专题三·期中综合复习·满分压轴讲义（二次函数·概率·圆）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （二次函数·概率·圆）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质，能求顶点、对称轴、最值并判断图象位置 · 会用待定系数法求二次函数解析式，能解决实际问题中的最值与面积压轴问题 · 理解概率的意义，能用列表法或树状图法计算两步及以上事件的概率并判断游戏公平性 · 掌握垂径定理、圆周角定理及圆内接四边形的性质，能进行圆中角度与线段的计算 · 会计算弧长、扇形面积，理解正多边形和圆的有关概念，能解决旋转路径与综合压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的图象与性质 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，a决定开口方向，a>0开口向上、a<0开口向下 对称轴为直线x=-，顶点坐标为(-, ) 当a>0时，x=-处取最小值；当a<0时取最大值 抛物线与x轴的交点个数由判别式Δ=b2-4ac决定：Δ>0两个交点，Δ=0一个交点，Δ<0无交点 二次函数图象平移遵循「上加下减、左加右减」，顶点式y=a(x-h)2+k便于研究顶点与最值 概念辨析例题：二次函数y=x2-2x-3的对称轴是直线____，顶点坐标为____，与x轴的交点坐标为____ 答案：对称轴x=1，顶点(1,-4)，与x轴交点(-1,0)和(3,0) 解析：对称轴x=-=-=1；顶点纵坐标==-4；令y=0，x2-2x-3=0即(x-3)(x+1)=0，得x=-1或3。 ☆ 2.概率的计算 概率公式：一般地，若一次试验共有n种等可能结果，事件A包含m种结果，则P(A)= 两步或两步以上的试验，用列表法或画树状图法列出所有等可能结果，再数出符合条件的结果数 游戏公平性：比较各方获胜概率是否相等，概率相等则公平，否则不公平 几何概率：事件A的概率等于构成事件A的区域长度（面积）与全部试验结果区域长度（面积）之比 用样本估计总体：样本中某事件所占比例可估计总体中该事件的数量 概念辨析例题：同时抛掷两枚均匀硬币，求两枚都正面朝上的概率 答案： 解析：画树状图共有（正正）（正反）（反正）（反反）4种等可能结果，两枚都正面朝上只有1种，故P=。 ☆ 3.圆的有关性质 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；常用半径、弦心距、半弦构造直角三角形 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等 半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 圆内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，其余各组量都分别相等 概念辨析例题：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，若∠BAC=35°，则∠B=____ 答案：55° 解析：AB是直径，由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°；在Rt△ABC中，∠B=90°-∠BAC=90°-35°=55°。 ☆ 4.弧长、扇形面积与正多边形 弧长公式：半径为R、n°的圆心角所对的弧长l= 扇形面积公式：S==lR 图形旋转扫过的面积：点的运动路径是一段弧，路径长用弧长公式，扫过面积用扇形面积 正n边形的中心角为，正多边形都有外接圆和内切圆，它们是同心圆 正多边形的半径、边心距、边长的一半构成直角三角形，是计算的基本模型 概念辨析例题：一个扇形的半径为6 cm，圆心角为120°，则它的弧长为____cm，面积为____cm2 答案：弧长4π cm，面积12π cm2 解析：l===4π；S===12π。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数顶点 (-, ) a决定开口方向与最值 判别式 Δ=b2-4ac 决定抛物线与x轴交点个数 概率公式 P(A)= 前提是各结果等可能 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 构造半径、弦心距、半弦直角三角形 圆周角定理 圆周角=同弧圆心角的一半 直径所对圆周角为90° 圆内接四边形 对角互补 外角等于内对角 弧长/扇形 l=，S= 注意n不带单位、R为半径 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的图象与性质（第1-7题） · 看a定开口、看对称轴定增减性、看顶点定最值，三者是判断图象性质的三把钥匙 · 已知两点关于对称轴对称可求对称轴，关于原点对称则横纵坐标都互为相反数 · 抛物线与x轴交点问题转化为一元二次方程根的情况，用Δ=b2-4ac判断 · 由图象判断a、b、c符号：开口定a，对称轴位置定b，与y轴交点定c · 含参数的二次函数求参数，紧扣定义中a≠0及图象过点代入列方程 1．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段检测）当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】先对函数配方得到开口方向和对称轴，再根据对称轴与给定的的取值范围的位置关系分类讨论，即可求出的值． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处函数最小值为． 当时，函数的最小值为1， 分两种情况讨论： ①如图1，当时，即时， 最小值在处取得， ∴，即，解得或， ∵， ∴． ②如图2，当时， 最小值在处取得， ∴，解得或， ∵， ∴． 综上，的值为或． 2．（2026九年级上·浙江·专题练习）已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、折叠问题 【分析】根据题意画出对应的图象，先解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，然后求出直线经过该抛物线的顶点C时的坐标，从而得到m的值，进而得出m的取值范围． 【详解】解：如图，在x轴下方作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时点C为翻折抛物线的顶点，则直线在x轴与切线的两条直线之间，两个图象有4个交点， 令，解得：或2，即，， ∴翻折抛物线的表达式为：， ∴顶点C的坐标为， 当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）若二次函数与的图象关于坐标原点中心对称，则的值为________． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知两点关于原点对称求参数 【分析】根据中心对称的性质，关于原点中心对称的两个点，横纵坐标都互为相反数，先求出原二次函数的顶点坐标，得到对称后二次函数的顶点坐标，结合的顶点式即可求出的值，进而计算． 【详解】解：先对配方得， 因此的顶点坐标为. 因为两个函数图象关于原点中心对称， 所以的顶点坐标为， 又因为的顶点坐标为， 因此可得，， 所以． 4．（2024·云南·模拟预测）已知二次函数（为常数，且）. (1)求证：该函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若点，在函数图象上，比较与的大小； 【答案】(1) 证明：令，即， 或， ∴，， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 该函数的图象与轴总有两个公共点； (2)当或时，；当时，；当时，． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，比较二次函数值大小，掌握二次函数图象与轴的交点的横坐标即为相关一元二次方程的解和二次函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键． （1）令，则，可求出，，再根据，即得出方程有两个不相等的解，即说明该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）将，代入，得：，，从而可求出，最后分类讨论解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：点，在函数图象上， 当时，， 当时，， ， 当或时，； 当时，； 当时，． 5．（2024·山东聊城·二模）如图，抛物线的顶点坐标是，若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查抛物线与直线的交点问题．解题的关键将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题，据此列式解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴抛物线与没有交点， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知函数，当时，若y的最大值与最小值之差为8，则_________． 【答案】或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数最值，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论思想的应用是解题的关键． 分三种情况：①当时，即；②当且时，即；③当时，即，．分别求解即可． 【详解】解：当时，， ①当时，即， 时，y取得最小值，此时；时，y取得最大值，此时；，解得：， ∵， ∴不符合题意； ②当且时，即，此时最小值为， 当取得最大值时，， ，解得：， ∵，， ∴不符合题意； ∴符合题意； 当取得最大值时，， ，解得：， ∵，，， ∴符合题意，不符合题意， ∴； ③当时，即， 时，y取得最小值，此时；时，y取得最大值，此时；，解得：， ∵， ∴不符合题意； 综上所述，当时，若y的最大值与最小值之差为8，k的值为或． 故答案为：或． 7．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）二次函数自变量的部分取值和对应的函数值如下表所示： ... ... ... ... 下列说法正确的是__________．（填写序号） ①抛物线的对称轴为直线；②函数图像开口向上； ③当时，随的增大而增大；④当时，的取值范围是． 【答案】①②③ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像与性质，结合表格中的数据逐一分析即可． 【详解】解析：∵当或时，函数值相等， 抛物线的对称轴为直线 ，①正确． ②当时的函数值大于当时的函数值， 当时的函数值是该函数的最小值， 函数图象开口向上，②正确． ③由①②得：当时，随的增大而增大， ③显然正确． ④当时，的取值范围为或， ④不正确． 综上所述， 正确的是①②③． 【考点2】二次函数的解析式与实际综合（第8-12题） · 待定系数法：已知三点设一般式，已知顶点设顶点式y=a(x-h)2+k，已知与x轴交点设交点式 · 实际问题先建立坐标系、设点坐标，把距离、面积、利润转化为二次函数 · 最值问题在顶点处取得，但要注意自变量取值范围是否包含顶点 · 面积压轴题用「割补法」把不规则图形面积表示为关于动点坐标的二次函数 · 投球、拱桥问题抓住最高点（顶点）和落地点（与x轴交点）两个关键条件 8．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，小明从离地面高度为的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．现在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（   ） A．3.7 B．4.1 C．4.5 D．5 【答案】B 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键，根据点A的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为，可求出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时，s的值，进而得到s的取值范围，从而得到答案． 【详解】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：， ∴， ∴解析式为：， 当时，的最大值为， 令，则， 解得：或（舍去）， ∴， ∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的， ∴其最大高度为：， ∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线， 设B处着地后弹起的抛物线解析式为：， 将点代入该解析式得：， 解得：或（舍去）， ∴该抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点B的坐标为，则点的坐标为， ∵圆柱形的高为， 当时，则， 解得：或（舍去）， ∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，， ∵筐的底面半径为，直径为， ∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，， ∴， ∴选项B中的满足条件， 故选：B． 9．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______． 【答案】/ 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解． 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过，，三点，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴将，代入，得， ∵抛物线过点， ∴将，代入，得，即， ∵抛物线过点， ∴将，代入，得，化简得， 联立与，两式相加得，解得， 将代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为． 11．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】C 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 12．（26-27九年级上·北京·课后作业）在平面直角坐标系中，抛物线过两点． (1)若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； (2)如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据题意得到，据此求解即可； （2）用含的代数式表示和，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：连接，由题意，得， ， ，而， ， 过M作轴于D， ∵， ． 【考点3】概率的计算与游戏公平性（第13-16题） · 两步试验优先画树状图或列表，确保不重不漏地列出所有等可能结果 · 判断游戏公平性就是比较双方获胜概率是否相等，可通过修改规则使其公平 · 已知概率求数量列方程求解，注意分式方程要检验 · 几何概率用面积（长度）之比计算，样本估计总体用比例列方程 · 注意「放回」与「不放回」对结果总数的影响 13．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、求扇形面积、几何概率 【分析】如图所示，过点A作于点D，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可． 【详解】如图所示，过点A作于点D ∵是直径 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴， ∴ ∴， ∴该粒米落在扇形内的概率为． 故选：D． 【点睛】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 14．（25-26八年级上·广东茂名·开学考试）用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】游戏的公平性 【分析】本题考查判断游戏是否公平，解题的关键是看游戏中双方赢的概率是否相等．根据题中图片，逐个分析即可求解． 【详解】第一个图片：箱子里有4个黑球，4个白球，任意摸出一个球，摸到黑球和白球的可能性相同，所以用摸球的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 第二个图片：转盘中乙队的区域比甲队的区域大，则转到乙队的可能性大，乙队获胜的可能性比甲队大，所以用转盘的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，不公平； 第三个图片：硬币只有正、反两面，抛一次硬币，正面朝上和反面朝上的可能性相等，所以用抛硬币的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 第四个图片：1～6中，奇数有1、3、5，有3个；偶数有2、4、6，有3个；奇数与偶数的个数相等，则掷出奇数、偶数的可能性相同，所以用掷骰子的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 综上所述，公平的方式有3种； 故选C． 15．（23-24九年级上·广东佛山·阶段检测）桌上放4张扑克牌，全部正面朝下，其中恰有1张是老K．两人做游戏，游戏规则是：随机取2张牌并把它们翻开，若2张牌中没有老K，则红方胜，否则蓝方胜．则赢的机会大的一方是（    ） A．红方 B．蓝方 C．两方机会一样 D．不知道 【答案】C 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题主要考查了概率与游戏、运用画树状图求概率等知识点，用树状图列举出所有情况以及2张牌中有老K的情况数及没有老k的情况数，然后比较即可解答． 【详解】解：设其余3张扑克分别为a,b,c. 共12种情况，含有k的情况有6种，不含k的情况也是6种， ∴两方机会一样． 故选：C． 16．（25-26九年级下·四川达州·期中）一个不透明的盒子中装有红、黑、白三种不同颜色的球，其中红球有2个，黑球有4个，白球有m个，这些球除颜色外其余均相同．若从盒子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则m的值为_____． 【答案】3 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、已知概率求数量 【分析】根据概率公式，利用摸到白球的概率为建立关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：盒子中球的总个数为， 根据题意得， 交叉相乘得， 移项合并得， 解得， 经检验，是原方程的解． 故m的值为3． 【考点4】垂径定理与圆的有关计算（第17-24题） · 见弦作弦心距，连半径，构造由半径、弦心距、半弦组成的直角三角形用勾股定理 · 垂径定理实际问题（拱桥、油槽）把实物抽象为圆中的弦与半径问题 · 求弧长直接代入l=，关键是找准圆心角和半径 · 旋转扫过的面积问题：先确定旋转中心、旋转角和半径，再用扇形面积公式 · 半圆（直径）所对圆周角是直角，见到直径就想90°圆周角 17．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，等边三角形和正方形的边长都是a，在图形所在的平面内，将以点A为中心沿逆时针方向旋转，使与重合，如此继续以点B、C、D为中心将三角形进行旋转，只需使点P回到原来位置为止即可，则点P从开始到结束所经过路径的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边三角形的性质、求某点的弧形运动路径长度、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查弧长的计算和等边三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质，此题难度不大． 首先作出图形，于是可得点P所经过的路径是半径为a、圆心角分别为和和的三段圆弧，根据弧长公式即可求出总长度． 【详解】解：作图如图 点P所经过的路径是半径为a、圆心角分别为和和的三段圆弧， 故总长度为． 故选：C． 18．（2024·浙江杭州·二模）如图，是的弦，是的直径，于点．在下列结论中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用垂径定理求值、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键，根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可． 【详解】解：根据垂径定理可以得到，故选项A不符合题意； ∵是的直径， ∴，故选项B不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴, 故选项C不符合题意； ∵无法证明， ∴选项D符合题意． 19．（2025·山东东营·模拟预测）如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，连续旋转两次，分别得到和，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、求扇形面积、求图形旋转后扫过的面积、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查扇形的面积，旋转的性质，含角的直角三角形，掌握不规则图形面积的计算是解题的关键． 由直角三角形的性质求出，的长，由阴影的面积，应用扇形面积计算公式，三角形面积计算公式，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴阴影的面积 ． 故答案为：． 20．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图， 四边形内接于，，若的半径是3，，则的长为__________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，弦，弧，圆心角的关系，勾股定理的应用，过作交于，交于，证明，，，，再进一步求解即可． 【详解】解：过作交于，交于，而， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的半径是3， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 21．（2024·江苏·模拟预测）如图，是的直径，，是的弦，连接，，．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆周角定理、求弧长 【分析】本题考查了圆周角定理和弧长公式，熟练掌握圆周角定理和弧长公式是解题的关键；根据圆周角定理和弧长公式解答即可． 【详解】解：是直径， ， ， ， ， ∴的长π． 故选：A 22．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，于，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求值 【分析】直接利用垂径定理即可得到答案． 【详解】解： 是的直径，于， ， ， ． 23．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，的半径为5，弦，点C在弦上，延长交于点D，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，根据勾股定理、垂径定理求出的长是解题的关键． 过O作于H，由垂径定理得到，由勾股定理求出，当C和H重合时，的最小值是，当是圆直径时，的值最大是，即可得到的取值范围． 【详解】解：过O作于H， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴当C和H重合时，的最小值是4，的最小值是， 当是圆直径时，的值最大是， ∴的取值范围是． 故答案为：． 24．（2025·浙江·模拟预测）如图，以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的封闭图形就是“莱洛三角形”，而封闭图形由，，，组成是由两个“莱洛三角形”交叠而成．若，则封闭图形的周长是______． 【答案】/ 【知识点】等边三角形的性质、利用弧、弦、圆心角的关系求解、求弧长 【分析】连接，如图，先根据等边三角形的性质得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用画法得到，所以，所以封闭图形ABCD的周长的长，然后根据弧长公式计算即可． 本题考查了弧长的计算，弧长公式：其中n为圆心角的度数，R为圆的半径也考查了等边三角形的性质． 【详解】解：连接，如图， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 封闭图形的周长的长 故答案为： 【考点5】圆周角定理与圆内接四边形（第25-35题） · 圆周角=同弧圆心角的一半，同弧等弧所对圆周角相等，是角度转化的核心 · 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角，据此建立角度方程 · 弧、弦、圆心角关系定理：一组量相等则其余量对应相等，用于证明线段、角相等 · 等边对等角与三角形内角和、外角性质常与圆综合，设未知数用方程求角 · 圆与三角形综合问题连半径构造等腰三角形，把圆的条件转化为三角形条件 25．（2025·浙江嘉兴·二模）用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，分割出来的小三角形与原三角形不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】尺规作一个角等于已知角、作垂线(尺规作图)、已知圆内接四边形求角度、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定，圆内接四边形的性质，三角形中位线定理．分别根据作图痕迹，依据相似三角形的判定定理，即可判断． 【详解】解：B、由作图知，， ∴，故本选项不符合题意； C、由作图知，四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴，故本选项不符合题意； D、由作图知，点和点分别是和的中点， ∴， ∴，故本选项不符合题意； A、由作图知，和分别是的角平分线，不能说明和相似，故本选项符合题意； 故选：A． 26．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查求弧的度数，斜边上的中线. 根据斜边上的中线求出得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴. 故选：B． 27．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，是的直径，为上的点，且，连接．若弦，则直径的长为（   ） A．3 B．6 C．6 D．6 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查圆周角定理的推论，等边三角形的判定及性质． 连接，，，，由，得到，从而是等边三角形，进而即可解答． 【详解】解：连接，，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴直径． 故选：B 28．（2024·青海西宁·中考真题）如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，，则______． 【答案】/度 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了已知圆内接四边形求角度，半圆（直径）所对的圆周角是直角，利用弧、弦、圆心角的关系求解，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 连接，根据圆内接四边形性质求得，结合弧、弦、圆心角的关系推出，进而得到，再利用半圆（直径）所对的圆周角是直角，得到，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：连接， 四边形内接于，， ， ， ， ， 为直径， ， ； 故答案为：． 29．（2026·宁夏银川·二模）如图，在中，将弦绕圆心顺时针旋转得到弦，若，则的度数为_____． 【答案】 【知识点】等边对等角、利用弧、弦、圆心角的关系求解、根据旋转的性质求解 【分析】先根据圆的半径相等得到，利用等边对等角及三角形内角和定理求出的度数，再根据旋转的性质得到，利用在同圆中相等的弦所对的圆心角相等即可求解． 【详解】解：在中，， ， ． 弦绕圆心顺时针旋转得到弦， ， ． 30．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，四边形内接于，，，，则的半径长为_________________． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、圆周角定理、解直角三角形的相关计算 【分析】连接，延长至使得，连接，连接并延长交于，连接，证明为的直径，，证明，得出，，推出为等腰直角三角形，进而得出，解直角三角形得出，即可得解． 【详解】解：如图：连接，延长至使得，连接，连接并延长交于，连接， ∵， ∴，， ∴为的直径，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形，证明是解题的关键． 31．（2024·湖南长沙·二模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键． 根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，若， ∴， ∴． 故选D． 32．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（     ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 【答案】A 【知识点】圆周角定理、正多边形和圆的综合 【分析】根据圆周角定理可得，即正多边形的中心角，进而求得边数，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ∵ ∴ 依题意，依次连接各等分点得到的图形为正边形，其中，即正十边形 33．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，内有一内接正五边形，点为劣弧上的任意一点（不与端点重合），则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形，圆的内接四边形，能够正确作出辅助线是解题关键； 连接，通过正五边形性质求出，进而求出，最后利用圆的内接四边形对角互补计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形， ∴， ∴， ∵为圆的内接四边形， ∴， 故选：C． 34．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形是的内接四边形，E在的延长线上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 设，则，再由圆内接四边形的性质得出x的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵， 设，则． ， ∴， 解得， ， ，， ． 故选：D． 35．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，为直径，弦，若的度数是，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查弧的度数与圆心角的关系，平行线的性质，等腰三角形的性质，将弧的度数问题转化为圆心角的度数问题是解题关键． 先由的度数得到圆心角的度数，再利用平行线性质和等腰三角形性质求出圆心角的度数，从而得到的度数． 【详解】解：如图，连接、， 的度数是， ， ， ， ， ， ， 故的度数为． 故选：． 【考点6】正多边形和圆的综合（第36-41题） · 正n边形中心角为，求中心角直接用360°除以边数 · 正多边形的半径、边心距、边长一半构成直角三角形，是计算边长、面积的模型 · 平面镶嵌看同一顶点处各角之和是否等于360° · 正多边形外角等于中心角、内角与外角互补，注意区分内角、外角、中心角 · 位似图形的相似比等于对应点到位似中心距离之比，结合坐标求线段长 36．（25-26九年级上·云南昭通·期末）下列关于边长为的正六边形的说法中，错误的是（   ） A．该正六边形是中心对称图形 B．该正六边形有6条对称轴 C．该正六边形的中心角为 D．该正六边形的面积为 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、求正多边形的中心角、求对称轴条数、中心对称图形的识别 【分析】首先，根据中心对称图形的定义判断正六边形是否为中心对称图形；其次，根据对称轴的定义确定正六边形的对称轴数量；然后，利用正边形中心角公式计算正六边形的中心角；最后，通过将正六边形分割为6个全等的等边三角形，计算其总面积． 【详解】解：对于A选项，∵正六边形绕其中心旋转后能与自身重合， ∴该正六边形是中心对称图形，A选项正确； 对于B选项，正六边形有6条对称轴，分别是3条对边的垂直平分线和3条过相对顶点的直线，B选项正确； 对于C选项，正六边形的中心角为，而非，C选项错误； 对于D选项，如图，正六边形的中心为，取边，作于，则． ∵正六边形的边长为，， ∴为的中点，为等边三角形，， 在中，，， ∴， ∴． ∴， ∴，D选项正确． 37．（23-24九年级下·四川成都·开学考试）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为___________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查位似图形的性质，正方形的性质，勾股定理，解题关键求出正方形的边长．根据正方形的边长为和位似比求出，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 正方形与四边形是位似图形， 四边形是正方形， ∴， 是四边形的外接圆直径， 正方形的边长为，， ， ∴， 四边形的外接圆半径为， 故答案为：． 38．（2025·河南信阳·三模）如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点，在轴上，顶点在轴上，若正六边形的中心点的坐标为 则点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、含30度角的直角三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、求正多边形的中心角 【分析】过点P作与点K，延长交y轴与点N，连接，，，先证明四边形是矩形，再根据矩形的性质得出，由含30度直角三角形的性质得出 ，由等腰三角形的性质得出，由勾股定理求出，求出点K的坐标即可得出点B的坐标． 【详解】解：过点P作与点K，延长交y轴与点N，连接，，， 则，， ∵是正六边形，且中心角为， 则，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵正六边形的中心点的坐标为 ∴， ∴， ∴， ∴点K的坐标为：， ∴B点的坐标为， 故选：D． 【点睛】此题考查了正多边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，写出直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形的判定和性质等知识，掌握正多边形的性质是解题的关键． 39．（2025·浙江·模拟预测）如图是一铺设在人行道上地板砖的一部分，它是由正六边形和四边形镶嵌而成，，，为各多边形顶点，则的值为________． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、平面镶嵌、正多边形和圆的综合 【分析】在图中标出字母如下，过点作延长线于点，连接，作于点，过点作于点，易得四边形和是矩形，再根据正六边形的性质求出每个内角的度数，进而得到是等边三角形，设，易表示出，，，，再利用矩形的性质和勾股定理求解和的长度即可求解． 【详解】解：在图中标出字母如下，过点作延长线于点，连接，作于点，过点作于点， 则四边形和是矩形． 人行道上地板砖由正六边形和四边形镶嵌而成， 正六边的内角为， ， , ，是等边三角形． 设， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，平面镶嵌，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，标出字母，作出辅助线构建直角三角形是解答关键． 40．（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）如图，多边形是正八边形，点M是延长线上一点，连接，则的度数为________． 【答案】/112.5度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、正多边形和圆的综合、求正多边形的中心角 【分析】设点O为正八边形的外接圆圆心，连接，则，求出正八边形中心角，再利用三角形内角和定理求出，最后再利用平角的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，设点O为正八边形的外接圆圆心，连接， 则， ∵， ∴， ∴． 41．（23-24九年级上·浙江台州·期末）图1是微信朋友圈的图案，它是中心对称图形，图2是其示意图．其作图过程为：取正八边形中心点O，延长，交于点M，为半径作，再延长正八边形其余七边得到的八等分点．若，则_______．      【答案】/ 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、正多边形的外角问题、求正多边形的中心角 【分析】连接，，过C作于T，根据在正八边形性质，结合等腰三角形的性质和三角形的外角性质证得，则，进而， 证明等腰直角三角形，求得即可求解． 【详解】解：连接，，过C作于T，    在正八边形中，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴等腰直角三角形，则， 由勾股定理得， ∴，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理和外角性质、勾股定理等知识，熟练掌握正多边形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 二次函数先定开口、对称轴、顶点，再判断增减性与最值 · 求解析式选对形式（一般式/顶点式/交点式），实际问题注意自变量范围 · 概率计算用树状图或列表列全等可能结果，区分放回与不放回 · 圆中计算连半径、作弦心距构造直角三角形，角度转化用圆周角定理 · 弧长扇形公式注意R与n的对应，压轴题分步设未知数用方程求解 【作业1】．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆周角定理、正多边形和圆的综合 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 【作业2】．（25-26八年级下·浙江金华·期末）二次函数图像上有和两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题将两点坐标代入二次函数解析式得到和的表达式，结合的条件即可比较大小． 【详解】解：∵ 点在二次函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， ∵ 点在二次函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ． 【作业3】．（22-23九年级上·浙江金华·阶段检测）平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【答案】B 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】根据点P在内或外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可． 【详解】当点P在外时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴ 的直径为 ，半径为 ． 当点P在内时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴的直径为 ，半径为 ． 因此的半径为或． 【作业4】．（2025九年级上·浙江·专题练习）下列说法： ①相等的圆心角所对的弧相等； ②相等的弧所对的弦相等； ③相等的弦所对的弧相等； ④半径相等的两个半圆是等弧， 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】圆的基本概念辨析、利用弧、弦、圆心角的关系求解、判断命题真假 【分析】本题考查圆中圆心角、弧、弦之间的关系，需注意“在同圆或等圆中”这一前提条件． 【详解】解：①相等的圆心角所对的弧相等，必须在同圆或等圆中才成立，否则不一定成立，故①错误； ②相等的弧所对的弦相等，等弧定义隐含同圆或等圆，故②正确； ③相等的弦所对的弧相等，该说法错误，在同圆或等圆中，一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），这两条弧通常不相等（除非弦为直径），因此相等的弦所对的弧不一定相等，故③错误； ④半径相等的两个半圆，弧长相等且均为半圆，故是等弧，故④正确， ∴正确的有②和④，共2个， 故选：B． 【作业5】．（26-27九年级上·全国·课后作业）用72米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档，也用木料）．其中，要使窗框的面积最大，则的长为_____，此时窗框的面积为______． 【答案】 9米/ 162平方米/ 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，设的长为米，则的长为米，利用面积公式列出二次函数解析式，求最值即可． 【详解】解：设的长为米，则的长为米 则窗框的面积 ∵ ∴ ∴当时，窗框的面积最大，最大面积为； 故答案为：9米，162平方米． 【作业6】．（2025·北京海淀·三模）咖啡店自制了300袋黄油饼干，从中随机抽取了10袋检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：47，46，a，50，49，49，48，50，52，49，这组数据的众数只有一个，恰好是a．则从这300袋饼干中随机抽取一袋，抽到质量为_____g的可能性最大，并估计这批饼干中质量超过的饼干有_____袋． 【答案】 49 90 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求众数、判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查了众数的定义，事件发生的可能性大小，样本估计总体，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据众数的定义即可得到，根据众数的定义即可得到抽到质量为的可能性最大，再用样本估计总体的方法求解这批饼干中质量超过的饼干的数量． 【详解】解：数据46有1个；数据47有1个；数据48有1个；数据49有3个；数据50有2个；数据52有1个， ∵数据的众数只有一个，恰好是a， ∴； ∵众数为49， ∴抽到质量为的可能性最大， 则这批饼干中质量超过的饼干有：（袋）， 故答案为：49；90． 【作业7】．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若内接于，则圆周角________． 【答案】50或130 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆周角定理，以及圆内接四边形性质，根据内接于，分两种情况讨论，①当点C在优弧上时，②当点C在劣弧上时，在优弧上找点D，连接，根据以上两种情况画出图形进行分析求解，即可解题． 【详解】解：如图，①当点C在优弧上时， 则； 如图，②当点C在劣弧上时，在优弧上找点D，连接， 则可得， 根据圆的内接四边形的性质可得， ∴， ∴， ∴的度数是或． 故答案为：50或130． 【作业8】．（2024·北京·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，O 为坐标原点，以 O 为圆心作，点A 、C分别是 与y轴正半轴、x轴正半轴的交点，点B 、D在 上，那么的度数是 ______ ． 【答案】/135度 【知识点】坐标与图形、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题主要考查了坐标与图形，圆周角定理，利用“在同圆中，同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”求得；然后由圆内接四边形的对角互补来求的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵点A、B、C、D共圆， ∴， ∴． 故答案是：． 【作业9】．（2024·江苏南京·二模）如图，，，，是上的四个点，，的延长线相交于点，，相交于点．若，，则的度数是____°． 【答案】21 【知识点】三角形的外角的定义及性质、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质．根据三角形的外角性质得到，根据圆周角定理得到，再根据三角形的外角性质列方程，解方程得到答案． 【详解】解：∵是的外角，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业10】．（23-24九年级上·山东泰安·期末）二次函数的解析式为，满足如下四个条件：；；，，则______________，________________． 【答案】 4 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用)、根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，有理数的加法和乘法运算，解二元一次方程组，掌握相关知识点是解题关键．由二次函数的定义可得，进而得到或，再分别求解即可． 【详解】解：二次函数的解析式为， ， ， 或， 当时，，， 解得：，，满足，符合题意； 当时，，， 解得：，，不满足，不符合题意； 故答案为：；4． 【作业11】．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______． 【答案】 【知识点】求某点的弧形运动路径长度 【分析】根据已知条件得到，，再根据旋转的性质得到，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴顶点从开始到结束所经过的路径长． 【作业12】．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】过点作，延长交于点，根据垂径定理可知，利用勾股定理求出，可得． 【详解】解：如下图所示，过点作，延长交于点， 液面宽的长为， ， ， ， ． 【作业13】．（2022·安徽马鞍山·模拟预测）从1，2，3，4这四个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被6整除的概率是______． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果数与这个两位数能被整除的结果数，再代入概率公式计算即可． 【详解】解：由题意画树状图得： 由图可知，共有种等可能的结果，这个两位数能被整除的有种情况， ∴这个两位数能被整除的概率是：． 【作业14】．（2022·浙江台州·模拟预测）小王设计一种游戏，2张卡片上各画1只羊，另2张卡片上各画1只猴，从这4张卡片中第一次随机抽取1张后重新放回，第二次再随机抽取1张，两张抽取的卡片画面不同的概率是______． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】列表或树状图将所有等可能的结果全部列举出来，用概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 羊1 羊2 猴A 猴B 羊1 1，1 1，2 1，A 1，B 羊2 2，1 2，2 2，A 2，B 猴A A，1 A，2 A，A A，B 猴B B，1 B，2 B，A B，B 由列表得：共有16种等可能的结果，两次抽取的卡片画面不同的有8种， 故两张抽取的卡片画面不同的概率是． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （二次函数·概率·圆）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质，能求顶点、对称轴、最值并判断图象位置 · 会用待定系数法求二次函数解析式，能解决实际问题中的最值与面积压轴问题 · 理解概率的意义，能用列表法或树状图法计算两步及以上事件的概率并判断游戏公平性 · 掌握垂径定理、圆周角定理及圆内接四边形的性质，能进行圆中角度与线段的计算 · 会计算弧长、扇形面积，理解正多边形和圆的有关概念，能解决旋转路径与综合压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的图象与性质 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，a决定开口方向，a>0开口向上、a<0开口向下 对称轴为直线x=-，顶点坐标为(-, ) 当a>0时，x=-处取最小值；当a<0时取最大值 抛物线与x轴的交点个数由判别式Δ=b2-4ac决定：Δ>0两个交点，Δ=0一个交点，Δ<0无交点 二次函数图象平移遵循「上加下减、左加右减」，顶点式y=a(x-h)2+k便于研究顶点与最值 概念辨析例题：二次函数y=x2-2x-3的对称轴是直线____，顶点坐标为____，与x轴的交点坐标为____ 答案：对称轴x=1，顶点(1,-4)，与x轴交点(-1,0)和(3,0) 解析：对称轴x=-=-=1；顶点纵坐标==-4；令y=0，x2-2x-3=0即(x-3)(x+1)=0，得x=-1或3。 ☆ 2.概率的计算 概率公式：一般地，若一次试验共有n种等可能结果，事件A包含m种结果，则P(A)= 两步或两步以上的试验，用列表法或画树状图法列出所有等可能结果，再数出符合条件的结果数 游戏公平性：比较各方获胜概率是否相等，概率相等则公平，否则不公平 几何概率：事件A的概率等于构成事件A的区域长度（面积）与全部试验结果区域长度（面积）之比 用样本估计总体：样本中某事件所占比例可估计总体中该事件的数量 概念辨析例题：同时抛掷两枚均匀硬币，求两枚都正面朝上的概率 答案： 解析：画树状图共有（正正）（正反）（反正）（反反）4种等可能结果，两枚都正面朝上只有1种，故P=。 ☆ 3.圆的有关性质 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；常用半径、弦心距、半弦构造直角三角形 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等 半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 圆内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，其余各组量都分别相等 概念辨析例题：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，若∠BAC=35°，则∠B=____ 答案：55° 解析：AB是直径，由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°；在Rt△ABC中，∠B=90°-∠BAC=90°-35°=55°。 ☆ 4.弧长、扇形面积与正多边形 弧长公式：半径为R、n°的圆心角所对的弧长l= 扇形面积公式：S==lR 图形旋转扫过的面积：点的运动路径是一段弧，路径长用弧长公式，扫过面积用扇形面积 正n边形的中心角为，正多边形都有外接圆和内切圆，它们是同心圆 正多边形的半径、边心距、边长的一半构成直角三角形，是计算的基本模型 概念辨析例题：一个扇形的半径为6 cm，圆心角为120°，则它的弧长为____cm，面积为____cm2 答案：弧长4π cm，面积12π cm2 解析：l===4π；S===12π。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数顶点 (-, ) a决定开口方向与最值 判别式 Δ=b2-4ac 决定抛物线与x轴交点个数 概率公式 P(A)= 前提是各结果等可能 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 构造半径、弦心距、半弦直角三角形 圆周角定理 圆周角=同弧圆心角的一半 直径所对圆周角为90° 圆内接四边形 对角互补 外角等于内对角 弧长/扇形 l=，S= 注意n不带单位、R为半径 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的图象与性质（第1-7题） · 看a定开口、看对称轴定增减性、看顶点定最值，三者是判断图象性质的三把钥匙 · 已知两点关于对称轴对称可求对称轴，关于原点对称则横纵坐标都互为相反数 · 抛物线与x轴交点问题转化为一元二次方程根的情况，用Δ=b2-4ac判断 · 由图象判断a、b、c符号：开口定a，对称轴位置定b，与y轴交点定c · 含参数的二次函数求参数，紧扣定义中a≠0及图象过点代入列方程 1．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段检测）当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 2．（2026九年级上·浙江·专题练习）已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）若二次函数与的图象关于坐标原点中心对称，则的值为________． 4．（2024·云南·模拟预测）已知二次函数（为常数，且）. (1)求证：该函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若点，在函数图象上，比较与的大小； 5．（2024·山东聊城·二模）如图，抛物线的顶点坐标是，若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是______． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知函数，当时，若y的最大值与最小值之差为8，则_________． 7．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）二次函数自变量的部分取值和对应的函数值如下表所示： ... ... ... ... 下列说法正确的是__________．（填写序号） ①抛物线的对称轴为直线；②函数图像开口向上； ③当时，随的增大而增大；④当时，的取值范围是． 【考点2】二次函数的解析式与实际综合（第8-12题） · 待定系数法：已知三点设一般式，已知顶点设顶点式y=a(x-h)2+k，已知与x轴交点设交点式 · 实际问题先建立坐标系、设点坐标，把距离、面积、利润转化为二次函数 · 最值问题在顶点处取得，但要注意自变量取值范围是否包含顶点 · 面积压轴题用「割补法」把不规则图形面积表示为关于动点坐标的二次函数 · 投球、拱桥问题抓住最高点（顶点）和落地点（与x轴交点）两个关键条件 8．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，小明从离地面高度为的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．现在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（   ） A．3.7 B．4.1 C．4.5 D．5 9．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过，，三点，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 11．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 12．（26-27九年级上·北京·课后作业）在平面直角坐标系中，抛物线过两点． (1)若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； (2)如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 【考点3】概率的计算与游戏公平性（第13-16题） · 两步试验优先画树状图或列表，确保不重不漏地列出所有等可能结果 · 判断游戏公平性就是比较双方获胜概率是否相等，可通过修改规则使其公平 · 已知概率求数量列方程求解，注意分式方程要检验 · 几何概率用面积（长度）之比计算，样本估计总体用比例列方程 · 注意「放回」与「不放回」对结果总数的影响 13．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·广东茂名·开学考试）用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 15．（23-24九年级上·广东佛山·阶段检测）桌上放4张扑克牌，全部正面朝下，其中恰有1张是老K．两人做游戏，游戏规则是：随机取2张牌并把它们翻开，若2张牌中没有老K，则红方胜，否则蓝方胜．则赢的机会大的一方是（    ） A．红方 B．蓝方 C．两方机会一样 D．不知道 16．（25-26九年级下·四川达州·期中）一个不透明的盒子中装有红、黑、白三种不同颜色的球，其中红球有2个，黑球有4个，白球有m个，这些球除颜色外其余均相同．若从盒子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则m的值为_____． 【考点4】垂径定理与圆的有关计算（第17-24题） · 见弦作弦心距，连半径，构造由半径、弦心距、半弦组成的直角三角形用勾股定理 · 垂径定理实际问题（拱桥、油槽）把实物抽象为圆中的弦与半径问题 · 求弧长直接代入l=，关键是找准圆心角和半径 · 旋转扫过的面积问题：先确定旋转中心、旋转角和半径，再用扇形面积公式 · 半圆（直径）所对圆周角是直角，见到直径就想90°圆周角 17．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，等边三角形和正方形的边长都是a，在图形所在的平面内，将以点A为中心沿逆时针方向旋转，使与重合，如此继续以点B、C、D为中心将三角形进行旋转，只需使点P回到原来位置为止即可，则点P从开始到结束所经过路径的长为（   ） A． B． C． D． 18．（2024·浙江杭州·二模）如图，是的弦，是的直径，于点．在下列结论中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 19．（2025·山东东营·模拟预测）如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，连续旋转两次，分别得到和，则图中阴影部分的面积为______． 20．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图， 四边形内接于，，若的半径是3，，则的长为__________． 21．（2024·江苏·模拟预测）如图，是的直径，，是的弦，连接，，．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 22．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，于，，则为（     ） A． B． C． D． 23．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，的半径为5，弦，点C在弦上，延长交于点D，则的取值范围是______． 24．（2025·浙江·模拟预测）如图，以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的封闭图形就是“莱洛三角形”，而封闭图形由，，，组成是由两个“莱洛三角形”交叠而成．若，则封闭图形的周长是______． 【考点5】圆周角定理与圆内接四边形（第25-35题） · 圆周角=同弧圆心角的一半，同弧等弧所对圆周角相等，是角度转化的核心 · 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角，据此建立角度方程 · 弧、弦、圆心角关系定理：一组量相等则其余量对应相等，用于证明线段、角相等 · 等边对等角与三角形内角和、外角性质常与圆综合，设未知数用方程求角 · 圆与三角形综合问题连半径构造等腰三角形，把圆的条件转化为三角形条件 25．（2025·浙江嘉兴·二模）用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，分割出来的小三角形与原三角形不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，是的直径，为上的点，且，连接．若弦，则直径的长为（   ） A．3 B．6 C．6 D．6 28．（2024·青海西宁·中考真题）如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，，则______． 29．（2026·宁夏银川·二模）如图，在中，将弦绕圆心顺时针旋转得到弦，若，则的度数为_____． 30．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，四边形内接于，，，，则的半径长为_________________． 31．（2024·湖南长沙·二模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 32．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（     ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 33．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，内有一内接正五边形，点为劣弧上的任意一点（不与端点重合），则的度数是（    ） A． B． C． D． 34．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形是的内接四边形，E在的延长线上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 35．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，为直径，弦，若的度数是，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【考点6】正多边形和圆的综合（第36-41题） · 正n边形中心角为，求中心角直接用360°除以边数 · 正多边形的半径、边心距、边长一半构成直角三角形，是计算边长、面积的模型 · 平面镶嵌看同一顶点处各角之和是否等于360° · 正多边形外角等于中心角、内角与外角互补，注意区分内角、外角、中心角 · 位似图形的相似比等于对应点到位似中心距离之比，结合坐标求线段长 36．（25-26九年级上·云南昭通·期末）下列关于边长为的正六边形的说法中，错误的是（   ） A．该正六边形是中心对称图形 B．该正六边形有6条对称轴 C．该正六边形的中心角为 D．该正六边形的面积为 37．（23-24九年级下·四川成都·开学考试）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为___________． 38．（2025·河南信阳·三模）如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点，在轴上，顶点在轴上，若正六边形的中心点的坐标为 则点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 39．（2025·浙江·模拟预测）如图是一铺设在人行道上地板砖的一部分，它是由正六边形和四边形镶嵌而成，，，为各多边形顶点，则的值为________． 40．（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）如图，多边形是正八边形，点M是延长线上一点，连接，则的度数为________． 41．（23-24九年级上·浙江台州·期末）图1是微信朋友圈的图案，它是中心对称图形，图2是其示意图．其作图过程为：取正八边形中心点O，延长，交于点M，为半径作，再延长正八边形其余七边得到的八等分点．若，则_______．      💯 课后巩固 复习建议 · 二次函数先定开口、对称轴、顶点，再判断增减性与最值 · 求解析式选对形式（一般式/顶点式/交点式），实际问题注意自变量范围 · 概率计算用树状图或列表列全等可能结果，区分放回与不放回 · 圆中计算连半径、作弦心距构造直角三角形，角度转化用圆周角定理 · 弧长扇形公式注意R与n的对应，压轴题分步设未知数用方程求解 【作业1】．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【作业2】．（25-26八年级下·浙江金华·期末）二次函数图像上有和两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【作业3】．（22-23九年级上·浙江金华·阶段检测）平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【作业4】．（2025九年级上·浙江·专题练习）下列说法： ①相等的圆心角所对的弧相等； ②相等的弧所对的弦相等； ③相等的弦所对的弧相等； ④半径相等的两个半圆是等弧， 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业5】．（26-27九年级上·全国·课后作业）用72米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档，也用木料）．其中，要使窗框的面积最大，则的长为_____，此时窗框的面积为______． 【作业6】．（2025·北京海淀·三模）咖啡店自制了300袋黄油饼干，从中随机抽取了10袋检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：47，46，a，50，49，49，48，50，52，49，这组数据的众数只有一个，恰好是a．则从这300袋饼干中随机抽取一袋，抽到质量为_____g的可能性最大，并估计这批饼干中质量超过的饼干有_____袋． 【作业7】．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若内接于，则圆周角________． 【作业8】．（2024·北京·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，O 为坐标原点，以 O 为圆心作，点A 、C分别是 与y轴正半轴、x轴正半轴的交点，点B 、D在 上，那么的度数是 ______ ． 【作业9】．（2024·江苏南京·二模）如图，，，，是上的四个点，，的延长线相交于点，，相交于点．若，，则的度数是____°． 【作业10】．（23-24九年级上·山东泰安·期末）二次函数的解析式为，满足如下四个条件：；；，，则______________，________________． 【作业11】．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______． 【作业12】．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为________． 【作业13】．（2022·安徽马鞍山·模拟预测）从1，2，3，4这四个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被6整除的概率是______． 【作业14】．（2022·浙江台州·模拟预测）小王设计一种游戏，2张卡片上各画1只羊，另2张卡片上各画1只猴，从这4张卡片中第一次随机抽取1张后重新放回，第二次再随机抽取1张，两张抽取的卡片画面不同的概率是______． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $