中俯角与仰角的问题，通过构造直角三角形利用三角函数解题. 作AD⊥BC交CB的延长线于点D,设AD=X,表示出DB和DC,根据正切的概念求出X的值即可. 【详解】 解：过点A作AD⊥BC交CB的延长线于点D,如图所示， 由题意，可知∠ABD=45°，∠ACD=35°， 8/9 函学科网 www.zxxk.com 4 545° D B 设AD=X, 在Rt△ADB中， .∠ABD=45' .'DB=AD=x' 在Rt△ADC中， .∠ACD=35°，CD=BD+BC=x+100,tan∠ACD: .X x+10010 解得x≈233 答：热气球离地面的高度约为233m, 9/9 e函学科网 www.zxxk.com 专题07解直角三角形 3大高频考点概览 考点01正弦、余弦与正切 考点02解直角三角形 考点3应用举例 》 考点01正弦、余弦与正切 1.(25-26学年九上·广西贵港港南区·期中)与2sin30°的结果相同的是( A.1-sin 30 B.s血45石 C.tan60 D.cos45 2.(25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中)在正方形网格中，△ABC的 格点上，则tanB的值为( ) A 1 B.2 c.▣ D.▣ 1 3. (25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中)已知sinA= ,则锐角∠A= 》 考点02解直角三角形 1.(25-26学年九上广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中)如图， CD⊥AB,∠D=15°，则OE的长为( 1/4 让教与学更高效 ) 置如图所示，A、B、C都在 已知⊙O的半径OB为3，且 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A. 口 B.3/▣ 2 C.2 D.3 1 2. (25-26学年九上厂广西贵港港南区·期中)如图，在△ABC中，sinB3taC=2,AB3,则AC的长 为( ) B A. B.▣ c.▣ D.2 3.(25-26学年九上广西南宁天桃实验学校期中)如图，四边形ABCD是菱形，AC=10,BD=24, AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为( A.6 B.8 c120 240 D. 13 13 4. (25-26学年九上·广西贵港港南区·期中)如图所示的网格是正方形网格，则tana+tanB= 5.(25-26学年九上广西南宁第二中学.期中)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：（1)以点A为圆 心，AB的长为半径画弧，交BC于点D：(2)分别以点B和点D为圆心，大于2BD的长为半径画弧， 两弧相交于点F;(3)画射线AF交BC于点E.若∠B=2∠C,BC=22,CD=10,则AE的长为 2/4 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 6.(25-26学年九上广西自治区南宁·期中)如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D在AB的延 长线上，∠BCD=∠A. A D (1)求证：CD是⊙O的切线： (2)若∠D=30°，⊙O的半径为6cm,求圆中阴影部分的面积. 7.(25-26学年九上广西柳州壶西实验中学期中)问题情境：四边形ABCD中，点O是对角线AC的中 点，点E是直线AC上的一个动点（点E与点C,O,A都不重合），过点A,C分别作直线BE的垂线， 垂足分别为F,G,连接OF，OG D 图1 图2 图3 (1)初步探究：如图1，已知四边形ABCD是正方形，且点E在线段OC上，求证AF=BG: (2)深入思考：如图2，已知四边形ABCD为菱形，且点E在AC的延长线上，其余条件不变，探究 OF与OG的数量关系并说明理由： (3)拓展延伸：如图3，已知四边形ABCD为矩形，且AB=4,∠BAC=60°.点E在直线AC上运动 的过程中，若OF‖BC,求出FG的长是多少？ 》 考点03应用举例 1.（25-26学年九上·广西南宁天桃实验学校·期中)如图，一艘船从A点出发，沿东北方向航行至B点， 再从B点出发沿南偏东35°方向航行至C点，则∠ABC的度数为( ) 3/4 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 北 北 B Gs. A C A.27 B.45 C.72 D.80 2.(25-26学年九上·广西贵港港南区·期中)小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测 得B,C两点的俯角分别为45°，35°.已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m,请求出热 气球离地面的高度。结果保留整数.参考数据：sin35°≈乙 7 7),cos35。≈2，tan35°≈ 101 QA 545° B C 4/4 专题07 解直角三角形 3大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）与的结果相同的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入各选项计算即可，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】 解：由， 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意； 、， 故选：． 2．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）在正方形网格中，的位置如图所示，、、都在格点上，则的值为（       ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查锐角三角函数的定义，构造直角三角形求解是解决问题的关键．过点作的延长线于点，构造以为锐角的直角三角形，然后根据正切的定义计算的值． 【详解】 解：过点作的延长线于点， 可得，， ． 故选：A． 3．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）已知，则锐角　　　　　　 【答案】度 【分析】 本题主要考查了根据三角函数值求角的度数．根据特殊角的三角函数值，，且为锐角，因此． 【详解】 解：∵，且是锐角， ∴． 故答案为：． 考点02 解直角三角形 1．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）如图，已知的半径为3，且．则的长为（       ） A.  B.  C.  D. 3 【答案】A 【分析】 本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．连接，先根据圆O的直径为6求出的长，再由得出，由圆周角定理求出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】 解：连接，    ∵的半径为3， ， ， ， ， 故选：A． 2．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（     ） A.  B.  C.  D. 2 【答案】B 【分析】 过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长． 【详解】 解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：    由，且可知，， 由，且可知，， ∴在中，由勾股定理有：． 故选：B． 【点睛】 本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解． 3．（25-26学年九上·广西南宁天桃实验学校·期中）如图，四边形是菱形，，，，垂足为，则的长为（       ） A. 6 B. 8 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了菱形的性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．根据菱形的性质得到，根据勾股定理即可求出菱形的边长，再利用菱形面积公式即可求出结果． 【详解】 解：∵四边形是菱形，，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）如图所示的网格是正方形网格，则　　　　　 ． 【答案】 【分析】 本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 根据题意和图形并结合正切的定义，可以计算出的值． 【详解】 解：如图，设正方形网格中的小正方形的边长为， ， ∴，，，， ∴． 故答案为：． 5．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；（2）分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；（3）画射线交于点.若，，，则的长为　　　　　. 【答案】8 【分析】 本题考查了作垂线，三角形外角性质，等角对等边，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，结合作图过程得，，根据以及三角形外角性质得出，，再运用勾股定理算出的长，即可作答． 【详解】 解：连接，如图所示： 结合作图过程，得出是的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 则， 在中，， 故答案为：8． 6．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）如图，是的直径，为上一点，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为，求圆中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 （）连接，由圆周角定理得，进而根据等腰三角形的性质可得，即得，即可求证； （）如图，过作于，可得，，即得，最后根据解答即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，过作于， ∵，， ∴，， ∵于， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，不规则图形的面积，掌握以上知识点是解题的关键． 7．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）问题情境：四边形中，点是对角线的中点，点是直线上的一个动点（点与点都不重合），过点分别作直线的垂线，垂足分别为，连接． （1）初步探究：如图1，已知四边形是正方形，且点在线段上，求证； （2）深入思考：如图2，已知四边形为菱形，且点在的延长线上，其余条件不变，探究与的数量关系并说明理由： （3）拓展延伸：如图3，已知四边形为矩形，且．点在直线上运动的过程中，若，求出的长是多少？ 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2） ，理由如下： 延长交的延长线于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ；     （3）或      【分析】 （1）根据题意，，，，则，利用证明，即可得到答案； （2）延长交的延长线于点H，找到条件，证明，然后根据直角三角形斜边中线的性质得到； （3）根据题意，由，由两种情况，要进行分类讨论；结合矩形的性质，得到和是等腰直角三角形，利用三角函数值，求出和的长度，然后求出的长度即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：①E在线段延长线上时，如图， ∵矩形， ∴， 当时，，即， ∴， ∵点O为中点， ∴点H为的中点，即，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵在中，， ∴， ∴， ∴； ②E在线段上时，如图， 延长交于点I， 同理由① 可知，是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形，， ∴； 综合上述，的长度为：或． 【点睛】 本题考查了四边形综合题，涉及正方形、矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形、相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，构造等腰直角三角形进行解决问题．本题是压轴题，难度很大，需要对所学知识进行融会贯通． 考点03 应用举例 1．（25-26学年九上·广西南宁天桃实验学校·期中）如图，一艘船从A点出发，沿东北方向航行至B点，再从B点出发沿南偏东方向航行至C点，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了方向角和角的有关计算的应用，根据南北方向线是平行的得出，再和相加即可得出答案． 【详解】 解：如图，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得B，C两点的俯角分别为，．已知大桥与地面在同一水平面上，其长度为，请求出热气球离地面的高度．(结果保留整数．参考数据：，，) 【答案】热气球离地面的高度约为 【分析】 此题考查了解直角三角形中俯角与仰角的问题，通过构造直角三角形利用三角函数解题． 作交的延长线于点，设，表示出和，根据正切的概念求出的值即可． 【详解】 解：过点作交的延长线于点，如图所示， 由题意，可知，， 设， 在中， ， ， 在中， ，，， ， 解得． 答：热气球离地面的高度约为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $