19 微专题6 函数与线段、面积问题（主书）-【领航中考】2027年中考数学一轮总复习

微专题6　函数与线段、面积问题 知识梳理 1.求线段长 (1)与x轴垂直的线段的长:纵坐标相减(上减下); (2)与y轴垂直的线段的长:横坐标相减(右减左); (3)不与坐标轴垂直的线段:利用两点间的距离公式求解. 2.线段数量关系 若两条线段的长可以计算或者表示出来,则可直接求解;若无法直接计算或者表示,通常构造相似三角形,将线段转化成与x轴平行或与y轴平行的线段,再进行求解. 3.线段最值 (1)通常利用坐标表示出线段的长,再利用二次函数的性质求出最值即可; (2)若该线段无法表示,则利用三角形相关性质将其转化为可表示的线段,进而求解. 4.面积最值 用含同一个未知数的式子表示出动点的坐标,进而表示出所求图形的面积,再利用二次函数的性质求出最值. 典例精讲 　　　　　　　　　　　　　　 1.如图,直线y=-x+3与抛物线y=-x2+2x+3交于点A(0,3),B(3,0). (1)点F是线段AB上的点,FE⊥x轴,E在抛物线上,若点F的横坐标为m,则F(　　　,　　　),E(　　　,　　　),EF=　　　　　;(用含m的代数式表示)  (2)求EF的最大值; (3)连接AE,BE,求△ABE面积的最大值. 　　　　　　　　　　　　　　 2.如图,一次函数y=x-1图象与y轴相交于B点,与反比例函数y=(k≠0,x>0)图象相交于点A(m,3). (1)求反比例函数的表达式; (2)C是线段AB上一点,点C在点A的左侧,过点C作y轴平行线,交反比例函数的图象于点D,连接BD.设点C的横坐标为a,求当a为何值时,△BCD的面积最大,这个最大值是多少? 拓展提升 　　　　　　　　　　　　　　 3.如图,抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)的顶点为C,与x轴交于A,B两点,A(1,0),AB=4,点P为线段AB上的动点,过P作PQ∥BC交AC于点Q. (1)求该抛物线的解析式; (2)求△CPQ面积的最大值,并求此时P点坐标; (3)如图2,过点Q作DQ⊥y轴,交BC于点D,连接PD.当∠PDB=90°时,求点P的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题6　函数与线段、面积问题 1.解:(1)∵点F是线段AB上的点,FE⊥x轴,E在抛物线上,若点F的横坐标为m, ∴F(m,-m+3),E(m,-m2+2m+3),EF=-m2+3m; 故答案为:m,-m+3,m,-m2+2m+3,-m2+3m; (2)∵EF=-m2+3m=-+, ∴当m=时,EF有最大值,最大值为; (3)∵S△ABE=S△AEF+S△BEF=EF·OB, ∴当EF取最大值时,△ABE的面积最大, ∴△ABE面积的最大值为:××3=. 2.解:(1)由条件可知3=m-1, 解得m=8,点A(8,3), ∵反比例函数y=(k≠0,x>0)图象过点A(8,3), ∴k=8×3=24, ∴反比例函数的表达式为y=; (2)∵点C的横坐标为a,CD∥y轴交反比例函数的图象于点D, ∴yC=a-1,yD=, ∴CD=-=-a+1, 则△BCD的面积为 CD·a=××a =-++12 =-(a2-2a)+12 =-(a-1)2+, ∵-<0, ∴当a=1时,△BCD的面积最大,这个最大值是. 3.解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)的顶点为C,与x轴交于A,B两点,A(1,0),AB=4, ∴B(-3,0), ∴将A(1,0),B(-3,0)代入y=x2+bx+c,得 解得 ∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3. (2)过Q作QE⊥x轴于E,过C作CF⊥x轴于F, 设P(m,0),则PA=1-m, ∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4, ∴C(-1,-4),∴CF=4, ∵PQ∥BC,∴△PQA∽△BCA, ∴=,即=, ∴QE=1-m, ∴S△CPQ=S△PCA-S△PQA =PA·CF-PA·QE =(1-m)×4-(1-m)(1-m) =-(m+1)2+2, ∵-3≤m≤1, ∴当m=-1时,S△CPQ有最大值为2, ∴△CPQ面积的最大值为2,此时P点坐标为 (-1,0).　 (3)由(1)(2)知,抛物线的解析式为y=x2+2x-3,C(-1,-4),B(-3,0),A(1,0), ∴BC:y=-2x-6,AC:y=2x-2, 设P(p,0)(-3≤p≤1), ∵PQ∥BC,∴PQ:y=-2x+2p, ∴解得 ∴Q, 把y=p-1代入y=-2x-6,得x=-, ∴D, 过点D作DH⊥BP于H, ∴DH=,PH=,BH=, ∵∠PDB=90°, ∴∠DBP+∠BPD=90°, ∵∠DHB=90°,∠BDH+∠PBD=90°, ∴∠BDH=∠BPD, ∵∠BHD=PHD=90°, ∴△BHD∽△DHP, ∴=, ∴DH2=BH·PH, ∴=·, ∴p=1或p=-, 当p=1时,∠PDB不存在,∴P. 学科网（北京）股份有限公司 $