专题04二次函数的应用期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题04二次函数的应用期中复习讲义 知识点01:解题通用步骤（所有二次函数应用题通用） 1.审：读懂题意，梳理已知量、变化量、所求最值； 2.设：合理设出自变量 x（直接 / 间接设元）； 3.列：根据等量关系，列出二次函数解析式 y=ax2+bx+c(a≠0)； 4.定：结合实际场景，确定自变量 x 的取值范围(x>0、整数、线段长度限制等）；. 5.求：分两种情况求最值： 顶点横坐标在自变量取值范围内：最值在顶点处； 顶点横坐标不在取值范围内：最值在区间左右端点处； 6验：检验结果是否符合实际意义，规范写出答案。 知识点02:二次函数求最值两种方法 设函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 方法 1：配方法（化为顶点式） y=a(x-h)2+k，顶点 (h,k) a>0，开口向上，当 x=h时，y最小=k； a<0，开口向下，当 x=h 时，y最大=k。 方法 2：顶点公式法 对称轴 x=-，最值 y= 关键注意点 实际问题中自变量存在取值区间，顶点不一定能取到，需对比区间端点函数值，确定真实最大 / 最小值。 知识点03:实际问题与二次函数的练习转化 知识点04:二次函数实际应用 知识点05:二次函数综合 1、忽略实际问题中自变量的取值范围 易错提醒：利用二次函数求最值，不可直接取用顶点的函数值；必须验证顶点横坐标是否落在自变量的取值范围内。若不在取值范围内，则最值需要在区间的端点处求取。 2、构建利润模型时数量关系写错 易错提醒：利润的计算公式：总利润＝单件利润×销售数量。价格发生涨跌时，单件利润和销售量会同时发生变化，两个量要同步调整，不可只改动其中一项。 3、实物抛物线模型建立坐标系出错 易错提醒：处理桥梁、喷泉、投篮等抛物线实际问题，先规范建立平面直角坐标系；精准确定顶点、交点等关键点的坐标，不可主观随意设定坐标数值。 4、选用二次函数解析式的形式不当 易错提醒：根据已知点的特征，正确选用一般式、顶点式、交点式；若条件与解析式形式不匹配，会增加运算量，还容易产生计算错误。 5、混淆自变量与因变量的实际意义 易错提醒：列式之前明确x、y对应的实际含义；不可将水平距离当作高度，或是把高度当作水平距离进行运算。 6、解方程后不检验根的实际合理性 易错提醒：令y等于指定数值列出一元二次方程，常会得到两个解；必须结合自变量的取值范围，舍去不符合实际意义的根，不能全部保留。 7、默认顶点位置一定取得最值 易错提醒：仅当顶点横坐标落在自变量取值区间之内，顶点处才取到最值；当取值区间全部位于对称轴的一侧时，最值出现在区间的两个端点。 8、几何面积问题忽略边长的约束条件 易错提醒：在面积类二次函数问题中，边长必须大于0；求得结果后，要剔除造成边长等于零或者为负数的取值。 题型 考察方向 难度 题型一 图形问题 ★★★ 题型二 图形运动问题 ★★★★ 题型三 拱桥问题 ★★★ 题型四 销售问题 ★★★ 题型五 投球问题 ★★★ 题型六 喷水问题 ★★★ 题型七 增长率问题 ★★★ 题型八 其他问题 ★★★ 题型九 线段周长问题 ★★★★ 题型十 面积问题 ★★★★ 题型十一 角度问题 ★★★★ 题型十二 特殊三角形问题 ★★★★ 题型十三 特殊四边形 ★★★★ 题型十四 相似三角形问题 ★★★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 图形问题 1．用一段20 m长的铁丝在平地上围成一个矩形，则矩形的面积y（单位：）和矩形的一边的长x（单位：m）之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形周长表示出邻边长，结合面积公式推导与的关系式. 【详解】解：∵ 矩形周长为20 m，一边长为 m， ∴ 邻边长为 m． ∴ ． 2．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，张大爷利用旧墙和篱笆围城一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米篱笆，若a=30米，则矩形菜园ABCD面积的最大值为__________． 【答案】1050平方米 【分析】设BC=x米，由题意得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：设BC=x米，则 S=(100-x) =(x-50)2+1250（0＜x≤30）， ∵，对称轴为x=50， ∴x=a=30时，S的最大值是1050． 答：当a=30米时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1050平方米． 故答案为：1050平方米． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确列式并明确二次函数的相关性质，是解题的关键． 3．如图，某农户要用长的篱笆，在练江边靠墙（墙长）围一块长方形苗圃（靠墙的一边不围），苗圃的一边垂直于墙． (1)设垂直于墙的一边长为，求苗圃面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为多少时，苗圃的面积最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】(1)函数关系式为，自变量x的取值范围为 (2)当垂直于墙的一边长为时，苗圃面积最大，最大面积为450平方米 【分析】（1）垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，然后根据长方形面积公式建立函数关系式，再由且解不等式组求解自变量x的取值范围； （2）将函数关系式配方，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， 由题意得， 由且，得， ∴函数关系式为，自变量x的取值范围为； （2）解： ∵，且在自变量取值范围内， ∴当时，S最大 答：当垂直于墙的一边长为时，苗圃面积最大，最大面积为450平方米 4．“绿水青山就是金山银山！”，大庆碳中和生态园大力发展生态农业、碳汇林种植、生态养殖、科普研学，打造集生态保护、绿色种植、休闲观光于一体的低碳示范基地．如图，该生态园拟用总长为的建筑材料建设三间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长），中间用建筑材料做的墙隔开（如图所示）．设三间饲养室平行于墙的一边合计使用建筑材料，三间饲养室的总占地面积为，当为何值时，有最大值？最大值是多少？ 【答案】当时，取得最大值；最大值为 【分析】根据该生态园拟用总长为以及三间饲养室平行于墙的一边合计使用建筑材料，将三间饲养室的长表示出来，从而得到三间饲养室的总占地面积为关于的二次函数解析式，再将解析式化为顶点式得到答案． 【详解】解：根据题意可知，三间矩形饲养室的长为， 则三间矩形饲养室的总占地面积为， 当时，取得最大值， 最大值为． 题型二 图形运动问题 5．如图，在矩形电子显示屏中，，，光点E从点B出发，以的速度沿的路径向点A匀速运动，同时光点F从点B出发，以的速度沿的路径向点C匀速运动，当光点F到达点C时，两光点同时停止运动，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设运动时间为，推导出，，求出，根据三角形的面积公式推导出，再根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 点的速度为， ，． 点速度为， ， 点到达点停止运动，， ，即， 以为底，高为， ， ，抛物线开口向下，对称轴为直线，且在范围内， 当时，取得最大值， ． 6．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点． 请回答下列问题： （1）________； （2）当时，则的长度为______． 【答案】 13 【分析】（1）如图1，作，在上取点H，使，连接，，，当时，动点Q运动到点H的位置，得到，当点Q运动到点G的时候，最小为81，，再由勾股定理求出m的值； （2）求抛物线的解析式，将代入即可解答． 【详解】解：（1）如图1，过点P作于G，在上取点H，使，连接，，， ∵， ∵当时，动点Q运动到点H的位置， 则由题意和图象可知， 当点Q运动到点G的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ； （2）由（1）得：， ∴，， ， 当时，点Q运动到点B，则， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴顶点坐标为， 当，即点Q在A点时， ∴， ∴点C的纵坐标为250， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， ， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴（负值舍去）． 7．如图（单位：），等腰直角三角形在正方形的左侧，点在一条直线上．现将由如图所示的位置开始，以的速度沿直线从左向右运动（正方形保持不动），直到边与边重合．设运动时，与正方形重叠部分的面积为． (1)写出与之间的关系式． (2)当，时，的值分别是多少？ (3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，运动了多长时间？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设运动时，运动到，设与交于点，根据题意，得到，根据等腰直角三角形的面积公式，求得关系式即可． （2）利用解析式，求对应的函数值即可． （3）先计算正方形的面积，再确定其一半的值，令函数值等于此值，求自变量的值即可． 【详解】（1）解：设运动时，运动到，设与交于点，根据题意，得到， 由等腰直角三角形， ， ， 正方形， ， ， ， ， 此时运动的最大时间为：， 故与之间的关系式为：． （2）解：， 当时，； 当时，． （3）解：根据题意，得正方形面积的一半为：， 当时，， 解得或； 由于时间不能为负数， 故舍去， 故， 故当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，运动了． 8．如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿A→B→C的方向运动到点C停止，运动速度为，若射线，分别是正北方向和正东方向，在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F，连接，设的面积为，点P运动的时间为（线段可视为面积为0的三角形）． (1)当点F与矩形顶点重合时，； (2)求当E在线段上时，y关于x的函数解析式； (3)当点P在线段上，且将矩形分成两部分图形的面积比为时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）分两种情况讨论，点在和上，利用矩形的性质，以及等腰直角三角形的判定与性质求解即可； （2）分三种情况讨论，当时；当时；当时，分别画出示意图，根据等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理表示边长，建立函数解析式； （3）分四种情况讨论，表示将矩形分成两部分图形中其中一部分的面积，再进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点在上， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 当在上时，点F与矩形顶点不重合，舍去 ∴时，点F与矩形顶点C重合． （2）解：∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．连接．设的面积为，点P运动的时间为． 则 ∴当时，如图所示： 过点作， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， 则，， ∵， ∴是等腰直角三角形， 则,， 故； ∴当时，如图所示： 同理得是等腰直角三角形， 则 ∴， 即， ∴当时，过点作，如图所示： 同理得是等腰直角三角形， 则， ∴， 即， 综上：当E在线段上时，； （3）解：当时，过点作于点K，如图： 则同上可得：，，， ∴， ∴， ∴的面积随着的变化而变化， ∴将矩形分成两部分图形的面积比不为定值； 当时，如图： 则同上可得：，， ∴， ∴， ∴面积比为； 当时，过点作于点， 则，， ∴，， ∴ ∴ ∴的面积随着的变化而变化， ∴将矩形分成两部分图形的面积比不为定值； 当时，如图： 则，， ∴， ∴， ∴面积比为， 综上：当时，面积比为． 题型三 拱桥问题 9．某温室大棚的拱架呈抛物线型（图1），如图2，以拱架底部的中点O为原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，y轴与抛物线交于顶点M．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点M距底部的高度为____． 【答案】 【分析】根据题意确定点和点的坐标，设抛物线顶点式解析式，代入坐标求出参数和，进而得到顶点纵坐标即为所求高度. 【详解】解：由题意可知，抛物线关于轴对称， ，为中点， ，即点的坐标为， 通风管距离底部，且， 点的纵坐标为，横坐标为，即； 设抛物线的解析式为， 将，代入得 ，解得 ； 抛物线解析式为， 顶点的坐标为； 拱架最高点距底部的高度为. 10．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．如图是一座仿赵州桥建造的抛物线形拱桥的示意图，正常水位时，水面宽，水位上涨到达警戒水位，此时水面宽，则正常水位时拱顶离水面的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为轴、竖直向上的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，则水面在轴下方，设抛物线的解析式为；把“水面宽”的一半作为横坐标，把“水面相对原点的竖直位移”作为纵坐标，用正常水位（半宽为6，点的纵坐标为）与警戒水位（半宽为4，点的纵坐标为）两组数据列出关于a、h的方程组，两式相减消去h先求出a，再回代即可求出拱顶离正常水面的高度． 【详解】解：如图，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为轴，竖直向上的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，则水面在轴下方，抛物线开口向下． 设抛物线的解析式为，设正常水位时拱顶离水面的高度为． 正常水位时水面宽，半宽为，水面两端点的坐标为、；水位上涨到达警戒水位，此时水面宽，半宽为，水面两端点的坐标为、． 把、分别代入，得，． 两式相减，得，解得． 把代入，得，所以． 故正常水位时拱顶离水面的高度为． 【点睛】抛物线形拱桥、隧道类问题，一般都以顶点（拱顶）为原点建立平面直角坐标系，设，只含一个待定系数，计算最简；两个已知条件列出两个方程后，通常用两式相减先消去，再回代．易错点：一是横坐标要用水面宽的一半，不能用水面宽本身；二是水面在原点下方，点的纵坐标要用表示，水位上涨多少，纵坐标就相应增加多少． 11．如图是抛物线形的拱桥，水面的宽为10米，拱顶离水面4米． (1)求抛物线的解析式． (2)若水面上升1米，则水面的宽度是多少米？ (3)在（2）的条件下，有一艘有物资的船准备从桥下通过，船身及物资如图所示，这艘船宽，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 【答案】(1) (2)米 (3)这艘船能从这座拱桥下通过 【分析】（1）以所在直线为x轴，以的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点，可设抛物线的解析式为，把点代入，即可求解； （2）求出当时，x的取值，即可求解； （3）求出当船在拱桥正中心行驶时，拱桥高出水面的高度，即可求解． 【详解】（1）解：如图，以所在直线为x轴，以的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于， 当时，， 解得：， 此时水面的宽度是米； （3）解：∵船宽， ∴当船在拱桥正中心行驶时，船边缘的横坐标为， 当时，， 此时拱桥高出水面的高度为米， ∵物资顶部距水面，且， ∴这艘船能从这座拱桥下通过． 12．如图，练江上一座抛物线形拱桥，桥洞水面宽6米，拱顶高出水面3米．以水面所在直线为x轴、拱顶对称轴为y轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)一艘货船宽2米，船舱顶部离水面高2米，若它从桥洞正中间（居中）通过，能否安全通过？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)能安全通过． ∵货船宽，从桥洞正中通过， ∴船边缘对应横坐标， 将代入解析式： ，说明船身位置桥拱高度大于船舱高度， 货船可以安全通过． 【分析】（1）根据拱桥最高点坐标确定抛物线顶点，结合水面宽度得出函数图象经过的点，利用抛物线顶点式设解析式，代入点的坐标求出系数，即可求出抛物线解析式． （2）根据货船宽度确定船体边缘对应的横坐标，代入抛物线解析式求出此处桥拱高度，与船高对比，判断货船能否通过． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线顶点坐标为，设抛物线的解析式为． 已知水面宽为， 则抛物线经过点， 将，代入解析式得： 解得：， ∴抛物线解析式为：． （2）能安全通过；说明：略． 题型四 销售问题 13．销售末期，商家决定降价销售，已知这款护眼灯的进价为元/台，当销售单价为元/台时，每天能卖出台，若每降价元，每天可多卖出台．设每台护眼灯的销售单价下降元，每天的利润为元，则与 之间的函数解析式为__________________． 【答案】 【分析】根据总利润等于每台利润乘以销售量，分别表示出降价后每台的利润和每天的销售量，相乘整理即可得到函数解析式． 【详解】解：∵每台护眼灯进价为元，原销售单价为元，单价下降元， ∴每台的利润为， ∵原本每天可卖出台，每降价元每天多卖出台， ∴降价元后每天的销售量为台， ∵总利润每台利润销售量， ∴， 展开整理得， ∵利润非负，为非负数， ∴， ∴， 即与之间的函数解析式为． 14．在1~7月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息，如图所示，其中每千克成本和月份之间满足二次函数关系，每千克售价和月份之间满足一次函数关系，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份是（     ） A．1月份 B．2月份 C．5月份 D．7月份 【答案】C 【分析】设月份蔬菜每千克售价为元，每千克成本为元，分别求出和，得到，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：设月份蔬菜每千克售价为元，每千克成本为元， 设，代入得到， 解得， ∴， 根据二次函数图象可知，顶点为，经过点， 设，把代入得到， 解得， ∴ ∴， ∴当时，有最大值， 即出售该种蔬菜每千克利润最大的月份是月份． 15．贵州省遵义市湄潭县以茶产业为特色，某茶叶商家销售一种茶叶礼盒，已知每盒茶叶的成本为40元，原售价为80元，按原售价销售时每周可售出450盒．市场调查表明：每盒茶叶每降价1元，每周的销售量可增加15盒．设每盒茶叶降价元． (1)若每周的销售利润为元，求的值． (2)每盒茶叶降价多少元时，可使商家每周的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)的值为； (2)每盒茶叶降价元时，每周销售利润最大，最大利润为元． 【分析】（1）根据题意列出方程，即可求的值． （2）设商家每周的销售利润为，得关于的函数关系式，结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每盒茶叶降价元． 由题意得，， 整理得，， 解得，（舍去）， 答：的值为12． （2）解：设商家每周的销售利润为，得 ； ， 时，有最大值18375， 即每盒茶叶降价元时，每周销售利润最大，最大利润为元． 16．在全国战“疫”期间，网络销售及快递小哥为我们提供了极大的生活便利．某网店专售一款电动牙刷，其成本为元/支，销售中发现该商品每天的销售量（支）与销售单价（元支）之间存在如图所示的关系． (1)请求出与的函数关系式； (2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)山川异域，风月同天，同舟共济，共克时艰．该网店店主决定从每天获得的利润中抽出元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？ 【答案】(1) (2)该款电动牙刷销售单价定为元时，每天销售利润最大，最大销售利润为810元； (3)当该款电动牙刷的销售单价每支不低于元，且不高于元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于元 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设每天的销售利润为W元，根据每天的利润每支电动牙刷的利润销售量列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意可得，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 由题意得， ∴， ∴； 自变量范围：，即，解得； 同时单价高于成本，即； （2）解：设每天的销售利润为W元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为810， 答：该款电动牙刷销售单价定为元时，每天销售利润最大，最大销售利润为810元； （3）解：由（2）和题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解不等式组得， 解不等式组，可知该不等式组无解， 综上所述，， 答：当该款电动牙刷的销售单价每支不低于元，且不高于元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于元． 题型五 投球问题 17．如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 【答案】5 【分析】根据羽毛球飞出的水平距离即为抛物线与x轴正半轴交点到原点的距离求出即可． 【详解】解：当时，， 解得（舍去），， ∴羽毛球飞出的水平距离为5米． 18．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】C 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 19．小明和小陈两人周末去打羽毛球，羽毛球的飞行路线可视为抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，小明在点正上方的处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点的水平距离为． (1)求抛物线表达式； (2)通过计算判断此球能否过网． 【答案】(1) (2)解：当时， ， ， ， ， 此球能过网． 【分析】(1) 已知抛物线顶点坐标和经过的点，利用顶点式求抛物线表达式． (2) 将球网位置的水平距离代入抛物线表达式，求出对应高度，与球网高度比较． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点为，且经过点， 设抛物线表达式为， 将代入得， 即， 解得， 抛物线表达式为． （2）略 20．篮球课上，小源和小宸在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习，篮筐距离地面的高度约为，篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． (1)小源某次定点投篮练习时，篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离/ 竖直高度/ ①直接写出篮球的竖直高度的最大值是________； ②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系（），求的值； ③小源本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； (2)小宸进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小宸将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②； ③能，理由如下： 由②知：， ∴当时，， 故小源本次投篮能将篮球投进篮筐； (2) 【分析】（1）①根据对称性确定顶点坐标，即可得出结果；②待定系数法求出函数解析式即可；③求出时的函数值，进行判断即可； （2）根据题意抛物线过点，分别求出抛物线过点和点时的函数解析式，即可得出结果. 【详解】（1）解：①由表格可知，和的函数值相同， 故抛物线的对称轴为直线， 由表格可知，当时，，即篮球的竖直高度的最大值是； ②由①可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得； ③略 （2）解：由题意，抛物线过点， 当抛物线过点时，则， 解得； 当抛物线过点时，则， 解得； ∴. 题型六 喷水问题 21．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，则喷出水珠的最大高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用．把二次函数化为顶点式，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，， 即喷出水珠的最大高度是． 故选：B． 22．大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为，y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为．一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动________的距离才能击中昆虫． 【答案】或 【分析】首先确定原始抛物线的解析式为，设需要水平向右游动的距离才能击中昆虫，得到平移后的抛物线解析式为，把代入解析式求解即可． 【详解】解：根据题意，得y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为， 故抛物线的解析式为， 由抛物线经过原点， ， 解得， 故抛物线的解析式为． 当时，， 故点不在抛物线上， 设需要水平向右游动的距离才能击中昆虫， 故平移后的抛物线解析式为， 把代入解析式，得， 整理，得， 或， 解得或， 故需要水平向右游动或的距离才能击中昆虫． 23．某高为的喷水管竖直向上喷水，水在空中的高度h（单位：m）与水离开水管后在空中的时间t（单位：s）的关系近似为． (1)水离开喷水管后，经过多久能落回到起始高度？ (2)喷出的水在空中的最大高度是多少？ 【答案】(1) 水离开喷水管后经过落回到起始高度 (2) 喷出的水在空中的最大高度为 【分析】（1）令，解一元二次方程，舍去初始时刻的解得到结果； （2）将二次函数解析式配方为顶点式，结合开口方向求最大值； 【详解】（1）解：由题意，水的起始高度为，落回起始高度时， 代入，得， 解得，， ∵为水刚离开喷水管的初始时刻，不符合题意，舍去， ∴， 答：水离开喷水管后经过能落回到起始高度； （2）解： ， ∵， ∴当时，取得最大值， 答：喷出的水在空中的最大高度是． 24．综合与实践 问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究． 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度（水流喷水孔点O与落地点M之间的水平距离）为，最高点距地面． 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为． 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道在线段上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入上方的安全区域矩形内． 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决 (1)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式； (2)若乙组喷泉跨度恰好为，求喷水管的高度； (3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，求此时安全通道的宽度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出乙组喷泉的抛物线的表达式，再令求解即可； （3）对于两组抛物线，分别令求出值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线顶点坐标为， 故设抛物线表达式为 代入可得，， 解得 ∴抛物线表达式为 （2）解：由于两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为， 故设抛物线的表达式为， 代入可得， 解得或（舍去） ∴抛物线的表达式为 当时， ∴喷水管的高度为 （3）解：由题意得， 对于，当时，则， 解得； 对于，当时，则， 解得， ∴安全通道的宽度为． 题型七 增长率问题 25．为了迎接体考，小南坚持每天进行跳绳练习．本周五她参与了学校的志愿服务活动，跳绳量比周四减少了．为补上周五缺失的练习，小南决定周六、周日连续两天提高跳绳量，设日均增长率为，若小南周四跳绳量为个，则小南周日跳绳量关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，解题关键是正确理解题意． 先求出周五的跳绳量，再根据日均增长率，即可求出周日的跳绳量，从而得出周日跳绳量关于的函数关系式． 【详解】解：小南周四跳绳量为个， 周五跳绳量为个， 又周六、周日两天日均增长率为， 周日的跳绳量为个， 小南周日跳绳量关于的函数关系式为． 故选：． 26．某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为，六月份的营业额为万元，那么关于的函数解析式是______． 【答案】或 【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出五月份的营业额，再根据题意表示出六月份的营业额，即可列出方程求解． 【详解】解：设增长率为x，则 五月份的营业额为：， 六月份的营业额为：； 故答案为：或. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用中增长率问题，若原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“”． 27．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金实施园林绿化工程．已知去年投入资金1500万元，计划从今年起，连续三年每年投入资金比上一年增加相同的百分率x．写出明年将投入的资金量y（单位：万元）关于每年增加的百分率x的函数解析式． 【答案】 【详解】解：∵去年一年投入资金1500万元，连续三年每年投入资金比上一年增加相同的百分率x， ∴明年将投入的资金量． 28．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 题型八 其他问题 29．若火车刹车后行驶的距离关于刹车时间的函数解析式是，则刹车后到停下来用时（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，火车刹车到停下时行驶距离达到最大值，对应二次函数取最大值时的自变量值即可． 【详解】解：由题意，火车刹车后到停下来时，行驶距离取得最大值． 对于二次函数， 当时，取得最大值， 即刹车后到停下来用时． 30．一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________________． 【答案】 4 【分析】将给定二次函数配方为顶点式，二次项系数小于0，开口向下，顶点横坐标即为所求引爆时间． 【详解】解：， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为18， ∴从点火升空到引爆需要的时间为． 31．如图，一位跳台滑雪运动员在一次训练中从起跳点起跳飞出，在着陆坡着陆．已知起跳点E与着陆坡上的计分参照点K的垂直距离为，水平距离为．按如图所示的平面直角坐标系，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线．该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度是多少？着陆时他能越过K点吗？ 【答案】该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度是，着陆时他能越过K点． 【分析】首先将表达式配方成顶点式，然后根据二次函数的性质求出该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度，然后将代入表达式求解比较即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，y有最大值50， ∴该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度是； 根据题意得，， 当时，， ∴着陆时他能越过K点． 32．为探究三峡水电站的发电过程，某兴趣小组计划制作水电站的模型，模型包含多个水轮发电机等组件，如图，制作一个水轮发电机需配备个铜线圈、组叶片和若干其他基础配件．已知购买一个铜线圈需元，购买一组叶片需元（其它基础配件库存充足，无需购买）． (1)现有经费元全部用于购买铜线圈和叶片来制作水轮发电机，该兴趣小组最多能制作多少个水轮发电机？ (2)由于模型储水能力有限，所有水轮发电机不能同时运行．兴趣小组测试时发现：若同时工作的发电机不超过个，每个发电机发电功率为每秒焦耳；若超过个，每增加个发电机同时工作，每个发电机的功率每秒将减少焦耳．（总发电功率工作的发电机个数每个发电机的功率） 设同时工作的发电机有个，当时，求总发电功率（单位：焦耳秒）关于的函数关系式； 在（）的条件下，模型的总发电功率最大是每秒多少焦耳？ 【答案】(1)； (2)；． 【分析】设兴趣小组最多能制作个水轮发电机，根据题意，得，然后解不等式即可； 当时，每个发电机每秒的发电功率，则； 分为当时和当时两种情况，然后通过二次函数的性质分别求出的最大值，再比较即可． 【详解】（1）解：设兴趣小组最多能制作个水轮发电机，根据题意，得， 解得， ∴兴趣小组最多能制作个水轮发电机； （2）解：当时，每个发电机每秒的发电功率， ∴； 当时，， ∵，， ∴时，总发电功率最大值：（焦耳秒）， 当时，最大总发电功率（焦耳秒）， ∵， ∴模型的总发电功率最大是每秒焦耳． 题型九 线段周长问题 33．如图，已知直线分别交x轴、y轴于点A、B，点P是抛物线在直线上方图象上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线于点Q，则当最大时，a的值是_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．设，，求出，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：根据题意，设，， 则， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为． 故答案为：． 34．如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D．以上都不正确 【答案】A 【分析】先由对称轴和点坐标求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可．然后，过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P（如图1）；过点M作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点P（如图2）；分别计算两种情况下的周长再取最小值即可； 【详解】解：如图，∵抛物线的对称轴为，点是抛物线上的一点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ， 的周长，且是定值，所以只需最小． 如图1，过点作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P．    设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴ 此时三角形的周长； 同理，如图2，过点作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点，    设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴， 此时三角形的周长； ∵，， ∴ ∴点P在y轴上时，三角形的周长最小，即点P的坐标是． 故选： A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找轴和轴上符合条件的点P，不要漏解． 35．如图，已知抛物线（b、c为常数）经过A，B两点，轴于点C，且点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是线段上一动点（不与A，B重合），过点M作y轴的平行线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得点的坐标，然后将点和点的坐标代入抛物线的解析式可得到关于、的方程组，从而可求得、的值，即可得到抛物线的解析式； （2）设直线的解析式为，求出解析式为，设，则，得到，得出，即可得出． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 轴于点C， ， 将，代入得，， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得， 直线的解析式为， 设，则， ， ， 当时有最大值， ． 题型十 面积问题 36．如图，抛物线顶点C的坐标为，交x轴于点，交y轴于点B，则的面积为______． 【答案】3 【分析】先用待定系数法求出，进而求出，再求出直线的解析式为，设对称轴交直线于点D，求出，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵抛物线顶点C的坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得 ， 解得， ∴， 设对称轴交直线于点D， 当时，， ∴， ∴． 37．如图，已知抛物线与x轴分别交于A，O两点，顶点为M．将抛物线关于y轴对称得到抛物线，则抛物线过点O，与x轴的另一个交点为B，顶点为N，连接，，，则四边形的面积为_____． 【答案】3 【分析】把抛物线的解析式化为顶点式得到点的坐标，再求出点的坐标，根据关于轴对称的点的特点求出点的坐标，结合梯形面积公式求解即可． 【详解】解：∵抛物线的函数解析式为， ∴抛物线的顶点的坐标为， 当时，， 解得，， ∴点A的坐标为． 和关于y轴对称， ∴点N和点M关于y轴对称，点B和点A关于y轴对称， ， ； ， ∴四边形是梯形； ，，， ． 38．已知抛物线与交于、两点（在点左侧）． (1)直接写出时的取值范围是_______． (2)求抛物线顶点的坐标，并求面积； (3)当时，的取值范围是_______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）先求出二次函数与一次函数交点的坐标，再根据图像判断出的取值范围； （2）先求出点的坐标，再利用分割法求出的面积； （3）根据图像，将在的范围内，求的最大值与最小值，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意，联立，， 得， 解得， 由图像可知，在点与点之间， ∴当时，的取值范围为． （2）解：由（1）知，， 将代入二次函数中，解得， ∴点的坐标为， 将代入二次函数中，解得， ∴点的坐标为， 二次函数的顶点横坐标为， 将代入二次函数中，解得， ∴点的坐标为， 如图所示，过点作轴的垂线，交于点，过点作直线的垂线交于点，过点作直线的垂线交于点， 由题可知，点的坐标为，点的坐标为， 将代入一次函数中，解得， ∴点的坐标为， 则， ∴． （3）解：由（2）可知，点的坐标为， 由图可知，在时， 在点处取得最小值， 在处取得最大值，， ∴当时，． 39．在如图的抛物线上，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q． (1)求直线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段的长； (3)当m为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)直线的解析式为 (2) (3)当时，最大，最大面积为 【分析】（1）由图象知、，利用待定系数法求解即可； （2）设（），则，利用坐标与图形性质可得答案； （3）利用三角形的面积和二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把代入得，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：设（），则， ∴； （3）解： ， ∵，， ∴当时，最大，最大值为． 题型十一 角度问题 40．如图，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点左侧），点在第二象限的抛物线上，连接，且，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，连接，作轴于，先求出，设，则，，求出为等腰直角三角形，得出，即，求出的值即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作轴于， 在中，令，则， 解得：，， ∴， ∵点P是抛物线上一动点， ∴设，则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得：或， ∵点P在第二象限， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 41．如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定和性质，表示出的坐标是解题的关键．过点作轴于点，构造等腰直角，设，根据等腰直角三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线解析式得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：二次函数中，令，则， 解得，， ，， 过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ， 点在二次函数的图象上， ， 解得，（舍去）， ， 故选：． 42．抛物线过点，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点P，使得，求出P点的坐标． 【答案】(1)， (2)点P坐标为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点B作交延长线于点E，可证，则可求点E坐标，然后求直线的解析式，联立方程组，解方程组即可求点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 对称轴为直线， ∴对称轴与x 轴的交点D坐标为． （2）解：过点B作交延长线于点E， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点E坐标为， 设直线解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 联立方程组， 解得， ∴点P坐标为． 题型十二 特殊三角形问题 43．如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分别过、作对称轴的垂线，垂足为、，证明，所以，，又点，，则，，得，再由，从而求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：抛物线对称轴为：直线， 如图，分别过、作对称轴的垂线，垂足为、， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴ ， 故答案为：． 44．如图，抛物线经过等腰直角三角形的两个顶点A，B，点A在y轴上，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的综合应用，过点作于点，得到点坐标为，将点代入解析式进行求解即可．解题的关键是求得点的坐标． 【详解】解：∵，当时，， ∴， ∴， 过点作于点， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴； 故选C． 45．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交轴正半轴于点． (1)求的值及点的坐标； (2)抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)抛物线上存在点，使是以为直角边的直角三角形．点的坐标为或 【分析】（1）根据已知的坐标代入抛物线表达式中即可求出，再根据求出的函数表达式令即可求出点的坐标为． （2）需要分两种情况讨论，当点为直角顶点时，当点B为直角顶点时，先求出直线表达式，再根据直线与抛物线交点计算点的坐标即可． 【详解】（1）解：将代入中， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线交轴正半轴于点， ∴令，则， 解得，， ∴点的坐标为． （2）存在， 当点为直角顶点时，如图， ∵点，点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 把点和点分别代入中， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 直线与抛物线交于点，坐标即为要求的坐标， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴． 当点B为直角顶点时，如图 ∴， 由（1）可知是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴点坐标为 设直线的解析式为， 把点和点分别代入中， 得：， 解得： ∴直线的解析式为， 直线与抛物线交于点，坐标即为要求的坐标， 由题意得：， 解得：（舍去），， 当时，， ∴． 综上所述，抛物线上存在点，使是以为直角边的直角三角形．点的坐标为或． 题型十三 特殊四边形 46．如图，在平面直角坐标系中，四边形和四边形都是正方形，点A在x轴正半轴上，点C、F在y轴正半轴上，点D在线段上，点B为抛物线的顶点．点E在此抛物线上，则点E的坐标为________． 【答案】 【分析】先求出抛物线的顶点坐标为，再结合正方形的性质可得，可求出a的值，设，则点，把点代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∵点B为抛物线的顶点， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 设，则点， 把点代入得： ， 解得：或2（舍去）， ∴点E的坐标为． 47．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点．若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及求函数解析式，平行四边形的性质，二次函数的图象与性质， 用交点式确定函数表达式，然后分两种情况分析：当为平行四边形一条边时，当是四边形的对角线时，利用中点坐标及平行四边形的性质，分别求解即可； 【详解】解：根据题意得：； 故二次函数表达式为：； 当时，， ∴， ①当为平行四边形一条边时，如图1， 则， 故点P的横坐标为4，代入二次函数解析式中得纵坐标为3， 所以点坐标为， 当点在对称轴左侧时，即点的位置，点、、、为顶点的四边形为平行四边形， 故点或； ②当是四边形的对角线时，如图2， 中点坐标为， 设点的横坐标为，点的横坐标为2，其中点坐标为：， 即：，解得：， 故点； 综上：点或或； 故选：C 48．如图，抛物线经过，，三点． (1)求、、的值； (2)点为轴上的动点，轴左侧的抛物线上是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）将点的坐标代入二次函数即可求出的值，从而确定二次函数，分别令和即可求出和的值． （2）分点在轴上方和在轴下方两种情况讨论，结合平行四边形的性质确定点的纵坐标，将其代入二次函数即可求出点坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过， ， ， ， 令，则， ， ，， ，， ． 令则． （2）解：①当点在轴下方时，四点构成平行四边形，如图所示， ，， ． 点在二次函数上， ， ，， ， ． ②当点在轴上方时，四点构成平行四边形，如图所示，过点作轴于点， 为平行四边形， ，， ， ， ， , 点在轴上方时， ， ， ，， 点在轴左侧的抛物线上， ， ， ． 题型十四 相似三角形问题 49．如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，过A作轴，交抛物线于点B，连接．点P为抛物线上上方的一个点，连接，作垂足为H，交于点Q．当时，点P的坐标为 _____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题；先求得点，令，求得的长，证明，则，即可求解． 【详解】解：对于，令，则， 故点， 令，解得或， 故点， 故； 设， 轴，， ， ， ， 故， ， 解得． ∴； 故答案为：． 50．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，设与交于点，求出，，则有解析式为，设，则，然后证明，由性质得，最后由二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设与交于点， 由得，当时，， 解得：，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 当时，则的最大值为， 故选：． 51．如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为直线上方抛物线上一点，连接并交于点Q，若分的面积为3：5两部分，请求出点P的坐标； (3)在y轴上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，N的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法，将抛物线与x轴、y轴交点坐标，代入抛物线表达式，即可求出； （2）先求出两直线的表达式，联立求出点Q的坐标，分的两部分以为底，则高相等，两部分面积比等于底边之比；过点P、点Q向x轴做垂线，将面积之比转换成，横坐标差值比；再将面积比分两种情况，分别求出点P坐标； （3）在y轴上取点，，所以，当N在y轴正半轴时，点N在上，证明，然后根据相似三角形的性质可求出；当N在y轴负半轴时，根据轴对称性求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 将点A、C代入， ， 解得， ； （2）解：令， 解得，， ， 如图，过点P作轴交于点G，过点Q作轴交于点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，直线的解析式为， ，解得， ， 、所在两直线联立方程组，求交点Q坐标， ， 解得：， ， 分的面积为两部分， 以为底，高相等，两部分面积比等于底边之比， 或， ， ， 当时，， 可得， 解得，， 或； 当时，， 可得， 此时方程无解， 综上所述，或； （3）解：存在一点N，使得，理由如下： 在y轴上取点， 当N在y轴正半轴时，如图，     ，， ，，， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， ； 当N在y轴负半轴时，记为，如图， 则和N关于x轴对称， ,满足条件， 综上，N的坐标为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二次函数的应用期中复习讲义 知识点01:解题通用步骤（所有二次函数应用题通用） 1.审：读懂题意，梳理已知量、变化量、所求最值； 2.设：合理设出自变量 x（直接 / 间接设元）； 3.列：根据等量关系，列出二次函数解析式 y=ax2+bx+c(a≠0)； 4.定：结合实际场景，确定自变量 x 的取值范围(x>0、整数、线段长度限制等）；. 5.求：分两种情况求最值： 顶点横坐标在自变量取值范围内：最值在顶点处； 顶点横坐标不在取值范围内：最值在区间左右端点处； 6验：检验结果是否符合实际意义，规范写出答案。 知识点02:二次函数求最值两种方法 设函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 方法 1：配方法（化为顶点式） y=a(x-h)2+k，顶点 (h,k) a>0，开口向上，当 x=h时，y最小=k； a<0，开口向下，当 x=h 时，y最大=k。 方法 2：顶点公式法 对称轴 x=-，最值 y= 关键注意点 实际问题中自变量存在取值区间，顶点不一定能取到，需对比区间端点函数值，确定真实最大 / 最小值。 知识点03:实际问题与二次函数的练习转化 知识点04:二次函数实际应用 知识点05:二次函数综合 1、忽略实际问题中自变量的取值范围 易错提醒：利用二次函数求最值，不可直接取用顶点的函数值；必须验证顶点横坐标是否落在自变量的取值范围内。若不在取值范围内，则最值需要在区间的端点处求取。 2、构建利润模型时数量关系写错 易错提醒：利润的计算公式：总利润＝单件利润×销售数量。价格发生涨跌时，单件利润和销售量会同时发生变化，两个量要同步调整，不可只改动其中一项。 3、实物抛物线模型建立坐标系出错 易错提醒：处理桥梁、喷泉、投篮等抛物线实际问题，先规范建立平面直角坐标系；精准确定顶点、交点等关键点的坐标，不可主观随意设定坐标数值。 4、选用二次函数解析式的形式不当 易错提醒：根据已知点的特征，正确选用一般式、顶点式、交点式；若条件与解析式形式不匹配，会增加运算量，还容易产生计算错误。 5、混淆自变量与因变量的实际意义 易错提醒：列式之前明确x、y对应的实际含义；不可将水平距离当作高度，或是把高度当作水平距离进行运算。 6、解方程后不检验根的实际合理性 易错提醒：令y等于指定数值列出一元二次方程，常会得到两个解；必须结合自变量的取值范围，舍去不符合实际意义的根，不能全部保留。 7、默认顶点位置一定取得最值 易错提醒：仅当顶点横坐标落在自变量取值区间之内，顶点处才取到最值；当取值区间全部位于对称轴的一侧时，最值出现在区间的两个端点。 8、几何面积问题忽略边长的约束条件 易错提醒：在面积类二次函数问题中，边长必须大于0；求得结果后，要剔除造成边长等于零或者为负数的取值。 题型 考察方向 难度 题型一 图形问题 ★★★ 题型二 图形运动问题 ★★★★ 题型三 拱桥问题 ★★★ 题型四 销售问题 ★★★ 题型五 投球问题 ★★★ 题型六 喷水问题 ★★★ 题型七 增长率问题 ★★★ 题型八 其他问题 ★★★ 题型九 线段周长问题 ★★★★ 题型十 面积问题 ★★★★ 题型十一 角度问题 ★★★★ 题型十二 特殊三角形问题 ★★★★ 题型十三 特殊四边形 ★★★★ 题型十四 相似三角形问题 ★★★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 图形问题 1．用一段20 m长的铁丝在平地上围成一个矩形，则矩形的面积y（单位：）和矩形的一边的长x（单位：m）之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，张大爷利用旧墙和篱笆围城一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米篱笆，若a=30米，则矩形菜园ABCD面积的最大值为__________． 3．如图，某农户要用长的篱笆，在练江边靠墙（墙长）围一块长方形苗圃（靠墙的一边不围），苗圃的一边垂直于墙． (1)设垂直于墙的一边长为，求苗圃面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为多少时，苗圃的面积最大？最大面积是多少平方米？ 4．“绿水青山就是金山银山！”，大庆碳中和生态园大力发展生态农业、碳汇林种植、生态养殖、科普研学，打造集生态保护、绿色种植、休闲观光于一体的低碳示范基地．如图，该生态园拟用总长为的建筑材料建设三间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长），中间用建筑材料做的墙隔开（如图所示）．设三间饲养室平行于墙的一边合计使用建筑材料，三间饲养室的总占地面积为，当为何值时，有最大值？最大值是多少？ 题型二 图形运动问题 5．如图，在矩形电子显示屏中，，，光点E从点B出发，以的速度沿的路径向点A匀速运动，同时光点F从点B出发，以的速度沿的路径向点C匀速运动，当光点F到达点C时，两光点同时停止运动，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点． 请回答下列问题： （1）________； （2）当时，则的长度为______． 7．如图（单位：），等腰直角三角形在正方形的左侧，点在一条直线上．现将由如图所示的位置开始，以的速度沿直线从左向右运动（正方形保持不动），直到边与边重合．设运动时，与正方形重叠部分的面积为． (1)写出与之间的关系式． (2)当，时，的值分别是多少？ (3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，运动了多长时间？ 8．如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿A→B→C的方向运动到点C停止，运动速度为，若射线，分别是正北方向和正东方向，在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F，连接，设的面积为，点P运动的时间为（线段可视为面积为0的三角形）． (1)当点F与矩形顶点重合时，； (2)求当E在线段上时，y关于x的函数解析式； (3)当点P在线段上，且将矩形分成两部分图形的面积比为时，直接写出x的取值范围． 题型三 拱桥问题 9．某温室大棚的拱架呈抛物线型（图1），如图2，以拱架底部的中点O为原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，y轴与抛物线交于顶点M．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点M距底部的高度为____． 10．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．如图是一座仿赵州桥建造的抛物线形拱桥的示意图，正常水位时，水面宽，水位上涨到达警戒水位，此时水面宽，则正常水位时拱顶离水面的高度为（     ） A． B． C． D． 11．如图是抛物线形的拱桥，水面的宽为10米，拱顶离水面4米． (1)求抛物线的解析式． (2)若水面上升1米，则水面的宽度是多少米？ (3)在（2）的条件下，有一艘有物资的船准备从桥下通过，船身及物资如图所示，这艘船宽，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 12．如图，练江上一座抛物线形拱桥，桥洞水面宽6米，拱顶高出水面3米．以水面所在直线为x轴、拱顶对称轴为y轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)一艘货船宽2米，船舱顶部离水面高2米，若它从桥洞正中间（居中）通过，能否安全通过？请通过计算说明． 题型四 销售问题 13．销售末期，商家决定降价销售，已知这款护眼灯的进价为元/台，当销售单价为元/台时，每天能卖出台，若每降价元，每天可多卖出台．设每台护眼灯的销售单价下降元，每天的利润为元，则与 之间的函数解析式为__________________． 14．在1~7月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息，如图所示，其中每千克成本和月份之间满足二次函数关系，每千克售价和月份之间满足一次函数关系，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份是（     ） A．1月份 B．2月份 C．5月份 D．7月份 15．贵州省遵义市湄潭县以茶产业为特色，某茶叶商家销售一种茶叶礼盒，已知每盒茶叶的成本为40元，原售价为80元，按原售价销售时每周可售出450盒．市场调查表明：每盒茶叶每降价1元，每周的销售量可增加15盒．设每盒茶叶降价元． (1)若每周的销售利润为元，求的值． (2)每盒茶叶降价多少元时，可使商家每周的销售利润最大？最大利润是多少？ 16．在全国战“疫”期间，网络销售及快递小哥为我们提供了极大的生活便利．某网店专售一款电动牙刷，其成本为元/支，销售中发现该商品每天的销售量（支）与销售单价（元支）之间存在如图所示的关系． (1)请求出与的函数关系式； (2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)山川异域，风月同天，同舟共济，共克时艰．该网店店主决定从每天获得的利润中抽出元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？ 题型五 投球问题 17．如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 18．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 19．小明和小陈两人周末去打羽毛球，羽毛球的飞行路线可视为抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，小明在点正上方的处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点的水平距离为． (1)求抛物线表达式； (2)通过计算判断此球能否过网． 20．篮球课上，小源和小宸在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习，篮筐距离地面的高度约为，篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． (1)小源某次定点投篮练习时，篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离/ 竖直高度/ ①直接写出篮球的竖直高度的最大值是________； ②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系（），求的值； ③小源本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； (2)小宸进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小宸将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围． 题型六 喷水问题 21．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，则喷出水珠的最大高度是（    ） A． B． C． D． 22．大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为，y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为．一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动________的距离才能击中昆虫． 23．某高为的喷水管竖直向上喷水，水在空中的高度h（单位：m）与水离开水管后在空中的时间t（单位：s）的关系近似为． (1)水离开喷水管后，经过多久能落回到起始高度？ (2)喷出的水在空中的最大高度是多少？ 24．综合与实践 问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究． 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度（水流喷水孔点O与落地点M之间的水平距离）为，最高点距地面． 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为． 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道在线段上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入上方的安全区域矩形内． 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决 (1)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式； (2)若乙组喷泉跨度恰好为，求喷水管的高度； (3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，求此时安全通道的宽度． 题型七 增长率问题 25．为了迎接体考，小南坚持每天进行跳绳练习．本周五她参与了学校的志愿服务活动，跳绳量比周四减少了．为补上周五缺失的练习，小南决定周六、周日连续两天提高跳绳量，设日均增长率为，若小南周四跳绳量为个，则小南周日跳绳量关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 26．某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为，六月份的营业额为万元，那么关于的函数解析式是______． 27．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金实施园林绿化工程．已知去年投入资金1500万元，计划从今年起，连续三年每年投入资金比上一年增加相同的百分率x．写出明年将投入的资金量y（单位：万元）关于每年增加的百分率x的函数解析式． 28．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 题型八 其他问题 29．若火车刹车后行驶的距离关于刹车时间的函数解析式是，则刹车后到停下来用时（     ） A． B． C． D． 30．一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________________． 31．如图，一位跳台滑雪运动员在一次训练中从起跳点起跳飞出，在着陆坡着陆．已知起跳点E与着陆坡上的计分参照点K的垂直距离为，水平距离为．按如图所示的平面直角坐标系，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线．该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度是多少？着陆时他能越过K点吗？ 32．为探究三峡水电站的发电过程，某兴趣小组计划制作水电站的模型，模型包含多个水轮发电机等组件，如图，制作一个水轮发电机需配备个铜线圈、组叶片和若干其他基础配件．已知购买一个铜线圈需元，购买一组叶片需元（其它基础配件库存充足，无需购买）． (1)现有经费元全部用于购买铜线圈和叶片来制作水轮发电机，该兴趣小组最多能制作多少个水轮发电机？ (2)由于模型储水能力有限，所有水轮发电机不能同时运行．兴趣小组测试时发现：若同时工作的发电机不超过个，每个发电机发电功率为每秒焦耳；若超过个，每增加个发电机同时工作，每个发电机的功率每秒将减少焦耳．（总发电功率工作的发电机个数每个发电机的功率） 设同时工作的发电机有个，当时，求总发电功率（单位：焦耳秒）关于的函数关系式； 在（）的条件下，模型的总发电功率最大是每秒多少焦耳？ 题型九 线段周长问题 33．如图，已知直线分别交x轴、y轴于点A、B，点P是抛物线在直线上方图象上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线于点Q，则当最大时，a的值是_________． 34．如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D．以上都不正确 35．如图，已知抛物线（b、c为常数）经过A，B两点，轴于点C，且点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是线段上一动点（不与A，B重合），过点M作y轴的平行线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标． 题型十 面积问题 36．如图，抛物线顶点C的坐标为，交x轴于点，交y轴于点B，则的面积为______． 37．如图，已知抛物线与x轴分别交于A，O两点，顶点为M．将抛物线关于y轴对称得到抛物线，则抛物线过点O，与x轴的另一个交点为B，顶点为N，连接，，，则四边形的面积为_____． 38．已知抛物线与交于、两点（在点左侧）． (1)直接写出时的取值范围是_______． (2)求抛物线顶点的坐标，并求面积； (3)当时，的取值范围是_______． 39．在如图的抛物线上，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q． (1)求直线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段的长； (3)当m为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 题型十一 角度问题 40．如图，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点左侧），点在第二象限的抛物线上，连接，且，则点的坐标为______． 41．如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 42．抛物线过点，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点P，使得，求出P点的坐标． 题型十二 特殊三角形问题 43．如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，则______． 44．如图，抛物线经过等腰直角三角形的两个顶点A，B，点A在y轴上，则的值为(   ) A． B． C． D． 45．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交轴正半轴于点． (1)求的值及点的坐标； (2)抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型十三 特殊四边形 46．如图，在平面直角坐标系中，四边形和四边形都是正方形，点A在x轴正半轴上，点C、F在y轴正半轴上，点D在线段上，点B为抛物线的顶点．点E在此抛物线上，则点E的坐标为________． 47．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点．若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 48．如图，抛物线经过，，三点． (1)求、、的值； (2)点为轴上的动点，轴左侧的抛物线上是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十四 相似三角形问题 49．如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，过A作轴，交抛物线于点B，连接．点P为抛物线上上方的一个点，连接，作垂足为H，交于点Q．当时，点P的坐标为 _____________． 50．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 51．如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为直线上方抛物线上一点，连接并交于点Q，若分的面积为3：5两部分，请求出点P的坐标； (3)在y轴上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $