专题06 相似（期中真题汇编，广西专用）九年级数学上学期

专题06 相似 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．C 2．B 3．B 4．D 5．B 6．B 7．C 8．D 9．B 10．B 11．A 12．【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割点的相关计算，以及一元一次方程的运用．设至少向前走米，由黄金比列方程解答即可． 【详解】 解：设至少向前走米， 依题意得，， 解得，． 即主持人站在最佳位置处时至少要走米， 故答案为：． 13．【答案】3 【分析】 本题考查的是比例尺．根据比例尺图上距离：实际距离，列比例式直接求得甲，乙两地间的实际距离． 【详解】 解：设甲，乙两地间的实际距离为， 则， 解得：，即3千米， 故答案为：3． 考点02 平行线分线段成比例 1．A 2．B 3．D 4．【答案】10 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 直接利用平行线分线段成比例定理求解． 【详解】 解：∵直线，， ，即， 解得：， 故答案为：10． 5．【答案】（1）6     （2）25      【分析】 此题考查了平行线分线段成比例定理． （1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长； （2）由平行线分线段成比例定理得到，由得到，由得到，即可得到的长． (1) 小问详解： ∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴． (2) 小问详解： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 考点03 三角形相似的判定 1．C 2．B 3．C 4．D 5．C 6．C 7．A 8．B 9．C 10．B 11．【答案】证明：∵四边形是正方形，P为中点， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，正方形的性质，由正方形的性质得出，，结合已知条件得出，进而即可得出． 【详解】 略 12．【答案】．（答案不唯一） 【分析】 本题考查相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 有一对对顶角与，添加，即得结论． 【详解】 解： ∵（对顶角相等），， ∴． 故答案为：．(答案不唯一) 13．【答案】（1） 证明∶ ∵ ， ， ∴， ∴ ；     （2）      【分析】 本题考查相似的判定和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）证明，通过对应角相等即可证明； （2）因为已知，将，代入计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∵ ，， ∴ ， 解得 ． 14．【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， ；     （2）17      【分析】 此题考查了相似三角形的判定和性质． （1）由相似三角形的性质得到，再证明，即可证明； （2）由相似三角形的性质得到，进一步求出，即可求出的周长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， 的周长为17． 15．【答案】70 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．根据平行四边形的性质得，，则，再证明得到，所以，，再根据，得，，，从而得到的值． 【详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：70． 16．【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴；     （2）      【分析】 （1）通过寻找两个三角形中相等的角，利用两角分别相等来证明相似． （2）先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形面积的两种不同表示方法，建立等式求出的长． 本题主要考查了相似三角形的判定、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握相似三角形的判定定理和利用面积法求高是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴． 17．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形对应角相等的性质，考查了相似三角形的判定，本题中求证是解题的关键．根据和是的中点，可以求得，即可求证，所以根据该相似三角形的对应边成比例得到． 【详解】 解：在正方形中，， ，是的中点， ， 又， ， ， 即． 故答案为：． 18．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）； （3） 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用前面探索的结论和方法解决新问题是解题的关键． （1）利用同角的余角相等得，即可证明结论； （2）过点A作于点F，利用两个角相等证明，得，从而得出答案； （3）过点A作于点H，延长相交于点N，设，则首先证明，得再根据，得最后根据进而解决问题． 【详解】 （1）略 （2）过点A作于点F，则， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． （3）过点A作于点H，延长相交于点N． ∵， ∴． 设，则． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．【答案】（1） 解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．     （2）2      【分析】 （1）根据等边三角形的性质，三角形内角和定理，三角形相似的判定解答即可； （2）根据相似三角形的性质，直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 20．【答案】（1）证明：∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD． ∵D是BC边上的中点，DE⊥BC， ∴EB＝EC， ∴∠EBC＝∠ECB． ∴△ABC∽△FCD； （2）. 【分析】 （1）由AD＝AC可以得到∠ADC＝∠ACD，利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC＝∠ECB，再利用相似三角形的判定，就可以证明题目结论； （2）利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式就求出了DE的长． 【详解】 （1）略 （2）解：过A作AM⊥CD，垂足为M． ∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD， ∴． ∵S△FCD＝5， ∴S△ABC＝20． 又∵S△ABC＝×BC×AM，BC＝10， ∴AM＝4． 又DM＝CM＝CD，DE∥AM， ∴DE：AM＝BD：BM＝， ∴DE＝ ． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，利用三角形的面积公式求线段的长是解题的关键． 21．【答案】（1），； （2），， 证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）或. 【分析】 （1）根据题意证明，再利用性质得到，，继而得到本题答案； （2）先证明，再利用相似性质得，再得到，即可； （3）连接交于，证明出四边形是正方形，继根据勾股定理而得到关系式，并利用值． 【详解】 （1），； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）略 （3）连接交于 点与点关于对称 垂直平分 ， 又 四边形是正方形 过作于， 则是等腰直角三角形，设， ， ， 连接 为直角三角形斜边中点， ， ， ， ，， ， ， ， 解得或， 或. 【点睛】 本题考查全等三角形判定及性质，相似三角形判定及性质，正方形判定及性质，勾股定理，二次函数最值等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 22．【答案】 【分析】 认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案 【详解】 解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°， 当PM⊥AB时，PM最短， 因为直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B， 可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3）， 在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB=， ∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7， ∴△PBM∽△ABO， ∴， 即：， 所以可得：PM=． 23．【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， ， ∴是的切线；      （2） 证明：∵是的直径， ∴， ， ， ， ∴；     （3）      【分析】 此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，得出，即可证明结论成立； （2）先证明，得出，即可证明结论； （3）先证明是等边三角形，得出，求出，根据阴影部分的面积求出结论即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ， 在中，， ， ∴阴影部分的面积 ． 24．【答案】（1）     （2）；     （3）当点的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似．      【分析】 本题考查了求函数的解析式，求函数图象上点的坐标，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据对称轴方程即可求解； （2）由，得到顶点的坐标，与轴交点的坐标，通过三角形相似，列比例式求得的长度，得到点的坐标，求出直线的解析式，进一步求出点的坐标，联立方程组求出点的坐标； （3）当时，，得到点的坐标，由勾股定理解出的长度，如图，当时，，得到比例式，由知，求出，解出，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得；， 解得， 抛物线对应的函数解析式为：； (2) 小问详解： 解：由，得：，， 如图，过点作轴于， 则，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线对应的函数解析式为，则， ， 直线对应的函数解析式为， 当时，， 点的坐标为， 解方程组 ， 得 ， ， ∴； (3) 小问详解： 解：① 如图，当时，， 此时点的坐标， ∴，， ∴， 如图，当时，， ∴，由知， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴． 综上所述：当点的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 25．【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∴ ∴     （2）      【分析】 本题考查相似三角形的性质和判定：有两个角相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例，两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似； （1）由和公共角相等可得出，进而得出即； （2）由得出和公共角相等可得出，进而得出. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，理由如下： 由（1）得 ∴ 即 又∵ ∴ ∴. 故答案为：. 26．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，30度角的直角三角形的性质． （1）证明，，即，即可证明； （2）利用30度角的直角三角形的性质求得，即，再由，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， 即， ∴． 27．【答案】（1）正确；正确；正确     （2） ①证明：∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； ；     （3）的长为6或．      【分析】 （1）①根据四边形内角和定理求解即可； ② 连接，利用证明，即可判断； ③利用角平分线的定义结合①的结论，求得，即可判断； （2）①先证明四边形是矩形，利用同角的余角相等求得，即可证明； ② 连接，证明四边形是圆内接四边形，推出，据此求解即可； （3）分类讨论：① 若，，证明，求得；② 若，，过点作，垂足为点，由勾股定理得，由角平分线性质定理可得，则，可得，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：①∵， ∴， ∴“垂直四边形”对角互补，正确； ②连接，不妨设， ∵，， ∴， ∴， ∴“垂直四边形”一组邻边相等时，另一组邻边也相等；正确． ③∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴“垂直四边形”不相等的一组对角的角平分线互相平行（不考虑重合）正确． (2) 小问详解： ①略 ② 连接， ∵， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵平分， ∴， ① 若，，如图2， 在与中， ， ； ② 若，， 如图3，过点作，垂足为点， 在中，，，， ， 平分，， ∴， ∴， ， ， ， ， ，即， ， ， 综上所述：的长为6或． 【点睛】 本题考查了圆内接四边形，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 28．【答案】9 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定定理证明三角形相似是解题的关键． 先证明可得，再证明，结合可证明，最后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵是角平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 故答案为：9． 29．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴；     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意，由，，利用两个三角形相似的判定定理即可得到，再由相似性质即可得证； （2）设，由（1）中相似，代值求解得到，从而根据与的相似比为求解即可得到答案； （3）过点作的平行线交的延长线于点，如图1所示，设，过点作于点，如图2所示，利用含的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点为中点， ∴设， 由（1）知， ∴， ∴， ∴与的相似比为， ∴， ∵ ∴； (3) 小问详解： 解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示： ∵点为中点， ∴设， ∵， ∴，， 在中，，则由勾股定理可得， 过点作于点，如图2所示： ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴，，， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 30．【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则 ， ∴；     （2）9      【分析】 本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）由正方形的性质可得，，然后根据对应边成比例且夹角相等即可得到结论； （2）通过证明，可得，根据可得、，利用三角形面积公式可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形为正方形， ∴， ，， ∴， ∴， 又∵，正方形的边长为4， ， ∴，， ∴，， ∴的面积． 考点04 相似三角形的性质 1．D 2．D 3．【答案】 【分析】 根据相似三角形周长的比、两个相似三角形对应边上的高的比等于相似比解答即可． 【详解】 解：两个相似三角形对应边上的高的比为， 这两个三角形的相似比为， 两个相似三角形的周长比为； 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键． 考点05 相似三角形的应用 1．C 2．B 3．【答案】四丈五尺 【分析】 设出竹竿长度，根据同一时刻物高与影长成正比列出方程，即可得出结论． 【详解】 解：设竹竿的长度为x尺， ∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺， ∴由相似相似原理可知： 解得x=45（尺）． 故答案为：四丈五尺． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 4．【答案】50 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键．首先根据题意证明三角形相似，然后根据相似三角形的对应边成比例求得结论即可． 【详解】 解：由题意得：， ∴， ， ， ， ∵，，， ， ， 故答案为：50． 5．【答案】（1）铅垂高度的长为；     （2）的长；     （3）此时的长．      【分析】 此题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）利用相似三角形的判定与性质即可求解； （3）先根据勾股定理求得的长，再利用相似三角形的判定与性质即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得，， ∵， ∴， 答：铅垂高度的长为； (2) 小问详解： 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， 答：的长； (3) 小问详解： 解：∵铅垂高度的长缩短为， ∴， 同理， ∴， ∴， 答：的长． 考点06 位似 1．A 2．D 3．B 4．【答案】（1） 如图所示，即为所求；     （2） 如图所示，即为所求． 【分析】 本题考查了作图轴对称变换，位似变换，熟记轴对称变换、位似变换的性质是解题的关键． （1）根据轴对称变换的性质找出，，关于y轴的对应点即可作图； （2）根据位似变换的性质，找出，，的对应点即可作图； (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：略． 5．【答案】（1） 如图所，即为所求．      （2） 如图所示，即为所求．     （3）      【分析】 本题主要考查了作图-旋转变换、位似变换、轴对称的性质等知识点，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）再将点B、C绕点A顺时针旋转得到其对应点，然后首尾顺次连接即可解答； （2）根据位似图形的性质，分别画出点，然后首尾顺次连接即可解答； （3）如图：作关于x轴的对称点，连接与x轴的交点P即为所求；然后再求得直线的解析式为，进而确定点P的坐标即可． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：略； (3) 小问详解： 解：由（2）作图可知： 如图：作关于x轴的对称点，连接与x轴的交点P即为所求． ∴， 设直线的解析式为， ，解得： ， ∴直线的解析式为， 当时，，即． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）已知（，），下列等式中变形不正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项分析即可得解，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵（，）， ∴，，，故ABD正确，C不正确， 故选：C． 2．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）如果，那么的结果是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了比例的性质，根据合分比例性质，可得答案．利用合分比性质是解题关键． 【详解】 解： ， 故选：B． 3．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）已知点C是线段的黄金分割点，且，则的长度是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，据此可得答案． 【详解】 解：∵点C是线段的黄金分割点，且， ∴， 故选：B． 4．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）下列四组图形中，不是相似图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了相似图形的定义，正确理解相似图形的定义是解题的关键，根据相似图形的定义逐一判断选项即可． 【详解】 A、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； B、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； C、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； D、形状不相同，不符合相似图形的定义，符合题意． 故选：D． 5．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A. 、、、 B. 、、、 C. 、、、 D. 、、、 【答案】B 【分析】 本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 根据比例线段的定义，分别计算各选项中第一项与第四项的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例． 【详解】 解：A、，故A选项错误； B、，故B选项正确； C、，故C选项错误； D、，故D选项错误． 故选：B． 6．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）若，则下列比例式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了比例的基本性质，掌握两内项之积等于两外项之积成为解题的关键． 将已知等式变形为比例形式，据此逐项验证即可． 【详解】 解：∵，且， ∴ 两边同除以，得，即，与选项B一致． A．由 得 ，错误； C．交叉相乘得 ，与 矛盾，错误； D．交叉相乘得 ，与 无关，错误． 故选B． 7．（25-26学年九上·广西梧州·期中）下列四条线段中，不是成比例线段的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查线段成比例的知识，可以根据定义判定，也可以计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例． 【详解】 解：A、，，，故四条线段是成比例线段，不符合题意； B、，，，故四条线段是成比例线段，不符合题意； C、，，，故四条线段不是成比例线段，符合题意； D、，，，故四条线段是成比例线段，不符合题意． 故选：C． 8．（25-26学年九上·广西桂林·期中）下面几对图形中，相似的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了相似图形的识别，形状相同的两个图形叫做相似图形，据此可得答案． 【详解】 解：由相似图形的定义可知，四个选项中只有D选项中的两个图形相似， 故选：D． 9．（25-26学年九上·广西桂林·期中）若两个相似六边形的面积比为，则它们的相似比为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是相似多边形的性质，根据相似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】 解：∵两个相似六边形的面积比为， ∴相似比的平方为， ∴相似比为． 故选：B 10．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（       ） A. 的长度 B. 的度数 C. 六边形的面积 D. 六边形的周长 【答案】B 【分析】 本题考查了相似图形，利用相似图形的性质判断即可，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】 解：用放大镜观察该分子结构，由相似图形的性质可得，保持不变的是的度数， 故选：． 11．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（       ）cm． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了黄金分割的定义，理解题意是解决本题的关键． 由题意可得，则，把，代入求解即可． 【详解】 解：∵交点C恰好是线段的黄金分割点， ∴， ， ∵， ， ， 或（舍去）． 故选：A． 12．（25-26学年九上·广西梧州·期中）研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉产音效果最佳，如图，主持人现站在8米舞台的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走　　　　　米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割点的相关计算，以及一元一次方程的运用．设至少向前走米，由黄金比列方程解答即可． 【详解】 解：设至少向前走米， 依题意得，， 解得，． 即主持人站在最佳位置处时至少要走米， 故答案为：． 13．（25-26学年九上·广西桂林·期中）在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为15厘米，则甲、乙两地的实际距离是　　　　　　　　　千米． 【答案】3 【分析】 本题考查的是比例尺．根据比例尺图上距离：实际距离，列比例式直接求得甲，乙两地间的实际距离． 【详解】 解：设甲，乙两地间的实际距离为， 则， 解得：，即3千米， 故答案为：3． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）如图，直线，若，则的长为（     ） A. 9 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，根据，则，然后代入数值进行求出，即可作答． 【详解】 解：∵直线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）如图，在中，点在边上，且，过点作交于点．若，则的长是（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 由平行线分线段成比例定理得出比例式求出，即可得出结果．本题主要考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出比例式求出是解决问题的关键． 【详解】 解：，， ， ， ； 故选：B． 3．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）如图，在中，点、分别是、上两点，且，若，则的长是（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键． 利用平行线分线段成比例定理，通过已知线段的长度求出的长度． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 4．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）如图，已知，若，，则的值是　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 直接利用平行线分线段成比例定理求解． 【详解】 解：∵直线，， ，即， 解得：， 故答案为：10． 5．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）如图，直线，且直线分别截直线于点，截直线于点．    （1）若，，，求的长； （2）若，，求的长． 【答案】（1）6     （2）25      【分析】 此题考查了平行线分线段成比例定理． （1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长； （2）由平行线分线段成比例定理得到，由得到，由得到，即可得到的长． (1) 小问详解： ∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴． (2) 小问详解： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了相似三角形的判定：① 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；② 如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③ 如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】 解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 2．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）如图，点D是的边上一点，，，如果的面积为4，那么的面积为（     ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 6 【答案】B 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，首先证明出两个三角形相似，由相似三角形的性质可以得到两个三角形的面积比，进而得到答案，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积是16， ∴， 故选：B 3．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）如图，D是的边上一点，已知，，，若的面积为，则的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先证出，再根据相似三角形的性质可得，则可得，由此即可得． 【详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴的面积为， 故选：C． 4．（25-26学年九上·广西梧州·期中）已知点D、M是边上的三等分点，且，设、四边形、四边形的面积分别为，则为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质、以及相似三角形面积比等于相似比的平方，掌握相似三角形的判定方法以及面积比等于相似比的平方是解题的关键．本题先根据三条直线平行得到 ，得到对应相似比为，然后得到 ，进而可得出，，最后相比即可得出答案． 【详解】 解：∵ ∴， 又∵，为的三等分点， ∴， ∴ 设，则 ，， ∴， ∴． 故选：D． 5．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】 解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为，夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意． 6．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）如图，在AI三维建模的直角三角形建筑模型中，，为斜边的高．若建模数据显示，，则的实测长度为（       ） A.  B. 3 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质．设，证明，求得，在中，利用勾股定理列式计算求得，据此求解即可． 【详解】 解：设， ∵，为斜边的高， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，，即， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， 故选：C． 7．（25-26学年九上·广西梧州·期中）如图，在锐角中，上的高交于点，连接，图中与相似的三角形共有（       ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题考查的是相似三角形判定，牢记判定方法是解题关键，由题意可得，证明，易证，由对顶角相等可得，易证，得到，易证，即可得出结论． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ，， ∴， ∴， ， ， ∴图中与相似的三角形共有3个． 故选：A． 8．（25-26学年九上·广西桂林·期中）我们把练习本上的横线认定为平行且等距的格线．如图，小颖在两条横线上画出，且边，与中间的另外两条横线交于D，F，E，G四点，连接交于点H，若，则的长为（       ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】B 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得，，，从而得出，，再由相似三角形的性质即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】 解：由题意可得：，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，. 故选：B． 9．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）如图，，，那么下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 以上结论都对 【答案】C 【分析】 本题主要考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 令，根据勾股定理求出相关边长，再根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】 解：A.根据直角三角形斜边最长和角所对的直角边等于斜边的得，， ∴； ， ∴； ∵， ∴； ∴， ∴该选项错误，不符合题意； B.∵， ∴与不相似， 该选项错误，不符合题意； C.令，由勾股定理得， ∵， ∴，且， ∴， ∴该选项正确，符合题意； 故选：C． 10．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论：①；②垂直平分线段；③；④若，则．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可以判断① 的正确；利用等边三角形的性质，① 的结论和等腰三角形的三线合一的性质可以判断② 的正确；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断③ 的错误；利用相似三角形的判定与性质可以判断④ 的正确． 【详解】 解：由题意得：，为的平分线， ，， ， 为等边三角形， 为的垂直平分线， ，故① 的结论正确； 为等边三角形， ， ， ， ， ， ． ，， ， ， ， 垂直平分线段，故② 的结论正确； ，， ， ． ， ， ，故③ 的结论错误； ，， ， ，再加上， ， 是等边三角形， ，故④ 的结论错误， 综上所述，结论正确的有① ② ， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了含角的直角三角形的性质，角平分线，线段垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 11．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）如图，在正方形中，P为中点，Q为上一点，且．求证：． 【答案】证明：∵四边形是正方形，P为中点， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，正方形的性质，由正方形的性质得出，，结合已知条件得出，进而即可得出． 【详解】 略 12．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）如图，线段交于点O，请你添加一个条件：　　　　　　　　，使． 【答案】．（答案不唯一） 【分析】 本题考查相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 有一对对顶角与，添加，即得结论． 【详解】 解： ∵（对顶角相等），， ∴． 故答案为：．(答案不唯一) 13．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）如图，在中，是边上一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明∶ ∵ ， ， ∴， ∴ ；     （2）      【分析】 本题考查相似的判定和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）证明，通过对应角相等即可证明； （2）因为已知，将，代入计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∵ ，， ∴ ， 解得 ． 14．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）如图，中，点在线段上，，且． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， ；     （2）17      【分析】 此题考查了相似三角形的判定和性质． （1）由相似三角形的性质得到，再证明，即可证明； （2）由相似三角形的性质得到，进一步求出，即可求出的周长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， 的周长为17． 15．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）如图，在平行四边形中，为边上的点，若，交于，若，则等于　　　　　　． 【答案】70 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．根据平行四边形的性质得，，则，再证明得到，所以，，再根据，得，，，从而得到的值． 【详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：70． 16．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）如图，在中，，是边上高，若，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴；     （2）      【分析】 （1）通过寻找两个三角形中相等的角，利用两角分别相等来证明相似． （2）先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形面积的两种不同表示方法，建立等式求出的长． 本题主要考查了相似三角形的判定、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握相似三角形的判定定理和利用面积法求高是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴． 17．（25-26学年九上·广西梧州·期中）如图，是正方形边上一点，且，是的中点，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形对应角相等的性质，考查了相似三角形的判定，本题中求证是解题的关键．根据和是的中点，可以求得，即可求证，所以根据该相似三角形的对应边成比例得到． 【详解】 解：在正方形中，， ，是的中点， ， 又， ， ， 即． 故答案为：． 18．（25-26学年九上·广西梧州·期中）（1）如图1，在中，于点H，求证：； （2）如图2，已知，E为上一点，且，若，求的值； （3）如图3，在四边形中，，，E为边上一点，且，求的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）； （3） 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用前面探索的结论和方法解决新问题是解题的关键． （1）利用同角的余角相等得，即可证明结论； （2）过点A作于点F，利用两个角相等证明，得，从而得出答案； （3）过点A作于点H，延长相交于点N，设，则首先证明，得再根据，得最后根据进而解决问题． 【详解】 （1）略 （2）过点A作于点F，则， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． （3）过点A作于点H，延长相交于点N． ∵， ∴． 设，则． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26学年九上·广西梧州·期中）如图，点D、E、F分别在等边的三边、、上，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．     （2）2      【分析】 （1）根据等边三角形的性质，三角形内角和定理，三角形相似的判定解答即可； （2）根据相似三角形的性质，直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 20．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）（多选）已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F． （1）求证：△ABC∽△FCD； （2）若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长． 【答案】（1）证明：∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD． ∵D是BC边上的中点，DE⊥BC， ∴EB＝EC， ∴∠EBC＝∠ECB． ∴△ABC∽△FCD； （2）. 【分析】 （1）由AD＝AC可以得到∠ADC＝∠ACD，利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC＝∠ECB，再利用相似三角形的判定，就可以证明题目结论； （2）利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式就求出了DE的长． 【详解】 （1）略 （2）解：过A作AM⊥CD，垂足为M． ∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD， ∴． ∵S△FCD＝5， ∴S△ABC＝20． 又∵S△ABC＝×BC×AM，BC＝10， ∴AM＝4． 又DM＝CM＝CD，DE∥AM， ∴DE：AM＝BD：BM＝， ∴DE＝ ． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，利用三角形的面积公式求线段的长是解题的关键． 21．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，EF，，如图3．已知，，设，求的长度． 【答案】（1），； （2），， 证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）或. 【分析】 （1）根据题意证明，再利用性质得到，，继而得到本题答案； （2）先证明，再利用相似性质得，再得到，即可； （3）连接交于，证明出四边形是正方形，继根据勾股定理而得到关系式，并利用值． 【详解】 （1），； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）略 （3）连接交于 点与点关于对称 垂直平分 ， 又 四边形是正方形 过作于， 则是等腰直角三角形，设， ， ， 连接 为直角三角形斜边中点， ， ， ， ，， ， ， ， 解得或， 或. 【点睛】 本题考查全等三角形判定及性质，相似三角形判定及性质，正方形判定及性质，勾股定理，二次函数最值等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 22．（25-26学年九上·广西桂林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案 【详解】 解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°， 当PM⊥AB时，PM最短， 因为直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B， 可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3）， 在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB=， ∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7， ∴△PBM∽△ABO， ∴， 即：， 所以可得：PM=． 23．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）停车楔（如图1）是固定汽车轮胎的装置，可以辅助停车，防止车辆产生不必要的移动.图2是某直角停车楔和轮胎的示意图，，当车辆停于水平地面时，此时停车楔紧贴轮胎，停车楔边与地面重合.连接，，并延长交于点，此时. （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若的半径为，，求图2中阴影部分的面积为多少. 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， ， ∴是的切线；      （2） 证明：∵是的直径， ∴， ， ， ， ∴；     （3）      【分析】 此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，得出，即可证明结论成立； （2）先证明，得出，即可证明结论； （3）先证明是等边三角形，得出，求出，根据阴影部分的面积求出结论即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ， 在中，， ， ∴阴影部分的面积 ． 24．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）如图，对称轴为直线的抛物线的顶点为，与轴相交于点，过点作的垂线交轴于点，交抛物线的对称轴于点，且与抛物线的另一个交点为． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）分别求点，的坐标； （3）在对称轴上找一点，使得以，，为顶点的三角形与相似，直接写出点的坐标． 【答案】（1）     （2）；     （3）当点的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似．      【分析】 本题考查了求函数的解析式，求函数图象上点的坐标，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据对称轴方程即可求解； （2）由，得到顶点的坐标，与轴交点的坐标，通过三角形相似，列比例式求得的长度，得到点的坐标，求出直线的解析式，进一步求出点的坐标，联立方程组求出点的坐标； （3）当时，，得到点的坐标，由勾股定理解出的长度，如图，当时，，得到比例式，由知，求出，解出，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得；， 解得， 抛物线对应的函数解析式为：； (2) 小问详解： 解：由，得：，， 如图，过点作轴于， 则，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线对应的函数解析式为，则， ， 直线对应的函数解析式为， 当时，， 点的坐标为， 解方程组 ， 得 ， ， ∴； (3) 小问详解： 解：① 如图，当时，， 此时点的坐标， ∴，， ∴， 如图，当时，， ∴，由知， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴． 综上所述：当点的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 25．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）如图，在中，点，点分别是边、上的点，和相交于点，，连接． （1）求证：； （2）如果，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∴ ∴     （2）      【分析】 本题考查相似三角形的性质和判定：有两个角相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例，两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似； （1）由和公共角相等可得出，进而得出即； （2）由得出和公共角相等可得出，进而得出. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，理由如下： 由（1）得 ∴ 即 又∵ ∴ ∴. 故答案为：. 26．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）如图，在四边形中，，，，E为垂足，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，30度角的直角三角形的性质． （1）证明，，即，即可证明； （2）利用30度角的直角三角形的性质求得，即，再由，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， 即， ∴． 27．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）新定义：有一组对角相等，且都为，另一组对角不相等的凸四边形称为“垂直四边形”，如图1．在四边形中，，． （1）类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． ①“垂直四边形”对角互补；_____． ②“垂直四边形”一组邻边相等时，另一组邻边也相等；_____． ③“垂直四边形”不相等的一组对角的角平分线互相平行（不考虑重合）_____． （2）如图2，四边形是“垂直四边形”，（），过点作，为垂足，过点作，为垂足． ①求证：； ②若，求的值； 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （3）如图3，在中，，，，平分，点在边上，若以、、、为顶点的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 【答案】（1）正确；正确；正确     （2） ①证明：∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； ；     （3）的长为6或．      【分析】 （1）①根据四边形内角和定理求解即可； ② 连接，利用证明，即可判断； ③利用角平分线的定义结合①的结论，求得，即可判断； （2）①先证明四边形是矩形，利用同角的余角相等求得，即可证明； ② 连接，证明四边形是圆内接四边形，推出，据此求解即可； （3）分类讨论：① 若，，证明，求得；② 若，，过点作，垂足为点，由勾股定理得，由角平分线性质定理可得，则，可得，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：①∵， ∴， ∴“垂直四边形”对角互补，正确； ②连接，不妨设， ∵，， ∴， ∴， ∴“垂直四边形”一组邻边相等时，另一组邻边也相等；正确． ③∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴“垂直四边形”不相等的一组对角的角平分线互相平行（不考虑重合）正确． (2) 小问详解： ①略 ② 连接， ∵， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵平分， ∴， ① 若，，如图2， 在与中， ， ； ② 若，， 如图3，过点作，垂足为点， 在中，，，， ， 平分，， ∴， ∴， ， ， ， ， ，即， ， ， 综上所述：的长为6或． 【点睛】 本题考查了圆内接四边形，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 28．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）如图，在中，是角平分线，点在边上，且，连接．若，，的长为　　　　　． 【答案】9 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定定理证明三角形相似是解题的关键． 先证明可得，再证明，结合可证明，最后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵是角平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 故答案为：9． 29．（25-26学年九上·广西桂林·期中）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． （1）初步探究 如图2，若，求证：； （2）尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； （3）创新提升 如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴；     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意，由，，利用两个三角形相似的判定定理即可得到，再由相似性质即可得证； （2）设，由（1）中相似，代值求解得到，从而根据与的相似比为求解即可得到答案； （3）过点作的平行线交的延长线于点，如图1所示，设，过点作于点，如图2所示，利用含的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点为中点， ∴设， 由（1）知， ∴， ∴， ∴与的相似比为， ∴， ∵ ∴； (3) 小问详解： 解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示： ∵点为中点， ∴设， ∵， ∴，， 在中，，则由勾股定理可得， 过点作于点，如图2所示： ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴，，， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 30．（25-26学年九上·广西桂林·期中）如图，正方形的边长为4，点E为的中点，，连接并延长交的延长线于点G． （1）求证：； （2）求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则 ， ∴；     （2）9      【分析】 本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）由正方形的性质可得，，然后根据对应边成比例且夹角相等即可得到结论； （2）通过证明，可得，根据可得、，利用三角形面积公式可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形为正方形， ∴， ，， ∴， ∴， 又∵，正方形的边长为4， ， ∴，， ∴，， ∴的面积． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）已知，与的面积比为，则和的相似比为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此由面积比可求相似比即可． 【详解】 解：∵与的面积比为， ∴和的相似比为：，即． 故选D． 2．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）如图，在中，为中点，连接，交于点，，则的长为（     ） A. 3 B. 6 C. 10 D. 12 【答案】D 【分析】 此题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．先证明是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解． 【详解】 解：在中，对角线，相交于点， ，即点是的中点， 为中点， 是的中位线， ． 故选：D． 3．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）两个相似三角形对应高的比为，那么这两个三角形的周长比为　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据相似三角形周长的比、两个相似三角形对应边上的高的比等于相似比解答即可． 【详解】 解：两个相似三角形对应边上的高的比为， 这两个三角形的相似比为， 两个相似三角形的周长比为； 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·广西桂林·期中）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验（如图甲），解释了小孔成像的原理，并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．物理课上，小轩记录了他和同桌所做的小孔成像实验数据（如图乙）：像距为，物距为，蜡烛烛焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用题意画出图形，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．熟练掌握相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键． 【详解】 解：∵像距为，物距为，蜡烛烛焰倒立的像的高度是， 如图，由题意知：点到的距离为，点到的距离为，， ， ， ， ， ． 故选：C． 2．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）网球比赛时，发球往往是制胜的关键．如图，小军在打网球时，使球恰好能打过网，假设球沿直线前进而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h应为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，根据球网和击球时球拍垂直线段平行即可知，，根据其相似比即可求解． 【详解】 解：如图， ∵， ∴， ∴ 即， ∴． 故选：B． 3．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为　　　　　． 【答案】四丈五尺 【分析】 设出竹竿长度，根据同一时刻物高与影长成正比列出方程，即可得出结论． 【详解】 解：设竹竿的长度为x尺， ∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺， ∴由相似相似原理可知： 解得x=45（尺）． 故答案为：四丈五尺． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 4．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）如图1是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图2所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是　　　　　. 【答案】50 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键．首先根据题意证明三角形相似，然后根据相似三角形的对应边成比例求得结论即可． 【详解】 解：由题意得：， ∴， ， ， ， ∵，，， ， ， 故答案为：50． 5．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）学习了物理中光的反射定律知道，反射光线和入射光线分别位于法线的两侧，反射角等于入射角．如图1，平面镜水平放置，小明用激光笔从左边点处发出光线，经平面镜点处反射后，落在右边光屏上的点处（，两点均在量角器的边缘上，为量角器的中心，，，三点共线，，）．他在实验中记录了以下数据：①水平距离的长为；②量角器半径的长； （1）求铅垂高度的长； （2）求光屏上的反射点与量角器右端点的距离的长； （3）如图2．若将入射角变大，使得铅垂高度的长缩短为，请直接写出此时光屏上的反射点与量角器右端点的距离的长． 【答案】（1）铅垂高度的长为；     （2）的长；     （3）此时的长．      【分析】 此题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）利用相似三角形的判定与性质即可求解； （3）先根据勾股定理求得的长，再利用相似三角形的判定与性质即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得，， ∵， ∴， 答：铅垂高度的长为； (2) 小问详解： 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， 答：的长； (3) 小问详解： 解：∵铅垂高度的长缩短为， ∴， 同理， ∴， ∴， 答：的长． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）在同一象限内，与关于原点位似，位似比为，已知点，则点的对应点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了位似变换，熟练掌握其性质是做题的关键．根据位似变换的性质，关于原点位似且位似比为，则对应点坐标为原坐标乘以位似比． 【详解】 解：在同一象限内，与关于原点位似，位似比为， 点的对应点的坐标为， 即点的坐标为． 故选：A． 2．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形．小鱼上的点，则对应大鱼上的点是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了位似变换，根据已知图形得出位似比，进而得出对应点坐标． 【详解】 解：如图所示：可得两图形的位似比为2， ∵小鱼上的点， ∴对应大鱼上的点为：． 故选：D． 3．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）在平面直角坐标系中,点是线段上一点,以原点为位似中心把放大到原来的两倍,则点的对应点的坐标为(       ) A.  B. 或 C.  D. 或 【答案】B 【详解】分析：根据位似变换的性质计算即可． 详解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍， 则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（-2），n×（-2）），即（2m，2n）或（-2m，-2n）， 故选B． 点睛：本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 4．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）在第四象限内画出以点为位似中心的位似图形，与的相似比为． 【答案】（1） 如图所示，即为所求；     （2） 如图所示，即为所求． 【分析】 本题考查了作图轴对称变换，位似变换，熟记轴对称变换、位似变换的性质是解题的关键． （1）根据轴对称变换的性质找出，，关于y轴的对应点即可作图； （2）根据位似变换的性质，找出，，的对应点即可作图； (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：略． 5．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出绕点顺时针旋转得到的； （2）以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且相似比为； （3）点是轴上一点，若点到，的距离之和最小．请写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所，即为所求．      （2） 如图所示，即为所求．     （3）      【分析】 本题主要考查了作图-旋转变换、位似变换、轴对称的性质等知识点，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）再将点B、C绕点A顺时针旋转得到其对应点，然后首尾顺次连接即可解答； （2）根据位似图形的性质，分别画出点，然后首尾顺次连接即可解答； （3）如图：作关于x轴的对称点，连接与x轴的交点P即为所求；然后再求得直线的解析式为，进而确定点P的坐标即可． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：略； (3) 小问详解： 解：由（2）作图可知： 如图：作关于x轴的对称点，连接与x轴的交点P即为所求． ∴， 设直线的解析式为， ，解得： ， ∴直线的解析式为， 当时，，即． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）已知（，），下列等式中变形不正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）如果，那么的结果是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）已知点C是线段的黄金分割点，且，则的长度是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）下列四组图形中，不是相似图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A. 、、、 B. 、、、 C. 、、、 D. 、、、 6．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）若，则下列比例式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·广西梧州·期中）下列四条线段中，不是成比例线段的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·广西桂林·期中）下面几对图形中，相似的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·广西桂林·期中）若两个相似六边形的面积比为，则它们的相似比为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（       ） A. 的长度 B. 的度数 C. 六边形的面积 D. 六边形的周长 11．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（       ）cm． A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·广西梧州·期中）研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉产音效果最佳，如图，主持人现站在8米舞台的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走　　　　　米（结果保留根号）． 13．（25-26学年九上·广西桂林·期中）在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为15厘米，则甲、乙两地的实际距离是　　　　　　　　　千米． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）如图，直线，若，则的长为（     ） A. 9 B. 5 C. 6 D. 8 2．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）如图，在中，点在边上，且，过点作交于点．若，则的长是（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）如图，在中，点、分别是、上两点，且，若，则的长是（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D.  4．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）如图，已知，若，，则的值是　　　　　． 5．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）如图，直线，且直线分别截直线于点，截直线于点．    （1）若，，，求的长； （2）若，，求的长． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）如图，点D是的边上一点，，，如果的面积为4，那么的面积为（     ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 6 3．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）如图，D是的边上一点，已知，，，若的面积为，则的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·广西梧州·期中）已知点D、M是边上的三等分点，且，设、四边形、四边形的面积分别为，则为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）如图，在AI三维建模的直角三角形建筑模型中，，为斜边的高．若建模数据显示，，则的实测长度为（       ） A.  B. 3 C.  D.  7．（25-26学年九上·广西梧州·期中）如图，在锐角中，上的高交于点，连接，图中与相似的三角形共有（       ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无法确定 8．（25-26学年九上·广西桂林·期中）我们把练习本上的横线认定为平行且等距的格线．如图，小颖在两条横线上画出，且边，与中间的另外两条横线交于D，F，E，G四点，连接交于点H，若，则的长为（       ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 9．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）如图，，，那么下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 以上结论都对 10．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论：①；②垂直平分线段；③；④若，则．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）如图，在正方形中，P为中点，Q为上一点，且．求证：． 12．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）如图，线段交于点O，请你添加一个条件：　　　　　　　　，使． 13．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）如图，在中，是边上一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 14．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）如图，中，点在线段上，，且． （1）求证：； （2）若，求的周长． 15．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）如图，在平行四边形中，为边上的点，若，交于，若，则等于　　　　　　． 16．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）如图，在中，，是边上高，若，． （1）求证：； （2）求的长． 17．（25-26学年九上·广西梧州·期中）如图，是正方形边上一点，且，是的中点，则　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·广西梧州·期中）（1）如图1，在中，于点H，求证：； （2）如图2，已知，E为上一点，且，若，求的值； （3）如图3，在四边形中，，，E为边上一点，且，求的值． 19．（25-26学年九上·广西梧州·期中）如图，点D、E、F分别在等边的三边、、上，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 20．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）（多选）已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F． （1）求证：△ABC∽△FCD； （2）若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长． 21．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，EF，，如图3．已知，，设，求的长度． 22．（25-26学年九上·广西桂林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）停车楔（如图1）是固定汽车轮胎的装置，可以辅助停车，防止车辆产生不必要的移动.图2是某直角停车楔和轮胎的示意图，，当车辆停于水平地面时，此时停车楔紧贴轮胎，停车楔边与地面重合.连接，，并延长交于点，此时. （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若的半径为，，求图2中阴影部分的面积为多少. 24．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）如图，对称轴为直线的抛物线的顶点为，与轴相交于点，过点作的垂线交轴于点，交抛物线的对称轴于点，且与抛物线的另一个交点为． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）分别求点，的坐标； （3）在对称轴上找一点，使得以，，为顶点的三角形与相似，直接写出点的坐标． 25．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）如图，在中，点，点分别是边、上的点，和相交于点，，连接． （1）求证：； （2）如果，求的值． 26．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）如图，在四边形中，，，，E为垂足，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 27．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）新定义：有一组对角相等，且都为，另一组对角不相等的凸四边形称为“垂直四边形”，如图1．在四边形中，，． （1）类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． ①“垂直四边形”对角互补；_____． ②“垂直四边形”一组邻边相等时，另一组邻边也相等；_____． ③“垂直四边形”不相等的一组对角的角平分线互相平行（不考虑重合）_____． （2）如图2，四边形是“垂直四边形”，（），过点作，为垂足，过点作，为垂足． ①求证：； ②若，求的值； 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （3）如图3，在中，，，，平分，点在边上，若以、、、为顶点的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 28．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）如图，在中，是角平分线，点在边上，且，连接．若，，的长为　　　　　． 29．（25-26学年九上·广西桂林·期中）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． （1）初步探究 如图2，若，求证：； （2）尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； （3）创新提升 如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 30．（25-26学年九上·广西桂林·期中）如图，正方形的边长为4，点E为的中点，，连接并延长交的延长线于点G． （1）求证：； （2）求的面积． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）已知，与的面积比为，则和的相似比为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）如图，在中，为中点，连接，交于点，，则的长为（     ） A. 3 B. 6 C. 10 D. 12 3．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）两个相似三角形对应高的比为，那么这两个三角形的周长比为　　　　　　　　　　　　　． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·广西桂林·期中）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验（如图甲），解释了小孔成像的原理，并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．物理课上，小轩记录了他和同桌所做的小孔成像实验数据（如图乙）：像距为，物距为，蜡烛烛焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）网球比赛时，发球往往是制胜的关键．如图，小军在打网球时，使球恰好能打过网，假设球沿直线前进而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h应为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为　　　　　． 4．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）如图1是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图2所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是　　　　　. 5．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）学习了物理中光的反射定律知道，反射光线和入射光线分别位于法线的两侧，反射角等于入射角．如图1，平面镜水平放置，小明用激光笔从左边点处发出光线，经平面镜点处反射后，落在右边光屏上的点处（，两点均在量角器的边缘上，为量角器的中心，，，三点共线，，）．他在实验中记录了以下数据：①水平距离的长为；②量角器半径的长； （1）求铅垂高度的长； （2）求光屏上的反射点与量角器右端点的距离的长； （3）如图2．若将入射角变大，使得铅垂高度的长缩短为，请直接写出此时光屏上的反射点与量角器右端点的距离的长． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）在同一象限内，与关于原点位似，位似比为，已知点，则点的对应点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·广西贵港港南区·期中）某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形．小鱼上的点，则对应大鱼上的点是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·广西自治区来宾·期中）在平面直角坐标系中,点是线段上一点,以原点为位似中心把放大到原来的两倍,则点的对应点的坐标为(       ) A.  B. 或 C.  D. 或 4．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）在第四象限内画出以点为位似中心的位似图形，与的相似比为． 5．（25-26学年九上·广西自治区贵港覃塘区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出绕点顺时针旋转得到的； （2）以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且相似比为； （3）点是轴上一点，若点到，的距离之和最小．请写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $