17 第13讲 二次函数的综合与运用（主书）-【领航中考】2027年中考数学一轮总复习

第13讲　二次函数的综合与运用 六年考情分析 考点 2020 2021 2022 2023 2024 2025 考查方向 考查频数 二次函数 综合题 10 13 12 3 求二次函数解析式;二次函数与几何结合 4次 二次函数 的应用 4 9 7 列二次函数求最大利润;建立恰当的平面直角坐标系,求二次函数解析式 3次 课前热身 　　　　　　　　　　　　　　 1.一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10 m/s,经过t(s)时球距离地面的高度h(m)适用公式h=10t-5t2,那么球弹起后又回到地面所花的时间t(s)是 (　　) A.5 B.10 C.1 D.2 　　　　　　　　　　　　　　 3.已知抛物线y=x2-2x-1,则当0≤x≤3时,函数的最大值为 (　　) A.-2 B.-1 C.0 D.2 　　　　　　　　　　　　　　 2.(2026·甘肃)如图,一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM,喷头M向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,按如图所示的直角坐标系,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x+(x>0),则水流喷出的最大高度是 (　　) A.3 m　 B.2.75 m C.2 m　 D.1.75 m 　　　　　　　　　　　　　　 4.(2026·连云港)如图,小亮同学掷铅球时,铅球沿抛物线y=a(x-3)2+2.5运行,其中x是铅球离初始位置的水平距离,y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6 m,则铅球掷出的水平距离OB为　　　　m.  知识梳理 精讲精练 　　　　　　　　　　　　　　 考点1　二次函数在实际问题中的应用 1.(人教九上P51)如图是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,若水面下降2.5 m,那么水面宽度为 (　　) A.3 m 　　B.6 m C.8 m 　　D.9 m 　　　　　　　　　　　　　　 变式练习 6.如图,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边的和为40 m,有下列结论: ①AB的长可以为6 m; ②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m2; ③菜园ABCD面积的最大值为200 m2.其中,正确结论的个数是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 2.(人教九上P52)如图,四边形ABCD中的两条对角线AC,BD互相垂直,AC+BD=10,当AC为　　　　时,四边形ABCD的面积最大.  　　　　　　　　　　　　　　 7.(2026·武汉)某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动. 研究背景　羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直. 收集数据　某次羽毛球飞行的高度y(单位:m)与距发球点的水平距离x(单位:m)的对应值如表(不考虑空气阻力). 水平距离x/m 0 2 3 5 6 … 高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 探索发现　数学小组借助计算机画图软件,建立平面直角坐标系、描点、连线(如图),发现羽毛球飞行路线是抛物线y=ax2+bx+1.1的一部分. 建立模型　求y与x的函数解析式(不要求写自变量取值范围). (1)羽毛球在此次飞行过程中,飞行的高度能否达到2.8 m?请说明理由. (2)保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变,改变发球方式,使其解析式变为y=ax2+kx+1.1,发球点与球网的水平距离是5 m.若羽毛球飞过球网正上方时,飞行的高度超过2.1 m,且球的落地点与球网的水平距离小于6 m.求k的取值范围. 3.(人教九上P52)某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为160元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲,如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用,设每个房间每天的定价为x元,相应的住房数为y间. (1)求y关于x的函数解析式; (2)定价为多少元时宾馆当天利润W最大?最大利润是多少? 8.(2026·内江)2025年春节期间,我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录,商家推出A,B两款“哪吒”文旅纪念品.已知购进A款200个,B款300个,需花费14 000元;购进A款100个,B款200个,需花费8 000元. (1)求A,B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元? (2)根据网上预约的情况,如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A,B两款“哪吒”纪念品共400个,那么至少需要购进B款纪念品多少个? (3)在销售中,该商家发现每个A款纪念品售价60元时,可售出200个,售价每增加1元,销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价a(60≤a≤100)元,W表示该商家销售A款纪念品的利润(单位:元),求W关于a的函数表达式,并求出W的最大值. 考点2　二次函数与一次函数的综合 　　　　　　　　　　　　　　 4.如图,在平面直角坐标系中,直线y1=mx+n与抛物线y2=ax2+bx-3相交于点A,B.结合图象,判断下列结论:①当-2<x<3时,y1>y2;②x=3是方程ax2+bx-3=0的一个解;③若(-1,t1),(4,t2)是抛物线上的两点,则t1<t2;④对于抛物线y2=ax2+bx-3,当-2<x<3时,y2的取值范围是0<y2<5.其中正确结论的个数是(　　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 变式练习 　　　　　　　　　　　　　　 9.已知反比例函数y=(k≠0)在第一象限内的图象与一次函数y=-x+b的图象如图所示,则函数y=x2-bx+k-1的图象可能为 (　　) A B C D 5.如图,抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两点,并交x轴于另一点B,点M是抛物线的顶点,直线AM与y轴交于点D. (1)求该抛物线的解析式; (2)若H是x轴上一动点,分别连接MH,DH,求MH+DH的最小值; (3)若P是抛物线上一动点,问在对称轴上是否存在点Q,使得以D,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 10.(2026·眉山)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c关于直线x=-3对称,与x轴交于A(-1,0),B两点,与y轴交于点 C. (1)求抛物线的解析式; (2)点P为抛物线对称轴上一点,连接BP,将线段BP绕点P逆时针旋转90°,使点B的对应点D恰好落在抛物线上,求此时点P的坐标; (3)在线段OC上是否存在点Q,使2AQ+CQ存在最小值?若存在,请直接写出点Q的坐标及最小值;若不存在,请说明理由. 　　　　　　　　 基础训练 11.(人教九上P52)飞机着陆后滑行的距离s(m)关于滑行的时间t(s)的函数解析式是s=60t-1.5t2,则飞机着陆后滑行直到停下来滑行了　　　　m.  14.(2025·东营)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(2,0)两点,与y轴交于点C,点D是抛物线上的一个动点. (1)求抛物线的表达式; (2)当点D在直线BC下方的抛物线上时,过点D作y轴的平行线交BC于点E,设点D的横坐标为t,DE的长为l,请写出l关于t的函数表达式,并写出自变量t的取值范围; (3)连接AD,交BC于点F,求的最大值. 12.某广场要建一个圆形喷水池,计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为 3 m,水柱落地处离池中心的水距离也为3 m,那么水管的设计高度应为　m.  13.一次足球训练中,小明从球门正前方8 m的A处射门,球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6 m时,球达到最高点,此时球离地面3 m.已知球门高OB为2.44 m,现以O为原点建立如图所示的直角坐标系. (1)求抛物线的函数解析式,并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素); (2)对本次训练进行分析,若射门路线的形状、最大高度均保持不变,则当时他应该带球向正后方移动多少米射门,才能让足球经过点O正上方2.25 m处? 拓展提升 　　　　　　　　　　　　　　 15.(2026·广东)如图,某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km,主塔高0.27 km,主缆可视为抛物线,主缆垂度0.178 5 km,主缆最低处距离桥面0.001 5 km,桥面距离海平面约 0.09 km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系,并求该抛物线的表达式. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲　二次函数的综合与运用 课前热身 1.D　2.B　3.D　4.8 精讲精练 1.B　2.5 3.解:(1)根据题意,得y=50-=-0.1x+66; (2)由题意知W=(x-20)(-0.1x+66)=-0.1(x-660)(x-20),易得二次函数图象的对称轴为x=×(660+20)=340. ∵-0.1<0,故W有最大值,此时W为10 240, ∴当定价为340元时,宾馆当天利润W最大值为10 240元. 4.B 5.解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两点, ∴解得 ∴该抛物线的解析式为y=-x2+2x+3; (2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴顶点M(1,4). 设直线AM的解析式为y=kx+d, 由题意得 解得 ∴直线AM的解析式为y=2x+2. 当x=0时,y=2, ∴D(0,2). 作点D关于x轴的对称点D'(0,-2),连接D'M,D'H,如图所示, 则DH=D'H, ∴MH+DH=MH+D'H≥D'M,即MH+DH的最小值为D'M. ∵D'M==; ∴MH+DH的最小值为. (3)对称轴上存在点Q,使得以D,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形.由(2)得D(0,2),M(1,4). ∵P是抛物线上一动点,设P(m,-m2+2m+3). 易得抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为直线x=1,不妨设Q(1,n). 当DM,PQ为对角线时,得 解得 ∴Q(1,3); 当DP,MQ为对角线时,得 解得 ∴Q(1,1); 当DQ,PM为对角线时,得 解得 ∴Q(1,5). 综上,点Q的坐标为(1,3)或(1,1)或(1,5). 6.C 7.解:(1)把(2,2.3),(3,2.6)代入y=ax2+bx+1.1,得 解得 ∴y=-0.1x2+0.8x+1.1=-0.1(x-4)2+2.7, ∵-0.1<0, ∴当x=4时,y有最大值,最大值为2.7, ∵2.8>2.7, ∴羽毛球在此次飞行过程中,飞行的高度不能达到2.8 m; (2)∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变, ∴a=-0.1, ∴解析式为y=-0.1x2+kx+1.1, 当x=5时,y=-0.1×52+5k+1.1>2.1, 解得k>0.7; ∵球的落地点与球网的水平距离小于6, ∴当x=11时,y=-0.1×112+11k+1.1<0, 解得k<1, ∴k的取值范围为0.7<k<1. 8.解:(1)设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元,B款“哪吒”纪念品每个进价为y元, 由题意得 解得 答:A款“哪吒”纪念品每个进价为40元,B款“哪吒”纪念品每个进价为20元; (2)设需要购进B款纪念品m个,则需要购进A款纪念品 (400-m)个, 由题意,得40(400-m)+20m≤12 000, 解得m≥200, ∴m的最小值为200, 答:至少需要购进B款纪念品200个; (3)由题意,得W=(a-40)[200-5(a-60)] =(a-40)(200-5a+300) =(a-40)(500-5a) =500a-20 000-5a2+200a =-5(a-70)2+4 500, ∵-5<0,60≤a≤100, ∴当a-70=0,即a=70时,W最大,最大值为4 500. 9.A 10.解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c关于直线x=-3对称,与x轴交于A(-1,0), ∴解得 ∴抛物线的解析式为y=x2+6x+5; (2)由抛物线的对称轴为直线x=-3,设P(-3,t),过P作KT∥x轴,过B作BK⊥KT于K,过D作DT⊥KT于T,如图: 在y=x2+6x+5中,令y=0得0=x2+6x+5, 解得x=-1或x=-5, ∴B(-5,0), ∴KP=-3-(-5)=2, ∵将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到DP, ∴∠BPD=90°,BP=DP, ∴∠BPK=90°-∠DPT=∠PDT, ∵∠K=∠T=90°, ∴△BPK≌△PDT(AAS), ∴BK=PT=,KP=DT=2, ∴D(-3+t,t-2), 把D(-3+t,t-2)代入y=x2+6x+5,得 t-2=(-3+t)2+6(-3+t)+5, 解得t=-1或t=2, ∴P的坐标为(-3,-1)或(-3,2); (3)在线段OC上存在点Q,使2AQ+CQ存在最小值,理由如下: 过C在y轴右侧作射线CM,使∠OCM=45°,过A作AH⊥CM于H,AH交y轴于Q,如图: ∵∠OCM=45°,∠QHC=90°, ∴△QCH是等腰直角三角形, ∴QH=CQ,∠CQH=45°, ∴2AQ+CQ=2(AQ+CQ)=2(AQ+QH)=2AH, 由垂线段最短可知,此时2AQ+CQ最小,最小值为2AH, ∵∠AQO=∠CQH=45°,∠AOQ=90°, ∴△AQO是等腰直角三角形, ∴OQ=OA=1,AQ=OA=, ∴Q(0,1), 在y=x2+6x+5中,令x=0得y=5, ∴C(0,5), ∴CQ=OC-OQ=5-1=4, ∴QH=CQ=2, ∴AH=AQ+QH=3, ∴2AQ+CQ的最小值为6. 11.600　12.　 13.解:(1)∵8-6=2, ∴抛物线的顶点坐标为(2,3). 设抛物线为 y=a(x-2)2+3, 把点A(8,0)代入,得36a+3=0, 解得a=-. ∴抛物线的函数解析式为 y=-(x-2)2+3. 当x=0时,y=-×4+3=>2.44. ∴球不能射进球门; (2)设小明带球向正后方移动m m,则移动后的抛物线为y=-(x-2-m)2+3, 把点(0,2.25)代入,得 2.25=-(0-2-m)2+3, 解得 m1=-5(舍去),m2=1. ∴当时他应该带球向正后方移动1 m射门,才能让足球经过点O正上方2.25 m处. 14.解:(1)由题意,得 ∴ ∴抛物线的表达式为:y=x2-x-2; (2)由(1)可知,点C的坐标为(0,-2). 设直线BC的函数表达式为:y=mx+n, ∴ ∴ ∴y=x-2,∴E(t,t-2), ∵D(t,t2-t-2), ∴l=(t-2)-(t2-t-2)=-t2+2t(0<t<2); (3)如图,当0<t<2时, 作AG∥DE,交BC于G, ∴△DEF∽△AGF,∴=, 把x=-1代入y=x-2得,y=-3, ∴AG=3, ∴==-(t-1)2+, ∵当t=1时,=, ∵=,∴=. 15.解:建立平面直角坐标系,如图所示: 则抛物线顶点坐标为(0,0.001 5),A,0.27-0.09,即A(0.85,0.18), 设该抛物线的表达式为y=ax2+0.001 5, 将A(0.85,0.18)代入y=ax2+0.001 5得0.18=0.852a+0.001 5, 解得a=, ∴该抛物线的表达式为y=x2+0.001 5. 学科网（北京）股份有限公司 $