专题02 相似三角形的期中复习（高效培优期中专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上学期

专题02 相似三角形的期中复习 考点01 比例的性质和比例线段 考点02 平行线与成比例线段 考点03 黄金分割 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的判定 考点06 比例线段的证明 考点07 相似三角形的动点问题 考点08 相似多边形与位似多边形 考点01 比例的性质和比例线段 1．（26-27九年级上·上海·阶段检测）若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可. 【详解】解：由可设，（）． 选项A，，仅当时等于，不恒成立，故A错误； 选项B，由交叉相乘得，与不符，故B错误； 选项C，，仅当时等于，不恒成立，故C错误； 选项D，，等式恒成立，故D正确． 2．（26-27九年级上·上海·阶段检测）已知，则___________． 【答案】 【分析】由已知比例关系，设参数表示a和b，代入所求分式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，，则 ． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若两条线段的长为和，则这两条线段的比例中项是________． 【答案】2 【详解】解： 比例中项的定义是：若线段是线段的比例中项，则满足，即． 已知两条线段长为和，代入得：， 解得（线段长度为正，舍去负根）． 4．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）已知a、b、c、d是成比例线段，其中、、，那么线段d的长度为______． 【答案】 【分析】若线段a，b，c，d满足，称线段a，b，c，d为成比例的线段，根据定义计算判断即可． 本题考查了成比例线段，熟练掌握定义，准确计算是解题的关键． 【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段，其中，，， ∴； ∴； 解得， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·上海·期中）已知，则__________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，将，，分别用，，表示，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵，且，，作为分母不为， ∴，，， 将其代入所求分式得： ． 6．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知，求一次函数的图象与坐标轴围成的面积． 【答案】一次函数图象与坐标轴围成的面积为或 【分析】根据比例性质整理得到，分和两种情况求出的值，再求一次函数与坐标轴的交点坐标，最后计算围成三角形的面积． 【详解】解：， ，，， ， 当时，，解得， 一次函数解析式为； 当时，， 函数与轴的交点为， 当时，， 解得， 函数与轴的交点为， 一次函数与坐标轴围成的三角形面积为； 当时，即， ， 一次函数解析式为， 当时，， 函数与轴的交点为， 当时，， 解得， 函数与轴的交点为， 一次函数与坐标轴围成的三角形面积为； 综上所述，一次函数的图象与坐标轴围成的面积是或． 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，求 (1)的值； (2)若，求、、的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键； （1）由题意可设，然后代入进行求解即可； （2）由（1）可代入进行求解k的值，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由可设， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 8．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知，，求的值． 【答案】44 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则，再代入可求出的值，从而可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 考点02 平行线与成比例线段 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D，E分别在边上，且，则下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴，，，， 不能得到， 故只有C选项符合题意. 2．（25-26九年级上·上海·期中）如图，已知，则的长为（   ） A．8 B． C． D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线之间分线段成比例的关系，熟练掌握相关概念是解题关键． 直接利用平行线之间分线段成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得：． 故选B． 3．（25-26九年级上·河北·课后作业）如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：A．∵，∴，该选项错误，不符合题意； B．∵，∴，该选项错误，不符合题意； C．∵，∴，该选项正确，符合题意； D．∵，∴，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26九年级上·上海·一模）如图，在梯形中，，点分别在边上且，已知，，那么的长是________． 【答案】6 【分析】由题中，，得到，从而利用平行线分线段成比例定理得到，连接，如图所示，由相似三角形的判定得到、，利用相似比即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 在梯形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似比求线段长，涉及平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质，准确作出辅助线是解决问题的关键． 5．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 【答案】/厘米 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图： 由题意可得， ∵相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴， ∵， ∴． 6．（25-26九年级上·上海·期末）如图，在平行四边形中，是对角线上的两点，且，的延长线交于点G，的延长线交于点，若平行四边形的面积为24，则四边形的面积为______． 【答案】7 【分析】此题考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识， 推导出及是解题的关键．由平行四边形的性质推导出，则，而，所以，求得，则，由，得，则，所以，再证明，得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平行四边形的面积为24， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 7．（25-26九年级上·上海·期中）如图，中，点D在边上，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ． 【分析】由平行线分线段成比例即可证明． 【详解】略 8．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，D是的边上的中点，，的延长线交于点E，求的值． 【答案】 【分析】过点F作交于点G，根据平行线分线段成比例可知，由D是边上的中点即可求，进而求解． 【详解】解：过点F作交于点G， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ． 考点03 黄金分割 1．（26-27九年级上·上海·阶段检测）已知点是线段上的黄金分割点，，，那么___________． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割的定义得到比例式，把已知数据代入即可求得． 【详解】解：设： 点是线段上的黄金分割点，， 或（舍去）． 2．（26-27九年级上·上海青浦·阶段检测）设点P是线段的黄金分割点厘米，线段的长是______厘米． 【答案】 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点厘米， ∴． 3．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，是“精准三角形”，，，垂足为点D，那么的长度为______． 【答案】 【分析】作的中线，根据题目中“精准三角形”的定义可得，根据勾股定理得到可求解． 【详解】解：如图，作的中线， ∵是“精准三角形”， ∴， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， 令，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，线段，点与点均为线段的黄金分割点，则________ 【答案】/ 【分析】由黄金分割的定义可得，，再结合计算即可得出结果． 【详解】解：∵线段，点与点均为线段的黄金分割点， ∴，， ∴． 5．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，将舞台的长看作线段，，是舞台的黄金分割点，为了增强视觉平衡和美感，需要演员从舞台处出发，最终站在该舞台的黄金分割点处．若，则演员最终位置到点的距离为__________（用含的代数式表示）． 【答案】或 【分析】根据黄金分割点的定义：长线段的长度与全长之比等于，结合图形的特征求解即可． 【详解】解：∵，、是线段的黄金分割点， ∴若演员最终位置为点的位置，此时， ； 若演员最终位置为点的位置，此时， ， ， 演员最终位置到点的距离为或． 6．（26-27九年级上·上海·阶段检测）2026年国际数学日的主题为“数学与希望”．某校学生运用所学AI技术围绕该主题设计了一张黄金矩形（宽与长的比为黄金比）海报．若该海报的长为，则它的宽为___________． 【答案】 【分析】根据黄金矩形的定义，宽与长的比为黄金比，将已知的长代入比例式，化简计算即可求解． 【详解】解：设海报的宽为，已知长为，由黄金矩形的定义可得 ， 解得， 即宽为． 7．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫作这条线段的黄金分割点．过顶角为的等腰底角的顶点作的平分线交于点，其中为的黄金分割点，即．若，则线段的长为______． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的定义得到，则，进而代入求解即可． 【详解】解：∵等腰， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去） 8．（26-27九年级上·上海·阶段检测）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．在如图所示的五角星中，，且C，D都是的黄金分割点，则的长为 _____． 【答案】1 【分析】本题考查了黄金分割比例，根据黄金分割的定义得到，继而将，代入得：，解之即可求解，解题的关键是熟练掌握黄金分割比例． 【详解】解：∵C，D两点都是的黄金分割点， ∴， ，， ∴， 将，代入， 得：， ∴， 整理得：， ， 故答案为：1． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26九年级上·上海·期末）如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的对应角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 2．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）已知，相似比为，若的面积为20，则的面积为（    ） A．5 B．80 C．9 D．28 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：，相似比为， ∴的面积的面积， ∵的面积为20， ∴的面积为． 故选：A． 3．（25-26九年级上·上海·期末）如图中，，延长至点A，使，连结，此时．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，由得到，代入数值，先求出，进一步即可求得的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：A 【点睛】此题考查了相似三角形性质，准确计算是解题的关键． 4．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如果把一个的三边都扩大到原来的2倍，那么的（     ） A．周长扩大2倍 B．面积扩大2倍 C．对应角扩大2倍 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】根据周长比等于相似比、面积比是相似比的平方即可求出． 【详解】解：把一个的三边都扩大到原来的2倍，原三角形与扩大后的三角形相似，相似比为， 相似三角形的周长比等于相似比，因此周长会扩大到原来的2倍，选项A说法正确； 相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此面积应该扩大到原来的4倍，不是2倍，选项B说法错误； 相似三角形的对应角大小完全相等，角度不会随边长放大而变化，选项C说法错误． 5．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如果两个相似三角形面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为___________． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形性质是解题的关键． 相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此得解． 【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴两个相似三角形相似之比为， ∴这两个三角形的周长之比为． 故答案为： 6．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，，，，若与以E，C，F为顶点的三角形相似，则BE的长为______． 【答案】或 【分析】设BE=x，当∽△ECF时，即，当∽△FCE时，即，解方程即可． 【详解】解：设BE=x， 当∽△ECF时，即 整理得， 解得， 经检验都符合题意， 当∽△FCE时，即， 解得． 经检验符合题意， 故答案为或． 【点睛】本题考查三角形相似性质，列分式方程，正确三角形相似性质，列分式方程是解题关键． 7．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，，，点，分别在，上，将沿折叠，点的对应点刚好落在上，当与相似时，的长为___________． 【答案】或 【分析】根据题意得： ，设 ，则 ， ，然后分两种情况：当，即 时；当，即 时，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， ∵， 可设 ，则 ， ， 当，即 时， ∵，， ∴ ，解得： ； 当，即 时， ∵， ，解得：， ∴当与相似时，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 8．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，分别是的边，上的点，且，若，则的值为______． 【答案】 【分析】由与等高，根据面积比得出底边与的比，进而得出与的比，利用证得，求出与的比，再证，利用相似三角形周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：，且与等高， ， ， ∵， ， ， ∵， ，， ， ． 9．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，，与交于点O．若的面积为，则为________． 【答案】9 【分析】先利用平行四边形的性质，得到对边平行且相等，进一步证明，再结合线段比例关系得到相似比，最后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ，， ． ， ， ， ， ． 10．（25-26九年级上·吉林长春·期中）一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当______时，这个矩形的面积最大，最大值是______． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形， ， ∴； (2) (3)40，1200 【分析】（1）根据正方形的性质和三角形相似的判定即可证明； （2）利用相似三角形的性质得，代值计算即可； （3）与（2）类似，利用求得与的关系，用的长x表示出矩形的面积，根据二次函数的性质即可求出最值． 【详解】（1）略 （2）解：设正方形零件的边长为， 由（1）知， ， 同理，由得， ∴， 即， 解得， ∴这个正方形零件的边长为； （3）解：设长方形的长为，宽为， 当长方形的长在时， 同（2）得，即，， 矩形面积， ∵， ∴当时，长方形的面积最大为． 即当时，这个矩形的面积最大，最大值是． 考点05 相似三角形的判定 1．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，点在边上，添一个条件，使，下列正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个三角形有公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，只需再找一组对应角相等，即可判定． 【详解】解：在和中， （公共角）， 选项A、，根据题意不能得到为，角的对应关系错误，不能证明； 选项B、，可以证明（两角分别相等，两三角形相似）； 选项C、，化简得，即，无法证明相似； 选项D、，两边不是夹公共角的对应边，不满足两边成比例且夹角相等，不能证明相似． 2．（26-27九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、，， ∴，故选项不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴，故选项不符合题意； D、∵，与的大小无法判定， ∴无法判定，故选项符合题意． 3．（25-26九年级上·上海·期末）如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解：∵， ∴要证明需要满足， ∴，故C符合题意； A、B、D中的条件结合现有条件无法证明． 4．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）利用余角的性质得到，利用直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质可得，进而得到，即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质可得，设，表示出即可解决问题． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在中，，为边上的中线，于点． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 【答案】(1) 证明：为边上的中线， ∴ ， ，， ， ， ． (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识， （1）由等腰三角形的性质可知，再证即可解决问题； （2）根据相似三角形的性质，得出，代入数据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， 又， 解得：． 6．（2026·上海普陀·一模）如图，点是斜边上的中点，点位于边上，且． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：点是斜边上的中点， ， ， ， ， 又， ， ； (2) 【分析】（）由直角三角形的性质得，即得，又由，得，进而即可求证； （）由直角三角形的性质得，即得，再根据相似三角形的性质解答即可求解； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：点是斜边上的中点，， ， ， ∵， ， 即， 解得或不合题意，舍去， 的长为． 7．（2026·上海徐汇·一模）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中互为相似形的是 （    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．丙和丁 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形，据此进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有甲和丙中的对应角相等，且对应边对应成比例，即，，，它们的形状相同，大小不同，是相似形， 故选：B． 8．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等，证明两个三角形相似即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵的面积为， ∴． 9．（2026·上海·三模）如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若 (1)求证：； (2)若，，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明：在平行四边形中，对角线交于点O， ，， ， ，即， ∴ 又， ； (2)证明：， ， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴, 即， 又∵四边形 为平行四边形， ∴四边形 是菱形． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，进一步得出，结合即可得出结论； （2）由，得到，由直角三角形两两个锐角互余得出，结合已知条件以及三角形内角和定理得出，即，再根据菱形的判定即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 10．（2026·上海长宁·一模）已知，如图，在四边形中，，，，．其中． (1)求证：． (2)如果，求证：． 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴，， ∴， 又， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，正确运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）证明，结合可证明； （2）根据相似三角形的性质可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 考点06 比例线段的证明 1．（25-26九年级上·上海·期末）如图，四边形为正方形，且是边延长线上一点，过点作于点，交于点，交于点. (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，求的度数. 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键． （1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到； （2）由第一问的结论可得到相似比，既有，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论； （3）根据第一问结论可得，然后通过相似三角形的对应角相等解题即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）(2)如图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·上海·期末）如图，在中，点D在边上，，与，分别相交于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，G为的中点，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】此题重点考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，由，，所以，则，所以，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”得到结论； （2）由，G为的中点，得，而，由相似三角形的性质得，求出长即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，，为的两条高，，为的两条高，且，．求证：． 【答案】证明：∵、分别是、的高， ∴、是直角三角形， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵，， ∴， ∵、分别是、的高，， ∴． 【分析】先证得 ，再证得，最后，根据相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比即可证得结论． 【详解】略 4．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【详解】（1）略． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在Rt中，，是边的中点，连接，作，垂足为，连接． (1)求证：； (2)，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ； (2) 【分析】（1）得出，根据两角分别相等的两个三角形相似即可得证； （2）先证出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是边的中点， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 解得（负值已舍去）． 6．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，在菱形中，与交于点，是上一点，，．过点作的垂线，交的延长线于点． (1)找出图中与相似的三角形，并证明； (2)的延长线交的延长线于点，交于点．求证：． 【答案】(1)，证明如下： 设， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． (2)证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）设，由菱形的性质可得，，，由等腰三角形的性质可得，进而证明； （2）由平行可判定和，进而得到，因此命题得证． 【详解】（1）略 （2）略 7．（26-27九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接．求证：． 【答案】证明：四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ，， ∵， ， ， 又， ， ， ， . 【分析】由四边形是正方形，得，，然后通过“”证明 ；由四边形是正方形，得，所以，由全等三角形性质可得，，故有，然后证明，得，即，所以． 【详解】略 8．（25-26九年级上·上海·期中）已知，如图，四边形中，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ， ． 【分析】根据推出，证明，根据相似三角形对应边比例相等即可证明． 【详解】略 9．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）如图，在正方形中，边长，点E是边上的动点（点E不与端点C、D重合），的垂直平分线分别交于点F、H、G，交的延长线于点P． (1)当点E在边的中点时，求的值； (2)设，，求y关于x的函数表达式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）延长、交于点K，证，得到，，进而得到，，再证，根据相似三角形的对应线段成比例，求出； （2）过点H作于点M，过点G作于点Q，证，得到，再证，得，将其变形为，即，由，得，进而得到，整理得． 【详解】（1）解：延长、交于点K， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵点H是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点H作于点M，过点G作于点Q， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 整理得． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等，正确理解题意作出辅助线是解题的关键． 10．（2026·上海普陀·二模）已知：如图，在四边形中，，点在边上，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)联结交于点，联结．如果，求证：． 【答案】(1) 证明：∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形； (2) 证明：∵ ∴ ∴ 又∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴即 又 ∴． 【分析】（1）根据已知得出，则，结合已知可得，即可证明，结合条件，即可得证； （2）根据得出，根据平行四边形的性质可得，，，代入已知等式得出，根据三线合一，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 考点07 相似三角形的动点问题 1．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接，若以、、为顶点的三角形与相似，则的值为________． 【答案】或 【分析】利用勾股定理求出，由题意得到，再根据以、、为顶点的三角形与相似，分两种情况①当时，②当时，结合相似三角形性质建立方程求解，即可解题． 【详解】解：，，， ， 运动时间为秒， ， ， 以、、为顶点的三角形与相似， ①当时， 有， ， 解得； ②当时， 有， ， 解得； 综上，的值为或． 2．（26-27九年级上·北京顺义·阶段检测）如图，，⊥，，，，一动点从点沿直线向点运动．当为___________时，与是相似三角形． 【答案】或或 【分析】设，则，与是相似三角形时，分，两种情况，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：设，则， 分两种情况： 当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得或； 综上可知，当为或或时，与是相似三角形． 3．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，点，，连接，动点M、N分别同时从点A、O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形的面积恰好为76时，求此时t的值； (2)试求t为何值时，与相似？ 【答案】(1)4或6 (2)2或5 【分析】（1）先根据点坐标得到，，由运动速度表示线段：，，运动范围．利用四边形面积等于面积减去面积，建立一元二次方程求解； （2）两个直角三角形直角对应相等，分两种对应边成比例情况分类讨论，列方程求出t． 【详解】（1）解：， ， ． 由题意得：，， ． 四边形的面积， ， 整理得：， 因式分解得， 解得，． 两个解均满足． 的值为或． （2）解：， 与相似分两种情况： ①当时， ， 即， 化简得，解得． ②当时， ， 即， ， 解得． 、都符合题意， 的值为或． 4．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从点C出发．沿向点B移动，设P、Q两点移动后，的面积为． (1)当运动时间为多少秒时，与相似； (2)在P、Q两点移动的过程中，的面积能否等于？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)或秒 (2)解：的面积能等于． 根据题意得：， ∴， 如图，过点P作于点H，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵的面积等于， ∴， 解得：， 即此时t的值为2或3． 【分析】（1）根据勾股定理可得的长，从而得到，然后分两种情况：当时，当时，结合相似三角形的性质，即可求解； （2）过点P作于点H，则，根据，可得，再根据的面积等于，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∵，， ∴， 根据题意得：， ∴， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 综上所述，当运动时间为或秒时，与相似； （2）略 5．（25-26九年级上·上海·单元测试）已知：如图，在中，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)是否存在某一时刻，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当或时，与相似 (2)存在，当时， (3)存在，当或或时，为等腰三角形 【分析】（1）由勾股定理求出，再分为当时及当时，两种情况求解即可； （2）作于点，首先证明，可表示出，由，可得，代入面积公式即可列出方程，从而得出答案； （3）分，，三种情形，分别画出图形，进行计算即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得： ， 由题意得，， 当时， 有， 即， 解得：， 当时， 有， 即， 解得：， 当t为或时，与相似； （2）解：存在， 如图，作于点， ，， ， ， 即， 解得：， ， ， ， ∵ ， 解得：， 当时，； （3）解：存在，当时， ， ， 当时，作于点， ，， ， ， 即， ， ∵， ， ， 解得：； 当时， 作于点， ， ， ， 即， ， ∵，， ， ， 解得：， 当或或时，为等腰三角形． 考点08 相似多边形与位似多边形 1．（25-26九年级上·上海·阶段检测）下列命题是假命题的是（    ） A．所有的矩形都相似 B．所有的等边三角形都相似 C．各有一个角是的两个等腰三角形相似 D．所有的正方形都相似 【答案】A 【分析】本题考查相似图形的判定，关键看对应角是否相等、对应边是否成比例，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据相似图形的定义，判断各命题的真假． 【详解】解：选项A，矩形的角都相等，但边不一定成比例，故 A是假命题； 选项B，等边三角形的角都相等，且边成比例，故B是真命题； 选项C，有一个角是的等腰三角形，顶角为，底角为，角对应相等，故C是真命题； 选项D， 正方形的角都相等，且边成比例，故D是真命题， 故选：A． 2．（25-26九年级上·上海·阶段检测）下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形，根据对应点的连线是否相交于一点即可判断求解，掌握位似图形的特点是解题的关键． 【详解】解：选项图形对应点的连线相交于一点，是位似图形，选项图形对应点的连线不会相交于一点，不是位似图形， 故选：． 3．（2025九年级上·江苏南京·专题练习）如图，在矩形中，分别是的中点．若矩形与矩形是相似的矩形，则等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键． 根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得． 【详解】解：矩形与矩形是相似的矩形， ， 设，，则， ， 故，即， ∴， ∴， 故选：B 4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点的横坐标是2，则点B的横坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了位似计算，熟练掌握位似比是解题的关键．设点B的横坐标是，根据题意，得，解答即可． 【详解】解：设点B的横坐标是，根据题意，得， 解得． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点在轴上，若，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形性质与正方形的性质，掌握位似变换的基本性质是解题的关键．根据位似变换的性质得到，且，根据相似三角形的性质求出即可得到答案． 【详解】解：∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∵相似比为，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点G的坐标为． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·上海·专题练习）如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形．若点的坐标分别为，，则的面积为_______． 【答案】18 【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案． 【详解】解：与是以坐标原点为位似中心的位似图形，且点的坐标分别为 ∴相似比为2， 点的坐标分别为， 的面积为． 故答案为：18． 【点睛】此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 7．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上． (1)在所给网格中，以点为位似中心，画出，使得与位似，且位似比为，点的对应点为点，点的对应点为点； (2)直接写出和的面积之比为___________． 【答案】(1) 根据题意，画图如下： 则即为所求． (2) 【分析】（1）根据位似的基本作图，解答即可； （2）根据面积之比等于位似比的平方解答即可． 本题主要考查作图—位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义与性质． 【详解】（1）略 （2）解：面积之比等于位似比的平方， 和的面积之比为， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·上海·期中）已知是坐标原点，、的坐标分别为，． (1)在轴的左侧以为位似中心作的位似图形，使新图与原图相似比为； (2)若点在线段上，直接写出由（1）变化后点的对应点的坐标为________ (3)求出的周长________． 【答案】(1) 如图所示：即为所求； (2) (3) 【分析】本题主要考查了位似变换，勾股定理，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）根据图形即可得到结论； （3）根据勾股定理求得各边的长度，根据三角形的周长公式，即可求得三角形的周长． 【详解】（1）略 （2）解：∵点 ∴变化后点的对应点的坐标为， 故答案为：． （3）解：根据题意可得：，，， 故的周长． 故答案为：． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相似三角形的期中复习 考点01 比例的性质和比例线段 考点02 平行线与成比例线段 考点03 黄金分割 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的判定 考点06 比例线段的证明 考点07 相似三角形的动点问题 考点08 相似多边形与位似多边形 考点01 比例的性质和比例线段 1．（26-27九年级上·上海·阶段检测）若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·上海·阶段检测）已知，则___________． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若两条线段的长为和，则这两条线段的比例中项是________． 4．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）已知a、b、c、d是成比例线段，其中、、，那么线段d的长度为______． 5．（25-26九年级上·上海·期中）已知，则__________． 6．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知，求一次函数的图象与坐标轴围成的面积． 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，求 (1)的值； (2)若，求、、的值． 8．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知，，求的值． 考点02 平行线与成比例线段 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D，E分别在边上，且，则下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海·期中）如图，已知，则的长为（   ） A．8 B． C． D．12 3．（25-26九年级上·河北·课后作业）如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·上海·一模）如图，在梯形中，，点分别在边上且，已知，，那么的长是________． 5．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 6．（25-26九年级上·上海·期末）如图，在平行四边形中，是对角线上的两点，且，的延长线交于点G，的延长线交于点，若平行四边形的面积为24，则四边形的面积为______． 7．（25-26九年级上·上海·期中）如图，中，点D在边上，，．求证：． 8．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，D是的边上的中点，，的延长线交于点E，求的值． 考点03 黄金分割 1．（26-27九年级上·上海·阶段检测）已知点是线段上的黄金分割点，，，那么___________． 2．（26-27九年级上·上海青浦·阶段检测）设点P是线段的黄金分割点厘米，线段的长是______厘米． 3．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，是“精准三角形”，，，垂足为点D，那么的长度为______． 4．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，线段，点与点均为线段的黄金分割点，则________ 5．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，将舞台的长看作线段，，是舞台的黄金分割点，为了增强视觉平衡和美感，需要演员从舞台处出发，最终站在该舞台的黄金分割点处．若，则演员最终位置到点的距离为__________（用含的代数式表示）． 6．（26-27九年级上·上海·阶段检测）2026年国际数学日的主题为“数学与希望”．某校学生运用所学AI技术围绕该主题设计了一张黄金矩形（宽与长的比为黄金比）海报．若该海报的长为，则它的宽为___________． 7．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫作这条线段的黄金分割点．过顶角为的等腰底角的顶点作的平分线交于点，其中为的黄金分割点，即．若，则线段的长为______． 8．（26-27九年级上·上海·阶段检测）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．在如图所示的五角星中，，且C，D都是的黄金分割点，则的长为 _____． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26九年级上·上海·期末）如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）已知，相似比为，若的面积为20，则的面积为（    ） A．5 B．80 C．9 D．28 3．（25-26九年级上·上海·期末）如图中，，延长至点A，使，连结，此时．则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如果把一个的三边都扩大到原来的2倍，那么的（     ） A．周长扩大2倍 B．面积扩大2倍 C．对应角扩大2倍 D．以上都有可能 5．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如果两个相似三角形面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为___________． 6．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，，，，若与以E，C，F为顶点的三角形相似，则BE的长为______． 7．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，，，点，分别在，上，将沿折叠，点的对应点刚好落在上，当与相似时，的长为___________． 8．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，分别是的边，上的点，且，若，则的值为______． 9．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，，与交于点O．若的面积为，则为________． 10．（25-26九年级上·吉林长春·期中）一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当______时，这个矩形的面积最大，最大值是______． 考点05 相似三角形的判定 1．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，点在边上，添一个条件，使，下列正确的是（   ）． A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海·期末）如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． (1)求证：； (2)求的值． 5．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在中，，为边上的中线，于点． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 6．（2026·上海普陀·一模）如图，点是斜边上的中点，点位于边上，且． (1)求证： (2)若，，求的长． 7．（2026·上海徐汇·一模）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中互为相似形的是 （    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．丙和丁 8．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 9．（2026·上海·三模）如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若 (1)求证：； (2)若，，求证：四边形是菱形． 10．（2026·上海长宁·一模）已知，如图，在四边形中，，，，．其中． (1)求证：． (2)如果，求证：． 考点06 比例线段的证明 1．（25-26九年级上·上海·期末）如图，四边形为正方形，且是边延长线上一点，过点作于点，交于点，交于点. (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，求的度数. 2．（25-26九年级上·上海·期末）如图，在中，点D在边上，，与，分别相交于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，G为的中点，求的长． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，，为的两条高，，为的两条高，且，．求证：． 4．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 5．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在Rt中，，是边的中点，连接，作，垂足为，连接． (1)求证：； (2)，求的长． 6．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，在菱形中，与交于点，是上一点，，．过点作的垂线，交的延长线于点． (1)找出图中与相似的三角形，并证明； (2)的延长线交的延长线于点，交于点．求证：． 7．（26-27九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接．求证：． 8．（25-26九年级上·上海·期中）已知，如图，四边形中，，，．求证：． 9．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）如图，在正方形中，边长，点E是边上的动点（点E不与端点C、D重合），的垂直平分线分别交于点F、H、G，交的延长线于点P． (1)当点E在边的中点时，求的值； (2)设，，求y关于x的函数表达式； 10．（2026·上海普陀·二模）已知：如图，在四边形中，，点在边上，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)联结交于点，联结．如果，求证：． 考点07 相似三角形的动点问题 1．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接，若以、、为顶点的三角形与相似，则的值为________． 2．（26-27九年级上·北京顺义·阶段检测）如图，，⊥，，，，一动点从点沿直线向点运动．当为___________时，与是相似三角形． 3．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，点，，连接，动点M、N分别同时从点A、O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形的面积恰好为76时，求此时t的值； (2)试求t为何值时，与相似？ 4．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从点C出发．沿向点B移动，设P、Q两点移动后，的面积为． (1)当运动时间为多少秒时，与相似； (2)在P、Q两点移动的过程中，的面积能否等于？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 5．（25-26九年级上·上海·单元测试）已知：如图，在中，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)是否存在某一时刻，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 考点08 相似多边形与位似多边形 1．（25-26九年级上·上海·阶段检测）下列命题是假命题的是（    ） A．所有的矩形都相似 B．所有的等边三角形都相似 C．各有一个角是的两个等腰三角形相似 D．所有的正方形都相似 2．（25-26九年级上·上海·阶段检测）下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 3．（2025九年级上·江苏南京·专题练习）如图，在矩形中，分别是的中点．若矩形与矩形是相似的矩形，则等于（    ） A． B． C． D．2 4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点的横坐标是2，则点B的横坐标是________． 5．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点在轴上，若，则点的坐标为___________． 6．（25-26九年级上·上海·专题练习）如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形．若点的坐标分别为，，则的面积为_______． 7．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上． (1)在所给网格中，以点为位似中心，画出，使得与位似，且位似比为，点的对应点为点，点的对应点为点； (2)直接写出和的面积之比为___________． 则即为所求． 8．（25-26九年级上·上海·期中）已知是坐标原点，、的坐标分别为，． (1)在轴的左侧以为位似中心作的位似图形，使新图与原图相似比为； (2)若点在线段上，直接写出由（1）变化后点的对应点的坐标为________ (3)求出的周长________． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $