专题03 坐标法、直线及其方程（期中复习讲义）（知识必备+8大核心题型+分层验收）高二数学上学期人教B版

专题03 坐标法、直线及其方程（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 坐标法 能理解并应用两点间的距离公式和中点坐标公式解题 基础必考点，一般与其他知识综合考查 直线的倾斜角与斜率 理解直线的倾斜角和斜率的概念，提升数学抽象的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 直线与线段有交点 用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率的计算公式，提升数学抽象和数学运算的核心素养. 高频易错点，在斜率和倾斜角之间的关系上出错 直线的方程 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式，培养直观想象与数学运算的核心素养. 期中必考点，常出现在小题 两条直线平行与垂直 能根据斜率判定两条直线平行或垂直，培养直观想象和数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题，注意一般式下平行与垂直的充要条件 直线的交点坐标与距离公式 能求交点坐标，能利用点到直线的距离公式及两平行线间的距离公式解决相关问题,提升数学运算的核心素养. 高频易错点，特别是对称问题的处理 知识点01 坐标法 1、数轴上的基本公式 （1）如果数轴上点对应的数为(即的坐标为，记作，且，则向量的坐标为，数轴上两点之间的距离公式； （2）如果是线段的中点，则．数轴上的中点坐标公式. 2、平面直角坐标系中的基本公式 （1）平面直角坐标系中两点，之间的距离公式: . （1）若点M（x，y）是线段AB的中点，且，，则可得平面直角坐标系中的线段中点坐标公式： . ·示例：已知，，则. 知识点02 直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角． (2)倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下： 倾斜角 直线图示 2、直线的斜率 (1)斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． (2)倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而减增大 3、过两点的直线的斜率公式 经过两点、的直线的斜率公式为． 4、直线的斜率与方向向量的关系 若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则斜率为． 知识点03 直线的方程 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距. 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3、线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 知识点03 两直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 知识点04 点到直线的距离与平行直线间的距离 1、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 2、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 ·示例：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 题型一 数轴上两点间的距离公式的应用 解｜题｜技｜巧 1.数轴上两点间距离公式的主要应用 （1）求两点间的距离； （2）运用公式确定点或向量的坐标. 2.距离公式的几何意义的应用： (1)|x1-x2|在数轴上的几何意义是:实数x1,x2在数轴上所对应的两点间的距离.这个几何意义在解决一些含有绝对值的问题中经常用到,具体应用时,一般要画出数轴,再根据距离的大小解决问题. (2)已知P(x),A(a),B(b),根据数轴上两点间的距离公式,知式子|x-a|+|x-b|表示数轴上点P到点A和到点B的距离之和;|x-a|-|x-b|表示数轴上点P到点A与到点B的距离之差.借助此几何意义,可求解含参的不等式问题等. 【典例1-1】已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标为3，，，则点C的坐标为 ． 【典例1-2】已知|x-1|<1,求实数x的取值范围; （2）解方程:|x+3|+|x-1|=5. 【变式1-1】已知数轴上的点P到的距离是它到的距离的2倍，求点P的坐标． 【变式1-2】已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是-4，-2，c，d． （1）若，求c的值； （2）若，求d的值； （3）若，求证：． 题型二 平面内两点间的距离公式的应用 解｜题｜技｜巧 灵活应用平面内两点间的距离公式不仅可求线段的长度，还常用于判断三角形形状、由距离求参数的值、证明几何问题等. 【典例2-1】（24-25高二上·浙江金华·期中）已知点，，若，则（    ） A．1 B．-5 C．1或-5 D．-1或5 【典例2-2】已知三个点A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状. 【典例2-3】函数的最小值为 ． 【变式2-1】如图，在中，，，，点、分别在轴、轴上，当点在轴上运动时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点到原点的最大距离是（    ） A． B． C．3 D． 【变式2-2】已知函数，则的最小值为 ． 题型三 中点坐标公式的应用 解｜题｜技｜巧 应用中点坐标公式求解的问题主要有两类: (1)直接应用中点坐标公式求中点坐标问题,如已知点A(x1,y1),B(x2,y2),求AB的中点M(x0,y0),则用公式解决. (2)应用中点坐标公式求解对称点的问题,用公式解决. 【典例3-1】 已知点A关于B(2,1)的对称点为C(-4,3),C关于D的对称点为E(-6,-3),求A,D的坐标及线段AD中点的坐标. 【典例3-2】已知平行四边形ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2),B(5,7),对角线交点为E(-3,4),求另外两顶点C、D的坐标. 【变式3-1】已知三边AB，BC，CA的中点分别为，，，则顶点A的坐标为 ． 【变式3-2】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,P为三角形内一点,且S△PAB=S△PBC=S△PCA.求证:|PA|2+|PB|2=5|PC|2. 题型四 直线的倾斜角或斜率的综合问题 解｜题｜技｜巧 1.求直线的倾斜角的关键及两点注意 （1）关键：依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正方向所成的角. （2）两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 2、求直线倾斜角或斜率的取值范围 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)． 【典例4-1】（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角与斜率的变化关系，可得答案. 【解析】设直线l的倾斜角为，， 由题意，，则， 所以. 故选：A. 【典例4-2】（24-25高二上·天津·阶段练习）过点的直线与连接的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点与端点的斜率值，再结合图象，根据正切函数单调性，得到斜率范围即可. 【解析】由点，可求得： 结合图象，根据正切函数在锐角范围和钝角范围内都是单调递增可得： 直线的斜率的斜率范围是. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高二上·全国·课后作业）若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合倾斜角与斜率的关系，分斜率不存在与斜率存在计算即可得. 【解析】当时，直线的斜率不存在，两点横坐标相等，即； 当时，直线的斜率存在， 则或，解得或； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 【变式4-2】（江西省赣州市2024-2025学年高二上学期10月检测数学试卷）如图，若直线 的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可判断. 【解析】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大； 倾斜角为钝角时，斜率为负，倾斜角越大，倾斜程度越小，斜率越大， 所以 故选： A. 【变式4-3】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【解析】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 题型五 斜率公式的重要应用（三点共线与几何意义） 解｜题｜技｜巧 1、判断三点共线的方法 对于给定坐标的三点，要判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在. （1）若斜率都不存在，则三点共线. （2）若斜率存在，则任意两点连线的斜率相等时，三点才共线. 注意：若三点共线，则任意两点连线的斜率可能相等，也可能都不存在.解决这类问题时，首先要对斜率是否存在作出判断，必要时分情况讨论，然后下结论. 2、斜率的几何意义的应用 斜率的公式有明显的代数和几何特征，所以可以用于某些分式求范围或函数求值域、最值等问题中. 【典例5-1】（24-25高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 【典例5-2】（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【变式5-1】若三点，，共线，则 ． 【变式5-2】(跨章节)（24-25高二上·安徽·期中）已知实数x，y满足，则的取值范围为 . 题型六 直线方程的应用 解｜题｜技｜巧 (1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)． 易｜错｜警｜示 求直线方程时，要注意不要忽视直线斜率不存在的情况. 【典例6-1】求适合下列条件的直线方程： (1)过点且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【典例6-2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 【变式6-1】（多选）（24-25高二上·福建福州·期末）已知点，，，则（    ） A．是直角三角形 B．边上的高所在直线的方程是 C．的面积是1 D．边上的中线所在直线的方程是 【变式6-2】（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知的三个顶点，，，则边上的中线所在直线的一般式为 ，边上的高所在直线的斜截式为 . 【变式6-3】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 题型七 两直线位置关系的综合应用 解｜题｜技｜巧 1、过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 ①由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程. ②可利用如下待定系数法：与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0，再由直线所过的点确定C2. 2、对于由直线的位置关系求参数的问题，有下列结论： 设直线l1与l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同时为0)，A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔或 l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 3、常见的四大直线系方程 ①过定点P(x0，y0)的直线系A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0)，还可以表示为y-y0=k(x-x0)(斜率不存在时可视为x=x0). ②与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R，且m≠C). ③与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R). ④过直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)，但不包括l2. 4、应用直线系方程的关注点 利用平行直线系或垂直直线系求直线方程时，一定要注意系数及符号的变化规律. 易｜错｜警｜示 判断两直线位置关系时，若直线方程中存在字母参数，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件． 【典例7-1】（多选）（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知直线，，下列说法正确的有（    ） A．过定点 B．当时， C．的充要条件是 D．点到直线的距离的最小值为 【典例7-2】（多选）（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜截式方程是：. B．与直线平行 C．与直线垂直 D．直线恒过定点 【变式7-1】（24-25高二下·浙江温州·开学考试）若直线与直线平行，则m的值是（    ） A．1或 B． C．1或 D．1 【变式7-2】（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（    ） A．不存在k，使得的倾斜角为90° B．对任意的k，与都有公共点 C．对任意的k，与都不重合 D．对任意的k，与都不垂直 【变式7-3】（24-25高二上·新疆喀什·期末）求经过点，且满足下列条件的直线的方程； (1)经过点； (2)与直线平行； (3)与直线垂直； 题型八 直线的交点与距离公式的应用（含对称问题） 解｜题｜技｜巧 1、用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立求解. 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线重合. 2、距离公式综合应用的三种常用类型 （1）最值问题 ①利用对称转化为两点之间的距离问题. ②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离. ③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值. （2）求参数的问题 利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值. （3）求方程的问题 立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解. 3、对称问题的解决方法 （1）点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式.点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a-x，2b-y). （2）直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.设l的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0)和点P(x0，y0)， 则l关于点P的对称直线方程为A(2x0-x)+B·(2y0-y)+C=0. （3）点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”.设P(x0，y0)，l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得. （4）求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题. 【典例8-1】已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 【典例8-2】（多选）（24-25高二上·福建福州·期中）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【典例8-3】已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 【变式8-1】（多选）（24-25高二上·福建·期中）已知直线与，过定点，则下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．点的坐标为 D．点到直线的距离的最大值为1 【变式8-2】（24-25高二上·江苏常州·期中）点与点关于直线l：对称，则的值为 ． 【变式8-3】已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 ． 【变式8-4】（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 期中基础通关练（测试时间：45分钟） 1．已知A，B都是数轴上的点，，，且的坐标为4，则（    ） A．-1 B．-7 C．4 D．-4 2.（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（    ）. A．或 B． C． D． 3．（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 4．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 5．（23-24高二上·山西运城·期中）将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则（    ）. A． B． C． D． 6．(多选)（25-26高二上·全国·期中）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为1 B．直线与直线之间的距离为 C．直线的一个方向向量为 D．直线与直线垂直 7．（多选）（23-24高二上·山西运城·期中）已知点，点，若点在线段上移动，则下列说法正确的是（    ）. A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是0 8．（24-25高二上·北京大兴·期中）已知，，三点共线，则 ． 9．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）经过两直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为 . 10．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量为的直线方程为 . 11．（23-24高二上·山西运城·期中）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当M为的中点时，此直线的截距式方程为 . 12．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）已知，，若点在线段上，则的取值范围是 ． 13.（24-25高一下·北京延庆·期中）已知平行四边形的三个顶点，，，而且，，，按逆时针方向排列，则线段的长度为 ，点的坐标为 ． 14．（24-25高二上·重庆·期中）已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 15．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 16.（24-25高二下·安徽滁州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 18．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．（多选）（25-26高二上·重庆·阶段练习）下列结论正确的是（   ） A．若、、三点共线，则m的值为0 B．已知两点、，过点的直线与线段MN有公共点，则的斜率k的取值范围为 C．直线恒过定点 D．经过和的交点，且和原点相距为1的直线一共有三条 21．（24-25高二上·湖北·期中）已知点，动点P在直线上，则的最小值为 . 22．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点．若为钝角三角形，则直线的斜率的取值范围是 ． 23．（2025高三·全国·专题练习）已知点轴，，则周长的最小值为 ． 24．（24-25高二上·北京·期中）已知的顶点为、 、 . (1)求边所在直线的方程； (2)求边上的高线所在直线的方程； (3)求的面积. 25．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知直线经过点． (1)求直线的解析式； (2)若直线与直线相交于点，求点的坐标； (3)根据图象，写出关于的不等式的解集． 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 26．（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 27．（2025·内蒙古赤峰·三模）出租车几何，又称曼哈顿距离（ManhattanDistance），最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点， ，则，两点之间的曼哈顿距离为.已知点，，动点满足，是直线上的动点，则的最小值为（） A． B． C． D． 28．（2025高三·全国·专题练习）在直角坐标平面上，已知点，为线段上的动点，若恒成立，则正实数的最小值为 ． 29．（23-24高二上·安徽亳州·期中）城市发展，拼“内涵”也要拼“颜值”，近年来，多地持续推进城市绿化，以城市绿化增量提质，擦亮城市生态底色，街头随处可见的“口袋公园”已规划完善，一幅“推窗见绿、出门即景”的美丽画卷正徐徐展开．某市规划四边形空地OABC建设“口袋公园”，已知三角形区域OAC与ABC关于中心道路AC对称，在AC的中点P处规划建一公共厕所．测得且，点C到OA的距离为20米，米．设计人员方便规划计算，在图纸上以O为坐标原点，以直线OA为x轴建立如图所示平面直角坐标系xOy．    (1)求点P到OC的距离； (2)求出BC所在直线方程及该口袋公园的总面积． 4 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 坐标法、直线及其方程（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 坐标法 能理解并应用两点间的距离公式和中点坐标公式解题 基础必考点，一般与其他知识综合考查 直线的倾斜角与斜率 理解直线的倾斜角和斜率的概念,提升数学抽象的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 直线与线段有交点 用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率的计算公式，提升数学抽象和数学运算的核心素养. 高频易错点，在斜率和倾斜角之间的关系上出错 直线的方程 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式，培养直观想象与数学运算的核心素养. 期中必考点，常出现在小题 两条直线平行与垂直 能根据斜率判定两条直线平行或垂直，培养直观想象和数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题，注意一般式下平行与垂直的充要条件 直线的交点坐标与距离公式 能求交点坐标，能利用点到直线的距离公式及两平行线间的距离公式解决相关问题,提升数学运算的核心素养. 高频易错点，特别是对称问题的处理 知识点01 坐标法 1、数轴上的基本公式 （1）如果数轴上点对应的数为(即的坐标为，记作，且，则向量的坐标为，数轴上两点之间的距离公式； （2）如果是线段的中点，则．数轴上的中点坐标公式. 2、平面直角坐标系中的基本公式 （1）平面直角坐标系中两点，之间的距离公式: . （1）若点M（x，y）是线段AB的中点，且，，则可得平面直角坐标系中的线段中点坐标公式： . ·示例：已知，，则. 知识点02 直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角． (2)倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下： 倾斜角 直线图示 2、直线的斜率 (1)斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． (2)倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而减增大 3、过两点的直线的斜率公式 经过两点、的直线的斜率公式为． 4、直线的斜率与方向向量的关系 若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则斜率为． 知识点03 直线的方程 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距. 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3、线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 知识点03 两直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 知识点04 点到直线的距离与平行直线间的距离 1、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 2、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 ·示例：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 题型一 数轴上两点间的距离公式的应用 解｜题｜技｜巧 1.数轴上两点间距离公式的主要应用 （1）求两点间的距离； （2）运用公式确定点或向量的坐标. 2.距离公式的几何意义的应用： (1)|x1-x2|在数轴上的几何意义是:实数x1,x2在数轴上所对应的两点间的距离.这个几何意义在解决一些含有绝对值的问题中经常用到,具体应用时,一般要画出数轴,再根据距离的大小解决问题. (2)已知P(x),A(a),B(b),根据数轴上两点间的距离公式,知式子|x-a|+|x-b|表示数轴上点P到点A和到点B的距离之和;|x-a|-|x-b|表示数轴上点P到点A与到点B的距离之差.借助此几何意义,可求解含参的不等式问题等. 【典例1-1】已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标为3，，，则点C的坐标为 ． 【答案】-4或或6或10 【分析】设A，C的坐标分别为，，根据数轴上向量的坐标运算，列出方程，即可求解. 【解析】由题意，设A，C的坐标分别为，， 则或，∴或， ∴，或， 或，或， 解得或或或． 【典例1-2】已知|x-1|<1,求实数x的取值范围; （2）解方程:|x+3|+|x-1|=5. 【分析】（1）画出数轴，将问题转化为数轴上某点A(x0)到点B(1)之间的距离小于1. （2）由数轴上两点的距离公式可知|x+3|是数轴上的点(x)到点(-3)的距离,|x-1|是点(x)到点(1)的距离,利用几何图形可直接得到答案. 【解析】(1)|x0-1|表示点A(x0)与点B(1)之间的距离, 所以当|AB|=1时,A(2)或A'(0), 所以使|AB|<1的点C(x)在点A'(0)和点A(2)之间, 如图,即实数x的取值范围为0<x<2.[8] (2) 解法二:如图所示. 满足|x+3|+|x-1|=5的点P(x)到点A(-3)与点B(1)的距离之和为5.显然点P(x)在A左侧处或B右侧处. ∴x=或x=-. 【变式1-1】已知数轴上的点P到的距离是它到的距离的2倍，求点P的坐标． 【答案】或 【详解】由题意，设点 故 即 解得：或 故点P的坐标为或 【变式1-2】已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是-4，-2，c，d． （1）若，求c的值； （2）若，求d的值； （3）若，求证：． 【答案】（1）；（2）或；（3）见解析 【分析】（1）由，根据向量的坐标运算，得到，即可求解； （2）由，得到，即可求解； （3）由，，，得到，分别求得和的坐标，即可求解. 【详解】由题意，数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是-4，-2，c，d， （1）因为，所以，解得． （2）因为，所以，即或，解得或． （3）因为，，， 所以，即， 所以， 所以， 所以． 题型二 平面内两点间的距离公式的应用 解｜题｜技｜巧 灵活应用两点间的距离公式不仅可求线段的长度，还常用于判断三角形形状、由距离求参数的值、证明几何问题等. 【典例2-1】（24-25高二上·浙江金华·期中）已知点，，若，则（    ） A．1 B．-5 C．1或-5 D．-1或5 【答案】C 【解析】因为点，，所以， 所以，则. 故选：C. 【典例2-2】已知三个点A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状. 【分析】已知三角形三个顶点的坐标,利用平面上两点间的距离公式求出三边的长,再由三边长进一步判断△ABC的形状. 【解析】∵|AB|==, |AC|==, |BC|==, ∴|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|, ∴△ABC是等腰直角三角形. 【易错警示】本题易犯由|AB|=|AC|直接认为△ABC是等腰三角形的错误.事实上,|AB|2+|AC|2=|BC|2,△ABC也是一个直角三角形,判断几何图形的形状要彻底. 【典例2-3】函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】分析可知，函数的几何意义为轴上的点到点、的距离之和，数形结合可知，当点、、三点共线时，取最小值，即可得解. 【详解】因为， 所以，函数的几何意义为轴上的点到点、的距离之和， 即，如下图所示： 由图可知，当点、、三点共线时，取最小值， 且. 【变式2-1】如图，在中，，，，点、分别在轴、轴上，当点在轴上运动时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点到原点的最大距离是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，根据数形结合分析可知，根据的位置关系求的最大值. 【解析】取的中点，连接， ，， , 由图象可知， 当三点共线时，等号成立， 所以点到原点的最大距离是. 故选：A. 【变式2-2】已知函数，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】整理函数解析式，可转化为到点的距离之和，结合图象，可得答案. 【详解】， 转化为x轴上的动点到两定点，的距离之和最小， 由图可知，距离之和的最小值为5． 题型三 中点坐标公式的应用 解｜题｜技｜巧 应用中点坐标公式求解的问题主要有两类: (1)直接应用中点坐标公式求中点坐标问题,如已知点A(x1,y1),B(x2,y2),求AB的中点M(x0,y0),则用公式解决. (2)应用中点坐标公式求解对称点的问题,用公式解决. 【典例3-1】 已知点A关于B(2,1)的对称点为C(-4,3),C关于D的对称点为E(-6,-3),求A,D的坐标及线段AD中点的坐标. 【分析】把中心对称问题转化为中点问题.由AC的中点是B,CE的中点是D,运用中点坐标公式可求解. 【解析】设A(x1,y1),由题意知AC的中点为B,所以=2,=1,所以x1=8,y1=-1,所以A(8,-1). 设D(x2,y2),由题意知D为CE的中点, 所以x2==-5,y2==0,所以D(-5,0). 所以线段AD中点的坐标为,即. 【点评】注意熟记以下与对称有关的结论:(1)若A,B两点关于点P对称，则点P是线段AB的中点. (2)若A,B两点关于直线l对称，则直线l是线段AB的垂直平分线,其中AB的中点也在直线l上. 【典例3-2】已知平行四边形ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2),B(5,7),对角线交点为E(-3,4),求另外两顶点C、D的坐标. 【分析】 根据E为AC和BD的中点,利用中点坐标公式列方程组求解. 【解析】设C点坐标为(x1,y1),则由E为AC的中点得解得设D点坐标为(x2,y2),则由E为BD的中点得解得 故C点坐标为(-10,6),D点坐标为(-11,1). 【变式3-1】已知三边AB，BC，CA的中点分别为，，，则顶点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用中点坐标公式即可求解. 【详解】设，，， 因为三边AB，BC，CA的中点分别为，，， 由中点坐标公式可得，，，解得，，， 故顶点A的坐标为. 【变式3-2】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,P为三角形内一点,且S△PAB=S△PBC=S△PCA.求证:|PA|2+|PB|2=5|PC|2. 【分析】本题考查用坐标法证明平面几何问题,关键是把几何证明转化为代数运算.可利用题中的垂直关系建立坐标系、设点、计算. 【证明】如图,以CA所在的直线为x轴,点C为原点建立平面直角坐标系,设AC=3a(a>0),BC=3b(b>0),则C(0,0),A(3a,0),B(0,3b),设P(x,y). ∵S△PCA=S△PCB=S△PAB,S△PCA+S△PCB+S△PAB=S△ABC, ∴S△PCA=S△ABC,S△PBC=S△ABC, 即×3ay=××3a·3b,×3bx=××3a·3b,∴y=b,x=a. ∴适合条件的点P的坐标为(a,b). 此时,|PA|2=(3a-a)2+b2=4a2+b2, |PB|2=a2+(3b-b)2=a2+4b2,|PC|2=a2+b2, ∴|PA|2+|PB|2=5(a2+b2)=5|PC|2,结论成立. 题型四 直线的倾斜角或斜率的综合问题 解｜题｜技｜巧 1.求直线的倾斜角的关键及两点注意 （1）关键：依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正方向所成的角. （2）两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 2、求直线倾斜角或斜率的取值范围 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)． 【典例4-1】（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角与斜率的变化关系，可得答案. 【解析】设直线l的倾斜角为，， 由题意，，则， 所以. 故选：A. 【典例4-2】（24-25高二上·天津·阶段练习）过点的直线与连接的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点与端点的斜率值，再结合图象，根据正切函数单调性，得到斜率范围即可. 【解析】由点，可求得： 结合图象，根据正切函数在锐角范围和钝角范围内都是单调递增可得： 直线的斜率的斜率范围是. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高二上·全国·课后作业）若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合倾斜角与斜率的关系，分斜率不存在与斜率存在计算即可得. 【解析】当时，直线的斜率不存在，两点横坐标相等，即； 当时，直线的斜率存在， 则或，解得或； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 【变式4-2】（江西省赣州市2024-2025学年高二上学期10月检测数学试卷）如图，若直线 的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可判断. 【解析】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大； 倾斜角为钝角时，斜率为负，倾斜角越大，倾斜程度越小，斜率越大， 所以 故选： A. 【变式4-3】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【解析】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 题型五 斜率公式的重要应用（三点共线与几何意义） 解｜题｜技｜巧 1、判断三点共线的方法 对于给定坐标的三点，要判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在. （1）若斜率都不存在，则三点共线. （2）若斜率存在，则任意两点连线的斜率相等时，三点才共线. 注意：若三点共线，则任意两点连线的斜率可能相等，也可能都不存在.解决这类问题时，首先要对斜率是否存在作出判断，必要时分情况讨论，然后下结论. 2、斜率的几何意义的应用 斜率的公式有明显的代数和几何特征，所以可以用于某些分式求范围或函数求值域、最值等问题中. 【典例5-1】（24-25高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由三点共线得到，再由两点表示出直线的斜率求解即可； 【解析】由题意可得，即，解得. 故选：C. 【典例5-2】（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将的范围转化为线段上的点与构成的直线的斜率的范围，然后求斜率即可. 【解析】 方程，令，则，令，则， 设点，， 所以可以表示线段上的点与构成的直线的斜率， ，， 所以的取值范围为. 【变式5-1】若三点，，共线，则 ． 【答案】 【分析】法一：由三点共线有，应用斜率两点式列方程，整理即可得；法二：写出直线的截距式方程，根据在直线上代入整理即可得. 【解析】法一：因为，，三点共线，则， 所以，得，即； 法二：因为，，三点共线，则点在直线上， 其中直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线方程，得到，即. 【变式5-2】(跨章节)（24-25高二上·安徽·期中）已知实数x，y满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意，将问题转化为直线与半圆上点与点连接的直线的斜率.，数形结合分析即可. 【解析】因为， 所以，其表示为圆的上半部分. 设半圆上一动点， 表示的几何意义为点与点连接的直线的斜率， 当直线和半圆相切时，直线的斜率取最大值， 设直线的方程为，即， 所以，解得或（舍去）， 则直线的斜率的最大值为； 当点为时，则直线的斜率取最小值，为， 综上，的取值范围为.    题型六 直线方程的应用 解｜题｜技｜巧 (1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)． 易｜错｜警｜示 求直线方程时，要注意不要忽视直线斜率不存在的情况. 【典例6-1】求适合下列条件的直线方程： (1)过点且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【答案】(1)或． (2)或． 【分析】（1）法一：分和两种情况讨论，利用直线的截距式方程得到直线方程； 法二：因为截距相等，分直线斜率为和直线过原点两种情况讨论，得到直线方程； （2）法一：利用直线的截距式方程，，代入点，得到方程； 法二：根据等腰直角三角形得到直线的斜率为，利用直线的点斜式方程得到直线方程. 【解析】（1）法一：设直线在坐标轴上的截距为， ①当时，直线过点和，所以直线方程为，即． ②当时，直线方程为，代入点可得，即直线方程为． 综上所述，直线方程为或． 法二：因为直线在两坐标轴上截距相等，所以直线斜率为或直线过原点． ①当直线斜率为时，直线方程为，即． ②当直线过原点时，，直线方程为，即． 综上所述，直线方程为或． （2）法一：因为可以围成三角形，所以在坐标轴上的截距均不为， 设直线方程为，因为直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以， 代入点可得或所以直线方程为或． 法二：因为直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线的斜率为， 又直线过定点，所以直线方程为， 即所求直线方程为或． 【典例6-2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 【分析】（1）利用直线方程的点斜式求出方程，再化成一般式即可. （2）利用三角形面积求出点到直线的距离，再结合已知建立方程组求解. 【解析】（1）直线的斜率，直线的方程为， 所以BC边所在直线的一般式方程为. （2）依题意，，设点到直线的距离为， 由的面积等于2，得，解得， 于是，解得或， 所以点的坐标为或. 【变式6-1】（多选）（24-25高二上·福建福州·期末）已知点，，，则（    ） A．是直角三角形 B．边上的高所在直线的方程是 C．的面积是1 D．边上的中线所在直线的方程是 【答案】ABC 【分析】由，可判断A；边上的高斜率为0，可求边上的高所在直线的方程，判断B；求，由直角三角形面积判断C；求出点，中点，再求，即可得边上的中线所在直线的方程，判断D. 【解析】根据题意，，， 则，所以，是直角三角形，A正确； 由，所以边上的高斜率为0， 边上的高则所在直线的方程是，B正确； 由，所以，C正确； 由点，中点，则， 所以边上的中线所在直线的方程是， 即，D错误. 故选：ABC. 【变式6-2】（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知的三个顶点，，，则边上的中线所在直线的一般式为 ，边上的高所在直线的斜截式为 . 【答案】 【分析】先求出的中点坐标，进而求得边上的中线所在直线的斜率，再根据点斜式写出方程即可求解；先求得直线的斜率进而得到边上的高所在直线的斜率，进而再根据点斜式写出方程即可求解. 【解析】由题意，的中点坐标为，即， 则边上的中线所在直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线的方程为：，即. 直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为， 则边上的高所在直线的方程为：，即. 【变式6-3】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【分析】（1）令，解方程组即可得解； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为，列方程即可求解. 【解析】（1）将直线整理得 对任意实数都成立， 所以，解得 所以对任意实数，直线都经过一个定点； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为 ， 则有，化简得， 当时，直线的方程为 当时，直线的方程为 所以直线的方程为或. 题型七 两直线的位置关系的综合应用 解｜题｜技｜巧 1、过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 ①由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程. ②可利用如下待定系数法：与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0，再由直线所过的点确定C2. 2、对于由直线的位置关系求参数的问题，有下列结论： 设直线l1与l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同时为0)，A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔或 l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 3、常见的四大直线系方程 ①过定点P(x0，y0)的直线系A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0)，还可以表示为y-y0=k(x-x0)(斜率不存在时可视为x=x0). ②与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R，且m≠C). ③与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R). ④过直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)，但不包括l2. 4、应用直线系方程的关注点 利用平行直线系或垂直直线系求直线方程时，一定要注意系数及符号的变化规律. 易｜错｜警｜示 判断两直线位置关系时，若直线方程中存在字母参数，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件． 【典例7-1】（多选）（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知直线，，下列说法正确的有（    ） A．过定点 B．当时， C．的充要条件是 D．点到直线的距离的最小值为 【答案】AB 【分析】由直线方程求定点可判定A；根据两直线垂直的条件可判定B；根据两直线平行的充要条件可判定C，由点到直线的距离公式可判定D. 【解析】直线，即， 令，得，则过定点，故A正确； 当时，直线，，可得，故B正确； 若直线，平行 【典例7-2】（多选）（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜截式方程是：. B．与直线平行 C．与直线垂直 D．直线恒过定点 【答案】BC 【分析】A选项根据斜截式方程的形式判断，BC选项根据两条直线的平行垂直的关系求解，D选项直接代入检验即可. 【解析】A选项，根据斜截式方程的定义，直线的斜截式方程是：，A选项错误； B选项，直线化为，与斜率一样，且，则两条直线平行，B选项正确； C选项，直线的斜率是，斜率为，且，于是两直线垂直，C选项正确； D选项，代入，直线不过点，D选项错误. 故选：BC 【变式7-1】（24-25高二下·浙江温州·开学考试）若直线与直线平行，则m的值是（    ） A．1或 B． C．1或 D．1 【答案】C 【分析】由两直线平行的判定列方程求参数值，注意验证. 【解析】直线与直线平行， 则，解得或， 经检验，或时，两直线平行，经检验都符合题意. 故选：C 【变式7-2】（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（    ） A．不存在k，使得的倾斜角为90° B．对任意的k，与都有公共点 C．对任意的k，与都不重合 D．对任意的k，与都不垂直 【答案】BD 【分析】根据两直线的位置关系求解判断. 【解析】A错，当时，：，符合倾斜角为90°； B对，：过定点，而点也在：上，所以对任意的k，与都有公共点； C错，当时，：，然与：重合； D对，要使与垂直，则，即，显然不存在这样的k值． 故选：BD. 【变式4-3】（24-25高二上·新疆喀什·期末）求经过点，且满足下列条件的直线的方程； (1)经过点； (2)与直线平行； (3)与直线垂直； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 (1)由两点即可求出斜率，由点斜式即可求直线的方程； (2)设与直线平行的直线的方程为，代点即可求得； (3)设与直线垂直的直线方程为，代点即可求得. 【解析】（1）根据题意有直线的斜率为，则直线的方程为， 整理有； （2）设与直线平行的直线的方程为，又因为经过点， 所以，即； （3）设与直线垂直的直线方程为，又因为经过点， 所以，即. 题型八 直线的交点坐标与距离公式（含对称问题） 解｜题｜技｜巧 1、用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立求解. 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线重合. 2、距离公式综合应用的三种常用类型 （1）最值问题 ①利用对称转化为两点之间的距离问题. ②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离. ③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值. （2）求参数的问题 利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值. （3）求方程的问题 立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解. 3、对称问题的解决方法 （1）点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式.点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a-x，2b-y). （2）直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.设l的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0)和点P(x0，y0)， 则l关于点P的对称直线方程为A(2x0-x)+B·(2y0-y)+C=0. （3）点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”.设P(x0，y0)，l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得. （4）求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题. 【典例8-1】已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再代入点到直线距离公式即可. 【解析】易知直线的斜率为，又过点， 所以其方程为，即， 可得点到直线l的距离为. 故选：C 【典例8-2】（多选）（24-25高二上·福建福州·期中）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案. 【解析】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 【典例8-3】已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 【分析】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. （3）利用相关点代入法来求得对称直线的方程. 【解析】（1）设，由已知条件得，解得所以. （2）在直线m上取一点，则关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点， 则解得故. 设直线m与直线l的交点为N，则由解得即. 又因为m'经过点，所以由两点式得直线m'的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 【变式8-1】（多选）（24-25高二上·福建·期中）已知直线与，过定点，则下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．点的坐标为 D．点到直线的距离的最大值为1 【答案】BCD 【分析】根据两直线平行列方程求解，然后根据充分不必要定义判断A，根据直线垂直列方程求解，然后根据充要条件判断B，将直线变形即可求得定点判断C，由到所过定点距离为最大距离，即可判断D. 【解析】因为直线，所以，解得或，经检验都成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误. 因为直线，所以，解得， 所以“”的充要条件是“”，故B正确. 因为，即，所以过定点，故C正确. 因为过定点，所以点到直线距离的最大值， 是到定点的距离，即为，故D正确. 故选：BCD 【变式8-2】（24-25高二上·江苏常州·期中）点与点关于直线l：对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据垂直关系和中点在直线上可求，从而可求的值. 【解析】因为，故，而的中点为， 故，所以，所以， 故答案为：. 【变式8-3】已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 ． 【答案】 【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程. 【解析】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故. 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 【变式8-4】（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】(1)证明见解析，；(2)， 【解析】（1）将直线的方程整理得， 令，解得所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为． （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得． 期中基础通关练（测试时间：45分钟） 1．已知A，B都是数轴上的点，，，且的坐标为4，则（    ） A．-1 B．-7 C．4 D．-4 【答案】B 【解析】由题意，向量的坐标为终点B的坐标减去起点A的坐标， 即，解得． 故选:B． 2.（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（    ）. A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率和倾斜角的关系，列出等式求解即可． 【解析】由题知，直线的斜率存在，所以A点和B点的横坐标不一样，即， 则，所以，解得或， 又，所以． 故选B. 3．（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【解析】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 故选：C 4．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【解析】，, ， ，所以三角形为直角三角形， ， 故选：A. 5．（23-24高二上·山西运城·期中）将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意有：，点的中点， 所以图纸的折痕所在的直线方程为，即，令，得，即， 又由轴与直线也正好重合，则点在直线上， 所以， 又因为直线与直线以及轴相交与点， 所以，代入，解得， 所以， 故选：D. 6．(多选)（25-26高二上·全国·期中）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为1 B．直线与直线之间的距离为 C．直线的一个方向向量为 D．直线与直线垂直 【答案】BD 【分析】令可判断A；利用平行线之间的距离公式可判断B；求出直线的斜率可判断C；由方程判断两直线的位置关系可判断D． 【解析】对于A，令得，直线在轴上的截距为，故A错误； 对于B，直线与直线平行，直线与直线之间的距离为，故B正确； 对于C，直线的斜率为，以为方向向量的直线的斜率为3，故C错误； 对于D，由，得，故D正确． 故选：BD. 7．（多选）（23-24高二上·山西运城·期中）已知点，点，若点在线段上移动，则下列说法正确的是（    ）. A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是0 【答案】BD 【分析】求得直线的方程，即点满足，进而，根据及反比例函数的单调性求得，即可求解最值. 【解析】因为直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 即点满足，所以， 因为，所以，所以， 即的最大值是，的最小值是0. 故选：BD 8．（24-25高二上·北京大兴·期中）已知，，三点共线，则 ． 【答案】 【分析】先确定直线斜率存在，然后根据三点共线可知，结合斜率的计算公式可求结果. 【解析】因为，所以直线斜率存在， 因为三点共线，所以， 所以，解得， 9．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）经过两直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为 . 【答案】 【解析】设与平行的直线方程为， 联立，解得， 又因为点在直线上，即， 解得. 所以直线方程为. 10．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量为的直线方程为 . 【答案】 【分析】先求出的交点坐标，由直线的方向向量得到直线斜率，求出直线方程. 【解析】联立可得，，故交点坐标为， 直线的一个方向向量为，故直线的斜率为， 所以直线方程为，即. 11．（23-24高二上·山西运城·期中）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当M为的中点时，此直线的截距式方程为 . 【答案】 【解析】因为为的中点，故, 则直线的截距式方程为. 12．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）已知，，若点在线段上，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】我们只要把看作动点与定点的斜率，就可以结合图象得到范围. 【解析】当点与重合，则，代入得， 当点与重合，则，代入得， 我们把看作动点与定点的斜率， 再结合图象： 利用正切函数在锐角范围内是单调递增，可知， 故答案为：. 13.（24-25高一下·北京延庆·期中）已知平行四边形的三个顶点，，，而且，，，按逆时针方向排列，则线段的长度为 ，点的坐标为 ． 【答案】 【解析】由题意，在平行四边形中，,,， 所以，， 所以，即. 14．（24-25高二上·重庆·期中）已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【答案】(1)或. (2)最小值为4，. 【解析】（1）当截距为时，设直线方程为， 因为直线过点，则， 解得， 所以直线方程为； 当截距相等且不为时，设直线方程为， 因为直线过点，则代入直线方程得，， 则直线方程为. 所以直线方程为或. （2）由题意可知，直线的截距不为，且斜率存在且， 设直线方程为， 令，y=2k+1；令， 则， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为，此时的直线方程为. 15．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程； （2）求出点的对称点，利用两点之间直线最短可求答案. 【解析】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为.    期中重难突破练（测试时间：30分钟） 16.（24-25高二下·安徽滁州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直线方程的特点，分和两种情况讨论，再分别计算出倾斜角的取值范围，最后取并集即可. 【解析】当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角； 当时，直线的斜率为， 因为， 所以，即， 又因为， 所以结合正切函数的图象可得：. 综上可得：直线的倾斜角的取值范围是. 故选：C. 17．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知的顶点分别为，，， 因为重心为三角形三个顶点对应坐标的平均数，即重心坐标为，即， 因为，则边上的高线斜率为， 因边上的高线过点，故其方程为，即①. 同理，则边上的高线斜率， 因边上的高线过点，故其方程为，即②. 由①，②联立，解得，，即的垂心坐标为. 由题意，欧拉线过重心和垂心，则的欧拉线方程为 即. 故选：D. 18．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率， 画出函数的图象，如图， 直线的斜率分别为，，，而， 所以，，的大小关系是. 故选：A 19．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案. 【解析】由题意知实数满足， 则， 故点在直线上，点在直线上， 而表示点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 最小值为， 故选：B 20．（多选）（25-26高二上·重庆·阶段练习）下列结论正确的是（   ） A．若、、三点共线，则m的值为0 B．已知两点、，过点的直线与线段MN有公共点，则的斜率k的取值范围为 C．直线恒过定点 D．经过和的交点，且和原点相距为1的直线一共有三条 【答案】AC 【解析】对于A，由，，三点共线，可知所在的直线与所在的直线斜率相等， 而，， 则，解得，故A正确； 对于B，由、，， 则，， 由图可知，要使过点的直线与线段MN有公共点， 则或，即的斜率k的取值范围为，故B错误； 对于C，由， 则， 令，解得，则直线恒过定点，故C正确； 对于D，联立，解得， 可知直线与的交点坐标为，即所求直线过点， 若所求直线斜率不存在，则直线方程为，符合题意； 若所求直线斜率存在，设直线方程为，即. 则原点到该直线的距离，解得， 此时方程为. 综上所述：所求直线方程为或，故D错误. 故选：AC. 21．（24-25高二上·湖北·期中）已知点，动点P在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先判断 A，B在直线的同侧，作B关于直线的对称点，当A，P，三点共线时，最小. 【解析】解：由题意知点A，B在直线的同侧， 设点B关于直线的对称点为， 则解得即， 所以 22．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点．若为钝角三角形，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当为直角三角形时，或，此时的斜率或0．如图，设时，与交于点； 时，与交于点． 当从直线开始，绕点顺时针旋转到轴之间时，为钝角三角形，此时；记过点且与平行的直线为， 当从直线开始，绕点逆时针旋转到直线之间时，为钝角三角形，此时1．综上，．    23．（2025高三·全国·专题练习）已知点轴，，则周长的最小值为 ． 【答案】 【解析】如图，    设点关于直线的对称点为． 点关于轴的对称点为． 连接，交于点，交轴于点， 显然，，且四点共线， 故此时周长的最小值为． 24．（24-25高二上·北京·期中）已知的顶点为、 、 . (1)求边所在直线的方程； (2)求边上的高线所在直线的方程； (3)求的面积. 【答案】(1)；(2)；(3)6 【解析】（1）因为. 所以直线的方程为：即. （2）因为，所以边上的高的斜率为：. 所以边上的高所在的直线为：即. （3）如图：作轴于点，轴于点，则，. 所以. 25．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知直线经过点． (1)求直线的解析式； (2)若直线与直线相交于点，求点的坐标； (3)根据图象，写出关于的不等式的解集． 【答案】(1);(2);(3) 【解析】（1）将代入，可得：， 解得：， 所以直线的解析式为 （2）联立方程可得：， 解得：，， 所以点的坐标 （3）由点的坐标，结合图象可知： 的解为：， 所以不等式的解集为 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 26．（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得的定义域为，又，所以可以看作是x轴上的动点分别与两点，的距离之和，如图，点关于x轴对称的点为，则当与，三点共线时，距离之和最小，则． 故选：B 27．（2025·内蒙古赤峰·三模）出租车几何，又称曼哈顿距离（ManhattanDistance），最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点， ，则，两点之间的曼哈顿距离为.已知点，，动点满足，是直线上的动点，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，的轨迹关于轴对称，也关于轴对称． 当时，， 即 画出此函数的图象，并结合对称性可得点的轨迹是如图所示的六边形． 由图可知，的最小值为图中点到直线的距离． 故选：A 28．（2025高三·全国·专题练习）在直角坐标平面上，已知点，为线段上的动点，若恒成立，则正实数的最小值为 ． 【答案】 【解析】设，又在线段上， 所以共线，且， 即， 又，，所以， 即， 整理得，将代入， 即恒成立，又， 所以，又， 解得，所以的最小值为. 29．（23-24高二上·安徽亳州·期中）城市发展，拼“内涵”也要拼“颜值”，近年来，多地持续推进城市绿化，以城市绿化增量提质，擦亮城市生态底色，街头随处可见的“口袋公园”已规划完善，一幅“推窗见绿、出门即景”的美丽画卷正徐徐展开．某市规划四边形空地OABC建设“口袋公园”，已知三角形区域OAC与ABC关于中心道路AC对称，在AC的中点P处规划建一公共厕所．测得且，点C到OA的距离为20米，米．设计人员方便规划计算，在图纸上以O为坐标原点，以直线OA为x轴建立如图所示平面直角坐标系xOy．    (1)求点P到OC的距离； (2)求出BC所在直线方程及该口袋公园的总面积． 【答案】(1) (2)，200平方米 【解析】（1）过作轴，垂足为， 由可知，直线OC的斜率， 直线OC的方程为， 因为点C到OA的距离为20米，设，故，可得， 因为，则为的中点，， 则，所以， 所以点P到OC的距离；    （2）因为，，得AC所在直线方程为， 设，因为点O与点B关于AC对称，故可得 得，，即， 所以所在直线方程为， ， 所以该口袋公园的总面积200平方米． 43 / 46 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $