专题02 数列求和12种常见考法归类（核心题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题02 数列求和12种常见考法归类 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 公式法 1.核心逻辑 数列直接是等差、等比数列，直接套用求和公式；含绝对值数列，先找变号点，分段去掉绝对值再分别用公式。 2.解题步骤 ①判断是等差还是等比，提取首项、公差/公比、项数； ②直接代入对应求和公式； ③绝对值型：令，找出正负分界点，分界前后分别求和。 3.易错提醒 等比忘记讨论；绝对值求和不找零点直接去掉绝对值；项数数错。 1．（2026高三·全国·专题练习）设是首项为4，公差的等差数列的前项和，若和的等比中项为．求： (1)的通项公式； (2)使的最大值． 2．（2026·吉林长春·模拟预测）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前20项和的值. 3．（2026高二·陕西汉中·期中）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式及前n项和； (2)求数列的前20项和. 4．（2026高三·四川·学业考试）已知等差数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求的前项和. 题型02 错位相减法 1.核心逻辑 通项结构：等差×等比，即。 2.解题步骤 ①写出； ②等式两边同乘等比的公比，得到； ③两式错位对齐相减；注意相减后一共项； ④合并化简，两边除以得到。 3.易错提醒 相减时符号出错；最后一项容易漏掉；指数计算错误；忘记除以。 5．（26-27高三·江西吉安·开学考试）已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和． 6．（2026·山东烟台·模拟预测）在数列中，，． (1)证明：为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 7．（2026·四川成都·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 8．（2026·吉林长春·模拟预测）已知数列的前项和（）． (1)证明：为等差数列； (2)设（），求． 9．（2026·山西忻州·模拟预测）记为数列的前项和，已知，是等差数列，且，． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 10．（2026·安徽芜湖·模拟预测）已知数列满足： (1)求； (2)猜想数列的通项公式并给出证明； (3)设，求数列的前项和． 题型03 分组求和法 1.核心逻辑 通项拆成两组可求和数列相加：，、分别是等差、等比等可求和数列；分别求和，再相加。 2.解题步骤 ①把通项拆为两个简单数列； ②分别求两个数列前项和； ③。 3.易错提醒 拆分通项出错；等比数列求和忽略。 11．（2026·贵州黔南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和． 12．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）已知数列的前项和为，数列是等差数列，且． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 13．（2026·河北·模拟预测）已知等比数列满足，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前40项和． 14．（2026·江苏南京·模拟预测）已知数列中，其前项和记为，且. (1)数列满足对于恒成立，则称数列是等差数列.证明：数列是等差数列； (2)若，记，求的前20项的和. 15．（2026·云南·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 题型04 并项求和法 1.核心逻辑 通项带有，或者相邻两项相加可以合并化简；将第项，项……两两捆绑，得到新的简单数列，适合求前、前项和。 2.解题步骤 ①偶数项项：直接两两配对； ②奇数项项：配对之后，单独保留最后一项； ③对捆绑之后的新数列求和。 3.易错提醒 求奇数项和，忘记单独余下最后一项；奇偶情况不分开讨论直接写统一表达式。 16．（2026·湖北荆州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和． 17．（2026·天津·模拟预测）在数列中，. (1)求的通项公式. (2)已知集合，记的非空子集为，中的所有元素的和为，记. （i）求数列的前2n项和 （ii）记中最大的元素为，求 18．（2026·河北保定·模拟预测）已知正项数列满足且. (1)判断是否可能为等差数列，并说明理由. (2)若的前项和为. （i）求； （ii）若，求的前项和. 19．（2026·辽宁朝阳·模拟预测）已知数列的前n项和为，满足，公差大于零的等差数列满足为与的等比中项． (1)求数列和的通项公式； (2)设为数列的前n项和，求． 20．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列，满足，且，是关于x的方程的两个根. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 题型05 裂项相消法等差型 1.核心逻辑 分母是等差数列相邻两项乘积： · 为等差数列公差。求和中间项全部抵消，只留首尾少数项。 2.解题步骤 ①把通项拆成两项之差； ②展开写前几项，看清哪些抵消，剩下哪几项； ③整理化简结果。 3.易错提醒 漏掉系数；分不清剩下第几项，错误全部消为0。 21．（2026·湖南永州·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求数列的通项公式． (2)数列的前项和为，求证：． 22．（2026·海南三亚·模拟预测）已知等差数列的公差 ，且 ，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前 项和为，求证：． 23．（2026·山东日照·模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足，，数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求证：数列的前项和小于． 24．（2026·云南昭通·模拟预测）已知正项数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，若，证明：． 25．（2026·四川成都·模拟预测）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 题型06 裂项相消法根式型 1.核心逻辑 分母为根式相加，分母有理化实现裂项。 2.解题步骤 ①分母有理化，写成两个根式相减； ②展开，中间抵消； ③化简。 3.易错提醒 有理化时漏掉前面的系数。 26．（2026高三·山西吕梁·开学考试）已知数列的前n项和为，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 27．（2026高二·广西河池·阶段检测）已知数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 28．（2026高三·江西吉安·阶段检测）已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，，求数列的前项和． 题型07 裂项相消法指数型 1.核心逻辑 分母为指数式乘积，把分式拆成两个指数式的差。 常见： 2.解题步骤 ①待定系数裂项； ②展开观察抵消项； ③化简得到。 3.易错提醒 不会待定系数拆分；直接照搬模型不看原题底数。 29．（2026·湖南岳阳·模拟预测）已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，记的前项和为，证明：对任意，都有． 30．（2026·浙江·模拟预测）正项数列的前项和，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 31．（2026·山东烟台·模拟预测）已知正项数列的前项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 32．（2026高二·广东佛山·期中）已知数列中，，且满足（）． (1)求的通项公式； (2)令，为数列的前n项和，证明：． 题型08 裂项相消法对数型 1.核心逻辑 利用对数运算性质，实现裂项。 2.解题步骤 ①对数拆成差的形式； ②累加中间抵消。 3.易错提醒 对数运算公式记错。 33．（2026高二·湖北孝感·阶段检测）数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 34．（2026高三·甘肃白银·阶段检测）在数列中，，则_______． 题型09 裂项相消法三角型 1.核心逻辑 利用三角恒等变换，拆成两角差；高频：类型。 2.解题步骤 ①三角恒等变形，拆成两项差； ②累加抵消； ③化简。 3.易错提醒 三角公式变形出错，看不出裂项结构。 35．（2026高三·山东济南·阶段检测）已知数列中，，设为前n项和，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和 36．（FHgkyldyjsx15）已知在数列中，. (1)求数列 的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2024项和. 37．（2026高三·河南·阶段检测）已知数列的前n项和为，，， (1)求； (2)若，求数列的前1012项和． 38．（2026高三·安徽·阶段检测）数列各项均为正数，的前n项和记作，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2023项和． 题型10 倒序相加法 1.核心逻辑 满足定值；将正着写一遍，倒过来再写一遍，两式相加，每一组和为常数。多用于函数衍生数列。 2.解题步骤 ①写出； ②倒序：； ③两式相加，每一组相加等于定值； ④求出，再除以2。 3.易错提醒 项数算错；看不出为定值。 39．（2026·湖北·模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则__________. 40．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设函数，，．则数列的前n项和______． 41．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，设函数，则______． 42．（2026·河南·模拟预测）若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． 43．（2026·山西临汾·模拟预测）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 题型11 分段数列求和 1.核心逻辑 通项分段给出：取奇数、偶数表达式不一样；或者前项一种表达式，后面另一种。分段分别求和。 2.解题步骤 ①看清奇偶或者分界点； ②前半部分、后半部分分别选用对应求和方法； ③合并结果，可写成分段形式。 3.易错提醒 不区分奇偶直接套公式；项数统计出错。 44．（2026高二·河南新乡·阶段检测）在数列中，，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 45．（2026·陕西安康·模拟预测）记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 题型12 先放缩后裂项求和 1.核心逻辑 通项不能直接裂项，先对做放缩，变成可以裂项的不等式，再裂项相消，完成不等式证明。 注意：放缩不能放得太大或太小，控制放缩精度。 2.解题步骤 ①对合理放缩：（或者）； ②，对裂项相消； ③化简得到要证的不等式。 3.易错提醒 放缩尺度失控，导致证明不出；直接把不等号当等号运算。 46．（2026高三·浙江温州·阶段检测）设数列前项和为，且满足，，，数列满足． (1)求、的通项公式； (2)记，求证：． 47．（2026·河南·模拟预测）若数列满足，． (1)求的通项公式； (2)证明：． 48．（2026高三·云南·阶段检测）记为数列的前项和，已知是首项为3，公差为1的等差数列. (1)求的通项公式； (2)证明：当时，. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数列求和12种常见考法归类 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 公式法 1.核心逻辑 数列直接是等差、等比数列，直接套用求和公式；含绝对值数列，先找变号点，分段去掉绝对值再分别用公式。 2.解题步骤 ①判断是等差还是等比，提取首项、公差/公比、项数； ②直接代入对应求和公式； ③绝对值型：令，找出正负分界点，分界前后分别求和。 3.易错提醒 等比忘记讨论；绝对值求和不找零点直接去掉绝对值；项数数错。 1．（2026高三·全国·专题练习）设是首项为4，公差的等差数列的前项和，若和的等比中项为．求： (1)的通项公式； (2)使的最大值． 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）由题意可设， ， ，， 又， ， ，． （2）， ， ，即， 又，的最大值为4． 2．（2026·吉林长春·模拟预测）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前20项和的值. 【答案】(1) (2)440 【分析】（1）求出，由求出，验证即可求得答案； （2）讨论的取值，得到数列通项公式，然后分组求和求得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 所以数列的通项公式为 （2）令，则， 所以当时，，当时，， 所以 . 3．（2026高二·陕西汉中·期中）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式及前n项和； (2)求数列的前20项和. 【答案】(1)， (2)106 【分析】（1）由题设可得等差数列的首项和公差，据此可得答案； （2）由题可得数列是递增数列，当时，；当时，；当时，，从而，据此可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 设等差数列的公差为d，则， 从而，故， . （2）因为公差，所以数列是递增数列，令，解得， 所以当时，；当时，；当时，， 由（1）知，， 所以， 因为，所以. 4．（2026高三·四川·学业考试）已知等差数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差中项可得，进而求出公差，由此即可求出数列的通项公式； （2）由题意可知是首项为，公比为的等比数列，再根据等比数列的前项和公式，即可求出结果. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 因为， 所以，即， 所以, 所以，即； （2）解：由（1）可知，， 所以， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以的前项和. 题型02 错位相减法 1.核心逻辑 通项结构：等差×等比，即。 2.解题步骤 ①写出； ②等式两边同乘等比的公比，得到； ③两式错位对齐相减；注意相减后一共项； ④合并化简，两边除以得到。 3.易错提醒 相减时符号出错；最后一项容易漏掉；指数计算错误；忘记除以。 5．（26-27高三·江西吉安·开学考试）已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明：因为，所以， 即， 所以， 所以数列是公差为4的等差数列． (2) 【详解】（1）略 （2）因为，所以，，     所以，     所以， ， 两式相减得 ，     所以． 6．（2026·山东烟台·模拟预测）在数列中，，． (1)证明：为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)在数列中，，，则， 所以，即，解得， ，即，解得，， 以此类推可知，对任意的，，所以，即， 所以，所以数列为等比数列，首项为，公比为. (2) 【分析】（1）将等式变形为，再结合等比数列的定义证明即可； （2）求出的表达式，利用错位相减法结合分组求和法可求得的表达式. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，所以， 所以， 设数列的前项和为， 则， ①， ②， ①②得 ，所以， 故. 7．（2026·四川成都·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义及的关系求解即可； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）当时，， 相减可得当，即，． 因为是等比数列，． 当时，，可解得． 数列的通项公式为． （2）∵    ∴，① ①3得，② 由①②得， 即， 化简得． 8．（2026·吉林长春·模拟预测）已知数列的前项和（）． (1)证明：为等差数列； (2)设（），求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)由即可证明数列为等差数列. (2)先利用错位相减求出解析式，再将代入即可求解的值. 【详解】（1）证明：由题意,在数列中,， ∴,，   又满足 所以 ∴是以为首项，为公差的等差数列. （2）在中，   ， ， 两式相减得， ， ∴ 9．（2026·山西忻州·模拟预测）记为数列的前项和，已知，是等差数列，且，． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）对利用前项和与通项的关系推导其为等比数列求通项，对利用等差数列基本量求公差得通项； （2）数列为等差乘等比的结构，采用错位相减法求解前项和. 【详解】（1）当时，，解得； 当时，，整理得，故是首项为2、公比为2的等比数列， ， 设等差数列的公差为，由，得，解得， . （2）由（1）得，故①， 又②， ①②得，化简得， . 10．（2026·安徽芜湖·模拟预测）已知数列满足： (1)求； (2)猜想数列的通项公式并给出证明； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2)通项公式为 ， 由题设，当时，有​， ①－②得：， 将替换为，得， ④－③得：，即​， 结合，，则， 知数列是首项为，公比为的等比数列， 故通项公式为，得证； (3) 【分析】（1）将、依次代入列方程求对应项即可； （2）根据已知等量关系，应用作差法得，即，结合等比数列的定义证明即可； （3）由题意 ，应用错位相减法求即可. 【详解】（1）已知对任意正整数，有 当时，， 当时， ，代入，得 ， 所以，； （2）略 （3）已知 ，则 ， 令 ， 用错位相减法：， ， 两式相减得： 所以 所以 ，从而 题型03 分组求和法 1.核心逻辑 通项拆成两组可求和数列相加：，、分别是等差、等比等可求和数列；分别求和，再相加。 2.解题步骤 ①把通项拆为两个简单数列； ②分别求两个数列前项和； ③。 3.易错提醒 拆分通项出错；等比数列求和忽略。 11．（2026·贵州黔南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式，以及等比数列的通项公式，列出方程组，求得公差和公比，即可求得等差数列和等比数列的通项公式； （2）由（1）可得数列的通项公式，运用分组求和法，结合等差数列和等比数列的前项和公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，所以， 又，，所以，解得或（舍）， 所以等差数列的通项为，即， 等比数列的通项为，即； （2）由（1）可得，，， 所以， 所以 . 12．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）已知数列的前项和为，数列是等差数列，且． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，， 当时，， 经检验，时符合上式， 所以，． 由上可知，， 设的公差为，则， 所以，， 即． （2）由(1)得， 则数列的前项和为： ， ， ， ， 所以，数列的前项和． 13．（2026·河北·模拟预测）已知等比数列满足，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前40项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列已知两项的值即可求得公比及首项，从而写出通项公式，然后由对数计算出数列的通项公式； （2）由分组求和及裂项相消即可求得数列前40项的和. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题意可知，∴公比， ∴， ∴数列的通项. ∴数列的通项公式. （2）由题意可知， ∴， ， ， . 14．（2026·江苏南京·模拟预测）已知数列中，其前项和记为，且. (1)数列满足对于恒成立，则称数列是等差数列.证明：数列是等差数列； (2)若，记，求的前20项的和. 【答案】(1)当时，，解得， 当时，，， 所以，化简得 ①， ，化简得   ②， ①-②得，化简得， 所以数列是以1为首项的等差数列. (2)600. 【分析】（1）由与，构造出条件所给出的模型，直接判断等差数列； （2）由数列所给出的形式判断数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，通过分组求和直接求出的前20项的和. 【详解】（1）略 （2） 由（1）可知，数列是以1为首项的等差数列，，公差为2， 所以， 因为， 所以， 所以 . 15．（2026·云南·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，结合等差数列的定义求得. （2）对进行分类讨论，利用裂项求和法、错位相减求和法求得. 【详解】（1）由，得，当时，，即， 又，所以．当时，， 所以， 即，整理得， 因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以． （2）由（1）得， ①当n为偶数时， ， 设，则， 令，所以， 两式相减得：， ， 所以，所以； ②当n为奇数时， ， 所以． 题型04 并项求和法 1.核心逻辑 通项带有，或者相邻两项相加可以合并化简；将第项，项……两两捆绑，得到新的简单数列，适合求前、前项和。 2.解题步骤 ①偶数项项：直接两两配对； ②奇数项项：配对之后，单独保留最后一项； ③对捆绑之后的新数列求和。 3.易错提醒 求奇数项和，忘记单独余下最后一项；奇偶情况不分开讨论直接写统一表达式。 16．（2026·湖北荆州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 即，所以，即， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以． （2）因为，则．所以 当n为偶数时， 当n为奇数时， 综上所述， 17．（2026·天津·模拟预测）在数列中，. (1)求的通项公式. (2)已知集合，记的非空子集为，中的所有元素的和为，记. （i）求数列的前2n项和 （ii）记中最大的元素为，求 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据给定的递推公式，构造常数列求出通项公式. （2）（i）利用组合计数问题求出中每个元素出现的次数，再利用等差数列前项和公式求出，然后利用并项求和法求出； （ii）利用组合计数问题求出中的每个元素为最大元素的个数，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）在数列中，由，得， 因此数列是常数列，则，， 所以的通项公式为； （2）（i）集合的每个元素在非空子集中出现的次数均为 ， 因此 ， ， 所以 ； （ii）依题意，的非空子集有个， 其中最大元素为的子集中，含1个元素的子集有1个，含2个元素的子集有个， 含3个元素的子集有个，，含个元素的子集有个， 因此最大元素为的子集有个， 同理得最大元素为的集有个， 最大元素为1的子集有个， 则=， 记， 则， 两式相减得 =， 所以=. 18．（2026·河北保定·模拟预测）已知正项数列满足且. (1)判断是否可能为等差数列，并说明理由. (2)若的前项和为. （i）求； （ii）若，求的前项和. 【答案】(1)不可能，理由见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）先假设是等差数列，结合条件可得，从而假设错误，即可求解； （2）（i）根据条件可猜想当时，，用数学归纳法，即可求解；（ii）由（i）得，分为偶数和奇数，利用分组求和，即可求解. 【详解】（1）因为且，令，得到，所以， 假设是等差数列，则公差，所以， 则，又，所以， 整理得到，解得，所以，与数列是正项数列相矛盾， 故假设错误，故数列不可能为等差数列. （2）（i）因为，则，， 猜想，当时，，下面用数学归纳法证明， 当时，，猜想成立， 假设时，猜想成立，即， 则时，则，所以时，猜想仍成立， 所以，则当时，， 又时，，满足，所以. （ii）由（i）知，所以， 设的前项和为，则， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 所以. 19．（2026·辽宁朝阳·模拟预测）已知数列的前n项和为，满足，公差大于零的等差数列满足为与的等比中项． (1)求数列和的通项公式； (2)设为数列的前n项和，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先利用，由求首项，再作差推出为等比数列得通项，再设等差数列公差为正数，由和等比中项列方程求出，进而得到通项. （2）把拆为与两部分，分别用等比数列求和、相邻两项分组求和算出前20项和，相加即得. 【详解】（1）当时，， 所以， 当时，由及，得，解得 所以. 设等差数列的公差为， 则 所以． （2）当时，， ． 20．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列，满足，且，是关于x的方程的两个根. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据韦达定理得出数列的递推关系，进而判断数列类型，求出通项公式. （2）先求出，进而得到的表达式，然后利用分组和裂项相消法求出. 【详解】（1）因为，是关于x的方程的两个根. 所以由韦达定理得，即， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以. （2）由（1）得，所以. 所以根据韦达定理得，所以. 所以. 所以. 题型05 裂项相消法等差型 1.核心逻辑 分母是等差数列相邻两项乘积： · 为等差数列公差。求和中间项全部抵消，只留首尾少数项。 2.解题步骤 ①把通项拆成两项之差； ②展开写前几项，看清哪些抵消，剩下哪几项； ③整理化简结果。 3.易错提醒 漏掉系数；分不清剩下第几项，错误全部消为0。 21．（2026·湖南永州·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求数列的通项公式． (2)数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)由(1)知，故， ， ， 因为，所以. 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式求解； （2）利用裂项相消法求解. 【详解】（1）设等差数列公差为, 因为，所以， 因为， ，所以， 则，解得，即， 联立，解得， 则. （2）略 22．（2026·海南三亚·模拟预测）已知等差数列的公差 ，且 ，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前 项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明：因为， ： 所以. 所以 因为为正整数，，所以， 因此：. 【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出，即可得出结果； （2）由（1）可得，通过裂项，根据求和计算即证得结果. 【详解】（1）设等差数列首项为，公差，由，成等比数列， 可得：，由，解得：， 所以的通项公式为. （2）略 23．（2026·山东日照·模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足，，数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求证：数列的前项和小于． 【答案】(1)， (2)证明：由（1）得，则， 设数列的前项和为， 则，得证. 【分析】（1）利用化简即可求出；易知为等比数列，根据等比数列通项公式求解即可； （2）由裂项相消法求出数列的前项和，结合不等式放缩即可得出证明. 【详解】（1）因为，所以， 两式相减得，即， 因为为正项数列，所以，则， 因为，所以，因此，是以1为首项，2为公差的等差数列， 则. 因为，所以， 由，则，所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，所以． （2）略 24．（2026·云南昭通·模拟预测）已知正项数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，若，证明：． 【答案】(1) (2)证明：因为， 所以， 所以． 因为，所以， 因为数列单调递增，所以， 所以． 【分析】（1）利用与已知建立等式，得出是等差数列，进而求出，再根据与的关系求通项； （2）利用（1）的结论，利用裂项相消法求和，再结合数列单调性证明即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以， 又， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以． 当时，， 也满足上式， 所以数列的通项公式为． （2）略 25．（2026·四川成都·模拟预测）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用等差数列的定义即可得证； （2）利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）由，所以， 所以， 所以数列是以为公差，首项为的等差数列； （2）由（1）有，所以， 所以， 所以. 题型06 裂项相消法根式型 1.核心逻辑 分母为根式相加，分母有理化实现裂项。 2.解题步骤 ①分母有理化，写成两个根式相减； ②展开，中间抵消； ③化简。 3.易错提醒 有理化时漏掉前面的系数。 26．（2026高三·山西吕梁·开学考试）已知数列的前n项和为，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可证明数列是等差数列，然后可算出答案； （2），然后可算出答案. 【详解】（1）由得： 即， 所以数列为等差数列， 由得， 设公差为d，，得， 所以， 故数列的通项公式为． （2）， 所以． 27．（2026高二·广西河池·阶段检测）已知数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可求出数列的通项公式； （2）由（1）求出，由裂项相消法求解即可. 【详解】（1）由当时，， 当时，满足上式，所以， （2） ， 故． 28．（2026高三·江西吉安·阶段检测）已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据，即可求出数列的通项公式； （2）由（1）得，可得，然后再利用裂项相消即可求出结果． 【详解】（1）当时，由得：．当时，①； ②上面两式相减，得：， 所以数列是以首项为，公比为的等比数列．得：． （2）， ， . 【点睛】裂项相消在使用过程中有一个很重要得特征，就是能把一个数列的每一项裂为两项的差，其本质就是两大类型类型一:型，通过拼凑法裂解成；类型二：通过有理化、对数的运算法则、阶乘和组合数公式直接裂项型；该类型的特点是需要熟悉无理型的特征，对数的运算法则和阶乘和组合数公式．无理型的特征是，分母为等差数列的连续两项的开方和，形如型，常见的有①；②对数运算本身可以裂解；③阶乘和组合数公式型要重点掌握和． 题型07 裂项相消法指数型 1.核心逻辑 分母为指数式乘积，把分式拆成两个指数式的差。 常见： 2.解题步骤 ①待定系数裂项； ②展开观察抵消项； ③化简得到。 3.易错提醒 不会待定系数拆分；直接照搬模型不看原题底数。 29．（2026·湖南岳阳·模拟预测）已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，记的前项和为，证明：对任意，都有． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及等比中项的性质求解即可. （2）求出，利用裂项相消法求出，进一步证明即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则． 由成等比数列，得． 展开得，化简得，即． 因为，所以，于是． （2）由（1）知，则． 又，所以． 于是． 故对任意，都有. 30．（2026·浙江·模拟预测）正项数列的前项和，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用已知写出的表达式，与作差可得到与的关系，结合等差数列的定义即可证明； （2）由（1）可求出的通项公式，再由与的关系求出的通项公式，代入得，利用裂项相消即可求解. 【详解】（1）证明：当时，，解得， 当时， ， 与作差可得：， 数列是正项数列，， ，即， ，即， 所以数列是等差数列． （2）由（1）知数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以，即， 当时，， ，， ， 则. 31．（2026·山东烟台·模拟预测）已知正项数列的前项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件式变形得，构造常数列求得，再利用时推导出，确定为等比数列，进而得到通项公式； （2）先由（1）求得，将裂项为，再通过裂项相消法求和，化简得到的表达式． 【详解】（1）由，得． 所以，即． 当时，，整理得， 所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以． （2）由（1）得， 所以， 所以， ， 整理得． 32．（2026高二·广东佛山·期中）已知数列中，，且满足（）． (1)求的通项公式； (2)令，为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1) (2) 由（1）得，所以， 故 ， 由于，故， 又， 故，所以 【分析】（1）构造等比数列求通项公式； （2）利用裂项相消求出，并判断的正负性. 【详解】（1）由得，， 由于，故，故， 故数列是以3为首项，公比为3的等比数列， 所以，故 （2）略 题型08 裂项相消法对数型 1.核心逻辑 利用对数运算性质，实现裂项。 2.解题步骤 ①对数拆成差的形式； ②累加中间抵消。 3.易错提醒 对数运算公式记错。 33．（2026高二·湖北孝感·阶段检测）数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由累加法可得，从而可得的值. 【详解】由，可得， 利用累加法可得, 化简得，则. 故选：C. 34．（2026高三·甘肃白银·阶段检测）在数列中，，则_______． 【答案】4 【分析】先将递推数列进行变形化简，然后利用累加法求出结果. 【详解】由得，， 所以， 累加得． 故答案为：4. 题型09 裂项相消法三角型 1.核心逻辑 利用三角恒等变换，拆成两角差；高频：类型。 2.解题步骤 ①三角恒等变形，拆成两项差； ②累加抵消； ③化简。 3.易错提醒 三角公式变形出错，看不出裂项结构。 35．（2026高三·山东济南·阶段检测）已知数列中，，设为前n项和，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用与的关系以及递推公式求出，再利用累乘法即可求得通项公式； （2）由（1）结论代入可得，利用三角函数两角差公式化简可得，再利用累加法即可求得数列的前n项和. 【详解】（1）数列中，，为前n项和， 当时，，， 当时，①， ②， 由②-①得：，， 即， 当时，，递推可得：，，，， 由累乘法可得：， ，又因为，所以，即，经检验，当时符合上式， 所以； （2）由（1）可知，，所以： ， 所以 ； 所以数列的前n项和. 36．（FHgkyldyjsx15）已知在数列中，. (1)求数列 的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2024项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合裂项法求和法，即可求解； （2）由（1）知，，结合，即可求解. 【详解】（1）解：因为，可得， 所以，当时，， 即，又因为，则； 当时，成立，所以. （2）解：由（1）知，， 所以 ， 因为， 于是， ， 所以，所以数列的前项的和为. 37．（2026高三·河南·阶段检测）已知数列的前n项和为，，， (1)求； (2)若，求数列的前1012项和． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据求和的定义，整理可得数列的递推公式，结合等差数列的基本概念，可得答案； （2）由（1）整理通项公式，利用裂项相消，可得答案. 【详解】（1）当时，因为，所以， 即．又，所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以． （2）由（1）知，， ， 而所以 ． 38．（2026高三·安徽·阶段检测）数列各项均为正数，的前n项和记作，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2023项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，有相减得,结合各项均为正数，并因式分解即可求解. （2）由（1）得，结合可知，由裂项相消法即可求解. 【详解】（1）当时，有相减得，即，各项均为正数， 所以， 又当时，， 解得或(舍)， 所以对任意正整数n，均有， 故是以首项为1，公差以1的等差数列， 所以． （2）由于， 故， 由（1）得， 记前n项和为，则 ， 所以. 题型10 倒序相加法 1.核心逻辑 满足定值；将正着写一遍，倒过来再写一遍，两式相加，每一组和为常数。多用于函数衍生数列。 2.解题步骤 ①写出； ②倒序：； ③两式相加，每一组相加等于定值； ④求出，再除以2。 3.易错提醒 项数算错；看不出为定值。 39．（2026·湖北·模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则__________. 【答案】46 【分析】先证，由倒序相加法可得通项，然后可解. 【详解】因为函数的定义域为， 设是函数图象上的两点，其中，且，则有， 从而当时，有：，当时，， ， 相加得 所以，又， 所以对一切正整数，有； 故有. 故答案为：46. 40．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设函数，，．则数列的前n项和______． 【答案】 【分析】由题设，讨论n的奇偶性求的通项公式，再求. 【详解】由题设，， 所以， 即且n ≥ 2， 当时，， 当时，， 所以， 故答案为：. 41．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，设函数，则______． 【答案】/ 【分析】根据可求，从而可求.易验证，故可采用倒序相加法求题设式子的值． 【详解】∵①， ∴当时，②， ①－②得，∴； 当时，，∴，此时仍然成立， ∴． ∴当n=1时，； 当时，， 当n=1时，上式也成立，故． 由于， 设 则， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题关键是熟练掌握利用前n项和与通项公式的关系求得，观察猜测并发现为定值，从而利用倒序相加法即可求和． 42．（2026·河南·模拟预测）若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． 【答案】D 【分析】根据题干条件易得首末项自变量之和为常数2，可得，进而利用倒序相加求解即可. 【详解】令，则， 所以， 则， 所以， 令， 则，两式相加得， 所以. 43．（2026·山西临汾·模拟预测）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】B 【分析】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由函数，得 ， 令， 则， 两式相加得， 所以，解得. 题型11 分段数列求和 1.核心逻辑 通项分段给出：取奇数、偶数表达式不一样；或者前项一种表达式，后面另一种。分段分别求和。 2.解题步骤 ①看清奇偶或者分界点； ②前半部分、后半部分分别选用对应求和方法； ③合并结果，可写成分段形式。 3.易错提醒 不区分奇偶直接套公式；项数统计出错。 44．（2026高二·河南新乡·阶段检测）在数列中，，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件可得数列是等差数列，再根据可求出公差，从而可求出数列的通项公式， （2）设数列的前n项和为，则由等差数列的求和公式可求出，由可求得时，，当时，，然后分情况可求出. 【详解】（1）∵，∴， ∴数列是等差数列，设其公差为d． ∵，∴， ∴ （2）设数列的前n项和为，则由（1）可得， 由（1）知，令，得， ∴当时，， 则 ； 当时，，则， ∴ 45．（2026·陕西安康·模拟预测）记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，得出数列为等差数列，求得，进而求得的通项公式； （2）由（1）得到，当为奇数时，；当为偶数时，，结合，结合等差数列、等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得，所以， 又由，所以，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，则， 当时，，所以， 又当时，满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）可知当为奇数时，； 当为偶数时，， 所以 题型12 先放缩后裂项求和 1.核心逻辑 通项不能直接裂项，先对做放缩，变成可以裂项的不等式，再裂项相消，完成不等式证明。 注意：放缩不能放得太大或太小，控制放缩精度。 2.解题步骤 ①对合理放缩：（或者）； ②，对裂项相消； ③化简得到要证的不等式。 3.易错提醒 放缩尺度失控，导致证明不出；直接把不等号当等号运算。 46．（2026高三·浙江温州·阶段检测）设数列前项和为，且满足，，，数列满足． (1)求、的通项公式； (2)记，求证：． 【答案】(1)， (2)证明： 因为，解得， 所以，， 当时，成立； 当时， ， 此时， 综上所述，对任意的，. 【分析】（1）令，由可得，两式作差可推导出数列为常数列，可求得数列的通项公式，进而可求得的通项公式； （2）求得，验证当时不等式成立，令，由放缩法可得出，利用不等式的基本性质可证得所证不等式成立. 【详解】（1）对任意的，， 当时，由可得， 上述两个等式作差得，所以，， 所以，，所以，， 令，则，故数列为常数列，且， 所以，， 也满足，故对任意的，. 故，所以，. （2）略. 47．（2026·河南·模拟预测）若数列满足，． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明: 当n＝1时，； 当时，， 则， 故； 综上，. 【分析】（1）运用累加法即可求出 的通项公式； （2）运用裂项相消法即可证明. 【详解】（1）因为，， 所以， 故； （2）略. 48．（2026高三·云南·阶段检测）记为数列的前项和，已知是首项为3，公差为1的等差数列. (1)求的通项公式； (2)证明：当时，. 【答案】(1)； (2) 当时，， ， ∴， ∴. 【分析】（1）先由等差数列的通项公式可得，再根据即可求出的通项公式； （2）由（1）可知，，根据放缩法以及裂项相消求和法，当时，，即可证出． 【详解】（1）∵是首项为3，公差为1的等差数列，∴， ∴.∴当时，，. 又不满足， ∴的通项公式. （2）略 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $