12 微专题4 最优解问题（主书）-【领航中考】2027年中考数学一轮总复习

微专题4　最优解问题 知识梳理 会合理运用方程(组)、不等式(组)、函数设计方案,选择出最佳方案,解决实际方案选择(最优解)问题. 典例精讲 　　　　　　　　　　　　　　 1.(人教版七下P137T10)某校七年级560名学生和16位老师准备乘坐客车去参观历史博物馆.学校计划同时租用A,B两种型号的客车共11辆,每辆车的载客量和租金如表所示. 车型 A型 B型 载客量/人 40 56 租金/元 1 000 1 200 (1)最多可以租用多少辆A型客车? (2)共有几种租车方案?哪种方案的租金最低? 　　　　　　　　　　　　　　 2.(2026·遂宁)为了建设美好家园,提高垃圾分类意识,某社区决定购买A,B两种型号的新型垃圾桶.现有如下材料: 材料一:已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元;购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元. 材料二:据统计该社区需购买A,B两种型号的新型垃圾桶共200个,但总费用不超过15 300元,且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的. 请根据以上材料,完成下列任务: 任务一:求A,B两种型号的新型垃圾桶的单价. 任务二:有哪几种购买方案? 任务三:哪种方案更省钱,最低购买费用是多少元? 拓展提升 　　　　　　　　　　　　　　 3.(2026·福田区校级三模)“传承红色基因,赓续红色血脉”.某中学安排七、八、九三个年级师生先后乘坐客车去参观深圳东江纵队纪念馆,下面是九年级的王老师和小明、小颖两位同学有关租车问题的对话. 王老师:“客运公司有A,B两种型号的客车可供租用,A型客车每辆租金1 000元,B型客车每辆租金800元.” 小明:“七年级师生共540人,租用6辆A型客车和4辆B型客车恰好坐满.” 小颖:“八年级师生共525人,租用5辆A型客车和5辆B型客车恰好坐满.” 根据以上对话,解答下列问题: (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数; (2)因司机紧缺,客运公司只能给九年级师生安排10辆客车,已知九年级师生共510人,要使九年级每位师生都有座位,九年级应租用A,B两种客车各多少辆才能使租金最少?最少租金为多少元? 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题4　最优解问题 1.解:(1)设租用x辆A型客车,则租用(11-x)辆B型客车, 根据题意,得40x+56(11-x)≥560+16, 解得x≤2.5, 又x是正整数, ∴x的最大值为2. 答:最多可以租用2辆A型客车; (2)∵x≤2.5,x是正整数, ∴x的值可以为1,2, ∴共有2种租车方案, 方案1:租用1辆A型客车,10辆B型客车,租金为1 000×1+1 200×10=13 000(元); 方案2:租用2辆A型客车,9辆B型客车,租金为1 000×2+1 200×9=12 800(元), ∵13 000>12 800, ∴方案2租金最低. 答:共有2种租车方案,当租用2辆A型客车,9辆B型客车时,租金最低. 2.解:(任务一)设A型号的新型垃圾桶的单价是x元,B型号的新型垃圾桶的单价是y元, 根据题意,得 解得 答:A型号的新型垃圾桶的单价是60元,B型号的新型垃圾桶的单价是100元; (任务二)设购买m个A型号的新型垃圾桶,则购买(200-m)个B型号的新型垃圾桶, 根据题意,得 解得≤m≤120, 又m为正整数, ∴m可以为118,119,120, ∴共3种购买方案, 方案1:购买118个A型号的新型垃圾桶,82个B型号的新型垃圾桶; 方案2:购买119个A型号的新型垃圾桶,81个B型号的新型垃圾桶; 方案3:购买120个A型号的新型垃圾桶,80个B型号的新型垃圾桶; (任务三)选择方案1所需费用为60×118+100×82=15 280(元); 选择方案2所需费用为60×119+100×81=15 240(元); 选择方案3所需费用为60×120+100×80=15 200(元), ∵15 280>15 240>15 200, ∴方案3更省钱,最低购买费用是15 200元. 3.解:(1)设每辆A型客车坐满后的载客人数为x人,B型客车坐满后的载客人数为y人, 根据题意,得 解得 答:每辆A型客车坐满后的载客人数为60人,B型客车坐满后的载客人数为45人; (2)设租用m辆A型客车,则租用(10-m)辆B型客车, 根据题意,得60m+45(10-m)≥510, 解得m≥4, 设九年级租用两种客车的总租金为w元,则w=1 000m+800(10-m), 即w=200m+8 000, ∵200>0, ∴w随m的增大而增大, ∴当m=4时,w取得最小值,最小值为200×4+8 000=8 800(元),此时10-m=10-4=6(辆). 答:九年级应租用4辆A型客车,6辆B型客车,才能使租金最少,最少租金为8 800元. 学科网（北京）股份有限公司 $