第三十章 直线与圆的位置关系 素养检测-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（人教版·新教材）

第三十章《直线与圆的位置关系》素养检测 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1.已知⊙O的直径为4，圆心O到直线1的距离为2，则直线1与⊙O ( A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 2.下列命题中，①直径是弦；②平分弦的直径必垂直于弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④等 拟 数 弧所对的弦相等；⑤经过半径的一端并垂直于半径的直线是圆的切线.正确的个数为( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，⊙O的半径长为1，PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点，∠APB=60°，则劣弧AB的 长度为 ( ) A. B. 3 C. D.2π (第3题图) (第4题图) (第6题图)》 (第7题图) 4.如图，PA,PB与⊙O分别相切于点A,B,PA=2,∠P=60°，则AB的长度为 A.√3 B.2 C.3 D.2√3 5.根据下图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定△ABC内心的是 6.如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D,E,F,AB=3,CE=2,则△ABC的周长为 A.5 B.7 C.8 D.10 7.如图，已知直线1的解析式是y一号x一8，并且与x轴y轴分别交于A,B两点.一个半径为 3的⊙C的圆心C从点(0,3)开始以每秒2个单位长度的速度沿着y轴向下运动，当⊙C与 直线1相切时，则该圆运动的时间为 ( ) A.3秒或8秒 B.8秒 C.3秒 D.6秒或16秒 第三十章《直线与圆的位置关系》素养检测第1页（共8页） 8.如图，直线l与⊙O相切于点A,M是⊙O上的一个动点，MH⊥l,垂足为H.若⊙O的半径 为4，则MA一MH的最大值为 () A司 C.1 D.2 0 (第8题图) (第9题图) (第10题图) 9.铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧 连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O,AB所在圆的圆心C恰好是 △ABO的中心.若AB=√3，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为 () A.π B.2π C.3π D.4π 10,如图，抛物线y=-‘,-3与x轴交于A,5两点，与y轴交于C点，⊙B的圆心为 B,半径是1，点P是直线AC上的动点，过点P作⊙B的切线，切点是Q,则切线长PQ的 最小值是 ( A.8 B.10 c号 D.45 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.请举一个反例说明命题“各角相等的圆内接多边形是正多边形”是错误的： 12.若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正 边形. 13.如图，AB,AC,BD是⊙0的切线，P,C,D为切点，若AB=10,AC=7,则BD的长为 (第13题图) (第14题图) 14.如图，AB是⊙O的直径，要使得直线AT是⊙O的切线，需要添加的一个条件是 .(写一个条件即可) 15.如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形、则地基的周长为m. 第三十章《直线与圆的位置关系》素养检测第2页（共8页） 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16.如图，在△ABC中，∠C=30°，AB=AC. (1)在图中，以CA延长线上一点O为圆心作圆，使该圆经过点A,B;(要求：尺规作图，不 写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由. 17.明达中学在校园里建了一个读书亭.它的地基是半径为4米的正六边形 (1)求地基的周长； (2)求地基的面积. 第三十章《直线与圆的位置关系》素养检测第3页（共8页） 18.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4.作DE⊥AC于点E,作AF⊥BD于点F. (1)求DE的长； (2)若以点A为圆心作圆，B,C,D,E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆 外，求⊙A的半径r的取值范围. 壁 烯 ☒ 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19.如图，点O为线段AB的中点，点C为线段OA上一点（不与O,A重合），以点O为圆心， OC为半径作⊙O交线段OB于点D,∠EAB=∠FBA=60°，AE=BF=2,AB=10,连接 EC,FD. (1)求证CE=DF; (2)当CE与⊙O相切时，求OC的长度. 第三十章《直线与圆的位置关系》素养检测第4页（共8页） 20,如图，直线)y=是2+6(>0)与x轴轴交于点A,B,在直线AB上取一点C,过点C作： 轴的垂线，垂足为E,若点E(4,0). (1)若EC=BC,求b的值； (2)在(1)的条件下，有一动点P从点B出发，延着射线BC方向以每秒1个单位的速度运 动，以点P为圆心，作半径为2的圆，动点Q从点0出发，在线段OE上以每秒1个单 位的速度作来回运动，过点Q作直线1垂直x轴，点P与点Q同时从点B、点O开始运 动，问经过多少秒后，直线1和⊙P相切. 斯 % 熟 第三十章《直线与圆的位置关系》素养检测第5页（共8页） 21.如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠ABO=30°，C为OB边的中点，⊙O经过点C,BD 与⊙O相切于点D, (1)求证：AB与⊙O相切； (2)若AB=2,求AD的长 第三十章《直线与圆的位置关系》素养检测第6页（共8页） 五、解答题（三）（本大题共2小题，其中第22题13分，第23题14分，共27分） 22.如图，以BC为底的等腰△ABC的三个顶点都在⊙O上，过点A作AD∥BC交BO的反 向延长线于点D. (1)求证：AD是⊙O的切线； (2)若四边形ADBC是平行四边形，且BC=12,求⊙O的半径 D 0 第三十章《直线与圆的位置关系》素养检测第7页（共8页） 23.用若干张半径为√2的圆形纸片（⊙O)剪不同的扇形纸片，如图1和图2. 0 图1 图2 (1)当扇形的圆心C在⊙O上时，如图1，AB为⊙O的直径，点C为弧AB的中点.求扇形 CAB的面积（结果保留π）； (2)当扇形的圆心C在⊙O内部时，如图2，已知AB为扇形CAB与⊙O的公共弦，AB= √6，∠ACB=90°，求点O与点C的距离，并直接写出扇形CAB的面积（结果保留π）； 性 (3)在半径为√2的圆形纸片（⊙O)上剪一个圆心角∠ACB=120°的扇形（点A,B在⊙O 上)，直接写出所剪的扇形面积S的取值范围（结果保留π）. 烯 ☒ 誡 第三十章《直线与圆的位置关系》素养检测第8页（共8页）23.解：(1)C1和C (2)如答图1所示，T为弦CD的中点， 弦CD的长为√3，点P是弦CD的 60°相关点，故∠CPD=60°，P点在弦 CD所对优弧上，当PT⊥CD时，PT 最大，由垂径定理可知，PC=PD, △CPD为等边三角形， CD=PC=PD-/3,CT-3 答图1 1 在Rt△PCT中，由勾股定理知：PT=√PC一CT= 3 2 ∴△PCD面积的最大值为？CD·PT=子×B×号 3故答案为：3，是 (3).⊙O的半径长为1，故⊙O的直径为2. ⊙O的弦EF=2,故EF为⊙O的直径， 由于点Q为⊙O的弦EF的60°相关点，及定弦定角原理， 则∠EMF=120°，∠MEF=30°，OE=1,OM=, 3 则当EF两点在x轴上固定不变时，点Q在分别以M (0,号）N(,-)为圆心，2为半径的，弦EF所对的 3 优弧上运动（不含EF两点），如答图2所示，此时1≤OQ ≤√/3； 当EF旋转起来后，Q点在以原点为 圆心，以√3为半径的圆上运动， 此圆交直线y=x-1于Q和Q两 点，由题意可设点Q(t,t一1)， 则由勾股定理可得t+(t一1)2 )2,解得=15（舍去正值）， 2 答图2 则=125，同理可得Q的横坐标为5， 2 综上，点Q的运动区域为以原点为圆心，1和√3为半径的两 个一小一大的圆所形成的圆环区域（不含内圆边界）. 又点Q必须在直线y=x一1上运动，综上可得，点Q的 横坐标：的取值范图为≤<0或1<<中5 2 第三十章《直线与圆的位置关系》素养检测 1.B2.B3.B4.B5.D6.D7.A8.D9.D10.D 11.矩形12.六13.314.∠CAT=∠B(答案不唯一) 15.24 16.解：(1)作AB的垂直平分线MN交CA的延长线于点O,以 O为圆心、OB长为半径作圆，如答图，⊙O就是所求的圆. (2)直线BC与⊙O相切，理由：如答图，连接OB, ,点O在AB的垂直平分线上，.OA=OB, ∠C=30°，AB=AC, .∠ABC=∠C=30°， ∴.∠OAB=∠ABC+∠C =60°， ∴.∠OBA=∠OAB=60°， .∠OBC=∠OBA+∠ABC =90°， OB是⊙O的半径， 答图 且BC⊥OB, ∴.直线BC与⊙O相切. 参考咨案 17.解：(1)如答图，连接OB,OC, .六边形ABCDEF是正六边形， ÷∠B0C=360°=60,0B=0C. 6 ∴△OBC是等边三角形， G .'BC=OB=4 m; 答图 ∴.正六边形ABCDEF的周长=6×4=24(m). (2)如答图，过点O作OG⊥BC于点G, △OBC是等边三角形，OB=4m, ∴∠0BC=60,BG=2OB=2m, ∴.OG=√OB-BG=√4-2=2V3(m), ∴Saxe=2Bc.0G=2×4X25=45(m), ∴.S六边形CDEF=6SA0aBc=6X4V3=24V3(m2). 18.解：(1)矩形ABCD中，DC=AB=3,AD=4, .AC=BD=√32+4F=5. :7AC.DE=合DC·AD,DE=34=号， 5 (2)AF<AB<AE<AD<AC, ,若以点A为圆心作圆，B,C,D,E 四点中至少有1个点在圆内，且至少 有1个点在圆外，即点B在圆内，点C 在圆外， 答图 .⊙A的半径r的取值范围为3<r<5. 19.(1)证明：O为AB的中点，.OA=OB, ∴.AC+CO=OD+BD. CO=DO,∴AC=DB.:∠A=∠B,AE=BF, .△CAE≌△DBF(SAS),∴.CE=DF. (2)解：如答图， ,EC与⊙O相切，.∠OCE=90°， ∠ACE=90°. :∠EAB=60°，∠E=30°， δ ∴AC=2AE=1. .△CAE≌△DBF,∴.AC=BD=1, 答图 .CD=AB-AC-BD=10-1-1=8, ∴0C=0D=2CD=4. 20.解：(1)作BH⊥CE.如答图，E(4,0), 0E=BH=4,把x=4代人y=子x+b=3+b, .CE=3+b..B(0,b),.EH=OB=b,CH=3. 在Rt△BCH中，BC=5=CE, C4,5)代入)y=是x+b,得6=2 (2)设点P到直线I的距离为d.作PM⊥y轴于点M,如答 图，则PM=号 ①当0<t≤4时，OQ=t,d=t- 台4=吉，由日=分得=号 4： 1 ②当4<≤8时，0Q=8-t,d=8 M 台=合或号-(8-0 4 -t- A O E 子解得1=9安器， 答图 回当8<K12时，0Q=1-8,d=亭：-(-8)=分，解得： 1 -召由于亭1一>日舍去综上所述4=号或得安祭 数学九年级上册(RJ) 21.(1)证明：在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠ABO=30°， “0A=号OB,:C为OB边的中点，0C=2OB. ∴OA=OC,∴.OA是⊙O的半径，∴AB与⊙O相切. (2)解：连接OD,如答图， ,BD与⊙O相切于点D,AB与 ⊙O相切，.AB=BD. 在△ABO和△DBO中， (OA=OD, AB-BD, OB=OB, 1 ·△ABO≌△DBO(SSS), 答图 ∠DBO=∠ABO=30°，∴∠ABD=60°， .△ABD是等边三角形，.AD=AB=2 22.(1)证明：如答图，连接OA,交BC于点E, 等腰△ABC是以BC为底，∴AB=AC,AB=AC, .OA⊥BC,OA平分BC,.∠BEO=90°. .AD∥BC,.∠DAO=∠BEO=90°，.AD⊥OA. ,OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线. (2)解：，OA平分BC,BC=12, A ∴BE=号BC=6. ,四边形ADBC是平行四边形， ..AC=BD. AC=AB,∴.AB=BD, .∠D=∠DAB. 答图 :∠OAD=90°，∴.∠D+∠AOD=90°. ∠BAO+∠DAB=90°，∴∠BAO=∠AOD,.AB=BO, .OA=BO,.AB=BO=OA,.△ABO是等边三角形， ∴.∠BOA=60°. OE⊥BC,∴.∠OBE=30°，∠OEB=90°，.OB=OE, 六设半径为，则OE-=台又：BE-号BC=6, ∴在Rt△BE0中，OB=OE+BE即r=(5P+6, ∴r=4√3..⊙0的半径为4√3. 23.(1)解：连接OC,如答图1， C为弧的中点.AB是直径，圆的半 径为√2， .CA=CB,∠ACB=90°， .△ACB是等腰直角三角形， 0c=0A=号AB=E. 在直角三角形AOC中，由勾股定理 答图1 得：AC=√OA+OC=2, 六SaBa=90x2-x3 360 (2)解：如答图2，过点C作CT⊥AB于 T,连接OA,OB, ∴.OA=OB,CA=CB, .OC垂直平分AB, .O、C、T三点共线， ∠ACB=90°，AB=√6， 答图2 CT=AT=BT=合AB=, 在直角三角形AOT中，由勾股定理得：OT=√OA-AT √-9-， 2’ :0C=CT-oT=6,E,点0与点C的距离为5,2， 2 在直角三角形ABC中，由勾股定理得： AB=√AC+BC=√2AC=√6， AC=5,5aa-0r-子x: 360 (3号≤s≤g 九年级期末测试卷（一） 1.C2.D3.B4.A5.D6.A7.C8.C9.D10.B 11.15212.直线x=-313.√/39 14.1615.k≤4且k≠0-2或1 16.解：x2+3x-10=18,∴.x2+3x-28=0, .(x-4)(x+7)=0, ∴.x-4=0或x十7=0， .x1=4,x2=-7. 17.解：(1)如答图，△ABC为所作， A1(-2,-4),B1(-1,-1),C1(-4,-3) y s-i--1-- 3 2 BI B 54321012345或 -1 3 :A4 -51 答图 (2)如答图，△A2B2C为所作， A2(-4,2),B2(-1,1),C2(-3,4). 18.解：如答图，连接OA,设⊙O的半径为r, .D是⊙O中弦AB的中点， ∴AD=2AB=0.5m,ODLAB, .OD=(2.5-r)m, .在Rt△OAD中，由勾股定理， 得0.52+(2.5-r)2=2,解得r=1.3. 答：⊙0的半径为1.3m. 0 19.解：(1)设三、四这两个月销售量的月平均增 长率为x,依题意，得256(1十x)=400, ADB 解得x1=0.25=25%,x2=一2.25（不合题 答图 意，舍去). 答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%. (2)设“亚亚”套件每套降价y元， 则销售量为(400+40y)套， 依题意，得(30-24-y)(400+40y)=1920, 化简，得y2+4y-12=0, 解得=2，y=-6(不合题意，舍去). 答：当“亚亚”套件每套降价2元时，五月份可获利1920元， 20.(1)证明：，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC, ∴.BC=EC,∠ACB=∠DCE=30°，∠BCE=60°， ∴.∠ACE=60°-30°=30°， .∠ACE=∠ACB. (BC=EC, 在△ABC和△AEC中，∠ACB=∠ACE, LAC=AC, .'.△ABC≌△AEC(SAS).