16 第12讲 二次函数（主书）-【领航中考】2027年中考数学一轮总复习

第12讲　二次函数 课前热身 1.2　2.C　3.A　4.A 精讲精练 1.(1)下　x=2　(2,9)　2　大　9 (2)y=-3(x-2)2+9　(3)2　(0,-3) (4)增大　减小　(5)>　(6)<　 (7)9　-39 2.左　1　下　1(或下　1　左　1) 3.右　6　上　3(或上　3　右　6) 4.(1)x1=-1,x2=3　(2)x<-1或x>3 (3)-1<x<3　(4)0<x<3 5.解:设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).根据题意,得解得 ∴所求二次函数的解析式为y=4x2+5x. 6.解:设抛物线的解析式为y=ax+·x-,把点(0,-5)代入,得a··-=-5,解得a=,则y=x+x-=x2-x-5,∴抛物线的解析式为y=x2-x-5. 7.C　8.D　9.(1,2)　10.2或4　11.D 12.解:(1)把点A(1,-2)和B(0,-5)代入y=x2+bx+c,得 解得 ∴二次函数的解析式为y=x2+2x-5. ∵y=x2+2x-5=(x+1)2-6, ∴顶点坐标为(-1,-6); (2)如图, ∵点A(1,-2)关于对称轴直线x=-1的对称点C(-3,-2), ∴当y≤-2时,x的取值范围是-3≤x≤1. 13.C　14.9　15.A　16.D　17.A　18.D 19.(1)证明:∵DG=DH, ∴∠DHG=∠DGH=, 同理,∠CGF=, ∴∠DGH+∠CGF=, 又菱形ABCD中,AD∥BC, ∴∠D+∠C=180°, ∴∠DGH+∠CGF=90°, ∴∠HGF=90°, 同理,∠GHE=90°,∠EFG=90°, ∴四边形EFGH是矩形; (2)如图,连接BD,∵四边形ABCD是菱形,∠A=60°, ∴AD=AB,∴△ABD和△BCD是等边三角形, ∴BD=AB=a, ∴S△BCD=S△ABD=AB2=a2, 则菱形ABCD的面积是:a2, 设BE=x,则AE=a-x, ∵BE=DH,AB=AD, ∴AH=AE, ∵∠A=60°, ∴△AEH是等边三角形, ∴EH=AE=a-x 在Rt△BME中,∠ABD=60°,BE=x, ∴EM=x, ∴EF=2EM=x, 则矩形EFGH的面积y=HE×EF=(a-x)×x=-(x2-ax)=-+a2, ∴当x=时,矩形EFGH的面积最大, ∴BE=时 ,矩形EFGH的面积最大. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲　二次函数 六年考情分析 考点 2020 2021 2022 2023 2024 2025 考查方向 考查频数 二次函数的 图象和性质 3 3 3 二次函数的图象与系数的关系 3次 二次函数的 平移 3 4 根据二次函数的平移求解析式 2次 课前热身 　　　　　　　　　　　　　　 1.已知二次函数y=-ax2+2ax+3(a>0),若点P(m,3)在该函数的图象上,且m≠0,则m的值为　　　　.  　　　　　　　　　　　　　　 3.(2025·包头)将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位长度后,所得新抛物线的顶点式为 (　　) A.y=(x+1)2-3 B.y=(x+1)2-2 C.y=(x-1)2-3 D.y=(x-1)2-2 　　　　　　　　　　　　　　　 2.已知二次函数y=-3(x-2)2-3,下列说法正确的是 (　　) A.对称轴为x=-2 B.顶点坐标为(2,3) C.函数的最大值是-3 D.函数的最小值是-3 　　　　　　　　　　　　　　 4.(2026·福建)已知点A(-2,y1),B(1,y2)在抛物线y=3x2+bx+1上,若3<b<4,则下列判断正确的是 (　　) A.1<y1<y2 B.y1<1<y2 C.1<y2<y1 D.y2<1<y1 知识梳理 精讲精练 　　　　　　　　　　　　　　 考点1　二次函数的图象与性质 1.(人教九上P41)已知抛物线y=-3x2+12x-3,请回答以下问题: (1)抛物线开口向　　　　,对称轴是　　　　,顶点坐标为　　　　,当x=　　　　时,y有最　　　　值为　　　　;  (2)将抛物线的解析式化为顶点式为　　　　　　　　　　　;  (3)抛物线与x轴有　　　　个交点,抛物线与y轴的交点坐标为　　　　;  (4)当x<2时,y随x的增大而　　　　,当x>2时,y随x的增大而　　　　;(填“增大”或“减小”)  (5)若抛物线上有A(-1,y1),B(6,y2)两点,则y1　　　　y2;  (6)若抛物线上有A(x1,y1),B(x2,y2)两点,当x1<x2<2,则y1　　　　y2;  (7)当0≤x≤6时,则y的最大值为　　　,最小值为　　　　.  　　　　　　　　　　　　　　 变式练习 7.(2025·湖北)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的顶点坐标为(-1,-2),与y轴的交点在x轴上方,下列结论正确的是 (　　) A.a<0 B.c<0 C.a-b+c=-2 D.b2-4ac=0 8.(2026·陕西)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2-2ax+a-3(a≠0)的图象与x轴有两个交点,且这两个交点分别位于y轴两侧,则下列关于该函数的结论正确的是 (　　) A.图象的开口向下 B.当x>0时,y的值随x值的增大而增大 C.函数的最小值小于-3 D.当x=2时,y<0 考点2　二次函数图象的平移 2.(人教九上P35)把抛物线y=-x2向　　　　平移　　　　个单位长度,再向　　　　平移　　　　个单位长度,可以得到抛物线y=-(x+1)2-1.  3.(人教九上P37)把抛物线y=x2向　　平移　　　　个单位长度,再向　　　　平移　　　　个单位长度,可以得到抛物线y=x2-6x+21.  　　　　　　　　　　　　　　 变式练习 9.(2025·滨州)将抛物线y=-x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,则平移后抛物线的顶点坐标为　.  10.将抛物线y=(x+3)2向下平移1个单位长度,再向右平移　　　　个单位长度后,得到的新抛物线经过原点.  考点3　二次函数与一元二次方程、不等式的关系 4.(人教九上P47)如图,已知二次函数y=x2-2x+m的部分图象. (1)关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0的解为　　　　　　　;  (2)不等式x2-2x+m>0的解集是　　　　　　　;  (3)不等式x2-2x+m<0的解集是　　　　　　　;  (4)若抛物线y=x2-2x+m与直线y=kx+b交于A,C两点,则关于x的不等式x2-2x+m<kx+b的解集是　　　　.  　　　　　　　　　　　　　　 变式练习 11.(2026·达州)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(1,0),点B(3,0),下列结论:①abc<0;②4a+b=0;③b2-4ac>0;④a-b+c>0.正确的个数为 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考点4　待定系数法求二次函数解析式 5.(人教九上P40)一个二次函数的图象经过(0,0),(-1,-1),(1,9)三点.求这个二次函数的解析式. 6.(人教九上P57)已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两交点的横坐标分别是-,,与y轴交点的纵坐标是-5.求这个二次函数的解析式. 　　　　　　　　　　　　　　 变式练习 12.(2024·宁波)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(1,-2)和B(0,-5).　 (1)求该二次函数的解析式及图象的顶点坐标; (2)当y≤-2时,请根据图象直接写出x的取值范围. 基础训练 　　　　　　　　　　　　　　 13.如图所示,直线l为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴,则下列说法正确的是(　　) A.b恒大于0　 B.a,b同号　 C.a,b异号　 D.以上说法都不对 16.(2025·贵州)如图,二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3,顶点坐标为(-1,4),则下列说法正确的是 (　　) A.二次函数图象的对称轴是直线x=1 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C.当x<-1时,y随x的增大而减小 D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 　　　　　　　　　　　　　　 14.(2024·郴州)已知抛物线y=x2-6x+m与x轴有且只有一个交点,则m=　.  　　　　　　　　　　　　　　 17.(2025·广东)若点(0,y1),(1,y2),(2,y3)都在二次函数y=x2的图象上,则 (　　) A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2 　　　　　　　　　　　　　　 15.(2026·广州)在平面直角坐标系中,两点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=ax2-2ax(a>0)上,则下列结论中正确的是 (　　) A.当x1<0且y1·y2<0时,则0<x2<2 B.当x1<0且y1·y2>0时,则0<x2<2 C.当x1<x2<1时,则y1<y2 D.当x1>x2>1时,则y1<y2 18.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且对称轴为x=1,点B坐标为(-1,0),则下列结论错误的是 (　　) A.2a+b=0 B.4a-2b+c<0 C.b2-4ac>0 D.当y<0时,x<-1或x>4 拓展提升 　　　　　　　　　　　　　　 19.(人教九上P57T9)如图,点E,F,G,H分别在菱形ABCD的四条边上,且BE=BF=DG=DH,连接EF,FG,GH,HE得到四边形EFGH. (1)求证:四边形EFGH是矩形; (2)设AB=a,∠A=60°,当BE为何值时,矩形EFGH的面积最大? 学科网（北京）股份有限公司 $